Feuille d'entraînement : Corde vibrante et équation de d'Alembert

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique MP 2026, Q6

   Pour une onde plane progressive harmonique (OPPH) écrite sous forme complexe \underline{u}(x, t) = \underline{U} \, \mathrm{e}^{\mathrm{j}(kx - \omega t)}, les dérivées partielles spatiale et temporelle se traduisent par les identifications opérationnelles :

   \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} &\longleftrightarrow -\mathrm{j}\omega \implies \frac{\partial^2}{\partial t^2} \longleftrightarrow -\omega^2 \\ \frac{\partial}{\partial x} &\longleftrightarrow \mathrm{j}k \implies \frac{\partial^2}{\partial x^2} \longleftrightarrow -k^2 \end{aligned}

   La relation de dispersion issue de la question Q5 s'écrit :

   -\omega^2 = - c^2 k^2 \iff (-\omega^2) - c^2 (-k^2) = 0

   Par linéarité et superposition spectrale de Fourier, cette relation se traduit pour une déformation quelconque u(x, t) par l'équation aux dérivées partielles :

   \boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0}

   Commentaires sur cette équation d'onde :

   • Il s'agit de l'équation de d'Alembert unidimensionnelle, linéaire et homogène du second ordre.
   • La relation de dispersion étant strictement linéaire (\omega = c k), le milieu continu équivalent est non dispersif dans la limite des grandes longueurs d'onde (\lambda \gg a) : la vitesse de phase v_\varphi = \omega/k = c et la vitesse de groupe v_g = \mathrm{d}\omega/\mathrm{d}k = c sont égales et indépendantes de la fréquence.
   • Toute solution générale s'exprime selon la formule de d'Alembert sous la forme u(x, t) = f(x - ct) + g(x + ct), décrivant la propagation d'ondes sans distorsion ni amortissement à la célérité c.

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2026, Q14

   La fibre neutre est repérée dans le plan (Oxz) par l'équation de sa ligne moyenne z = Z(x,t). La pente locale de la tangente à cette courbe par rapport à l'axe horizontal (Ox) est donnée par la dérivée spatiale :

   \tan \alpha(x,t) = \frac{\partial Z}{\partial x}(x,t)

   Dans le cadre de l'approximation des faibles déformations, l'angle d'inclinaison est très petit devant l'unité (|\alpha| \ll 1), ce qui permet d'effectuer un développement limité à l'ordre 1 : \tan \alpha \approx \alpha.

   On en déduit la relation liant l'inclinaison locale à la déformation transverse :

   \boxed{\alpha(x,t) = \frac{\partial Z}{\partial x}(x,t)}

   Pour l'onde progressive harmonique considérée, cette inclinaison s'écrit explicitement :

   \alpha(x,t) = k a_Z \cos(kx - \omega t)

   Résultat

   $$\alpha (x,t)=\frac{\partial Z}{\partial x}(x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 MP 2022, Q16

   On applique le théorème de la résultante cinétique au tronçon de fil compris entre x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}x, dans le référentiel d'étude galiléen. La pesanteur étant négligée, le bilan des forces extérieures se résume aux forces de tension exercées par les parties adjacentes :

   \mathrm{d}m\,\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\,\widehat{e}_z = \vec{T}(x+\mathrm{d}x, t) - \vec{T}(x,t)

   En projetant sur l'axe (\mathrm{O}z), on obtient :

   \mu\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = T_z(x+\mathrm{d}x, t) - T_z(x,t) = \frac{\partial T_z}{\partial x}\,\mathrm{d}x

   D'après la question Q15, la composante transverse de la tension s'écrit au premier ordre :

   T_z(x,t) = T \sin[\alpha(x,t)] \simeq T\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,t)

   où T est la norme constante de la tension au repos. En dérivant par rapport à x :

   \frac{\partial T_z}{\partial x} = T\,\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}

   En reportant cette relation dans la projection du principe fondamental de la dynamique et en simplifiant par \mathrm{d}x, il vient :

   \begin{aligned} \mu\,\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} &= T\,\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} - \frac{T}{\mu}\,\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= 0 \end{aligned}

   Cette équation est l'équation de d'Alembert unidimensionnelle (1) de l'énoncé, sous réserve d'identifier :

   \boxed{c = \sqrt{\frac{T}{\mu}}}

   La grandeur c est la célérité (ou vitesse de propagation) des ondes mécaniques transverses le long de la corde.

   Résultat

   $$c=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 MP 2022, Q18

   Le fil étant fixé en ses deux extrémités x = 0 et x = \ell, les déplacements transverses y sont nuls à tout instant :

   \underline{z}(0,t) = 0 \quad \text{et} \quad \underline{z}(\ell,t) = 0 \quad \forall t.

   En évaluant \underline{z}(x,t) en x = 0, on obtient :

   \underline{z}(0,t) = (\underline{A} + \underline{B})\,\mathrm{e}^{j\omega t} = 0 \quad \forall t,

   ce qui impose immédiatement :

   \boxed{\underline{B} = -\underline{A}}

   L'expression du déplacement complexe s'écrit alors :

   \underline{z}(x,t) = \underline{A}\,\mathrm{e}^{j\omega t} \left( \mathrm{e}^{-jkx} - \mathrm{e}^{jkx} \right) = -2j\underline{A}\,\sin(kx)\,\mathrm{e}^{j\omega t}.

   La seconde condition aux limites en x = \ell impose :

   \underline{z}(\ell,t) = -2j\underline{A}\,\sin(k\ell)\,\mathrm{e}^{j\omega t} = 0 \quad \forall t.

   Pour une solution non triviale (\underline{A} \neq 0), cette condition équivaut à :

   \sin(k\ell) = 0 \iff k\ell = n\pi \quad \text{avec} \quad n \in \mathbb{N}^*.

   La relation de dispersion de l'équation de d'Alembert (Q16) étant \omega = k c, les pulsations permises sont quantifiées :

   \boxed{\omega_n = \frac{n\pi c}{\ell} = n\frac{\pi}{\ell}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \quad (n \in \mathbb{N}^*)}

   En revenant à la grandeur réelle z(x,t), le déplacement s'écrit sous la forme d'un produit d'une fonction d'espace et d'une fonction de temps :

   z_n(x,t) = Z_n \sin\left(\frac{n\pi x}{\ell}\right) \cos(\omega_n t + \phi_n).

   On appelle ce type d'onde une onde stationnaire.

   Ce terme s'explique par le fait que le profil spatial de la déformation ne se propage pas le long de la corde : les zéros de vibration (nœuds) et les extrema d'amplitude (ventres) restent fixes dans l'espace au cours du temps. Tous les points du fil vibrent en phase (ou en opposition de phase) à la même pulsation \omega_n.

   Résultat

   $$\underline{B}=-\underline{A}$$

   $${\omega }_n=\frac{n\pi c}{\ell }=n\frac{\pi }{\ell }\sqrt{\frac{T}{\mu }}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique-SI MP 2021, Q12

   Considérons, dans le référentiel d'étude supposé galiléen, le système fermé constitué par la tranche de matériau comprise entre les plans d'abscisses au repos x et x + \mathrm{d}x, de section droite S.

   La masse de cette tranche élémentaire s'écrit :

   \mathrm{d}m = \rho S \, \mathrm{d}x

   Son accélération selon l'axe (Ox) est donnée au premier ordre par :

   \vec{a} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) \, \vec{e}_x

   D'après l'énoncé, la pesanteur est négligée. Les seules forces appliquées à la tranche selon (Ox) sont les forces de contact surfaciques exercées par les parties adjacentes du milieu :

   • en x + \mathrm{d}x, la partie droite (abscisses > x + \mathrm{d}x) exerce sur la tranche (située à gauche de cette interface) la force :

     \vec{F}_{\text{droite} \to \text{tranche}} = \sigma(x + \mathrm{d}x, t) \, S \, \vec{e}_x

   • en x, d'après le principe des actions réciproques, la force exercée par la partie gauche (abscisses \le x) sur la tranche (située à droite de x) est l'opposée de celle exercée par la tranche sur la partie gauche :

     \vec{F}_{\text{gauche} \to \text{tranche}} = - \sigma(x, t) \, S \, \vec{e}_x

   La résultante des forces s'exerçant sur la tranche est donc :

   \mathrm{d}\vec{F} = \left[ \sigma(x + \mathrm{d}x, t) - \sigma(x, t) \right] S \, \vec{e}_x = \frac{\partial \sigma}{\partial x}(x, t) \, S \, \mathrm{d}x \, \vec{e}_x

   D'après le résultat de la question Q11, la contrainte s'écrit :

   \sigma(x, t) = A' \frac{\partial u}{\partial x}(x, t) + \frac{B'}{S} Q(t)

   La charge Q(t) ne dépendant pas de l'abscisse x, la dérivée spatiale de la contrainte vaut simplement :

   \frac{\partial \sigma}{\partial x}(x, t) = A' \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t)

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche élémentaire projeté sur \vec{e}_x s'écrit :

   \mathrm{d}m \, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = \mathrm{d}F

   soit :

   \rho S \, \mathrm{d}x \, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = A' \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) \, S \, \mathrm{d}x

   En simplifiant par S \, \mathrm{d}x, on obtient l'équation d'onde de d'Alembert :

   \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

   avec pour coefficient c positif :

   \boxed{c = \sqrt{\frac{A'}{\rho}}}

   Résultat

   $$c=\sqrt{\frac{A^{\prime }}{\rho }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique-SI MP 2021, Q13

   Considérons la solution d'onde harmonique sous forme complexe donnée par l'équation (6) :

   \underline{u}(x, t) = \underline{\tilde{u}} \exp (j\omega t - jkx)

   En dérivant deux fois successivement par rapport au temps et par rapport à l'espace, il vient :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial t^2}(x, t) &= (j\omega)^2 \, \underline{u}(x, t) = -\omega^2 \underline{u}(x, t) \\ \frac{\partial^2 \underline{u}}{\partial x^2}(x, t) &= (-jk)^2 \, \underline{u}(x, t) = -k^2 \underline{u}(x, t) \end{aligned}

   En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde de d'Alembert (5), \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, on obtient :

   -\omega^2 \underline{u}(x, t) = -c^2 k^2 \underline{u}(x, t)

   Pour une solution non triviale (\underline{\tilde{u}} \neq 0), on en déduit la relation de dispersion :

   k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}

   Structurellement, la présence d'une dérivée seconde en espace dans l'équation de d'Alembert conduit à une relation algébrique du second degré en k. À toute pulsation \omega sont donc associées deux racines opposées :

   \boxed{k_+ = \frac{\omega}{c} \quad \text{et} \quad k_- = -\frac{\omega}{c}}

   Résultat

   $$k_{+}=\frac{\omega }{c}\text{et}{k}_{-}=-\frac{\omega }{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique-SI MP 2021, Q16

   D'après l'expression de la contrainte établie à la question Q11 :

   \sigma(x, t) = A' \frac{\partial u}{\partial x}(x, t) + \frac{B'}{S} Q(t)

   Dans le cadre de cette étude, Q(t) = 0 et l'extrémité droite en x = L est libre de toute contrainte mécanique extérieure, ce qui impose :

   \sigma(L, t) = 0 \iff A' \frac{\partial u}{\partial x}(L, t) = 0 \iff \frac{\partial u}{\partial x}(L, t) = 0

   D'après la question Q14, le déplacement s'écrit en représentation complexe sous la forme :

   \underline{u}(x, t) = \underline{\tilde{u}} \exp(j\omega t) \sin(kx) \quad \text{avec } k = \frac{\omega}{c} > 0

   La dérivée spatiale en x = L vaut :

   \frac{\partial \underline{u}}{\partial x}(L, t) = k \, \underline{\tilde{u}} \exp(j\omega t) \cos(kL)

   Pour avoir une solution non triviale (\underline{\tilde{u}} \neq 0), la condition aux limites impose :

   \cos(kL) = 0 \iff kL = \frac{\pi}{2} + (q - 1)\pi = (2q - 1)\frac{\pi}{2} \quad (q \in \mathbb{N}^\star)

   On en déduit la quantification du nombre d'onde k_q :

   \boxed{k_q = \frac{(2q - 1)\pi}{2L} \quad (q \in \mathbb{N}^\star)}

   La pulsation propre associée \omega_q = c k_q s'écrit alors :

   \boxed{\omega_q = \frac{(2q - 1)\pi c}{2L} = \frac{(2q - 1)\pi}{2L}\sqrt{\frac{A'}{\rho}} \quad (q \in \mathbb{N}^\star)}

   Le choix q = 1 donne la pulsation la plus basse \omega_1 = \frac{\pi c}{2L}, correspondant bien au mode fondamental.

   En choisissant l'amplitude complexe réelle (\underline{\tilde{u}} = A_q \in \mathbb{R}), ce qui revient à fixer l'origine des dates telle que la vitesse en t = 0 soit nulle, la partie réelle de \underline{u}(x, t) donne directement la forme demandée :

   \boxed{u_q(x, t) = A_q \cos(\omega_q t) f_q(x) \quad \text{avec} \quad f_q(x) = \sin(k_q x)}

   Résultat

   $$k_q=\frac{(2q-1)\pi }{2L}(q\in {\mathbb{N}}^{\star })$$

   $${\omega }_q=\frac{(2q-1)\pi c}{2L}=\frac{(2q-1)\pi }{2L}\sqrt{\frac{A^{\prime }}{\rho }}(q\in {\mathbb{N}}^{\star })$$

   $$u_q(x,t)=A_q\cos ({\omega }_{q}t)f_q(x)\text{avec}{f}_q(x)=\sin (k_{q}x)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique-SI MP 2025, Q17

   Les conditions aux limites sur le champ de déplacement s'écrivent :

   • En z = 0, la plaque inférieure est fixe et le film reste en contact avec elle, d'où pour tout y :

     u(y, 0) = 0

   • En z = d_0, la plaque supérieure subit une translation verticale d'amplitude \delta = \alpha d_0, d'où pour tout y :

     u(y, d_0) = \delta = \alpha d_0

   En injectant la forme proposée u(y, z) = \alpha z + A_n \sin(k_n z + \phi_n) \cos(q y) dans la condition en z = 0 :

   u(y, 0) = A_n \sin(\phi_n) \cos(q y) = 0 \quad \forall y

   Comme A_n \neq 0, cela impose \sin(\phi_n) = 0. En choisissant l'origine de phase usuelle (avec A_n > 0 et k_n > 0), on retient :

   \boxed{\phi_n = 0}

   En appliquant ensuite la condition en z = d_0 :

   u(y, d_0) = \alpha d_0 + A_n \sin(k_n d_0) \cos(q y) = \alpha d_0 \quad \forall y

   ce qui conduit à :

   A_n \sin(k_n d_0) \cos(q y) = 0 \quad \forall y \implies \sin(k_n d_0) = 0

   Puisque k_n \in \mathbb{R}_+^*, les nombres d'onde k_n sont quantifiés selon :

   k_n d_0 = n \pi \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   soit :

   \boxed{k_n = \frac{n \pi}{d_0} \quad \text{avec } n \in \mathbb{N}^*}

   Pour le mode fondamental n = 1, le nombre d'onde vertical s'écrit k = \pi / d_0. La coordonnée verticale d'une couche initialement située à la cote z \in [0, d_0] devient :

   z'(y, z) = z + u(y, z) = (1 + \alpha) z + A \sin\left(\frac{\pi z}{d_0}\right) \cos(q y)

   L'amplitude de l'ondulation varie en \sin(\pi z / d_0) : elle s'annule sur les plaques rigides en z = 0 et z = d, et atteint sa valeur maximale au milieu de l'échantillon pour z \approx d_0 / 2.

   Résultat

   $${\varphi }_n=0$$

   $$k_n=\frac{n\pi }{d_0}\text{avec }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique MP 2023, Q23

   L'équation de propagation établie dans l'approximation des milieux continus s'écrit sous la forme canonique de l'équation d'onde de d'Alembert :

   \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0

   Par identification directe avec l'équation fournie par l'énoncé :

   \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{k}{m} a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

   on en déduit l'expression de la célérité c de l'onde dans le cristal :

   c = a\sqrt{\frac{k}{m}} = \omega_o a

   Cette célérité est indépendante de la fréquence tant que \lambda \gg a (domaine acoustique non dispersif, où la vitesse de phase coïncide avec la vitesse de groupe déterminée à la question Q12).

   Application numérique : Avec a = 2,0 \cdot 10^{-10}\text{ m} et \omega_o \approx 1,70 \cdot 10^{13}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} (calculé à la question Q17) :

   c = 1,70 \cdot 10^{13} \times 2,0 \cdot 10^{-10} \approx 3,4 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   \boxed{c = 3,4 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$c=3,4\cdot 10^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 2 MP 2022, Q15

    Un déplacement élémentaire le long du fil à un instant t fixé s'écrit \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}x\,\widehat{e}_x + \mathrm{d}z\,\widehat{e}_z. L'élément de longueur \mathrm{d}s de la portion de fil vaut donc :

    \mathrm{d}s = \sqrt{\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}z^2} = \mathrm{d}x \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}

    Au premier ordre par rapport à la petite quantité \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right| \ll 1, on a :

    \boxed{\mathrm{d}s \simeq \mathrm{d}x}

    Par définition de l'angle \alpha(x,t) formé par la tangente au fil avec l'horizontale (figure 8 de l'énoncé) :

    \begin{aligned} \cos[\alpha(x,t)] &= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}} \simeq 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 \simeq \boxed{1} \\ \sin[\alpha(x,t)] &= \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} = \frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2}} \simeq \boxed{\frac{\partial z}{\partial x}} \end{aligned}

    Appliquons le théorème de la résultante cinétique au système constitué de la portion de fil comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}s \simeq \mu\,\mathrm{d}x, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. En négligeant la pesanteur, les seules forces extérieures appliquées sont les forces de tension exercées par le reste du fil aux deux extrémités :

    \mathrm{d}m\,\vec{a} = \vec{T}(x+\mathrm{d}x,t) - \vec{T}(x,t)

    L'énoncé précise que l'on ne s'intéresse qu'aux mouvements latéraux selon l'axe transversal (Oz) : le déplacement longitudinal selon (Ox) est nul (ou d'ordre supérieur en \alpha). L'accélération selon \widehat{e}_x est donc nulle. En projetant la relation fondamentale sur l'axe (Ox) :

    0 = T_x(x+\mathrm{d}x,t) - T_x(x,t) = \frac{\partial T_x}{\partial x}\mathrm{d}x

    On en déduit :

    \boxed{\frac{\partial T_x}{\partial x} = 0}

    Ainsi, T_x(x,t) est uniforme le long du fil : elle ne dépend pas de x.

    Par ailleurs, la tension est tangente au fil :

    \vec{T}(x,t) = T(x,t)\cos[\alpha(x,t)]\,\widehat{e}_x + T(x,t)\sin[\alpha(x,t)]\,\widehat{e}_z

    D'où T_x(x,t) = T(x,t)\cos[\alpha(x,t)]. Comme \cos\alpha \simeq 1 au premier ordre, il vient :

    T(x,t) \simeq T_x(t)

    Au premier ordre des faibles perturbations transversales, la norme de la tension T est donc uniforme le long du fil : elle ne dépend pas de x. De plus, la corde étant tendue à une tension imposée par ses extrémités fixes, T est constante, indépendante de x et du temps t :

    \boxed{T(x,t) = T = \text{cte}}

    Résultat

    $$\mathrm{d}s\simeq \mathrm{d}x$$

    $$1$$

    $$\frac{\partial z}{\partial x}$$

    $$\frac{\partial T_x}{\partial x}=0$$

    $$T(x,t)=T=\text{cte}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question