Corrigé détaillé Mines Physique 2 MP 2022

On modélise l'araignée par une boule de diamètre d et de rayon R = d/2. D'après l'énoncé, la taille des araignées volantes est comprise entre 2\text{ mm} et 7\text{ mm}. Choisissons une valeur médiane typique pour le diamètre :

Le volume d'une telle sphère s'écrit :

En assimilant la masse volumique de l'araignée à celle de l'eau, \rho_{\mathrm{e}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, la masse estimée vaut :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif comme demandé :

Pour les plus petits spécimens (d \approx 2\text{ mm}), on trouverait m_{\mathrm{g}} \approx 4\text{ mg}, et pour les plus grands (d \approx 7\text{ mm}), m_{\mathrm{g}} \approx 180\text{ mg}. L'ordre de grandeur de la masse est donc de quelques milligrammes à quelques dizaines de milligrammes.

Le champ électrique au niveau du sol est radial et orienté vers le centre de la Terre, c'est-à-dire dirigé vers l'intérieur du sol :

où \vec{u}_z est le vecteur unitaire vertical ascendant normal à la surface terrestre.

En assimilant la Terre à un conducteur en équilibre électrostatique (\vec{E}_{\text{int}} = \vec{0}), la relation de passage du champ électrique à la traversée de la surface s'écrit :

On en déduit l'expression de la densité surfacique de charge au sol :

En valeur absolue :

Application numérique avec les données de l'énoncé (E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} et \epsilon_0 = 8{,}9 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}) :

Avec un seul chiffre significatif :

Dans l'approximation du condensateur plan, le champ électrique \vec{E} = - E_0 \vec{u}_z est uniforme dans toute l'épaisseur de l'atmosphère entre le sol (z = 0) et l'ionosphère (z = z_0). La différence de potentiel s'écrirait alors :

Application numérique avec E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} et z_0 = 60\text{ km} = 60 \times 10^3\text{ m} :

Cette valeur théorique est très supérieure à la différence de potentiel mesurée :

1. Expression du potentiel électrique V

Les charges ponctuelles identiques de valeur q sont réparties régulièrement aux sommets A_i (i \in \{1, \dots, 2n\}) d'un polygone régulier à 2n côtés inscrit sur un cercle de rayon :

L'angle polaire repérant le sommet A_k depuis le centre O du cercle est \theta_k = \frac{2\pi (k-1)}{2n} = \frac{\pi (k-1)}{n}.

Par symétrie, le potentiel créé par les autres charges est identique en chaque sommet. Considérons le potentiel créé en A_{2n} (ou en A_1, l'origine des angles étant arbitraire). La distance entre le point A_{2n} et le point A_k (pour k \in \{1, \dots, 2n-1\}) vaut, avec \Delta\theta_k = \frac{k\pi}{n} :

Le potentiel créé en cette charge par les 2n-1 autres charges est donc :

Dans cette somme, le terme pour k=n correspond à la charge diamétralement opposée : \sin\left(\frac{n\pi}{2n}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.

En séparant ce terme central (k=n) et en regroupant les termes symétriques k et 2n-k (qui ont le même sinus puisque \sin\left(\frac{(2n-k)\pi}{2n}\right) = \sin\left(\pi - \frac{k\pi}{2n}\right) = \sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right)), on obtient :

En identifiant à l'expression proposée, on pose :

Le potentiel s'écrit alors sous la forme :

Par identification directe avec V = \frac{q}{p\pi\varepsilon_0 L\sin\alpha} G(n), il vient :

2. Énergie d'interaction électrostatique du système

L'énergie électrostatique propre du système de 2n charges identiques créant chacune le potentiel V en leur position s'écrit :

D'où l'expression de l'énergie d'interaction :

3. Forme de l'éventail à l'équilibre

En l'absence de toute autre force ou énergie potentielle, l'équilibre mécanique correspond à un minimum de l'énergie potentielle électrostatique E_{\mathrm{p},\text{élec}}(\alpha). Comme q^2 > 0 et G(n) > 0, l'énergie est strictement décroissante avec \sin\alpha sur l'intervalle \alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right] :

L'énergie est minimale pour \sin\alpha = 1, soit :

À l'équilibre, l'éventail est donc totalement déployé dans un plan horizontal perpendiculaire à la verticale : l'éventail prend une forme d'ombrelle plane (ou de disque horizontal).

Le système est constitué des 2n fils, chacun modélisé par une masse ponctuelle m située en son milieu, c'est-à-dire à la distance constante r = L/2 du sommet fixe S. Le repère lié à S est supposé galiléen.

Dans un système de coordonnées sphériques de pôle S et d'axe polaire vertical, les positions angulaires des masses sont repérées par l'angle polaire commun \alpha(t) et des angles azimutaux \varphi_k constants. La vitesse de chaque masse ponctuelle s'écrit donc :

L'énergie cinétique totale du système des 2n fils est :

En négligeant la pesanteur et l'élasticité devant l'électrostatique, l'énergie potentielle du système se réduit à son énergie d'interaction électrostatique obtenue à la question Q3 :

En l'absence de forces dissipatives, l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c}} + E_{\mathrm{p}} se conserve au cours du mouvement :

En dérivant par rapport au temps :

En simplifiant par n \dot{\alpha} (pour un mouvement non trivial \dot{\alpha} \neq 0), on obtient l'équation différentielle régissant le mouvement :

Stabilité de l'équilibre et période des petites oscillations :

La position d'équilibre correspond à \cos\alpha_{\text{éq}} = 0, soit \alpha_{\text{éq}} = \frac{\pi}{2} pour \alpha \in \,]0, \pi[.

Posons \theta(t) = \alpha(t) - \frac{\pi}{2}, avec |\theta| \ll 1. Au premier ordre en \theta :

L'équation différentielle linéarisée s'écrit alors :

Comme \omega_0^2 > 0, la force de rappel électrostatique ramène le système vers \alpha_{\text{éq}} = \pi/2 : la position d'équilibre est stable.

Le mouvement au voisinage de cette position est harmonique de pulsation \omega_0. La période T s'en déduit :

soit finalement :

Le champ électrique terrestre au sol est vertical descendant : \vec{E}_0 = -E_0\,\widehat{e}_z. Le potentiel électrostatique associé s'écrit, en choisissant l'origine des potentiels au sommet S (z = 0) :

Chaque charge q est située à l'altitude z = L\cos\alpha. L'énergie potentielle du système des 2n charges dans le champ extérieur s'exprime donc par :

Pour que la force électrique permette à l'araignée de décoller (force dirigée vers le haut), la charge portée par les fils doit être négative : q < 0, soit q = -|q|. Ainsi :

L'énergie potentielle totale du système s'écrit, en reprenant l'énergie d'interaction établie à la question Q3 :

La position d'équilibre de l'éventail est obtenue en annulant la dérivée de E_{\mathrm{p}} par rapport à \alpha :

Ce qui conduit à l'équation déterminant l'angle d'équilibre \alpha :

La fonction f(\alpha) = \dfrac{\sin^3\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha \sin^2\alpha est strictement croissante sur l'intervalle \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, s'annulant en 0 et divergeant en \frac{\pi}{2}. L'angle \alpha varie donc dans le même sens que le membre de droite :

• Lorsque |q| augmente, la répulsion mutuelle domine davantage le redressement dû au champ extérieur, donc \alpha augmente ;
• Lorsque le nombre de fils 2n augmente, la fonction G(n) augmente, ce qui accroît la répulsion globale et fait augmenter \alpha ;
• Lorsque la longueur L augmente, la distance entre les charges augmente, ce qui réduit leur répulsion : \alpha diminue ;
• Lorsque E_0 augmente, la force ascensionnelle tendant à aligner les fils verticalement est plus intense : \alpha diminue.

On cherche la valeur de |q| pour \alpha = 30^\circ, 2n = 6 (n = 3), L = 1\text{ m} et E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} :

Avec \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, d'où \dfrac{\sin^3(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \dfrac{1/8}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{4\sqrt{3}}.
En utilisant G(3) \simeq \dfrac{38}{3\sqrt{3}} et \varepsilon_0 \simeq \dfrac{10^{-9}}{36\pi}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} :

Avec un seul chiffre significatif comme demandé par l'énoncé :

Le module de la force électrostatique subie par une charge q dans le champ électrique terrestre E_0 au niveau du sol s'écrit :

Avec |q| \sim 1\text{ nC} = 10^{-9}\text{ C} et E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}, on obtient avec un chiffre significatif :

Pour les plus petites araignées, la taille caractéristique (diamètre) vaut d_{\min} \simeq 2\text{ mm}, soit un rayon R_{\min} \simeq 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m}. En reprenant la modélisation sphérique de la question Q1 avec \rho \simeq \rho_e = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} :

Le poids correspondant est :

Pour que la force électrique totale exercée sur les N_f fils puisse soulever l'araignée, il faut :

L'application numérique donne :

Commentaire : L'énoncé indique que les araignées ne déploient qu'au maximum « quelques dizaines » de fils. La force électrique seule, dans le champ atmosphérique moyen par temps clair au sol (E_0 = 120\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}), est donc très insuffisante (d'un facteur d'au moins 10) pour assurer le décollage. Ce constat justifie la suite du sujet : le décollage requiert une exaltation locale du champ électrique par effet de pointe (au sommet d'un brin d'herbe, d'un mât ou d'une branche) combinée aux courants d'air ascendants.

Dans la région 0 < \theta < \varphi, l'air est assimilé au vide et ne contient aucune charge libre (\rho = 0). L'équation de Poisson s'y réduit à l'équation de Laplace :

Par invariance par translation le long de la direction de l'arête (axe orthogonal au plan (r, \theta)), le potentiel ne dépend pas de z. En coordonnées polaires, le laplacien scalaire conduit à l'équation différentielle :

Les parois conductrices imposent les conditions aux limites V(r,0) = V(r,\varphi) = V_0. Introduisons la variable u(r,\theta) = V(r,\theta) - V_0, qui vérifie également l'équation de Laplace ainsi que les conditions aux limites homogènes :

On cherche des solutions particulières non nulles sous la forme à variables séparées u(r,\theta) = f(r)g(\theta). L'équation de Laplace s'écrit alors :

En multipliant par \frac{r^2}{f(r)g(\theta)}, on sépare les dépendances radiale et angulaire :

Le membre de gauche ne dépendant que de r et celui du milieu que de \theta, cette quantité est égale à une constante de séparation \lambda. On obtient ainsi le système d'équations :

Les conditions aux limites homogènes imposent g(0) = g(\varphi) = 0. Pour obtenir une solution non identiquement nulle, il est nécessaire que \lambda > 0. On pose \lambda = \omega^2 avec \omega > 0. L'équation différentielle en g devient :

La condition g(0) = 0 donne C_1 = 0, et g(\varphi) = 0 impose C_2 \sin(\omega\varphi) = 0. Comme C_2 \neq 0, on obtient \omega\varphi = n\pi avec n \in \mathbb{N}^*, soit :

L'équation radiale est une équation d'Euler :

En cherchant des solutions sous la forme f(r) = r^\alpha, on obtient \alpha^2 - \omega_n^2 = 0, d'où les solutions de la forme :

Le potentiel physique devant rester borné en r = 0 (sur la surface conductrice au sommet O, V(0) = V_0, donc u(0) = 0), et comme \omega_n > 0, la divergence de r^{-\omega_n} en r \to 0 impose B_n = 0.

Par linéarité de l'équation de Laplace, la solution générale s'exprime comme une superposition de ces modes, en réintroduisant la constante \tilde{V} = V_0 :

D'après la question Q7, en ne conservant que le terme n = 1, le potentiel électrostatique dans l'air s'écrit :

Le champ électrique dérive du potentiel selon la relation \vec{E} = -\vec{\mathrm{grad}} \, V. En utilisant l'expression du gradient en coordonnées cylindriques fournie dans le formulaire, il vient :

En remplaçant \omega_1 par \pi/\varphi :

La norme du champ électrique s'écrit :

Lorsque M \to O, c'est-à-dire r \to 0, le champ électrique diverge si la puissance de r est strictement négative :

Le champ \vec{E}(M) peut donc devenir très important au voisinage immédiat du sommet O sous la condition :

L'élongation relative d'un fil de longueur initiale \ell_0 et de section S_0 soumis à une force de traction F est donnée par la loi de Hooke :

1. Dimension du module de Young E :

Le terme \frac{\delta\ell}{\ell_0} représente le rapport de deux longueurs, il est donc sans dimension ([\delta\ell/\ell_0] = 1). Par conséquent :

Une force a pour dimension [F] = \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}} (d'après le principe fondamental de la dynamique F=ma) et une section a pour dimension [S_0] = \mathrm{L^2}. On en déduit :

Le module de Young a la dimension d'une pression ou d'une contrainte mécanique, et s'exprime dans le Système international en pascals (\mathrm{Pa}, ou \mathrm{N\cdot m^{-2}}).

2. Raideur équivalente du fil :

En réarrangeant la relation de Hooke pour exprimer la force de traction F en fonction de l'allongement \delta\ell, on obtient :

Cette relation présente la forme caractéristique de la force de rappel élastique d'un ressort idéal de raideur k, F = k\,\delta\ell. Le fil est donc équivalent à un ressort linéaire de raideur :

Considérons le demi-fil AC à l'équilibre. Les points d'attache A et B sont fixes et distants de \ell_0. Par symétrie, la projection horizontale de AC a pour longueur \ell_0/2 et son extrémité C s'est déplacée d'une hauteur h vers le bas.

La longueur \ell du demi-fil sous tension vaut, d'après le théorème de Pythagore :

La masse m étant suffisamment faible, on se place dans l'approximation des petits déplacements h \ll \ell_0. Un développement limité à l'ordre 2 en h/\ell_0 donne :

L'allongement du demi-fil (dont la longueur initiale à vide est \ell_0/2) s'écrit donc :

L'élongation relative de chaque demi-segment est :

D'après la loi de Hooke, la tension T qui s'exerce le long de chaque demi-fil vaut :

où k = \dfrac{E S_0}{\ell_0} est la raideur du fil entier établie à la question 9.

Étudions l'équilibre de la masse m au point C dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

En projetant sur l'axe vertical descendant :

où \alpha est l'angle que fait chaque segment avec l'horizontale. Au premier ordre en h/\ell_0 :

En substituant T et \sin\alpha dans l'équation d'équilibre :

On en déduit la loi de puissance reliant h à la masse m :

D'après la question Q10, l'affaissement h du milieu du fil vérifie :

En introduisant les grandeurs de référence de la figure 5, h_1 = 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m} et m_1 = 1\text{ mg} = 10^{-6}\text{ kg}, cette relation se réécrit :

En prenant le logarithme népérien, on obtient une équation affine de la forme Y = p X + Y_0 :

avec X = \ln(m/m_1) et Y = \ln(h/h_1).

1. Compatibilité avec l'expérience
Sur la figure 5, les points expérimentaux sont bien alignés selon une droite de régression linéaire. En relevant deux points sur cette droite :

• pour X_1 = 0, Y_1 \simeq -0{,}32 ;
• pour X_2 = 3, Y_2 \simeq 0{,}68.

La pente expérimentale vaut :

Elle est en parfait accord avec l'exposant théorique 1/3, ce qui confirme la validité de la loi de puissance.

2. Détermination de la raideur k
L'ordonnée à l'origine Y_0 s'identifie à :

Avec Y_0 \simeq -0{,}32, on a 3 Y_0 \simeq -0{,}96. D'après la figure 9 du formulaire, la valeur \ln(x) \simeq -0{,}96 correspond à :

On en déduit l'expression de la raideur k :

Application numérique avec un chiffre significatif :

3. Estimation du module de Young E
D'après la question Q9, la raideur d'un fil de section S_0 = \pi a^2 et de longueur \ell_0 vaut k = \frac{E S_0}{\ell_0}, d'où :

Application numérique avec \ell_0 = 5\cdot 10^{-2}\text{ m}, a = 5\cdot 10^{-6}\text{ m} et \pi \simeq 3 :

Le fil élastique est assimilé à un ressort de raideur k et de longueur à vide nulle en déplacement relatif, attaché à l'araignée de masse m. À l'instant t = 0, la tension est relâchée : l'araignée part sans vitesse initiale avec une élongation initiale x(0) = \Delta \ell.

En l'absence de dissipation, l'équation du mouvement selon l'axe de traction s'écrit :

La pulsation propre du système est \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, de sorte que :

Les amplitudes maximales de la vitesse et de l'accélération s'identifient à :

On en déduit immédiatement :

ce qui conduit aux expressions de l'allongement initial maximal et de la raideur :

La puissance mécanique instantanée fournie par le fil élastique à l'araignée s'écrit :

La puissance maximale atteinte au cours du mouvement vaut donc :

Effectuons les applications numériques avec m = 7\text{ mg} = 7 \times 10^{-6}\text{ kg}, v_{\max} = 3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et a_{\max} = 800\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Si l'araignée devait fournir cette puissance instantanée directement avec ses muscles, la masse musculaire minimale requise serait :

Cette masse musculaire de 30\text{ mg} est très supérieure à la masse totale de l'araignée (m \simeq 7\text{ mg}), ce qui est physiologiquement impossible. L'araignée ne peut donc pas propulser la toile par action musculaire directe lors de la capture : elle tend lentement la toile au préalable en y accumulant de l'énergie potentielle élastique à faible puissance, puis libère brusquement cette énergie emmagasinée, fonctionnant ainsi comme une catapulte.

On étudie le mouvement de Spiderman, assimilé à un point matériel M de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen muni du repère (O, \vec{e}_y, \vec{e}_z) représenté sur la figure 7, où l'axe vertical (Oz) est orienté vers le bas et (Oy) est horizontal.

On repère la position de Spiderman par les coordonnées polaires (\ell, \theta) avec :

La base polaire locale associée est :

Le fil étant supposé inextensible de longueur constante \ell, la vitesse et l'accélération s'écrivent :

Le système est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg \, \vec{e}_z = mg\cos\theta \, \vec{u}_r - mg\sin\theta \, \vec{u}_\theta ;
• la tension du fil : \vec{T} = -T \, \vec{u}_r avec T \ge 0.

Le principe fondamental de la dynamique m\vec{a} = \vec{P} + \vec{T} projeté sur les axes polaires fournit les deux équations du mouvement :

La tension \vec{T} ne travaillant pas car orthogonale à la vitesse (\vec{T}\cdot\vec{v} = 0), l'énergie mécanique de Spiderman se conserve. En prenant l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur à l'altitude de l'accroche (z = 0, où \theta = \pi/2) :

Spiderman étant lâché sans vitesse initiale depuis la position horizontale \theta(0) = \pi/2 :

En injectant cette relation dans l'expression de la tension radiale :

Cette tension est maximale lorsque Spiderman passe par la position la plus basse, c'est-à-dire à la verticale (\theta = 0) où \cos\theta = 1 :

1. Association en parallèle de N ressorts identiques

Considérons N ressorts identiques de même raideur k et de même longueur à vide, fixés en parallèle entre deux barres rigides. Lorsqu'on leur impose un même allongement \delta \ell, chaque ressort exerce une force de rappel F_i = k\,\delta \ell. La force de rappel totale exercée par l'ensemble est :

Par identification avec la relation constitutive d'un ressort équivalent F_{\text{tot}} = k_{\text{eq}}\,\delta \ell, on en déduit :

2. Nombre minimal de filaments pour supporter Spiderman

D'après la question Q13, la tension maximale que doit supporter le fil au point le plus bas de la trajectoire est :

Les N filaments étant disposés en parallèle et identiques, ils subissent le même allongement relatif \varepsilon = \frac{\delta \ell}{\ell} et se partagent équitablement la tension totale. Chaque filament supporte ainsi une force maximale :

D'après la loi de Hooke établie à la question Q9, la déformation relative subie par un filament de section S_0 = \pi a^2 vaut :

La condition \varepsilon \le \varepsilon_{\max} = 1\,\% = 10^{-2} impose donc :

Soit un nombre minimal de filaments :

Effectuons l'application numérique avec m = 75\text{ kg}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, E = 10\text{ MPa} = 1{,}0 \cdot 10^7\text{ Pa}, a = 5\;\mu\text{m} = 5 \cdot 10^{-6}\text{ m} (soit a^2 = 25 \cdot 10^{-12}\text{ m}^2), et \pi \simeq 3 :

Il faut donc au minimum :

3. Cohérence avec le diamètre des fils dans les films

La section totale occupée par la matière des N_{\min} filaments cylindriques vaut :

En modélisant le câble par un cylindre de diamètre effectif D, on a au minimum (sans même compter les interstices de compacité) :

Avec \sqrt{N_{\min}} \simeq \sqrt{3 \cdot 10^8} \simeq 1{,}7 \cdot 10^4 et un diamètre de filament d = 2a = 10\;\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m} :

Un tel câble aurait un diamètre d'environ une vingtaine de centimètres, ce qui est supérieur d'un ordre de grandeur au diamètre centimétrique montré dans les films :

Un déplacement élémentaire le long du fil à un instant t fixé s'écrit \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}x\,\widehat{e}_x + \mathrm{d}z\,\widehat{e}_z. L'élément de longueur \mathrm{d}s de la portion de fil vaut donc :

Au premier ordre par rapport à la petite quantité \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right| \ll 1, on a :

Par définition de l'angle \alpha(x,t) formé par la tangente au fil avec l'horizontale (figure 8 de l'énoncé) :

Appliquons le théorème de la résultante cinétique au système constitué de la portion de fil comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}s \simeq \mu\,\mathrm{d}x, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. En négligeant la pesanteur, les seules forces extérieures appliquées sont les forces de tension exercées par le reste du fil aux deux extrémités :

L'énoncé précise que l'on ne s'intéresse qu'aux mouvements latéraux selon l'axe transversal (Oz) : le déplacement longitudinal selon (Ox) est nul (ou d'ordre supérieur en \alpha). L'accélération selon \widehat{e}_x est donc nulle. En projetant la relation fondamentale sur l'axe (Ox) :

On en déduit :

Ainsi, T_x(x,t) est uniforme le long du fil : elle ne dépend pas de x.

Par ailleurs, la tension est tangente au fil :

D'où T_x(x,t) = T(x,t)\cos[\alpha(x,t)]. Comme \cos\alpha \simeq 1 au premier ordre, il vient :

Au premier ordre des faibles perturbations transversales, la norme de la tension T est donc uniforme le long du fil : elle ne dépend pas de x. De plus, la corde étant tendue à une tension imposée par ses extrémités fixes, T est constante, indépendante de x et du temps t :

On applique le théorème de la résultante cinétique au tronçon de fil compris entre x et x+\mathrm{d}x, de masse \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}x, dans le référentiel d'étude galiléen. La pesanteur étant négligée, le bilan des forces extérieures se résume aux forces de tension exercées par les parties adjacentes :

En projetant sur l'axe (\mathrm{O}z), on obtient :

D'après la question Q15, la composante transverse de la tension s'écrit au premier ordre :

où T est la norme constante de la tension au repos. En dérivant par rapport à x :

En reportant cette relation dans la projection du principe fondamental de la dynamique et en simplifiant par \mathrm{d}x, il vient :

Cette équation est l'équation de d'Alembert unidimensionnelle (1) de l'énoncé, sous réserve d'identifier :

La grandeur c est la célérité (ou vitesse de propagation) des ondes mécaniques transverses le long de la corde.

Soient f et g deux fonctions de classe \mathcal{C}^2 sur \mathbb{R}. On pose les variables :

Le déplacement s'écrit alors z(x,t) = f(u) + g(v). Par dérivation d'une fonction composée, les dérivées partielles spatiales valent :

De même, pour les dérivées partielles temporelles :

En combinant ces résultats, on obtient immédiatement :

Toute fonction de la forme z(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct) est donc bien solution de l'équation de d'Alembert.

Sens physique des fonctions f et g :

• La composante z_1(x,t) = f(x - ct) décrit une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants à la célérité c. En effet, pour tout intervalle de temps \Delta t > 0, on a f((x + c\Delta t) - c(t + \Delta t)) = f(x - ct) : le profil spatial de déformation se translate rigoureusement sans déformation vers la droite d'une distance \Delta x = c\Delta t.
• La composante z_2(x,t) = g(x + ct) décrit une onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants à la célérité c. Le profil spatial se translate sans déformation vers la gauche.

Le fil étant fixé en ses deux extrémités x = 0 et x = \ell, les déplacements transverses y sont nuls à tout instant :

En évaluant \underline{z}(x,t) en x = 0, on obtient :

ce qui impose immédiatement :

L'expression du déplacement complexe s'écrit alors :

La seconde condition aux limites en x = \ell impose :

Pour une solution non triviale (\underline{A} \neq 0), cette condition équivaut à :

La relation de dispersion de l'équation de d'Alembert (Q16) étant \omega = k c, les pulsations permises sont quantifiées :

En revenant à la grandeur réelle z(x,t), le déplacement s'écrit sous la forme d'un produit d'une fonction d'espace et d'une fonction de temps :

On appelle ce type d'onde une onde stationnaire.

Ce terme s'explique par le fait que le profil spatial de la déformation ne se propage pas le long de la corde : les zéros de vibration (nœuds) et les extrema d'amplitude (ventres) restent fixes dans l'espace au cours du temps. Tous les points du fil vibrent en phase (ou en opposition de phase) à la même pulsation \omega_n.

D'après la question Q18, les pulsations propres du fil fixé à ses deux extrémités sont données par :

La fréquence du mode fondamental (n = 1) s'écrit donc :

On en déduit l'expression de la tension T nécessaire :

Avec les valeurs numériques fournies :

• f_1 = 300\text{ Hz} ;
• \ell = \frac{1}{3}\text{ m} ;
• \mu = 0{,}5\text{ mg}\cdot\text{m}^{-1} = 5 \cdot 10^{-7}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1}.

La célérité de l'onde vaut :

D'où la tension appliquée au fil :

On constate que la tension nécessaire vérifie très largement :

La corde fonctionne donc très en deçà de son seuil d'élasticité (et a fortiori bien en dessous de sa tension de rupture T_r). Elle demeure ainsi parfaitement dans son régime élastique linéaire, ce qui valide l'emploi d'une telle corde sans risque de déformation plastique ni d'endommagement au cours du jeu musical.

On cherche des solutions sous la forme d'ondes sinusoïdales \underline{z}(x,t) = \underline{z}_0\, \mathrm{e}^{j(\omega t - k x)} (ou une superposition stationnaire de telles ondes). Les dérivées partielles successives s'écrivent :

En injectant ces dérivées dans l'équation différentielle (2) :

Pour une solution non triviale (\underline{z} \neq 0), on obtient la relation de dispersion reliant \omega et k :

En résolvant l'équation bicarrée en k, on peut exprimer k en fonction de \omega :

Les conditions aux limites étant toujours \underline{z}(0,t) = 0 et \underline{z}(\ell,t) = 0, la condition sur les ondes stationnaires reste inchangée au premier ordre :

En utilisant c = \sqrt{T/\mu} (d'après la question Q16), la pulsation propre \omega_n associée s'écrit :

La fréquence propre f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} vaut ainsi :

avec le coefficient de raideur (ou d'inharmonicité) :

À tension T et longueur \ell fixées, le coefficient B est directement proportionnel au produit E a^4. Comparons les deux cordes :

On constate que :

Le coefficient B étant non nul, les fréquences propres ne sont pas strictement harmoniques (f_n > n f_1) : c'est le phénomène d'inharmonicité dû à la raideur en flexion. La corde en fils d'araignée présente une inharmonicité légèrement plus prononcée, ce qui décale davantage les partiels aigus vers les hautes fréquences. Cela confère au son un timbre plus brillant, plus chaud et plus riche dans les harmoniques aiguës, en parfait accord avec le préambule de la partie III.