Feuille d'entraînement : Corde vibrante et équation de d'Alembert

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q14

   Pour une corde de longueur L fixée en x = 0 et x = L, les modes propres de vibration transversale stationnaire s'écrivent :

   z(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} Z_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos(\omega_n t + \psi_n) \quad \text{avec} \quad \omega_n = 2\pi n f_1

   D'après l'étude menée en I.A (Q7), pour une vibration de faible amplitude (z_0 \approx 100\,\mu\text{m} \ll R), la réponse du micro est linéaire : la f.é.m. induite e(t) est proportionnelle à la vitesse locale \frac{\partial z}{\partial t}(x_{\text{micro}}, t). L'amplitude de la raie de fréquence f_n = n f_1 enregistrée par un micro situé en x s'écrit donc :

   A_n(x) \propto \omega_n Z_n \left|\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right|

   Sur le spectre de la figure 5 (x_1 = 16\text{ cm}), on observe :

   • un pic parasite à 50\text{ Hz} (ronflette secteur captée par la bobine) d'amplitude \approx 0{,}2\text{ mV} ;
   • le fondamental à f_1 \approx 220\text{ Hz} avec A_1(x_1) \approx 7{,}2\text{ mV} ;
   • l'harmonique 2 à f_2 \approx 440\text{ Hz} avec A_2(x_1) \approx 2{,}3\text{ mV} ;
   • l'harmonique 3 à f_3 \approx 660\text{ Hz} avec A_3(x_1) \approx 1{,}3\text{ mV}.

   L'amplitude de chaque harmonique captée en x_2 = 4\text{ cm} se déduit de celle en x_1 = 16\text{ cm} par :

   A_n(x_2) = A_n(x_1)\,\frac{\left|\sin\left(\frac{n\pi x_2}{L}\right)\right|}{\left|\sin\left(\frac{n\pi x_1}{L}\right)\right|}

   Avec L = 67\text{ cm}, calculons les facteurs de pondération :

   \begin{aligned} n = 1 : \quad & \frac{\sin\left(\frac{\pi \times 4}{67}\right)}{\sin\left(\frac{\pi \times 16}{67}\right)} = \frac{\sin(0{,}188\text{ rad})}{\sin(0{,}750\text{ rad})} = \frac{0{,}186}{0{,}682} \approx 0{,}273 \implies A_1(x_2) \approx 7{,}2 \times 0{,}273 \approx \mathbf{2{,}0\text{ mV}} \\ n = 2 : \quad & \frac{\sin\left(\frac{2\pi \times 4}{67}\right)}{\sin\left(\frac{2\pi \times 16}{67}\right)} = \frac{\sin(0{,}375\text{ rad})}{\sin(1{,}500\text{ rad})} = \frac{0{,}366}{0{,}998} \approx 0{,}367 \implies A_2(x_2) \approx 2{,}3 \times 0{,}367 \approx \mathbf{0{,}85\text{ mV}} \\ n = 3 : \quad & \frac{\sin\left(\frac{3\pi \times 4}{67}\right)}{\sin\left(\frac{3\pi \times 16}{67}\right)} = \frac{\sin(0{,}563\text{ rad})}{\sin(2{,}251\text{ rad})} = \frac{0{,}534}{0{,}777} \approx 0{,}687 \implies A_3(x_2) \approx 1{,}3 \times 0{,}687 \approx \mathbf{0{,}89\text{ mV}} \end{aligned}

   Le parasite secteur à 50\text{ Hz}, d'origine extérieure, reste inchangé à environ 0{,}2\text{ mV}.

   Influence de la position du micro sur le son restitué :

   \boxed{\text{Un micro proche du chevalet ($x = 4\text{ cm}$) atténue le fondamental et favorise les harmoniques supérieures : le son est plus aigu et tranchant.}}

   À l'inverse, un micro éloigné du chevalet (x = 16\text{ cm}, micro manche) capte majoritairement le fondamental : le son est plus rond, chaud et riche en basses.

   Résultat

   $$\text{Un micro proche du chevalet (x=4 cm) atteˊnue le fondamental et favorise les harmoniques supeˊrieures : le son est plus aigu et tranchant.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question