Feuille d'entraînement : Corde vibrante et équation de d'Alembert

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique PSI 2022, Q3

   Au repos, la tranche de solide délimitée par les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x présente une longueur initiale :

   \ell_0 = \mathrm{d}x

   À l'instant t, sous l'effet du passage de l'onde de déformation :

   • la section initialement située en x se déplace en x + u(x, t) ;
   • la section initialement située en x + \mathrm{d}x se déplace en x + \mathrm{d}x + u(x + \mathrm{d}x, t).

   La longueur de la tranche déformée vaut donc :

   \ell(t) = \bigl[x + \mathrm{d}x + u(x + \mathrm{d}x, t)\bigr] - \bigl[x + u(x, t)\bigr] = \mathrm{d}x + u(x + \mathrm{d}x, t) - u(x, t)

   La variation absolue de longueur subie par cette tranche infinitésimale est :

   \Delta(\mathrm{d}x) = \ell(t) - \ell_0 = u(x + \mathrm{d}x, t) - u(x, t)

   En effectuant un développement limité au premier ordre au voisinage de x, il vient :

   u(x + \mathrm{d}x, t) - u(x, t) = \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)\,\mathrm{d}x

   On en déduit l'expression de la variation relative de longueur de la tranche :

   \boxed{\frac{\Delta(\mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)}

   Résultat

   $$\frac{\Delta (\mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique PSI 2022, Q4

   D'après la loi de Hooke donnée par l'équation (1) pour une déformation unidimensionnelle :

   \frac{\Delta L}{L} = \frac{\sigma}{E} = \frac{1}{E}\frac{F}{S}

   En appliquant cette relation localement à la tranche infinitésimale de solide comprise entre x et x+\mathrm{d}x, la déformation relative s'écrit, d'après la question 3, \frac{\Delta(\mathrm{d}x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial u}{\partial x}(x, t).

   La force interne de traction F(x, t) s'exerçant à travers la section S à l'abscisse x vérifie donc :

   \frac{F(x, t)}{S} = E \frac{\partial u}{\partial x}(x, t)

   La section S et le module d'élasticité E étant constants et uniformes, on dérive cette expression par rapport à la coordonnée d'espace x à la date t :

   \boxed{\frac{1}{S}\frac{\partial F}{\partial x} = E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}

   Résultat

   $$\frac{1}{S}\frac{\partial F}{\partial x}=E\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2022, Q5

   On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche de matière délimitée par les abscisses au repos x et x+\mathrm{d}x, dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

   • la masse de la tranche est \mathrm{d}m = \rho\, S\,\mathrm{d}x ;
   • son accélération selon (\mathrm{O}x) s'écrit \vec{a} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t)\,\vec{e}_x au premier ordre en \mathrm{d}x.

   Les forces longitudinales s'exerçant sur cette tranche sont dues aux actions de contact exercées par le milieu extérieur de part et d'autre :

   • sur la face en x+\mathrm{d}x, la partie du solide située à droite exerce une force \vec{F}(x+\mathrm{d}x, t) = F(x+\mathrm{d}x, t)\,\vec{e}_x ;
   • sur la face en x, d'après le principe des actions réciproques, la partie du solide située à gauche exerce une force -\vec{F}(x, t) = -F(x, t)\,\vec{e}_x.

   La résultante des forces selon \vec{e}_x s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{F} = \left[ F(x+\mathrm{d}x, t) - F(x, t) \right] \vec{e}_x = \frac{\partial F}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x

   Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (\mathrm{O}x) donne :

   \rho\, S\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial F}{\partial x}\,\mathrm{d}x

   En divisant par S\,\mathrm{d}x, on obtient :

   \rho\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{1}{S}\frac{\partial F}{\partial x}

   D'après la question Q4, \frac{1}{S}\frac{\partial F}{\partial x} = E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. On en déduit :

   \rho\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \iff \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\rho}{E}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0

   Par identification avec la forme demandée :

   \boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) - \frac{1}{c_p^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x, t) = 0 \quad\text{avec}\quad c_p = \sqrt{\frac{E}{\rho}}}

   Cette relation est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes unidimensionnelle non dispersive).

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x,t)-\frac{1}{c_p^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}(x,t)=0\text{avec}{c}_p=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2021, Q7

   D'après la question Q6, l'équation régissant l'écart à l'équilibre du n-ième atome s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}^2 u_n}{\mathrm{d}t^2}(t) = K \big( u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t) \big).

   Dans le cadre de l'approximation des milieux continus, la position d'équilibre na est repérée par la variable d'espace continue x. Comme le pas du réseau vérifie a \ll \lambda_c, où \lambda_c est l'échelle spatiale caractéristique de variation du déplacement, on peut effectuer un développement limité à l'ordre 2 en puissances de a :

   \begin{aligned} u_{n+1}(t) &= u(x+a,t) = u(x,t) + a\,\frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{a^2}{2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + o(a^2), \\ u_{n-1}(t) &= u(x-a,t) = u(x,t) - a\,\frac{\partial u}{\partial x}(x,t) + \frac{a^2}{2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + o(a^2). \end{aligned}

   En sommant ces deux expressions, les termes du premier ordre se compensent exactement par symétrie :

   u_{n+1}(t) + u_{n-1}(t) - 2u_n(t) = a^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) + o(a^2).

   En reportant ce résultat dans l'équation du mouvement, on obtient :

   m\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = K a^2\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t).

   Le champ de déplacement u(x,t) vérifie donc l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

   \boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) - \frac{1}{c_s^2}\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t) = 0}

   avec pour célérité de l'onde acoustique :

   \boxed{c_s = a\sqrt{\frac{K}{m}}}

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x,t)-\frac{1}{c_s^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}(x,t)=0$$

   $$c_s=a\sqrt{\frac{K}{m}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique PSI 2024, Q16

   1. Largeur de la tranche à l'instant t :

   À l'instant t, les faces délimitant la tranche, initialement situées en x et x+\mathrm{d}x, se trouvent respectivement aux abscisses :

   x_1(t) = x + \xi(x,t) \quad \text{et} \quad x_2(t) = x + \mathrm{d}x + \xi(x+\mathrm{d}x,t).

   La largeur de la tranche à l'instant t est donc :

   \begin{aligned} \Delta x(t) &= x_2(t) - x_1(t) \\ &= \mathrm{d}x + \xi(x+\mathrm{d}x,t) - \xi(x,t) \\ &= \mathrm{d}x + \frac{\partial \xi}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x \\ &= \mathrm{d}x\left(1 + \frac{\partial \xi}{\partial x}(x,t)\right). \end{aligned}

   Dans le cadre de l'approximation des petites déformations, l'allongement relatif vérifie :

   \left|\frac{\partial \xi}{\partial x}(x,t)\right| \ll 1,

   ce qui justifie que :

   \boxed{\Delta x(t) \simeq \mathrm{d}x.}

   2. Résultante des forces exercées sur la tranche :

   D'après la loi de Hooke (relation 3 de l'énoncé), la contrainte de traction normale s'exerçant sur une section S est F = E S \frac{\partial \xi}{\partial x}. La tranche considérée est soumise aux efforts surfaciques exercés par les parties adjacentes du solide à travers ses deux faces :

   • En x+\mathrm{d}x, la partie du solide située à droite (abscisses supérieures) exerce sur la tranche une force orientée vers les x croissants (effort de traction pour \frac{\partial \xi}{\partial x} > 0) :

     \vec{F}_{\mathrm{droite} \to \text{tranche}} = +\, E S \frac{\partial \xi}{\partial x}(x+\mathrm{d}x, t)\,\vec{e}_x.

   • En x, la partie du solide située à gauche (abscisses inférieures) exerce sur la tranche une force opposée :

     \vec{F}_{\mathrm{gauche} \to \text{tranche}} = -\, E S \frac{\partial \xi}{\partial x}(x, t)\,\vec{e}_x.

   La résultante des forces exercées par les tranches adjacentes est la somme de ces deux contributions :

   \mathrm{d}\vec{F} = \vec{F}_{\mathrm{droite} \to \text{tranche}} + \vec{F}_{\mathrm{gauche} \to \text{tranche}} = E S \left[ \frac{\partial \xi}{\partial x}(x+\mathrm{d}x, t) - \frac{\partial \xi}{\partial x}(x, t) \right] \vec{e}_x.

   Au premier ordre non nul en \mathrm{d}x, le développement de Taylor donne :

   \frac{\partial \xi}{\partial x}(x+\mathrm{d}x, t) - \frac{\partial \xi}{\partial x}(x, t) \simeq \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}(x,t)\,\mathrm{d}x.

   On en déduit l'expression de la résultante :

   \boxed{\mathrm{d}\vec{F} = E S \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}(x,t)\,\mathrm{d}x\,\vec{e}_x.}

   Résultat

   $$\Delta x(t)\simeq \mathrm{d}x.$$

   $$\mathrm{d}\vec{F}=ES\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}(x,t)\mathrm{d}x{\vec{e}}_x.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique PSI 2024, Q21

   La plaque carrée occupe le domaine x \in [0, a] et y \in [0, a]. Les conditions aux limites pour une plaque simplement supportée sur ses quatre bords s'écrivent, pour tout instant t :

   \begin{aligned} z(0, y, t) &= 0 \quad \text{et} \quad z(a, y, t) = 0 \quad \forall y \in [0, a], \\ z(x, 0, t) &= 0 \quad \text{et} \quad z(x, a, t) = 0 \quad \forall x \in [0, a]. \end{aligned}

   En injectant la forme proposée :

   z(x,y,t) = A \sin(K_x x + \varphi_x) \sin(K_y y + \varphi_y) \sin(\omega t),

   les conditions en x = 0 et y = 0 imposent, pour une amplitude A \neq 0 :

   \sin(\varphi_x) = 0 \implies \varphi_x = 0 \pmod \pi \quad \text{et} \quad \sin(\varphi_y) = 0 \implies \varphi_y = 0 \pmod \pi.

   Un éventuel déphasage multiple de \pi peut être absorbé dans le signe de l'amplitude A. On choisit donc \varphi_x = 0 et \varphi_y = 0.

   Les conditions aux limites en x = a et y = a imposent alors :

   \sin(K_x a) = 0 \implies K_x a = m\pi \quad \text{et} \quad \sin(K_y a) = 0 \implies K_y a = n\pi,

   où m et n sont des entiers naturels non nuls (les valeurs nulles conduiraient à une solution identiquement nulle). Les composantes du vecteur d'onde sont donc quantifiées :

   \boxed{K_x = \frac{m\pi}{a} \quad \text{et} \quad K_y = \frac{n\pi}{a} \quad (m, n \in \mathbb{N}^*).}

   Calculons l'action de l'opérateur laplacien sur z(x,y,t) :

   \Delta z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -(K_x^2 + K_y^2) z,

   ce qui donne pour le double laplacien :

   \Delta(\Delta z) = (K_x^2 + K_y^2)^2 z = K^4 z \quad \text{avec} \quad K^2 = K_x^2 + K_y^2 = \frac{\pi^2}{a^2}(m^2 + n^2).

   L'équation du mouvement (4) se réécrit donc sous forme scalaire :

   D K^4 z - \rho h \omega^2 z = 0 \implies \omega^2 = \frac{D}{\rho h} K^4,

   ce qui correspond bien à la relation de dispersion \omega = \sqrt{\frac{D}{\rho h}} K^2 issue de la question Q20.

   En remplaçant l'expression de la rigidité en flexion D = \frac{E h^3}{12(1-\nu^2)} donnée par l'équation (5), on obtient :

   \sqrt{\frac{D}{\rho h}} = \sqrt{\frac{E h^3}{12\rho h (1-\nu^2)}} = h \sqrt{\frac{E}{12\rho(1-\nu^2)}}.

   On en déduit l'expression des pulsations propres \omega_{mn} :

   \boxed{\omega_{mn} = \frac{\pi^2 h}{a^2} \sqrt{\frac{E}{12\rho(1-\nu^2)}} \left(m^2 + n^2\right).}

   Résultat

   $$K_x=\frac{m\pi }{a}\text{et}{K}_y=\frac{n\pi }{a}(m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }).$$

   $${\omega }_{mn}=\frac{{\pi }^{2}h}{a^2}\sqrt{\frac{E}{12\rho (1-{\nu }^2)}}\left(m^2+n^2\right).$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique PSI 2024, Q22

   Une onde stationnaire harmonique à une dimension, solution de l'équation de d'Alembert, s'écrit sous la forme séparée :

   \xi(x,t) = A \sin(K x + \varphi) \cos(\omega t + \psi)

   Les nœuds de vibration correspondent aux points d'annulation permanente du déplacement, c'est-à-dire tels que \sin(K x_n + \varphi) = 0, soit K x_n + \varphi = n\pi avec n \in \mathbb{Z}. La distance d entre deux nœuds consécutifs vaut donc :

   \boxed{d = x_{n+1} - x_n = \frac{\pi}{K} = \frac{\lambda}{2}}

   D'après la question Q18, la célérité des ondes longitudinales selon le modèle de la sous-partie II.A est :

   c = \sqrt{\frac{E}{\rho}} \approx 5{,}1 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   Testons ce modèle sur le premier mode (i = 1) à la fréquence f_1 \approx 630\text{ Hz} :

   \lambda_{\text{II.A}} = \frac{c}{f_1} \approx \frac{5{,}1 \times 10^3}{630} \approx 8{,}1\text{ m} \implies d_{\text{th}} = \frac{\lambda_{\text{II.A}}}{2} \approx 4{,}0\text{ m}

   Même pour le mode de plus haute fréquence présenté, f_{12} \approx 4\,253\text{ Hz} :

   \lambda_{\text{II.A}} = \frac{5{,}1 \times 10^3}{4\,253} \approx 1{,}2\text{ m} \implies d_{\text{th}} \approx 0{,}6\text{ m} = 60\text{ cm}

   Dans tous les cas, la distance nodale prédite par le modèle II.A est supérieure ou très largement supérieure aux dimensions de la plaque (a = 24{,}0\text{ cm} = 0{,}24\text{ m}).

   Or, sur les photographies de la figure 4, on observe clairement plusieurs lignes nodales réparties sur la plaque de côté a = 24{,}0\text{ cm}. Par exemple :

   • Pour le mode 1, l'anneau nodal central présente un diamètre de l'ordre de 10\text{ cm}, soit un écart moyen aux bords de l'ordre de d_{\text{exp}} \sim 5\text{ cm} ;

   • Pour le mode 12, on dénombre environ 5 à 6 motifs sur la largeur a, ce qui donne un espacement moyen entre lignes nodales voisines :

     d_{\text{exp}} \sim \frac{a}{5} \approx 5\text{ cm} \ll d_{\text{th}} = 60\text{ cm}

   Comme d_{\text{exp}} \ll d_{\text{th}} (d'au moins un ordre de grandeur), le modèle de propagation d'ondes acoustiques longitudinales (II.A) est à exclure pour interpréter les figures de Chladni.

   Résultat

   $$d=x_{n+1}-x_n=\frac{\pi }{K}=\frac{\lambda }{2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie PSI 2021, Q12

   Lorsqu'un mode propre de vibration stationnaire s'établit sur la plaque, la poudre saupoudrée est éjectée des régions fortement animées de mouvement vibratoire (ventres de vibration) et s'accumule le long des zones immobiles de la surface.

   Les lignes noires visibles sur les figures de Chladni représentent donc les lignes nodales (ou lignes de nœuds de vibration) de la plaque, c'est-à-dire l'ensemble des points où l'amplitude d'oscillation transversale est rigoureusement nulle :

   \boxed{\text{Lignes nodales (nœuds de vibration où le déplacement transversal est nul)}}

   Résultat

   $$\text{Lignes nodales (nœuds de vibration ouˋ le deˊplacement transversal est nul)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie PSI 2021, Q13

   L'équation de propagation de la membrane s'écrit :

   \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = 0

   En injectant la forme à variables séparées z(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t), les dérivées partielles s'expriment à l'aide des dérivées droites :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= X''(x)\,Y(y)\,T(t) \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} &= X(x)\,Y''(y)\,T(t) \\ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} &= X(x)\,Y(y)\,T''(t) \end{aligned}

   En reportant ces expressions dans l'équation de propagation et en divisant par z(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t) \neq 0, on obtient :

   \frac{1}{X(x)}\frac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{Y(y)}\frac{\mathrm{d}^2 Y}{\mathrm{d}y^2} = \frac{1}{c^2 T(t)}\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}t^2}

   Le membre de droite dépend exclusivement de t, alors que le membre de gauche ne dépend que des coordonnées d'espace x et y. Les variables x, y et t étant indépendantes, cette égalité n'est vérifiée pour tout (x,y,t) que si les deux membres sont égaux à une même constante :

   \frac{1}{X(x)}\frac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{Y(y)}\frac{\mathrm{d}^2 Y}{\mathrm{d}y^2} = \text{cte}

   En isolant le terme en x :

   \frac{1}{X(x)}\frac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} = \text{cte} - \frac{1}{Y(y)}\frac{\mathrm{d}^2 Y}{\mathrm{d}y^2}

   Le membre de gauche est fonction de x seul tandis que le membre de droite est fonction de y seul. Ces deux termes sont donc obligatoirement constants.

   En notant respectivement ces constantes de séparation \mp \alpha^2 et \mp \beta^2 (où \alpha et \beta sont deux réels, le signe couvrant les cas d'une constante positive ou négative), on aboutit à :

   \boxed{ \frac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} \pm \alpha^2 X = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}^2 Y}{\mathrm{d}y^2} \pm \beta^2 Y = 0 }

   Résultat

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}X}{\mathrm{d}{x}^2}\pm {\alpha }^{2}X=0\text{et}\frac{{\mathrm{d}}^{2}Y}{\mathrm{d}{y}^2}\pm {\beta }^{2}Y=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie PSI 2021, Q14

    La membrane est fixée sur tout son contour \Gamma, ce qui impose pour tout instant t :

    \forall y \in [0, b], \quad z(0, y, t) = z(a, y, t) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in [0, a], \quad z(x, 0, t) = z(x, b, t) = 0

    Puisque z(x, y, t) = X(x) Y(y) T(t), l'existence d'une solution non triviale (c'est-à-dire non identiquement nulle) impose que :

    X(0) = 0, \quad X(a) = 0, \quad Y(0) = 0 \quad \text{et} \quad Y(b) = 0

    Considérons l'équation spatiale selon x avec le signe négatif :

    \frac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} - \alpha^2 X = 0

    • Si \alpha \neq 0 (choisi strictement positif sans perte de généralité), la solution générale s'écrit :

      X(x) = A \cosh(\alpha x) + B \sinh(\alpha x)

      La condition X(0) = 0 donne immédiatement A = 0.
      La condition X(a) = 0 devient alors :

      B \sinh(\alpha a) = 0

      Comme a > 0 et \alpha > 0, l'argument \alpha a est strictement positif, de sorte que \sinh(\alpha a) \neq 0. Par conséquent, B = 0.

    • Si \alpha = 0, l'équation devient \frac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} = 0, d'où X(x) = A x + B. Les conditions X(0) = 0 et X(a) = 0 conduisent également à A = B = 0.

    Dans tous les cas, on a donc obligatoirement :

    \boxed{\forall x \in [0, a], \quad X(x) = 0}

    Un raisonnement strictement identique mené sur la fonction Y(y) vérifiant \frac{\mathrm{d}^2 Y}{\mathrm{d}y^2} - \beta^2 Y = 0 avec Y(0) = 0 et Y(b) = 0 conduit à :

    \boxed{\forall y \in [0, b], \quad Y(y) = 0}

    Ces solutions conduisent à z(x, y, t) = 0 en tout point et à tout instant : la membrane reste indéfiniment immobile à sa position d'équilibre, ce qui ne décrit aucun mouvement vibratoire.

    Résultat

    $$\forall x\in [0,a],X(x)=0$$

    $$\forall y\in [0,b],Y(y)=0$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question