Corrigé détaillé ENS Physique PSI 2021, épreuve U

L'équation d'état du gaz parfait s'écrit à l'équilibre thermostatique :

où N est le nombre total d'atomes contenus dans le volume V, et k_{\mathrm{B}} la constante de Boltzmann.

La masse totale du gaz est m_{\text{tot}} = N m, où m est la masse d'un atome d'argon. La masse volumique de référence est donc :

En substituant dans l'équation d'état, on obtient la relation liant P_0, T_0, \rho_0 et k_{\mathrm{B}} :

Considérons une tranche de fluide de section S, comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x à l'état d'équilibre (repos). Son volume initial est :

Au cours du passage de l'onde à l'instant t, les particules initialement en x et x+\mathrm{d}x se trouvent respectivement en x + u(x,t) et x + \mathrm{d}x + u(x+\mathrm{d}x,t). L'épaisseur de la tranche devient :

Le volume instantané de cette tranche de masse fixe s'écrit donc au premier ordre :

La dilatation volumique relative de la tranche s'exprime ainsi par :

Par définition, le coefficient de compressibilité isentropique s'écrit :

La transformation de cette tranche de fluide étant supposée isentropique, la variation de volume au premier ordre liée à la surpression acoustique p(x,t) = P(x,t) - P_0 vaut :

En identifiant les deux expressions de la dilatation volumique relative, on obtient la relation cherchée :

ou de manière équivalente :

Considérons le système fermé constitué par la tranche de fluide de section S, comprise entre les abscisses de repos x et x + \mathrm{d}x. Sa masse, constante au cours du mouvement, vaut :

Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, le fluide n'est soumis selon l'axe (Ox) qu'aux forces de pression exercées sur ses faces latérales :

• sur la face en x + u(x, t), orientée par +\vec{e}_x : \vec{F}_1 = P(x + u(x, t), t) S \, \vec{e}_x ;
• sur la face en x + \mathrm{d}x + u(x + \mathrm{d}x, t), orientée par -\vec{e}_x : \vec{F}_2 = - P(x + \mathrm{d}x + u(x + \mathrm{d}x, t), t) S \, \vec{e}_x.

Dans le cadre de l'approximation acoustique (termes d'ordre 1 en perturbation), les coordonnées lagrangiennes et eulériennes se confondent, si bien que :

La résultante des forces de pression selon (Ox) s'écrit alors :

puisque la pression d'équilibre P_0 est uniforme (\frac{\partial P_0}{\partial x} = 0).

L'accélération de la tranche de fluide est, au premier ordre, l'accélération particulaire locale :

le terme convectif v \frac{\partial v}{\partial x} étant du second ordre en perturbation.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche donne :

En simplifiant par le volume au repos S \mathrm{d}x, on obtient directement l'équation d'Euler linéarisée :

D'après la question Q2, la surpression acoustique p(x,t) est reliée au déplacement particulaire u(x,t) par :

En dérivant cette relation par rapport à la variable d'espace x, on obtient :

Par ailleurs, d'après la relation dynamique obtenue à la question Q3 (équation (1)), et en exprimant le champ de vitesse v(x,t) = \frac{\partial u}{\partial t} :

En substituant l'expression de \frac{\partial p}{\partial x} dans cette équation du mouvement, il vient :

En multipliant l'ensemble par -\chi_S, on aboutit directement à l'équation demandée :

Cette équation porte le nom d'équation de d'Alembert (ou équation des ondes à une dimension non dispersive et non amortie).

La forme canonique de l'équation de d'Alembert à une dimension pour le champ de déplacement u(x, t) s'écrit :

où c désigne la célérité de propagation de l'onde dans le milieu.

Par identification terme à terme avec l'équation (2) établie à la question [4], \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \rho_0 \chi_S \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0, on obtient :

Comme la célérité c est une grandeur strictement positive, on en déduit :

Pour une transformation isentropique (adiabatique réversible) d'un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma constant, la loi de Laplace s'écrit :

En différentiant cette relation à entropie S fixée, il vient :

Le coefficient de compressibilité isentropique s'en déduit à l'état de référence (P_0, T_0) :

D'après le résultat de la question Q5, la célérité du son s'écrit :

En utilisant la relation d'état obtenue à la question Q1, \frac{P_0}{\rho_0} = \frac{k_{\mathrm{B}} T_0}{m}, on obtient directement :

Application numérique : Pour l'argon, gaz monoatomique, on a \gamma = 5/3. En introduisant la constante des gaz parfaits R = N_A k_{\mathrm{B}} et la masse molaire M_{\text{Ar}} = N_A m, le rapport s'exprime par \frac{k_{\mathrm{B}}}{m} = \frac{R}{M_{\text{Ar}}}. Données numériques :

• T_0 = 25^\circ\text{C} = 298{,}15\text{ K} \simeq 298\text{ K} ;
• M_{\text{Ar}} \simeq 39{,}95\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} \simeq 4{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• R \simeq 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Le calcul donne :

d'où c \simeq 3{,}2 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. En respectant la consigne générale de l'énoncé prescrivant un chiffre significatif :

D'après la relation établie à la question précédente :

Pour déterminer la constante de Boltzmann k_{\mathrm{B}} avec une précision métrologique (incertitude relative inférieure à 10^{-6}), le choix d'un gaz rare monoatomique comme l'argon s'impose pour plusieurs raisons physiques :

• Valeur exacte et indépendance thermique de \gamma : pour un gaz monoatomique, les seuls degrés de liberté microscopiques sont les trois translations d'espace. Les capacités thermiques molaires valent rigoureusement \bar{C}_V = \frac{3}{2}R et \bar{C}_P = \frac{5}{2}R, ce qui conduit à :

  \gamma = \frac{\bar{C}_P}{\bar{C}_V} = \frac{5}{3}

  Cette valeur est un rapport exact d'entiers et ne dépend pas de la température, n'apportant ainsi aucune incertitude métrologique sur \gamma. À l'inverse, pour un gaz polyatomique, \gamma varie avec la température en raison de l'excitation thermique progressive des modes de rotation et de vibration.

• Absence de dispersion et d'atténuation par relaxation moléculaire : dans les molécules polyatomiques, les échanges d'énergie entre les degrés de liberté de translation et les modes internes (rotation, vibration) nécessitent un temps de relaxation non nul, ce qui entraîne une dispersion de la célérité c(\omega) ainsi qu'une forte absorption acoustique. Pour un gaz monoatomique, ces mécanismes de relaxation interne n'existent pas.
• Inertie chimique et pureté : en tant que gaz noble, l'argon est chimiquement inerte, ne réagit pas avec les parois de la cavité et peut être obtenu commercialement avec un très haut degré de pureté chimique.

Des parois d'impédance acoustique infinie sont indéformables et immobiles. Par continuité de la composante normale de la vitesse à l'interface fluide-paroi, le champ de vitesse s'annule en ces frontières pour tout instant t :

Puisque v(x, t) = \frac{\partial u}{\partial t} et que u(x, t) vérifie l'équation de d'Alembert (équation 2 de la question Q4), la vitesse acoustique v(x, t) vérifie également cette équation :

On cherche une solution stationnaire sous forme de variables séparées de pulsation \omega :

En injectant cette forme dans l'équation de d'Alembert, la composante spatiale X(x) vérifie :

La solution générale s'écrit :

L'application des conditions aux limites impose :

• en x = 0 : X(0) = A = 0, d'où X(x) = B \sin(kx) ;
• en x = L : X(L) = B \sin(kL) = 0.

Pour obtenir une solution physique non triviale (B \neq 0), il est nécessaire que \sin(kL) = 0, soit kL = n\pi avec n \in \mathbb{N}^* (la pulsation étant strictement positive).

Les pulsations propres associées aux solutions stationnaires sont donc discrètes et données par :

D'après le résultat de la question Q8, la pulsation propre du mode fondamental (n=1) s'écrit :

La fréquence f_1 associée est reliée à la pulsation par f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi}, soit :

Pour l'application numérique, on utilise la célérité du son dans l'argon obtenue à la question Q6, c \simeq 322\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, et la longueur L = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m} :

Conformément à la consigne générale de l'énoncé imposant d'effectuer les applications numériques avec un chiffre significatif :

Le champ de pression acoustique étant à symétrie sphérique, il ne dépend ni de \theta ni de \varphi : p(\vec{r}, t) = p(r, t). Par conséquent, les dérivées partielles par rapport aux variables angulaires sont nulles :

D'après l'expression (5) ou (6) du Laplacien en coordonnées sphériques fournie par l'énoncé, l'opérateur Laplacien appliqué à p(r, t) se réduit à sa partie radiale :

En injectant cette expression dans l'équation de d'Alembert (3), on obtient l'équation vérifiée par p(r, t) :

On remarque que :

En multipliant par r, l'équation peut donc s'écrire sous la forme équivalente remarquable :

D'après la question Q10, la surpression acoustique à symétrie sphérique p(r,t) vérifie l'équation :

En notation complexe, en posant \underline{g}(r, t) = r\,\underline{p}(r, t), cette équation devient :

Pour une onde monochromatique de pulsation \omega, en adoptant la convention de l'énoncé où la dépendance temporelle est en e^{-i\omega t}, on cherche \underline{g}(r,t) sous la forme :

La dérivée temporelle seconde donne \frac{\partial^2 \underline{g}}{\partial t^2} = -\omega^2\,\underline{g}. En réinjectant dans l'équation de propagation, \underline{G}(r) vérifie l'équation de Helmholtz à une dimension :

En posant :

l'équation s'écrit \frac{\mathrm{d}^2\underline{G}}{\mathrm{d}r^2} + k^2\underline{G} = 0. Elle admet pour base de solutions fondamentales indépendantes les exponentielles complexes :

En revenant à la fonction \underline{p}(r, t) = \frac{\underline{g}(r, t)}{r} = \frac{\underline{G}(r)}{r}e^{-i\omega t}, on obtient bien les deux solutions :

En prenant la partie réelle des grandeurs complexes issues de la question Q11 :

• Pour \underline{p}_+(r, t) : la phase s'écrit \varphi(r, t) = \omega(t - r/c). Une surface équiphase est une sphère de rayon r telle que r - c t = \text{cte}, ce qui correspond à un déplacement radial à vitesse \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = +c > 0. La solution \underline{p}_+ représente donc une onde sphérique divergente (ou centrifuge), qui se propage du centre vers l'extérieur.
• Pour \underline{p}_-(r, t) : la phase s'écrit \varphi(r, t) = \omega(t + r/c). Une surface équiphase vérifie r + c t = \text{cte}, soit \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = -c < 0. La solution \underline{p}_- représente ainsi une onde sphérique convergente (ou centripète), qui se propage de l'extérieur vers le centre r = 0.

Dans les deux cas, le facteur 1/r traduit l'étalement spatial de l'onde : pour conserver la puissance acoustique totale à travers une surface sphérique d'aire \mathcal{S}(r) = 4\pi r^2, l'amplitude du champ de pression décroît en 1/r.

L'équation d'Euler linéarisée régissant le champ acoustique s'écrit (équation (4)) :

Avec la convention de l'énoncé pour les grandeurs complexes harmoniques en e^{-i\omega t}, l'opérateur \frac{\partial}{\partial t} se traduit par une multiplication par -i\omega. L'équation devient ainsi :

Le champ de pression ne dépendant que de r, le gradient se réduit à sa composante radiale :

1. Calcul pour l'onde divergente \underline{p}_+(r, t) = \dfrac{e^{i(kr-\omega t)}}{r} :

Dérivons \underline{p}_+ par rapport à r :

On en déduit le champ de vitesse associé :

En utilisant k = \frac{\omega}{c} (d'où \frac{k}{\omega\rho_0} = \frac{1}{\rho_0 c} et \frac{1}{i} = -i) :

2. Calcul pour l'onde convergente \underline{p}_-(r, t) = \dfrac{e^{i(-kr-\omega t)}}{r} :

De même, dérivons \underline{p}_- par rapport à r :

Le champ de vitesse associé s'écrit alors :

Soit, avec k = \frac{\omega}{c} :

D'après les questions Q11 et Q13, la surpression acoustique et le champ de vitesse s'écrivent sous forme complexe :

La composante radiale moyenne de l'intensité acoustique \langle \vec{j} \rangle = \langle p \vec{v} \rangle est donnée par :

Calculons le produit \underline{p}\,\underline{v}_r^* :

En développant :

• Les termes directs donnent :

  |a_+|^2\left(1 - \frac{i}{kr}\right) - |a_-|^2\left(1 + \frac{i}{kr}\right)

  dont la partie réelle vaut |a_+|^2 - |a_-|^2.

• Les termes croisés s'écrivent :

  a_+^* a_- e^{-2ikr}\left(1 - \frac{i}{kr}\right) - a_+ a_-^* e^{2ikr}\left(1 + \frac{i}{kr}\right) = Z - Z^* = 2i\,\operatorname{Im}(Z)

  où Z = a_+^* a_- e^{-2ikr}\left(1 - \frac{i}{kr}\right). Ce terme étant imaginaire pur, sa partie réelle est strictement nulle.

On obtient ainsi, pour tout rayon r :

Le flux sortant moyen à travers une sphère de rayon r_0 orientée vers l'extérieur s'écrit donc :

Ce flux est indépendant du rayon r_0.

En régime périodique établi, l'énergie acoustique moyenne contenue dans la sphère de rayon r_0 est constante, soit \left\langle \frac{\partial e_{ac}}{\partial t} \right\rangle = 0. En intégrant l'équation locale de conservation de l'énergie (équation 9) sur la boule de rayon r_0, le théorème de Green-Ostrogradski impose que le flux moyen sortant \Phi(r_0) soit nul en l'absence de source ou de puits d'énergie en r=0. À la limite r_0 \to 0, le centre de la cavité n'absorbe ni ne produit d'énergie acoustique, d'où nécessairement :

On en déduit immédiatement :

D'après la question Q13, les champs de vitesse associés aux ondes sphériques divergente et convergente s'écrivent :

Au voisinage de r = 0 (k r \ll 1), développons les exponentielles à l'ordre 1 en k r :

Calculons les développements des facteurs spatiaux respectifs :

et de même pour le terme convergent :

On remarque que les deux composantes possèdent exactement le même terme prépondérant en 1/r^2.

Le champ de vitesse total \vec{\underline{v}}(\vec{r}, t) = a_+ \vec{\underline{v}}_+(\vec{r}, t) + a_- \vec{\underline{v}}_-(\vec{r}, t) s'écrit donc au voisinage de r \to 0 :

En utilisant k = \omega / c, le terme dominant de la vitesse s'exprime ainsi :

Ce terme diverge en 1/r^2 lorsque r \to 0. Pour que cette divergence disparaisse (terme dominant nul), il est nécessaire que son numérateur s'annule :

Une paroi d'impédance infinie impose une vitesse normale nulle au niveau de la frontière rigide r = R_c :

D'après l'équation d'Euler linéarisée (4) en régime sinusoïdal de pulsation \omega :

La condition aux limites en r = R_c équivaut donc à l'annulation du gradient radial de pression :

D'après le résultat de la question Q15, la régularité du champ de vitesse à l'origine impose a_- = -a_+. Le champ de surpression s'écrit alors :

où k = \frac{\omega}{c} (d'après la question Q11).

Introduisons la quantité adimensionnée x = kr = \frac{\omega r}{c}, évaluée en r = R_c par :

et la fonction :

Le champ de pression à l'intérieur de la sphère s'écrit ainsi \underline{p}(r, t) = 2i a_+ k e^{-i\omega t} f(kr). En dérivant par rapport à r :

Pour une solution non triviale (a_+ \neq 0), la condition aux limites en r = R_c donne immédiatement la condition de résonance :

D'après la question Q16, la condition de résonance s'écrit f'(x) = 0, avec :

Les solutions non nulles de cette équation correspondent aux extrema locaux de la fonction sinus cardinal f(x).

La dérivée s'exprime par :

Pour tout entier n \in \mathbb{N}^*, étudions le signe de f'(x) sur les bornes remarquables de l'intervalle [n\pi, (n+1)\pi] :

Les valeurs f'(n\pi) et f'\!\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) sont de signes opposés. D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction continue f', il existe au moins une solution x_n annulant f'(x) dans l'intervalle ]n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}[.

De plus, sur l'intervalle ]n\pi + \frac{\pi}{2}, (n+1)\pi[, les grandeurs \cos x et \sin x ont des signes strictement opposés ; le numérateur x\cos x - \sin x est donc de signe constant (celui de -(-1)^n) et ne s'annule jamais.

Il existe ainsi une unique racine x_n par intervalle ]n\pi, (n+1)\pi[, formant un ensemble infini et discret de solutions indexé par n \in \mathbb{N}^*, encadré par :

Puisque x = \frac{\omega R_c}{c}, les pulsations de résonance \omega_n = \frac{c}{R_c}x_n sont également en nombre infini et discrètes, et vérifient :

D'après la question Q16, la condition de résonance s'écrit f'(x) = 0 avec f(x) = \frac{\sin x}{x}. Pour x > 0, la dérivée de f vaut :

L'équation f'(x) = 0 équivaut donc à :

Si \cos x = 0, alors \sin x = \pm 1 \neq 0, donc \cos x ne peut pas s'annuler en une racine de f'. On peut ainsi diviser par \cos x, ce qui conduit à :

Par \pi-périodicité de la fonction tangente, pour tout n \in \mathbb{N}^* :

Comme x_n > n\pi, on a \lim_{n \to \infty} x_n = +\infty, ce qui implique :

D'après l'encadrement obtenu à la question Q17, x_n - n\pi \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[. Sur cet intervalle, la fonction tangente est strictement croissante et diverge en \frac{\pi}{2}^-.

Graphiquement, la solution x_n correspond à l'intersection entre la droite y = x et la branche de la tangente sur l'intervalle \left]n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}\right[. Lorsque n croît, l'ordonnée de l'intersection tend vers +\infty, ce qui force l'abscisse x_n à se rapprocher de l'asymptote verticale d'équation x = n\pi + \frac{\pi}{2}.

On en déduit :

D'après la question Q18, pour n \in \mathbb{N}^*, on a :

Posons \delta_n = n\pi + \frac{\pi}{2} - x_n. On a donc \delta_n > 0 d'après l'encadrement établi en Q17, et \lim_{n \to \infty} \delta_n = 0.

Par périodicité et déphasage de la fonction tangente :

L'équation \tan x_n = x_n s'écrit alors :

Comme \lim_{n \to \infty} \delta_n = 0, on a \tan \delta_n = \delta_n + o(\delta_n), d'où :

En prenant l'inverse :

On en déduit le développement asymptotique de x_n à l'ordre 1/n :

Par identification avec la forme x_n \simeq C_1 n + C_0 + \frac{C_{-1}}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right), on obtient :

Pour éviter la divergence de la tangente au voisinage de n\pi + \frac{\pi}{2}, on résout l'équation équivalente :

sur l'intervalle fermé I_n = \left[n\pi,\, n\pi + \frac{\pi}{2}\right]. La fonction g y est continue, dérivable, et vérifie :

Le produit g(n\pi)\,g\!\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -n\pi < 0 assure l'existence d'une unique racine x_n sur I_n par le théorème des valeurs intermédiaires (car g'(x) = -x\sin x garde un signe constant sur l'intervalle ouvert).

On peut mettre en œuvre l'une des méthodes suivantes :

1. Méthode par dichotomie (très robuste) :

• On pose a = n\pi et b = n\pi + \frac{\pi}{2}, avec une tolérance \varepsilon > 0 souhaitée.

• Tant que b - a > \varepsilon :

  • On évalue le milieu m = \frac{a+b}{2} ;
  • Si g(a) \times g(m) \leqslant 0, la racine est dans [a, m], on pose b \leftarrow m ;
  • Sinon, elle est dans [m, b], on pose a \leftarrow m.
• On renvoie \boxed{x_n \simeq \frac{a+b}{2}} avec une précision garantie \frac{\pi}{2^{k+1}}.

2. Méthode du point fixe (très rapide) : En inversant la tangente sur l'intervalle ]n\pi, n\pi + \pi/2[, l'équation s'écrit sous forme de point fixe :

Comme la fonction \phi(x) = n\pi + \arctan(x) est contractante (\lvert \phi'(x) \rvert = \frac{1}{1+x^2} \leqslant \frac{1}{1+n^2\pi^2} \ll 1), la suite récurrente définie par :

converge géométriquement vers x_n en seulement quelques itérations.