Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2022 (page 2/3 : Partie III)

À un instant t, l'équation de la surface libre du liquide est donnée par :

La pente locale de la surface libre par rapport au plan horizontal correspond à la dérivée spatiale \dfrac{\partial z_s}{\partial x} :

où \theta(x, t) est l'angle d'inclinaison de la tangente à la surface avec l'horizontale.

Pour que la surface soit, en tout point x, très peu inclinée par rapport au plan horizontal, il faut que l'angle d'inclinaison soit petit à tout instant (|\theta(x,t)| \ll 1), soit :

La valeur maximale de |\sin(kx)| étant égale à 1, cette condition impose :

1. Incompressibilité de l'écoulement

Le champ de vitesses est bidimensionnel dans le plan (x,z). La divergence s'écrit :

On a bien \mathrm{div}\,\vec{v} = 0, donc l'écoulement est incompressible.

2. Caractère irrotationnel

Le rotationnel n'a de composante non nulle que selon \vec{u}_y :

Les autres composantes étant identiquement nulles, on a \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} = \vec{0} : l'écoulement est irrotationnel.

3. Condition à la limite au fond du récipient

L'énoncé précise que la profondeur h_l est grande devant les autres longueurs caractéristiques (k h_l \gg 1), ce qui correspond à l'approximation des ondes en eau profonde. Au fond (z \to -\infty) :

La condition d'imperméabilité au fond est donc parfaitement respectée.

4. Condition à la limite cinématique à la surface libre

La position de la surface libre est donnée par z_s(x,t) = \zeta(t)\cos kx. Une particule fluide appartenant à la surface libre y reste à tout instant, ce qui se traduit par :

Dans le cadre de l'approximation des petites perturbations (validée à la question 16 par k|\zeta| \ll 1), le terme convectif v_x \frac{\partial z_s}{\partial x} \sim \mathcal{O}(\zeta^2) est négligeable devant les termes d'ordre 1, et l'on peut évaluer la vitesse en z = 0 plutôt qu'en z = z_s :

Or, l'expression proposée donne en z = 0 :

La condition cinématique à la surface libre est donc rigoureusement vérifiée au premier ordre.

Sur les parois solides fixes et imperméables du récipient, le fluide ne peut pas traverser la paroi, ce qui impose l'annulation de la vitesse normale :

• Pour les parois situées en y = 0 et y = L_y, le vecteur normal est colinéaire à \vec{u}_y. La composante suivant y étant identiquement nulle (v_y = 0), cette condition est automatiquement satisfaite pour tout k.

• Pour les parois situées en x = 0 et x = L_x, le vecteur normal est colinéaire à \vec{u}_x, ce qui impose v_x = 0 en ces deux limites :

  \begin{aligned} v_x(0, z, t) &= -\dot{\zeta}(t) \, e^{kz} \sin(0) = 0, \\ v_x(L_x, z, t) &= -\dot{\zeta}(t) \, e^{kz} \sin(k L_x) = 0. \end{aligned}

La condition en x = 0 est vérifiée à tout instant et à toute profondeur. Pour que la condition en x = L_x soit également vérifiée quel que soit t et z, il faut que :

Le nombre d'onde k étant strictement positif pour une onde de surface non triviale, les valeurs permises pour k sont quantifiées sous la forme :

À l'aide des composantes du champ de vitesses fournies par l'équation (1) de la question 17 :

on calcule le carré de la norme de la vitesse en tout point :

On remarque que v^2 est indépendant des coordonnées transversales x et y.

L'énergie cinétique totale du fluide s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des petites perturbations (k |\zeta| \ll 1), la borne supérieure de l'intégrale sur z peut être prise à la position d'équilibre z = 0 (l'intégration entre 0 et z_s(x,t) apporterait une contribution d'ordre 3 en \zeta, négligeable à l'ordre 2). De plus, l'hypothèse d'eau profonde (k h_l \gg 1) permet d'étendre la borne inférieure de -h_l à -\infty puisque e^{-2k h_l} \ll 1.

L'intégration se sépare alors selon :

On obtient ainsi :

Choisissons pour référence de l'énergie potentielle de pesanteur le niveau non perturbé de la surface libre, soit z = 0.

Pour une colonne infinitésimale de liquide de base \mathrm{d}x \mathrm{d}y et s'étendant verticalement entre z = 0 et la surface déformée z_s(x,t), la variation d'énergie potentielle de pesanteur s'écrit :

Cette expression reste valable que z_s(x,t) soit positif (surélévation) ou négatif (creux), car un creux correspond à un retrait de matière sous le niveau de référence, ce qui augmente l'énergie potentielle par rapport au fluide manquant.

En intégrant sur la base rectangulaire du récipient (y \in [0, L_y] et x \in [0, L_x]) :

D'après la question Q18, le nombre d'onde vérifie k = \frac{n\pi}{L_x} avec n \in \mathbb{N}^*. L'intégrale spatiale sur un nombre entier de demi-périodes vaut :

Comme la surface de la cuve est S = L_x L_y, on en déduit :

La surface libre du liquide est paramétrée par l'équation cartésienne z = z_s(x,t) = \zeta(t) \cos(kx), invariante selon l'axe y.

L'élément de surface s'écrit de manière générale :

avec :

D'après la question Q16, la surface est très peu inclinée par rapport à l'horizontale, ce qui se traduit par k|\zeta(t)| \ll 1, soit |\partial_x z_s| \ll 1. En développant la racine carrée au premier ordre non nul en (\partial_x z_s)^2 :

L'accroissement total d'aire de la surface libre est donc :

Comme k = \dfrac{n\pi}{L_x} (d'après la question Q18 avec n \in \mathbb{N}^*), on intègre un nombre entier de demi-périodes :

Sachant que S = L_x L_y, l'augmentation de surface vaut :

L'énergie de tension superficielle étant proportionnelle à l'aire de l'interface (E_s = \gamma_s \Delta \mathcal{A}), on obtient :

Les phénomènes dissipatifs étant négligés (question 17), l'énergie mécanique totale E_m(t) du liquide est conservative. En prenant comme référence de l'énergie potentielle la surface plane au repos, cette énergie mécanique s'écrit comme la somme de l'énergie cinétique et des variations d'énergie potentielle de pesanteur et de tension superficielle :

En injectant les résultats établis aux questions Q19, Q20 et Q21, on obtient :

Le système étant conservatif, la dérivée temporelle de l'énergie mécanique est nulle :

Cette relation étant vraie à tout instant et le mouvement n'étant pas identiquement nul (\dot{\zeta} \neq 0), l'amplitude \zeta(t) obéit à l'équation différentielle :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique linéaire \ddot{\zeta} + \Omega^2 \zeta = 0, ce qui prouve que \zeta(t) varie sinusoïdalement avec le temps à la pulsation :

Considérons une particule fluide de masse dm dans le référentiel lié au récipient en vibration. Elle subit :

• la force de pesanteur : \mathrm{d}\vec{P} = dm\,\vec{g} = -dm\,g\,\vec{u}_z ;
• la force d'inertie d'entraînement (question Q4) : \mathrm{d}\vec{F}_i(t) = -dm\,\ddot{Z}(t)\vec{u}_z = dm\,A\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{u}_z.

L'amplitude de l'accélération d'entraînement est a_{\max} = A\omega^2. Le rapport entre l'amplitude de la force d'inertie et le poids vaut donc :

Or, dans la première partie :

• la condition de validité de l'étude à la profondeur critique D^* exigeait (question Q9) :

  \gamma \gg 1

• les ordres de grandeur issus des mesures expérimentales de la figure 1 donnaient (question Q10) :

  \gamma \simeq 30 \text{ à } 35 \gg 1

L'accélération imposée par la vibration dépasse l'accélération de la pesanteur de plus d'un ordre de grandeur (A\omega^2 \approx 30\,g).

Il est donc tout à fait légitime de supposer que la force de gravité est négligeable devant la force d'inertie d'entraînement pour décrire la réponse rapide du liquide :

Le récipient est animé d'une accélération verticale \ddot{Z}(t)\vec{u}_z. Dans le référentiel lié au récipient, la force volumique d'inertie d'entraînement s'écrit :

En négligeant la pesanteur ainsi que le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}, l'équation d'Euler s'écrit :

En projetant sur les axes horizontaux x et verticaux z :

À la surface libre déformée z = h(x), la tension superficielle étant négligée, la pression est uniforme et égale à la pression atmosphérique :

En différentiant cette relation par rapport à x le long de la surface libre, on obtient :

D'après l'équation (2), le gradient vertical de pression vaut :

La déformation de la surface étant une petite perturbation (k\zeta \ll 1), la pente \mathrm{d}h/\mathrm{d}x \sim k\zeta et la vitesse induite \vec{v} sont du premier ordre en \zeta. Le terme \frac{\partial v_z}{\partial t} \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x} est donc du second ordre en \zeta et peut être négligé. Au premier ordre, il vient :

d'où le gradient horizontal de pression à la surface :

En injectant ce résultat dans l'équation (1), on obtient bien :

D'après la question Q24, la vitesse tangentielle à la surface libre (z \simeq 0) vérifie :

Sachant que la déformation de la surface s'écrit h(x) \simeq \zeta \cos(kx), il vient :

Le mouvement étant purement oscillatoire de moyenne temporelle nulle (sans écoulement permanent stationnaire), l'intégration par rapport au temps donne immédiatement la vitesse tangentielle en surface :

Dans le volume du fluide parfait, les forces volumiques d'inertie dérivent d'un potentiel. D'après le théorème de Lagrange (ou de Thomson), l'écoulement est irrotationnel (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} = \vec{0}) et incompressible (\mathrm{div}\,\vec{v} = 0).

Comme établi à la question Q17, la seule structure spatiale compatible avec :

• la dépendance en \sin(kx) imposée en surface et aux parois x=0, L_x,
• la décroissance exponentielle en profondeur (e^{kz} \to 0 quand z \to -\infty, approximation des ondes en eau profonde),
• l'équation de Laplace satisfaite par le potentiel des vitesses,

est de la forme :

La condition d'incompressibilité impose ensuite :

Par intégration selon z, avec la condition de vitesse nulle au fond (v_z \to 0 quand z \to -\infty), on obtient :

On vérifie sans peine que ce champ vérifie également (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v})_y = \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} = 0. Le champ de vitesses dans le liquide est donc bien :

À partir des composantes du champ de vitesses obtenues à la question 25 :

on calcule la norme au carré de la vitesse en tout point du fluide :

Ce champ est de même forme spatiale que celui de la question 17, avec la substitution \dot{\zeta}(t) \leftarrow k\zeta \dot{Z}(t). L'énergie cinétique instantanée s'obtient donc en adaptant immédiatement le résultat de la question 19 :

Puisque Z(t) = A \cos(\omega t), la vitesse verticale du récipient s'écrit \dot{Z}(t) = -A \omega \sin(\omega t). La moyenne temporelle de son carré sur une période T = 2\pi/\omega vaut :

L'énergie cinétique moyenne E_v = \langle E_c(t) \rangle est donc :

L'énergie cinétique moyenne du mouvement rapide E_v(t) agit comme une énergie potentielle effective pour le mouvement lent. L'énergie mécanique totale associée à ce mouvement lent s'écrit donc :

En reprenant les résultats des questions Q19, Q20, Q21 et Q26 :

L'énergie mécanique se met sous la forme :

En l'absence de dissipation, l'énergie mécanique effective est conservée (\mathrm{d}E_m/\mathrm{d}t = 0) :

Pour un mouvement non trivial (\dot{\zeta} \neq 0), on obtient l'équation d'un oscillateur harmonique :

La pulsation \Omega(k) devient ainsi :

Le terme sous la racine est augmenté du terme positif \frac{1}{2} A^2 \omega^2 k^2.

Dans la partie III-B, le liquide était solidaire du récipient : l'écoulement rapide oscillant résultait de la force d'inertie d'entraînement associée à l'accélération verticale du récipient, d'amplitude A\omega^2, et la vitesse induite dans le liquide était directement proportionnelle à l'amplitude de vitesse de translation \dot{Z}(t), d'amplitude A\omega.

Pour le liquide en lévitation (partie II), la couche de liquide oscille verticalement en bloc avec une amplitude A_l à la pulsation \omega :

• Plaçons-nous dans le référentiel lié au mouvement vertical d'ensemble de la couche liquide. Dans ce référentiel, l'interface inférieure est au repos en moyenne, et le fluide subit une force d'inertie d'entraînement régie par l'accélération de translation de la couche, de pulsation \omega et d'amplitude A_l\omega^2 (au lieu de A\omega^2).
• La déformation ondulatoire de l'interface inférieure possède la même structure spatiale (incompressibilité, irrotationnalité et décroissance exponentielle vers l'intérieur du fluide en eau profonde). Le champ de vitesses rapides associé présente donc exactement la même forme qu'à la question 25, mais avec une amplitude proportionnelle à la vitesse d'oscillation de la couche, d'amplitude A_l\omega au lieu de A\omega.

L'énergie cinétique moyenne E_v étant une grandeur purement quadratique par rapport au champ de vitesses rapides du fluide, elle est directement proportionnelle au carré de cette amplitude de vitesse, soit (A_l\omega)^2. Le résultat de la question 26 est donc rigoureusement inchangé à condition de substituer A par A_l :

À l'interface inférieure, le liquide se trouve au-dessus de la couche d'air. Comparons chaque contribution à l'énergie mécanique du mouvement lent par rapport à l'interface supérieure :

• Énergie potentielle de pesanteur : lorsque l'interface se déforme sous la forme z_i(x,t) = \zeta(t)\cos(kx), le liquide (plus dense) descend dans les creux et l'air monte dans les crêtes. Le centre de masse du liquide s'abaisse, ce qui diminue son énergie potentielle de pesanteur :

  E_p(t) = -\frac{1}{4}\rho_l g S \zeta(t)^2

  La pesanteur est ici une force déstabilisante (instabilité de Rayleigh-Taylor), ce qui équivaut à remplacer g par -g dans la dynamique.

• Énergie de tension superficielle : la déformation augmente toujours l'aire de l'interface, si bien que l'énergie capillaire reste positive et stabilisante :

  E_s(t) = \frac{1}{4}\gamma_s k^2 S \zeta(t)^2

• Énergie cinétique rapide moyenne : d'après la question 28, le liquide oscille avec une amplitude A_l, ce qui donne une énergie cinétique moyenne :

  E_v(t) = \frac{1}{8}\rho_l k S A_l^2 \omega^2 \zeta(t)^2

En reprenant l'énergie mécanique totale du mode lent et la masse effective M_{\text{eff}} = \dfrac{\rho_l S}{2k} déterminée à la question 19 :

avec une raideur effective :

La pulsation d'oscillation \Omega(k) = \sqrt{K_{\text{eff}}/M_{\text{eff}}} vérifie donc :

D'après la relation de dispersion établie à la question 29, en négligeant la tension superficielle (\gamma_s = 0), on a :

L'interface est stable vis-à-vis des petites perturbations si toutes les solutions \zeta(t) sont purement oscillantes, ce qui impose :

D'après le résultat de la question 18, le confinement latéral par les parois verticales impose des modes discrets de pulsation d'espace :

Comme la suite (k_n)_{n \ge 1} est strictement croissante, la condition \Omega^2(k_n) > 0 est la plus contraignante pour le mode fondamental (n=1), de plus petite pulsation d'espace k_1 = \pi / L_x. Pour assurer la stabilité de tous les modes, il faut et il suffit donc que le mode fondamental soit stable :

On en déduit que l'interface liquide-air inférieure est stable si :

D'après la question Q30, l'interface inférieure liquide-air est stable tant que la dimension horizontale du récipient vérifie :

Pour stabiliser l'interface sur la plus grande largeur L_x possible, ou pour minimiser l'amplitude d'excitation A nécessaire du pot vibrant, il convient de rendre la longueur critique L^* maximale, c'est-à-dire de maximiser le produit A_l \omega.

La figure 3 montre que le gain A_l/A présente une résonance très aiguë en \omega \simeq \omega_0, atteignant une valeur maximale d'environ 13 à la fréquence :

En choisissant d'exciter le récipient à cette fréquence de résonance, l'amplitude A_l du mouvement du liquide est considérablement amplifiée par rapport à l'amplitude d'excitation A (A_l \simeq Q A).

On a donc tout intérêt à choisir :