Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2023 (page 2/3 : Partie II et partie III (questions 23 à 24))

La loi de Fourier régit le transfert thermique par conduction au sein de la matière. Elle s'écrit sous forme locale et vectorielle :

où :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} (noté également \vec{\jmath}_Q) est le vecteur densité volumique de courant thermique (ou densité de flux thermique), exprimé en \mathrm{W \cdot m^{-2}}. Sa signification physique est la puissance thermique transitant par conduction à travers une unité de surface orientée : la puissance élémentaire traversant une surface \mathrm{d}\vec{S} s'écrit \delta\phi = \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
• \lambda est la conductivité thermique du milieu conducteur, exprimée en \mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}. C'est un paramètre caractéristique du matériau qui quantifie sa capacité à conduire la chaleur.
• T est le champ scalaire de température, exprimé en kelvins (\mathrm{K}).
• \vec{\operatorname{grad}} T est le gradient de température, exprimé en \mathrm{K \cdot m^{-1}}, qui indique la direction et le sens de la plus forte augmentation spatiale de la température.

Considérons le système fermé constitué par la tranche infinitésimale de conducteur comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z, de section S, pendant une durée \mathrm{d}t :

• Régime stationnaire : la température en tout point est indépendante du temps, donc l'énergie interne du système est constante :

  \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = 0
• Absence de sources et de puits internes d'énergie thermique.
• Isolation latérale : les parois latérales sont calorifugées, aucun échange thermique ne s'effectue à travers la surface latérale (\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot \vec{n}_{\mathrm{lat}} = 0).

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système entre les instants t et t + \mathrm{d}t donne pour le bilan thermique :

où \phi(z) est la puissance thermique pénétrant dans la tranche par la section en z, et \phi(z+\mathrm{d}z) celle qui en ressort en z+\mathrm{d}z.

Il vient alors :

La puissance thermique traversant une section droite quelconque du tuyau est donc rigoureusement indépendante de z.

Le flux thermique \phi à travers une section droite S orientée selon les z croissants s'écrit, d'après la loi de Fourier rappelée en Q7 :

D'après la question Q8, le flux \phi est indépendant de z en régime stationnaire. Par conséquent :

La dérivée spatiale de la température étant constante, le profil de température est affine :

Les conditions aux limites imposées par les thermostats s'écrivent :

• en z = 0 : T(0) = T_0 \implies B = T_0 ;
• en z = L : T(L) = T_1 \implies A L + T_0 = T_1 \implies A = \frac{T_1 - T_0}{L}.

On en déduit la loi de température dans la barre :

En réinjectant le gradient de température \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{T_1 - T_0}{L} dans l'expression de \phi, on obtient :

Par analogie avec la loi d'Ohm en électrocinétique (U = R_{\text{élec}} I), la résistance thermique R_{\text{th}} d'un élément conducteur reliant une zone à la température T_0 à une zone à la température T_1 est définie par le rapport de l'écart de température sur la puissance thermique \phi qui le traverse de la borne amont vers la borne aval :

D'après l'expression du flux thermique obtenue à la question Q9, \phi = \frac{\lambda S}{L}(T_0 - T_1), on en déduit l'expression de la résistance thermique en fonction des caractéristiques géométriques et thermophysiques de la barre :

Elle s'exprime en kelvins par watt (\mathrm{K\cdot W^{-1}}).

Par définition, la résistance thermique \mathcal{R} d'une paroi cylindrique traversée par un flux thermique \phi orienté de l'intérieur (r = R_{\min}) vers l'extérieur (r = R_{\max}) s'écrit :

Une résistance thermique étant une grandeur intrinsèquement positive, l'expression du flux donnée dans l'énoncé conduit directement à :

Application numérique : Pour une longueur de tuyau l = 1\text{ m} :

• \frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{40\text{ cm}}{30\text{ cm}} = \frac{4}{3}
• \ln\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}3
• \lambda = 1\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

En retenant deux chiffres significatifs cohérents avec la donnée \ln(4/3) \sim 0{,}3 :

Le transport thermique radial s'effectue à travers trois milieux successifs :

1. Dans le fluide intérieur (eau chaude) et à l'interface interne (r \le R_{\min}) : L'eau liquide au cœur de la conduite est à une température uniforme T_{\text{eau}}. Au voisinage de la paroi interne (dans la couche limite thermique entre R_{\min}^- et R_{\min}), le phénomène de conducto-convection induit une chute de température de T(R_{\min}^-) = T_{\text{eau}} jusqu'à la température de surface intérieure du tube T(R_{\min}) = T_{R\min}.

2. Dans l'épaisseur de la paroi (R_{\min} \le r \le R_{\max}) : Le transfert thermique a lieu par conduction pure en régime stationnaire. En l'absence de terme source, le flux thermique traversant un cylindre de rayon r et de longueur l est conservatif :

   \phi = j_Q(r) \cdot 2\pi r l = -2\pi \lambda l\, r\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = \text{cte} > 0

   On en déduit :

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} = -\frac{\phi}{2\pi\lambda l}\,\frac{1}{r} < 0 \quad \text{et} \quad \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}r^2} = \frac{\phi}{2\pi\lambda l}\,\frac{1}{r^2} > 0

   Le profil de température est logarithmique, strictement décroissant et strictement convexe :

   T(r) = T_{R\min} - (T_{R\min} - T_{R\max})\,\frac{\ln(r/R_{\min})}{\ln(R_{\max}/R_{\min})}
3. À l'interface externe et dans le fluide extérieur (r \ge R_{\max}) : Entre la surface externe R_{\max} et l'air ambiant non perturbé R_{\max}^+, la conducto-convection provoque une nouvelle chute de température de T(R_{\max}) = T_{R\max} jusqu'à la température ambiante T(R_{\max}^+) = T_{\text{ext}}. Au-delà (r \ge R_{\max}^+), la température est uniforme et égale à T_{\text{ext}}.

Le profil de température T(r) présente donc l'allure suivante :

D'après la loi de Newton rappelée dans les données de l'énoncé, la puissance thermique surfacique échangée entre une surface à la température T et un fluide à la température T_{\text{ext}} s'écrit :

Pour une surface d'échange d'aire S isotherme, le flux thermique total traversant l'interface s'exprime par :

Par analogie avec la loi d'Ohm électrocinétique (\Delta T = \mathcal{R}_{\text{th}}\,\phi), la résistance thermique de conducto-convection associée s'identifie à :

Appliquons cette relation aux deux interfaces du tuyau cylindrique de longueur l :

• À la surface intérieure (r = R_{\min}), la surface d'échange avec l'eau en écoulement a pour aire S_{\text{int}} = 2\pi R_{\min} l. La résistance de conducto-convection interne vaut :

  \boxed{\mathcal{R}_{\text{int}} = \frac{1}{2\pi h R_{\min} l}}

  Pour une longueur de tuyau l = 1\text{ m}, avec R_{\min} = 0{,}30\text{ m} et h = 50\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

  \mathcal{R}_{\text{int}} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 0{,}30 \times 1} = \frac{1}{30\pi} \approx 1{,}1 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}

• À la surface extérieure (r = R_{\max}), la surface d'échange avec l'air extérieur a pour aire S_{\text{ext}} = 2\pi R_{\max} l. La résistance de conducto-convection externe vaut :

  \boxed{\mathcal{R}_{\text{ext}} = \frac{1}{2\pi h' R_{\max} l}}

  Pour une longueur de tuyau l = 1\text{ m}, avec R_{\max} = 0{,}40\text{ m} et h' = 10\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

  \mathcal{R}_{\text{ext}} = \frac{1}{2\pi \times 10 \times 0{,}40 \times 1} = \frac{1}{8\pi} \approx 4{,}0 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}

En régime stationnaire et en l'absence de sources internes de chaleur, le flux thermique radial \phi traversant la surface de rayon r est indépendant de r. Le flux est ainsi identique à travers :

• la couche limite interne en r = R_{\min} (résistance de conducto-convection \mathcal{R}_{\text{int}}) ;
• la paroi du tuyau pour R_{\min} \le r \le R_{\max} (résistance de conduction \mathcal{R}) ;
• la couche limite externe en r = R_{\max} (résistance de conducto-convection \mathcal{R}_{\text{ext}}).

Ces trois résistances sont donc connectées en série entre la température de l'eau T_{\text{eau}} = T(R_{\min}^-) et la température extérieure T_{\text{ext}} = T(R_{\max}^+).

La résistance thermique totale pour une longueur l de tuyau s'écrit :

En utilisant les expressions obtenues aux questions 11 et 13 :

La conductance thermique G est l'inverse de la résistance thermique, G = \frac{1}{\mathcal{R}_{\text{tot}}}. La conductance thermique par unité de longueur (conductance linéique) est alors définie par :

D'où l'expression :

D'après l'expression établie à la question 14, la conductance thermique par unité de longueur s'écrit :

Calculons séparément chacun des termes du dénominateur :

• Terme de conducto-convection interne :

  \frac{1}{h R_{\min}} = \frac{1}{50 \times 0{,}30} = \frac{1}{15} \approx 0{,}067\text{ m}\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1}

• Terme de conduction dans la paroi du tuyau :

  \frac{1}{\lambda}\ln\left(\frac{R_{\max}}{R_{\min}}\right) = \frac{1}{1} \times 0{,}3 \approx 0{,}30\text{ m}\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1}

• Terme de conducto-convection externe :

  \frac{1}{h' R_{\max}} = \frac{1}{10 \times 0{,}40} = \frac{1}{4} = 0{,}25\text{ m}\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1}

La somme des trois résistances thermiques linéiques vaut :

On en déduit la conductance linéique :

Considérons une conduite parcourue par un fluide en écoulement stationnaire unidimensionnel, présentant une section d'entrée e et une section de sortie s. On note \mathcal{V}_c le volume de contrôle fixe délimité par les parois internes de la conduite entre e et s.

Définissons le système fermé \Sigma^* à deux dates t et t+\mathrm{d}t :

• À l'instant t, \Sigma^*(t) est constitué de la matière contenue dans \mathcal{V}_c à laquelle on ajoute la tranche infinitésimale de masse \mathrm{d}m_e qui va pénétrer par e pendant \mathrm{d}t.
• À l'instant t+\mathrm{d}t, \Sigma^*(t+\mathrm{d}t) est constitué de la matière contenue dans \mathcal{V}_c à laquelle on ajoute la tranche de masse \mathrm{d}m_s qui est sortie par s pendant \mathrm{d}t.

En régime permanent (stationnaire), la conservation de la masse impose :

L'énergie totale d'une masse de fluide est la somme de son énergie interne U et de son énergie mécanique macroscopique E_{\text{mec}} = E_c + E_{p,\text{pes}} :

Pour le système fermé \Sigma^*, la variation d'énergie totale entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Comme le régime est stationnaire, l'état du fluide dans le volume fixe \mathcal{V}_c est indépendant du temps : E_{\text{tot}}(\mathcal{V}_c, t+\mathrm{d}t) = E_{\text{tot}}(\mathcal{V}_c, t). Il vient :

où \Delta X = X_s - X_e désigne la variation d'une grandeur massique entre la sortie et l'entrée.

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé \Sigma^* :

Le travail \delta W reçu par \Sigma^* se décompose en :

• le travail des forces de pression extérieures appliquées en entrée et en sortie (forces de transvasement) :

  \delta W_{\text{press}} = \vec{F}_{p,e} \cdot \vec{v}_e\,\mathrm{d}t + \vec{F}_{p,s} \cdot \vec{v}_s\,\mathrm{d}t = P_e S_e v_e\,\mathrm{d}t - P_s S_s v_s\,\mathrm{d}t

  En introduisant les volumes massiques v_{m,e} = 1/\rho_e et v_{m,s} = 1/\rho_s, le volume balayé vaut S v\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}m/\rho, d'où :

  \delta W_{\text{press}} = \mathrm{d}m \left( \frac{P_e}{\rho_e} - \frac{P_s}{\rho_s} \right) = -\,\mathrm{d}m\,\Delta\left(\frac{P}{\rho}\right)
• le travail utile \delta W_u = \mathrm{d}m\,w_u échangé avec des parties mobiles (pales de turbine, pompe, etc.) ;
• les parois indéformables de la conduite ne fournissent aucun travail.

Le transfert thermique reçu s'écrit \delta Q = \mathrm{d}m\,q.

En rassemblant les termes dans le premier principe :

En divisant par \mathrm{d}m et en regroupant les grandeurs à l'entrée et à la sortie :

L'enthalpie massique étant définie par h = u + \dfrac{P}{\rho}, on obtient le « principe industriel » :

Signification physique des grandeurs écrites :

• \Delta h = h_s - h_e : variation d'enthalpie massique du fluide entre la sortie et l'entrée (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
• \Delta e_{\text{mec}} = \Delta\left(\frac{1}{2}v^2 + g z\right) : variation de l'énergie mécanique massique (cinétique et potentielle de pesanteur) du fluide entre la sortie et l'entrée (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
• q = \dfrac{\delta Q}{\mathrm{d}m} : transfert thermique massique reçu par le fluide à travers les parois de la conduite (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
• w_u = \dfrac{\delta W_u}{\mathrm{d}m} : travail mécanique utile massique échangé avec l'extérieur, hors travail des forces de pression aux frontières fluides (associé à des organes mobiles tels qu'une turbine ou une pompe) (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}).

L'eau liquide s'écoule à l'intérieur du cylindre creux de rayon intérieur R_{\min}. La section de passage du fluide vaut :

Le débit volumique D_v s'exprime en fonction de la vitesse moyenne v par D_v = v S. On en déduit l'expression de la vitesse de l'eau à l'entrée :

Application numérique : Avec D_v = 500\text{ L}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}500\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} et R_{\min} = 0{,}30\text{ m} :

Uniformité de la vitesse dans le tuyau :

• Sur une section droite transverse : d'après les données de l'énoncé, l'eau liquide présente une « viscosité négligeable ». Dans le cadre de l'écoulement d'un fluide parfait sans frottement visqueux, il n'y a pas de condition d'adhérence aux parois ni de gradient transversal de vitesse (profil plat ou écoulement « bouchon ») ; la vitesse est donc uniforme sur toute la section.
• Le long de la conduite (selon x) : le fluide est supposé incompressible et indilatable (\rho = \text{cte}), la section droite S est constante sur toute la longueur et l'écoulement est stationnaire. La conservation du débit massique D_m = \rho S v = \text{cte} implique que la vitesse v reste constante et uniforme le long de tout le trajet.

Considérons une tranche d'eau s'écoulant de x à x + \mathrm{d}x en régime stationnaire. On applique le premier principe industriel établi à la question Q16 :

Détaillons les différents termes :

• Il n'y a pas de partie mobile (pas de turbine ni de pompe entre x et x+\mathrm{d}x), donc le travail utile massique est nul :

  w_u = 0
• L'écoulement est stationnaire et l'eau est modélisée par un fluide incompressible de masse volumique \rho uniforme dans une conduite de section droite constante. D'après la question Q17, la vitesse d'écoulement v est uniforme le long du tuyau, d'où \Delta e_c = 0.

• L'énoncé indique de négliger la variation d'énergie potentielle de pesanteur : \Delta e_p = 0. On en déduit :

  \Delta e_{\text{mec}} = \Delta e_c + \Delta e_p = 0

• Pour un liquide assimilé à une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique massique c, la variation massique d'enthalpie se réduit à :

  \Delta h = h(x+\mathrm{d}x) - h(x) = c\,\mathrm{d}T(x) = c\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x

• Pendant la durée \mathrm{d}t, la masse de fluide traversant la tranche est :

  \mathrm{d}m = D_m\,\mathrm{d}t = \rho D_v\,\mathrm{d}t

  Le transfert thermique élémentaire reçu de l'extérieur par le tronçon de longueur \mathrm{d}x s'exprime à l'aide de la conductance thermique linéique G_{\text{lin}} définie à la question Q14 :

  \delta Q = \delta\Phi\,\mathrm{d}t = G_{\text{lin}}\,\mathrm{d}x\,\big(T_{\text{ext}} - T(x)\big)\,\mathrm{d}t

  Le transfert thermique massique s'écrit alors :

  q = \frac{\delta Q}{\mathrm{d}m} = \frac{G_{\text{lin}}\,\big(T_{\text{ext}} - T(x)\big)\,\mathrm{d}x}{\rho D_v}

En injectant ces résultats dans le premier principe, on obtient :

soit, sous forme différentielle :

D'après le bilan énergétique établi à la question Q18, la température de l'eau T(x) vérifie :

En développant et en regroupant les termes dépendant de T(x) dans le membre de gauche :

En divisant cette relation par la quantité non nulle \rho D_v c, il vient :

Par identification directe avec la forme demandée :

on en déduit l'expression de la grandeur \delta :

Dimension de \delta :

• Par l'équation différentielle : le terme \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} est homogène à une température divisée par une longueur, soit [\Theta]\cdot [L]^{-1}. Pour que tous les termes soient homogènes, le terme \frac{T}{\delta} doit posséder la même dimension, d'où :

  [\delta] = [L]

• Par l'expression littérale :

  • \rho D_v c a pour unité \mathrm{(kg\cdot m^{-3})\cdot (m^3\cdot s^{-1})\cdot (J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1})} = \mathrm{J\cdot s^{-1}\cdot K^{-1}} = \mathrm{W\cdot K^{-1}},
  • G_{\text{lin}} s'exprime en \mathrm{W\cdot K^{-1}\cdot m^{-1}},

  ce qui confirme que \delta s'exprime en mètres (\mathrm{m}).

La grandeur \delta est donc homogène à une longueur.

D'après la question Q19, la température T(x) de l'eau vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

La solution générale de l'équation homogène associée est :

Une solution particulière évidente (car constante) est T_p(x) = T_{\text{ext}}. La solution générale de l'équation s'écrit donc :

L'eau pénètre dans la conduite en x = 0 à la température T(0) = T_0, ce qui impose :

On en déduit la loi de température le long de la canalisation :

D'après la question Q20, le profil de température de l'eau le long de la conduite est donné par :

où la longueur caractéristique de transfert thermique s'écrit (d'après la question Q19) :

Calculons numériquement la valeur de cette échelle de longueur :

On obtient :

Pour un transport sur une distance x = 50\text{ km} = 50\times 10^3\text{ m} :

L'énoncé fournissant la valeur \exp(-0{,}25) = 0{,}78, on adopte l'approximation suggérée \frac{x}{\delta} \approx 0{,}25, d'où :

1. En été (T_{\text{ext}1} = 285\text{ K} = 12^\circ\text{C}) :

2. En hiver (T_{\text{ext}2} = 273\text{ K} = 0^\circ\text{C}) :

1. Négligence de la variation d'énergie potentielle de pesanteur

Entre la station de pompage de Svartsengi (altitude z_1 = 240\text{ m}) et Reykjavík (altitude z_2 = 40\text{ m}), la variation d'altitude vaut \Delta z_{\text{alt}} = z_2 - z_1 = -200\text{ m}.

La variation d'énergie potentielle de pesanteur par unité de masse s'écrit :

Parallèlement, la chute de température de l'eau sur le trajet est de l'ordre de |\Delta T| \approx 17\text{ K} à 20\text{ K} (d'après la question Q21). La variation d'enthalpie massique associée vaut :

On constate que :

Sur chaque tranche élémentaire \mathrm{d}x, la variation d'énergie potentielle est donc tout à fait négligeable devant la variation d'enthalpie :

2. Négligence de la variation de température avec la variable z

• Si z désigne la coordonnée axiale du tuyau (axe noté Oz dans les questions 7 à 10 ainsi que dans le rappel du gradient cylindrique) :
  La longueur caractéristique de variation axiale de température est \delta \approx 190\text{ km}, tandis que l'épaisseur radiale de la paroi est e = R_{\max} - R_{\min} = 0{,}10\text{ m}.

  Les gradients thermiques correspondants sont dans un rapport :

  \frac{\left|\frac{\partial T}{\partial x}\right|}{\left|\frac{\partial T}{\partial r}\right|} \sim \frac{\frac{\Delta T_{\text{ligne}}}{L}}{\frac{\Delta T_{\text{paroi}}}{e}} \sim \frac{\frac{20}{50\times 10^3}}{\frac{10}{0{,}10}} \sim \frac{4\times 10^{-4}}{100} \sim 4\times 10^{-6} \ll 1

  Le transfert thermique par conduction le long de l'axe est donc totalement négligeable devant la diffusion thermique radiale à travers la paroi.

• Si z désigne la coordonnée verticale au sein de la section du fluide :
  D'une part, l'énoncé stipule que l'eau liquide possède « une conductivité thermique infinie », ce qui homogénéise instantanément la température dans la section droite.
  D'autre part, le nombre de Reynolds de l'écoulement vaut :

  \mathrm{Re} = \frac{\rho v (2R_{\min})}{\eta} \sim \frac{10^3 \times 1{,}8 \times 0{,}60}{10^{-3}} \approx 10^6 \gg 2000

  L'écoulement est donc fortement turbulent : le brassage convectif empêche toute stratification thermique verticale selon z.

Dans les deux acceptions, l'hypothèse d'invariance selon z est pleinement justifiée.

1. Formes d'énergie transmises :

• De la turbine à l'alternateur, l'énergie est transmise sous forme d'énergie mécanique (travail d'un couple de forces via l'arbre de rotation).
• De l'alternateur au transformateur, l'énergie est transmise sous forme d'énergie électrique (courant alternatif sous tension alternative).

2. Éléments transducteurs : Un transducteur est un système convertissant une forme d'énergie en une autre. Les éléments transducteurs de la chaîne sont :

• La turbine, qui convertit l'énergie thermique et cinétique de la vapeur (énergie fluidique/thermodynamique) en énergie mécanique de rotation ;
• L'alternateur, qui convertit l'énergie mécanique en énergie électrique grâce au phénomène d'induction électromagnétique.

Remarque : Le transformateur n'est pas à proprement parler un transducteur de forme d'énergie, car il modifie les grandeurs électriques (tension, intensité) sans changer la nature électrique de l'énergie.

3. Pertes énergétiques à envisager :

• Canalisations et forage : transferts thermiques dissipatifs avec le milieu extérieur et pertes de charge visqueuses lors de l'écoulement de l'eau et de la vapeur.
• Turbine : frottements mécaniques (paliers, roulements), turbulences du fluide et enthalpie résiduelle emportée par la vapeur à l'échappement.

• Alternateur :

  • pertes mécaniques (frottements d'axe, résistance de l'air) ;
  • pertes par effet Joule dans les bobinages conducteurs (R I^2) ;
  • pertes magnétiques dites « pertes fer » (courants de Foucault et hystérésis dans les matériaux ferromagnétiques).
• Transformateur : pertes par effet Joule dans les enroulements primaire et secondaire, ainsi que des pertes magnétiques (« pertes fer » par courants de Foucault et hystérésis dans le circuit magnétique).

Une année compte :

À une puissance électrique continue \mathcal{P} = 80\text{ MW} = 80 \times 10^3\text{ kW}, l'énergie électrique produite en un an s'élève à :

D'après le préambule de la partie III, la production géothermique libère e_{\text{géo}} = 80\text{ g}\cdot\text{kWh}^{-1} = 0{,}080\text{ kg}\cdot\text{kWh}^{-1} de \mathrm{CO_2}. La masse annuelle de dioxyde de carbone émise par la centrale de Svartsengi est donc :

Pour une « bonne » centrale à charbon produisant la même quantité d'électricité, le taux d'émission vaut e_{\text{charbon}} = 1\text{ kg}\cdot\text{kWh}^{-1}. La masse émise serait alors :

En comparant les deux émissions :

Une centrale à charbon émet ainsi 12{,}5 fois plus de dioxyde de carbone (soit une réduction de 92\,\% grâce à la géothermie).