Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2022

Dans un liquide homogène et incompressible de masse volumique \rho_l au repos dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g}, la loi fondamentale de la statique des fluides donne, à une profondeur D sous la surface libre où règne la pression atmosphérique P_0 :

D'après le résultat de la question 1, la pression P_1 à la profondeur D s'écrit :

avec la longueur caractéristique :

L'expression de la pression devient ainsi :

Avec les ordres de grandeurs usuels pour l'eau et les conditions atmosphériques standard :

• P_0 \simeq 10^5\text{ Pa} ;
• \rho_l \simeq 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• g \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

On obtient :

D'après le principe d'Archimède, tout corps immergé dans un fluide au repos subit une force verticale dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé :

En introduisant le vecteur unitaire vertical ascendant \vec{u}_z tel que \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, cette force s'écrit de manière équivalente :

Le récipient est animé d'un mouvement de translation rectiligne verticale ascendante repéré par la coordonnée Z(t) = A \cos \omega t par rapport au référentiel du laboratoire, supposé galiléen. En notant \vec{u}_z le vecteur unitaire vertical ascendant, l'accélération d'entraînement de tout point lié au récipient s'écrit :

La force d'inertie d'entraînement \vec{F}_i(t) exercée sur un point matériel de masse m dans le référentiel du récipient est alors :

Soit, en remplaçant par l'expression temporelle :

Dans le référentiel du récipient (en translation verticale rectiligne accélérée d'accélération \ddot{Z}(t)\vec{u}_z), chaque élément de fluide subit la pesanteur \vec{g} = -g\vec{u}_z et la force d'inertie d'entraînement volumique \vec{f}_i = -\rho_l \ddot{Z}(t)\vec{u}_z.

Le champ d'accélération effectif ressenti par le liquide s'écrit donc :

La relation fondamentale de l'hydrostatique dans ce référentiel devient :

En projetant suivant l'axe vertical ascendant z, avec la profondeur D = -z mesurée depuis la surface libre (où z = 0 et P = P_0) :

Sachant d'après la question 1 que P_1 = P_0 + \rho_l g D, on obtient :

La poussée d'Archimède est la résultante des forces de pression exercées par le liquide sur la bulle de volume V(t). D'après la formule du gradient de Green-Ostrogradsky :

On en déduit :

L'air contenu dans la bulle est modélisé par un gaz parfait de quantité de matière n constante, évoluant à température fixée T. La loi des gaz parfaits donne :

On en déduit l'expression exacte du volume de la bulle à l'instant t :

On réécrit ce rapport sous la forme :

Sous l'hypothèse d'une faible variation relative de pression, |P(t) - P_1| \ll P_1, un développement limité au premier ordre donne (1 + \varepsilon)^{-1} \simeq 1 - \varepsilon, soit :

En utilisant le résultat de la question 5, à savoir P(t) - P_1 = \rho_l D \ddot{Z}(t), cette relation s'écrit également :

D'après les questions 5 et 6, la poussée d'Archimède instantanée s'écrit :

avec

En développant le produit au premier ordre non nul :

Prenons la moyenne temporelle sur une période T = 2\pi/\omega, notée \langle \cdot \rangle. Comme \ddot{Z}(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t) est sinusoïdal, sa moyenne temporelle est nulle :

Il reste ainsi :

On reconnaît dans le premier terme la poussée d'Archimède statique \vec{F}_{A,\text{stat}} = \rho_l V_1 g \vec{u}_z établie à la question 3 (pour une bulle de volume V_1). La valeur moyenne de la poussée d'Archimède s'écrit donc :

Sachant que \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, la moyenne du carré de l'accélération vaut \langle \ddot{Z}(t)^2 \rangle = \frac{1}{2} A^2 \omega^4.

La masse de l'air étant négligeable devant celle du liquide déplacé (\rho_{\text{air}} \sim 10^{-3}\rho_l), le poids propre de la bulle est tout à fait négligeable devant la poussée d'Archimède. La force moyenne verticale subie par la bulle s'identifie donc à la valeur moyenne de la poussée d'Archimède obtenue à la question précédente :

En utilisant l'approximation P_1 \simeq P_0 ainsi que la définition de la hauteur caractéristique issue de la question 2, H = \dfrac{P_0}{\rho_l g}, il vient :

En introduisant le paramètre adimensionnel \gamma = \dfrac{A\omega^2}{g}, la force moyenne se réécrit :

La bulle s'enfonce lorsque la force moyenne résultante est dirigée vers le bas, c'est-à-dire pour \langle \vec{F}_A(t) \rangle \cdot \vec{u}_z < 0. La profondeur critique D^* séparant la remontée de l'enfoncement correspond à l'annulation de cette force moyenne :

d'où l'expression de la profondeur critique :

D'après la question Q5, l'écart de pression s'écrit :

L'amplitude maximale de cette oscillation de pression est donc :

Avec l'approximation P_1 \simeq P_0 = \rho_l g H (question Q2), le rapport relatif s'exprime en fonction du paramètre adimensionnel d'accélération \gamma = \frac{A\omega^2}{g} :

En évaluant cette grandeur à la profondeur critique D^* = \dfrac{2H}{\gamma^2} obtenue à la question Q8, il vient :

L'approximation |P(t) - P_1| \ll P_1 se traduit donc par la condition :

Interprétation physique :
Le paramètre \gamma = \frac{A\omega^2}{g} compare l'accélération maximale du récipient à l'accélération de la pesanteur g. La condition \gamma \gg 1 signifie que l'agitation verticale doit être suffisamment vigoureuse pour que les forces d'inertie dominent largement la pesanteur.

Sous cette condition, la profondeur critique D^* = \frac{2H}{\gamma^2} devient très petite devant H \sim 10\text{ m}, ce qui permet d'observer l'inversion de flottabilité à l'échelle centimétrique d'un récipient de laboratoire tout en garantissant des variations relatives de pression faibles au cours d'une période.

D'après la figure 1, la profondeur critique D^* varie typiquement entre 14\text{ mm} et 26\text{ mm}, soit un ordre de grandeur de :

1. Justification de l'approximation P_1 \simeq P_0 :

D'après le résultat de la question 2, la pression statique à la profondeur D^* s'écrit :

avec H = \frac{P_0}{\rho_l g} \sim 10\text{ m}. Le rapport vaut :

La variation relative entre P_1 et P_0 est de l'ordre de 0{,}2\,\% (au maximum 0{,}26\,\% pour D^* = 26\text{ mm}), donc l'approximation P_1 \simeq P_0 est parfaitement justifiée.

2. Justification de l'approximation |P(t) - P_1| \ll P_1 :

D'après la question 9, à la profondeur critique D^*, l'amplitude maximale de la perturbation relative de pression vaut :

En utilisant la relation établie à la question 8, D^* = \frac{2H}{\gamma^2}, on exprime le paramètre d'accélération \gamma :

Avec H \simeq 10\text{ m} = 10^4\text{ mm} et D^* \sim 20\text{ mm} :

Sur toute la plage expérimentale (D^* \in [14, 26]\text{ mm}), \gamma est compris entre 28 et 38, de sorte que :

L'écart relatif de pression reste inférieur à 7\,\%, ce qui valide très convenablement le développement au premier ordre. L'approximation |P(t) - P_1| \ll P_1 est donc également justifiée.

D'après la question 8, l'expression théorique de la profondeur critique est :

La légende de la figure 1 indique que la courbe d'ajustement est de la forme D^* = c/A^2 avec c = 5{,}5\text{ mm}^3 = 5{,}5 \times 10^{-9}\text{ m}^3. Par identification, il vient :

La fréquence des oscillations f = \omega / (2\pi) s'écrit alors :

Avec H \simeq 10\text{ m}, g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et c = 5{,}5 \times 10^{-9}\text{ m}^3 :

On en déduit la fréquence des oscillations :

La couche d'air emprisonnée sous le liquide est modélisée par un gaz parfait fermé subissant une transformation isotherme. À l'équilibre, son volume est V_a = S h_a sous la pression P_a. Lorsque l'épaisseur devient h_a + z, le volume s'écrit :

L'équation d'état du gaz parfait à température constante impose :

soit :

Comme |z| \ll h_a, un développement limité au premier ordre donne :

On en déduit la variation de pression :

La poche d'air étant située sous la couche de liquide, la force pressante exercée par l'air sur la surface inférieure du liquide s'écrit :

La pression à l'équilibre P_a compense le poids du liquide et la pression atmosphérique supérieure. La variation de pression \delta P induit donc une force supplémentaire par rapport à l'équilibre, constituant la force de rappel :

soit :

Pour un oscillateur harmonique constitué d'un ressort de raideur k supportant une masse m, la pulsation propre s'écrit :

D'après le résultat de la question 12, la force de rappel s'exerçant sur le bloc de liquide sous l'effet d'un déplacement vertical z vaut :

La masse du liquide en lévitation, de volume V_l = S h_l et de masse volumique \rho_l, est donnée par :

Par analogie mécanique directe, en assimilant la couche de liquide indéformable à une masse m reposant sur le ressort pneumatique formé par la couche d'air :

La surface S se simplifie, ce qui donne :

Dans le référentiel lié au récipient en translation verticale accélérée, la couche de liquide de masse m est soumise :

• à son poids et à la poussée statique de la couche d'air à l'équilibre, qui se compensent ;
• à la force de rappel élastique due à la surpression dans l'air (question 12) : \vec{F}_{\text{rappel}} = -k z \, \vec{u}_z = -m \omega_0^2 z \, \vec{u}_z ;
• à une force dissipative visqueuse modélisée par un frottement fluide -\frac{m}{\tau} \dot{z} \, \vec{u}_z = -\frac{m \omega_0}{Q} \dot{z} \, \vec{u}_z, où le temps d'amortissement est \tau = Q/\omega_0 ;
• à la force d'inertie d'entraînement (question 4) : \vec{F}_i(t) = -m \ddot{Z}(t) \, \vec{u}_z = m A \omega^2 \cos(\omega t) \, \vec{u}_z.

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe vertical ascendant donne :

soit l'équation différentielle du mouvement :

En adoptant la notation complexe avec \underline{Z}(t) = A e^{j \omega t} (de sorte que -\ddot{Z}(t) = \text{Re}(A \omega^2 e^{j \omega t})) et en cherchant la solution en régime sinusoïdal établi sous la forme \underline{z}(t) = \underline{A_l} e^{j \omega t}, l'équation différentielle devient :

En divisant le numérateur et le dénominateur par \omega_0^2 et en introduisant la pulsation réduite x = \frac{\omega}{\omega_0}, on obtient :

D'après l'expression de l'amplitude complexe obtenue à la question Q14 :

Le facteur de qualité étant visiblement grand devant 1, la résonance d'amplitude a lieu pour x \simeq 1 (soit \omega \simeq \omega_0), et à cette pulsation le déphasage vérifie :

1. Pulsation propre \omega_0 : Sur la figure 3 :

• Le pic d'amplitude est situé à la fréquence f_0 \simeq 107\text{ Hz} (entre 106 et 108\text{ Hz}).
• La courbe de déphasage passe par -\pi/2 \simeq -1{,}6\text{ rad} à cette même fréquence f \simeq 107\text{ Hz}.

On en déduit la pulsation propre :

2. Facteur de qualité Q : À la résonance (x \simeq 1), le gain maximal vaut directement :

La lecture du maximum sur la courbe supérieure donne :

À un instant t, l'équation de la surface libre du liquide est donnée par :

La pente locale de la surface libre par rapport au plan horizontal correspond à la dérivée spatiale \dfrac{\partial z_s}{\partial x} :

où \theta(x, t) est l'angle d'inclinaison de la tangente à la surface avec l'horizontale.

Pour que la surface soit, en tout point x, très peu inclinée par rapport au plan horizontal, il faut que l'angle d'inclinaison soit petit à tout instant (|\theta(x,t)| \ll 1), soit :

La valeur maximale de |\sin(kx)| étant égale à 1, cette condition impose :

1. Incompressibilité de l'écoulement

Le champ de vitesses est bidimensionnel dans le plan (x,z). La divergence s'écrit :

On a bien \mathrm{div}\,\vec{v} = 0, donc l'écoulement est incompressible.

2. Caractère irrotationnel

Le rotationnel n'a de composante non nulle que selon \vec{u}_y :

Les autres composantes étant identiquement nulles, on a \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} = \vec{0} : l'écoulement est irrotationnel.

3. Condition à la limite au fond du récipient

L'énoncé précise que la profondeur h_l est grande devant les autres longueurs caractéristiques (k h_l \gg 1), ce qui correspond à l'approximation des ondes en eau profonde. Au fond (z \to -\infty) :

La condition d'imperméabilité au fond est donc parfaitement respectée.

4. Condition à la limite cinématique à la surface libre

La position de la surface libre est donnée par z_s(x,t) = \zeta(t)\cos kx. Une particule fluide appartenant à la surface libre y reste à tout instant, ce qui se traduit par :

Dans le cadre de l'approximation des petites perturbations (validée à la question 16 par k|\zeta| \ll 1), le terme convectif v_x \frac{\partial z_s}{\partial x} \sim \mathcal{O}(\zeta^2) est négligeable devant les termes d'ordre 1, et l'on peut évaluer la vitesse en z = 0 plutôt qu'en z = z_s :

Or, l'expression proposée donne en z = 0 :

La condition cinématique à la surface libre est donc rigoureusement vérifiée au premier ordre.

Sur les parois solides fixes et imperméables du récipient, le fluide ne peut pas traverser la paroi, ce qui impose l'annulation de la vitesse normale :

• Pour les parois situées en y = 0 et y = L_y, le vecteur normal est colinéaire à \vec{u}_y. La composante suivant y étant identiquement nulle (v_y = 0), cette condition est automatiquement satisfaite pour tout k.

• Pour les parois situées en x = 0 et x = L_x, le vecteur normal est colinéaire à \vec{u}_x, ce qui impose v_x = 0 en ces deux limites :

  \begin{aligned} v_x(0, z, t) &= -\dot{\zeta}(t) \, e^{kz} \sin(0) = 0, \\ v_x(L_x, z, t) &= -\dot{\zeta}(t) \, e^{kz} \sin(k L_x) = 0. \end{aligned}

La condition en x = 0 est vérifiée à tout instant et à toute profondeur. Pour que la condition en x = L_x soit également vérifiée quel que soit t et z, il faut que :

Le nombre d'onde k étant strictement positif pour une onde de surface non triviale, les valeurs permises pour k sont quantifiées sous la forme :

À l'aide des composantes du champ de vitesses fournies par l'équation (1) de la question 17 :

on calcule le carré de la norme de la vitesse en tout point :

On remarque que v^2 est indépendant des coordonnées transversales x et y.

L'énergie cinétique totale du fluide s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation des petites perturbations (k |\zeta| \ll 1), la borne supérieure de l'intégrale sur z peut être prise à la position d'équilibre z = 0 (l'intégration entre 0 et z_s(x,t) apporterait une contribution d'ordre 3 en \zeta, négligeable à l'ordre 2). De plus, l'hypothèse d'eau profonde (k h_l \gg 1) permet d'étendre la borne inférieure de -h_l à -\infty puisque e^{-2k h_l} \ll 1.

L'intégration se sépare alors selon :

On obtient ainsi :

Choisissons pour référence de l'énergie potentielle de pesanteur le niveau non perturbé de la surface libre, soit z = 0.

Pour une colonne infinitésimale de liquide de base \mathrm{d}x \mathrm{d}y et s'étendant verticalement entre z = 0 et la surface déformée z_s(x,t), la variation d'énergie potentielle de pesanteur s'écrit :

Cette expression reste valable que z_s(x,t) soit positif (surélévation) ou négatif (creux), car un creux correspond à un retrait de matière sous le niveau de référence, ce qui augmente l'énergie potentielle par rapport au fluide manquant.

En intégrant sur la base rectangulaire du récipient (y \in [0, L_y] et x \in [0, L_x]) :

D'après la question Q18, le nombre d'onde vérifie k = \frac{n\pi}{L_x} avec n \in \mathbb{N}^*. L'intégrale spatiale sur un nombre entier de demi-périodes vaut :

Comme la surface de la cuve est S = L_x L_y, on en déduit :

La surface libre du liquide est paramétrée par l'équation cartésienne z = z_s(x,t) = \zeta(t) \cos(kx), invariante selon l'axe y.

L'élément de surface s'écrit de manière générale :

avec :

D'après la question Q16, la surface est très peu inclinée par rapport à l'horizontale, ce qui se traduit par k|\zeta(t)| \ll 1, soit |\partial_x z_s| \ll 1. En développant la racine carrée au premier ordre non nul en (\partial_x z_s)^2 :

L'accroissement total d'aire de la surface libre est donc :

Comme k = \dfrac{n\pi}{L_x} (d'après la question Q18 avec n \in \mathbb{N}^*), on intègre un nombre entier de demi-périodes :

Sachant que S = L_x L_y, l'augmentation de surface vaut :

L'énergie de tension superficielle étant proportionnelle à l'aire de l'interface (E_s = \gamma_s \Delta \mathcal{A}), on obtient :

Les phénomènes dissipatifs étant négligés (question 17), l'énergie mécanique totale E_m(t) du liquide est conservative. En prenant comme référence de l'énergie potentielle la surface plane au repos, cette énergie mécanique s'écrit comme la somme de l'énergie cinétique et des variations d'énergie potentielle de pesanteur et de tension superficielle :

En injectant les résultats établis aux questions Q19, Q20 et Q21, on obtient :

Le système étant conservatif, la dérivée temporelle de l'énergie mécanique est nulle :

Cette relation étant vraie à tout instant et le mouvement n'étant pas identiquement nul (\dot{\zeta} \neq 0), l'amplitude \zeta(t) obéit à l'équation différentielle :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique linéaire \ddot{\zeta} + \Omega^2 \zeta = 0, ce qui prouve que \zeta(t) varie sinusoïdalement avec le temps à la pulsation :

Considérons une particule fluide de masse dm dans le référentiel lié au récipient en vibration. Elle subit :

• la force de pesanteur : \mathrm{d}\vec{P} = dm\,\vec{g} = -dm\,g\,\vec{u}_z ;
• la force d'inertie d'entraînement (question Q4) : \mathrm{d}\vec{F}_i(t) = -dm\,\ddot{Z}(t)\vec{u}_z = dm\,A\omega^2\cos(\omega t)\,\vec{u}_z.

L'amplitude de l'accélération d'entraînement est a_{\max} = A\omega^2. Le rapport entre l'amplitude de la force d'inertie et le poids vaut donc :

Or, dans la première partie :

• la condition de validité de l'étude à la profondeur critique D^* exigeait (question Q9) :

  \gamma \gg 1

• les ordres de grandeur issus des mesures expérimentales de la figure 1 donnaient (question Q10) :

  \gamma \simeq 30 \text{ à } 35 \gg 1

L'accélération imposée par la vibration dépasse l'accélération de la pesanteur de plus d'un ordre de grandeur (A\omega^2 \approx 30\,g).

Il est donc tout à fait légitime de supposer que la force de gravité est négligeable devant la force d'inertie d'entraînement pour décrire la réponse rapide du liquide :

Le récipient est animé d'une accélération verticale \ddot{Z}(t)\vec{u}_z. Dans le référentiel lié au récipient, la force volumique d'inertie d'entraînement s'écrit :

En négligeant la pesanteur ainsi que le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}, l'équation d'Euler s'écrit :

En projetant sur les axes horizontaux x et verticaux z :

À la surface libre déformée z = h(x), la tension superficielle étant négligée, la pression est uniforme et égale à la pression atmosphérique :

En différentiant cette relation par rapport à x le long de la surface libre, on obtient :

D'après l'équation (2), le gradient vertical de pression vaut :

La déformation de la surface étant une petite perturbation (k\zeta \ll 1), la pente \mathrm{d}h/\mathrm{d}x \sim k\zeta et la vitesse induite \vec{v} sont du premier ordre en \zeta. Le terme \frac{\partial v_z}{\partial t} \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x} est donc du second ordre en \zeta et peut être négligé. Au premier ordre, il vient :

d'où le gradient horizontal de pression à la surface :

En injectant ce résultat dans l'équation (1), on obtient bien :

D'après la question Q24, la vitesse tangentielle à la surface libre (z \simeq 0) vérifie :

Sachant que la déformation de la surface s'écrit h(x) \simeq \zeta \cos(kx), il vient :

Le mouvement étant purement oscillatoire de moyenne temporelle nulle (sans écoulement permanent stationnaire), l'intégration par rapport au temps donne immédiatement la vitesse tangentielle en surface :

Dans le volume du fluide parfait, les forces volumiques d'inertie dérivent d'un potentiel. D'après le théorème de Lagrange (ou de Thomson), l'écoulement est irrotationnel (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} = \vec{0}) et incompressible (\mathrm{div}\,\vec{v} = 0).

Comme établi à la question Q17, la seule structure spatiale compatible avec :

• la dépendance en \sin(kx) imposée en surface et aux parois x=0, L_x,
• la décroissance exponentielle en profondeur (e^{kz} \to 0 quand z \to -\infty, approximation des ondes en eau profonde),
• l'équation de Laplace satisfaite par le potentiel des vitesses,

est de la forme :

La condition d'incompressibilité impose ensuite :

Par intégration selon z, avec la condition de vitesse nulle au fond (v_z \to 0 quand z \to -\infty), on obtient :

On vérifie sans peine que ce champ vérifie également (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v})_y = \frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x} = 0. Le champ de vitesses dans le liquide est donc bien :

À partir des composantes du champ de vitesses obtenues à la question 25 :

on calcule la norme au carré de la vitesse en tout point du fluide :

Ce champ est de même forme spatiale que celui de la question 17, avec la substitution \dot{\zeta}(t) \leftarrow k\zeta \dot{Z}(t). L'énergie cinétique instantanée s'obtient donc en adaptant immédiatement le résultat de la question 19 :

Puisque Z(t) = A \cos(\omega t), la vitesse verticale du récipient s'écrit \dot{Z}(t) = -A \omega \sin(\omega t). La moyenne temporelle de son carré sur une période T = 2\pi/\omega vaut :

L'énergie cinétique moyenne E_v = \langle E_c(t) \rangle est donc :

L'énergie cinétique moyenne du mouvement rapide E_v(t) agit comme une énergie potentielle effective pour le mouvement lent. L'énergie mécanique totale associée à ce mouvement lent s'écrit donc :

En reprenant les résultats des questions Q19, Q20, Q21 et Q26 :

L'énergie mécanique se met sous la forme :

En l'absence de dissipation, l'énergie mécanique effective est conservée (\mathrm{d}E_m/\mathrm{d}t = 0) :

Pour un mouvement non trivial (\dot{\zeta} \neq 0), on obtient l'équation d'un oscillateur harmonique :

La pulsation \Omega(k) devient ainsi :

Le terme sous la racine est augmenté du terme positif \frac{1}{2} A^2 \omega^2 k^2.

Dans la partie III-B, le liquide était solidaire du récipient : l'écoulement rapide oscillant résultait de la force d'inertie d'entraînement associée à l'accélération verticale du récipient, d'amplitude A\omega^2, et la vitesse induite dans le liquide était directement proportionnelle à l'amplitude de vitesse de translation \dot{Z}(t), d'amplitude A\omega.

Pour le liquide en lévitation (partie II), la couche de liquide oscille verticalement en bloc avec une amplitude A_l à la pulsation \omega :

• Plaçons-nous dans le référentiel lié au mouvement vertical d'ensemble de la couche liquide. Dans ce référentiel, l'interface inférieure est au repos en moyenne, et le fluide subit une force d'inertie d'entraînement régie par l'accélération de translation de la couche, de pulsation \omega et d'amplitude A_l\omega^2 (au lieu de A\omega^2).
• La déformation ondulatoire de l'interface inférieure possède la même structure spatiale (incompressibilité, irrotationnalité et décroissance exponentielle vers l'intérieur du fluide en eau profonde). Le champ de vitesses rapides associé présente donc exactement la même forme qu'à la question 25, mais avec une amplitude proportionnelle à la vitesse d'oscillation de la couche, d'amplitude A_l\omega au lieu de A\omega.

L'énergie cinétique moyenne E_v étant une grandeur purement quadratique par rapport au champ de vitesses rapides du fluide, elle est directement proportionnelle au carré de cette amplitude de vitesse, soit (A_l\omega)^2. Le résultat de la question 26 est donc rigoureusement inchangé à condition de substituer A par A_l :

À l'interface inférieure, le liquide se trouve au-dessus de la couche d'air. Comparons chaque contribution à l'énergie mécanique du mouvement lent par rapport à l'interface supérieure :

• Énergie potentielle de pesanteur : lorsque l'interface se déforme sous la forme z_i(x,t) = \zeta(t)\cos(kx), le liquide (plus dense) descend dans les creux et l'air monte dans les crêtes. Le centre de masse du liquide s'abaisse, ce qui diminue son énergie potentielle de pesanteur :

  E_p(t) = -\frac{1}{4}\rho_l g S \zeta(t)^2

  La pesanteur est ici une force déstabilisante (instabilité de Rayleigh-Taylor), ce qui équivaut à remplacer g par -g dans la dynamique.

• Énergie de tension superficielle : la déformation augmente toujours l'aire de l'interface, si bien que l'énergie capillaire reste positive et stabilisante :

  E_s(t) = \frac{1}{4}\gamma_s k^2 S \zeta(t)^2

• Énergie cinétique rapide moyenne : d'après la question 28, le liquide oscille avec une amplitude A_l, ce qui donne une énergie cinétique moyenne :

  E_v(t) = \frac{1}{8}\rho_l k S A_l^2 \omega^2 \zeta(t)^2

En reprenant l'énergie mécanique totale du mode lent et la masse effective M_{\text{eff}} = \dfrac{\rho_l S}{2k} déterminée à la question 19 :

avec une raideur effective :

La pulsation d'oscillation \Omega(k) = \sqrt{K_{\text{eff}}/M_{\text{eff}}} vérifie donc :

D'après la relation de dispersion établie à la question 29, en négligeant la tension superficielle (\gamma_s = 0), on a :

L'interface est stable vis-à-vis des petites perturbations si toutes les solutions \zeta(t) sont purement oscillantes, ce qui impose :

D'après le résultat de la question 18, le confinement latéral par les parois verticales impose des modes discrets de pulsation d'espace :

Comme la suite (k_n)_{n \ge 1} est strictement croissante, la condition \Omega^2(k_n) > 0 est la plus contraignante pour le mode fondamental (n=1), de plus petite pulsation d'espace k_1 = \pi / L_x. Pour assurer la stabilité de tous les modes, il faut et il suffit donc que le mode fondamental soit stable :

On en déduit que l'interface liquide-air inférieure est stable si :

D'après la question Q30, l'interface inférieure liquide-air est stable tant que la dimension horizontale du récipient vérifie :

Pour stabiliser l'interface sur la plus grande largeur L_x possible, ou pour minimiser l'amplitude d'excitation A nécessaire du pot vibrant, il convient de rendre la longueur critique L^* maximale, c'est-à-dire de maximiser le produit A_l \omega.

La figure 3 montre que le gain A_l/A présente une résonance très aiguë en \omega \simeq \omega_0, atteignant une valeur maximale d'environ 13 à la fréquence :

En choisissant d'exciter le récipient à cette fréquence de résonance, l'amplitude A_l du mouvement du liquide est considérablement amplifiée par rapport à l'amplitude d'excitation A (A_l \simeq Q A).

On a donc tout intérêt à choisir :

On étudie l'équilibre mécanique du flotteur dans le référentiel lié au récipient immobile, supposé galiléen.

Le flotteur est soumis à deux forces verticales :

• son poids :

  \vec{P} = - m g\,\vec{u}_z = -\rho_f s h_0 g\,\vec{u}_z

• la poussée d'Archimède exercée par le liquide, correspondant au volume immergé V_{\text{imm}} = s D_0 :

  \vec{F}_A = \rho_l V_{\text{imm}} g\,\vec{u}_z = \rho_l s D_0 g\,\vec{u}_z

À l'équilibre, le principe fondamental de la statique impose \vec{P} + \vec{F}_A = \vec{0}, soit par projection sur l'axe vertical ascendant \vec{u}_z :

On en déduit immédiatement la profondeur d'immersion à l'équilibre :

Repérons la position verticale du flotteur par son déplacement ascendant z' compté depuis la position d'équilibre (z'=0 correspondant à la profondeur d'immersion D_0, et z'=\delta à D = D_0 - \delta). Le déplacement élémentaire s'écrit \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}z'\,\vec{u}_z.

1. Travail du poids :
La force de pesanteur est constante : \vec{P} = -m g\,\vec{u}_z = -\rho_f s h_0 g\,\vec{u}_z. Son travail lors de l'élévation d'une hauteur \delta vaut :

2. Travail de la poussée d'Archimède :
À la cote z', la profondeur immergée est D(z') = D_0 - z'. La poussée d'Archimède s'exprime par :

Son travail lors du déplacement de z'=0 à z'=\delta est donné par :

3. Variation de l'énergie potentielle :
D'après la question Q32, la condition d'équilibre statique s'écrit \rho_f h_0 = \rho_l D_0, de sorte que les termes linéaires en \delta se compensent exactement :

Par définition, la variation d'énergie potentielle est l'opposée du travail des forces conservatives :

Cette variation est bien de la forme \frac{1}{2} B \delta^2 avec :

Le flotteur est uniquement soumis à des forces conservatives (son poids et la poussée d'Archimède). En l'absence de dissipation, l'énergie mécanique du flotteur se conserve.

En repérant la position du flotteur par son déplacement vertical \delta(t) au-dessus de sa position d'équilibre, sa vitesse verticale s'écrit v = \dot{\delta}(t). Son énergie cinétique est donc :

D'après la question Q33, l'énergie potentielle totale associée à l'écart à l'équilibre s'écrit \Delta E_p = \frac{1}{2} B \delta^2. L'énergie mécanique du flotteur s'écrit ainsi :

En dérivant cette relation par rapport au temps pour \dot{\delta} \neq 0, on obtient l'équation d'un oscillateur harmonique :

avec une pulsation propre \omega_f donnée par :

D'après la question Q32, le tirant d'eau à l'équilibre vérifie \rho_f h_0 = \rho_l D_0. On en déduit l'expression de la pulsation des oscillations :

D'après la question Q5, dans le référentiel accéléré du récipient, le champ de pesanteur effectif vaut :

La poussée d'Archimède instantanée exercée sur un corps immergé de volume V_{\text{imm}}(t) s'écrit alors :

Le flotteur étant un cylindre vertical de section droite s, le volume immergé sous la surface libre à la profondeur D(t) s'exprime simplement par :

On en déduit l'expression de la poussée d'Archimède instantanée :

On étudie le flotteur de masse m = \rho_f s h_0 dans le référentiel lié au récipient, muni de l'axe vertical ascendant \vec{u}_z. Dans ce référentiel, la surface libre du liquide est fixe à la cote z=0. La cote de la face inférieure du flotteur est donc z_b(t) = -D(t), et la cote de son centre de gravité vaut z_G(t) = -D(t) + \frac{h_0}{2}.

L'accélération du flotteur dans le référentiel du récipient s'écrit alors :

Le flotteur est soumis au bilan d'actions mécaniques suivant :

• son poids : \vec{P} = -m g \vec{u}_z ;

• la force d'inertie d'entraînement, le récipient ayant l'accélération \ddot{Z}(t)\vec{u}_z par rapport au laboratoire :

  \vec{F}_i(t) = -m \ddot{Z}(t)\vec{u}_z

• la poussée d'Archimède instantanée établie à la question 35 :

  \vec{F}_A(t) = \rho_l s D(t) \big(g + \ddot{Z}(t)\big)\vec{u}_z

La force d'inertie de Coriolis est nulle car le mouvement relatif est purement vertical, parallèle à l'axe de translation.

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe \vec{u}_z donne :

D'après la question 32, la masse du flotteur s'écrit m = \rho_f s h_0 = \rho_l s D_0. En injectant cette égalité :

En divisant l'équation du mouvement par -m, on obtient :

ou, sous forme développée :

D'après la question Q36, l'équation du mouvement du flotteur dans le référentiel du récipient s'écrit :

Sous l'hypothèse où la force d'inertie d'entraînement l'emporte très largement sur la gravité (\gamma = A\omega^2/g \gg 1), on néglige g devant |\ddot{Z}(t)|, soit g + \ddot{Z}(t) \simeq \ddot{Z}(t).

On pose D(t) = \bar{D} - z(t) avec |z(t)| \ll \bar{D}. À l'ordre dominant pour le mouvement rapide, le terme d'immersion varie peu sur une période d'oscillation, d'où D(t) - D_0 \simeq \bar{D} - D_0. Sachant que \ddot{D}(t) = -\ddot{z}(t), l'équation du mouvement se simplifie en :

Comme Z(t) = A\cos\omega t et que la perturbation z(t) oscille à la même pulsation \omega avec une valeur moyenne temporelle nulle, l'intégration temporelle donne directement :

avec :

Discussion des cas limites :

• Cas \bar{D} = D_0 : on trouve \alpha = 0, donc z(t) = 0. À la profondeur d'équilibre statique, la masse de liquide déplacé est rigoureusement égale à la masse du flotteur (m = \rho_l s D_0). La poussée d'Archimède d'inertie compense exactement la force d'inertie d'entraînement du flotteur à chaque instant. Il n'y a donc aucun mouvement relatif du flotteur par rapport au liquide.
• Cas \bar{D} = 0 : on trouve \alpha = -1, donc z(t) = -Z(t). Le flotteur n'est plus immergé, la poussée d'Archimède est nulle. En l'absence de gravité, il ne subit aucune force et reste donc immobile dans le référentiel galiléen du laboratoire : son altitude dans le récipient varie donc simplement comme z(t) = -Z(t).

Dans le référentiel lié au récipient, la profondeur instantanée du flotteur s'écrit D(t) = D - z(t) avec z(t) = \alpha Z(t) = \alpha A \cos(\omega t) d'après la question Q37.

La vitesse verticale du flotteur associée à ce mouvement rapide est :

L'énergie cinétique instantanée du flotteur associée au mouvement rapide s'écrit alors :

où m = \rho_f s h_0 = \rho_l s D_0 est la masse du flotteur (d'après la question Q32).

En moyennant sur une période d'oscillation T = \frac{2\pi}{\omega}, sachant que \langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, on obtient :

En remplaçant la masse m = \rho_l s D_0 (ou m = \rho_f s h_0), l'énergie cinétique moyenne s'exprime sous la forme :

En fonction de l'écart à la position d'équilibre statique \delta = D_0 - D, comme \alpha = -\frac{\delta}{D_0}, cette énergie cinétique moyenne s'écrit également :

Le mouvement lent du flotteur est repéré par son écart \delta(t) par rapport à sa profondeur d'immersion d'équilibre D_0. L'énergie cinétique associée à ce mouvement lent s'écrit :

puisque m = \rho_f s h_0 = \rho_l s D_0 d'après la question 32.

L'énergie potentielle issue des forces statiques (poids et poussée d'Archimède) vaut, d'après la question 33 :

Selon l'énoncé, le mouvement rapide ajoute à l'énergie mécanique une contribution correspondant à l'énergie cinétique moyenne calculée à la question 38 :

L'énergie mécanique effective régissant l'évolution lente s'écrit donc :

avec une raideur effective :

En l'absence de dissipation, l'énergie mécanique moyenne est conservée : \dfrac{\mathrm{d}E_{m,\text{eff}}}{\mathrm{d}t} = 0, ce qui conduit à l'équation différentielle du mouvement lent :

La nouvelle pulsation des petites oscillations est donc :

1. Position d'équilibre :

À l'interface liquide-air inférieure, le liquide est situé au-dessus de l'air. Le flotteur pénètre donc vers le haut dans le liquide sur une hauteur D_0, le reste de sa hauteur h_0 - D_0 étant situé en dessous, dans la poche d'air. Comme à la question Q32, l'équilibre moyen entre le poids et la poussée d'Archimède impose :

2. Condition de stabilité sur la hauteur h_0 :

En l'absence de vibration, cet équilibre est instable : un déplacement vers le haut augmente la hauteur immergée D, donc la poussée d'Archimède dirigée vers le haut, ce qui accélère le flotteur vers le liquide (et inversement vers le bas). Cette instabilité correspond à un changement de signe de la raideur statique, soit formellement g \to -g :

Sous l'effet de la vibration verticale de la couche de liquide, d'amplitude A_l (d'après la question Q28), le terme moyen d'énergie cinétique rapide stabilise le système de façon analogue à la question Q39. La pulsation effective des oscillations lentes s'écrit donc :

L'équilibre est stable si et seulement si \omega_{\mathrm{eff}}^2 > 0, ce qui équivaut à :

En remplaçant D_0 = \frac{\rho_f}{\rho_l} h_0, on obtient la condition sur la hauteur totale h_0 :

où L^* est la longueur critique déterminée à la question Q30.

3. Commentaire de la photographie :

Sur la photographie reproduite en exergue du sujet, on observe deux petits bateaux :

• L'un flotte classiquement à la surface libre supérieure ;
• L'autre flotte « la tête en bas » sous la surface inférieure de la couche de liquide en lévitation : sa coque est immergée vers le haut dans le liquide et sa superstructure pointe vers le bas dans la poche d'air.

La barre d'échelle indique 1\text{ cm}. Avec les valeurs typiques de l'expérience (L^* \sim 10\text{ à } 20\text{ cm}), la hauteur critique h_0^* est de l'ordre de quelques centimètres. Le bateau, de hauteur inférieure au centimètre, vérifie bien h_0 < h_0^* : la vibration rapide stabilise l'interface ainsi que le flotteur, donnant l'illusion spectaculaire d'une gravité inversée.