Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2025 (page 2/3 : Partie I (questions 17 à 23) et partie II)

Par définition, le coefficient de compressibilité isentropique (ou adiabatique) est donné par :

La propagation de l'onde sonore étant suffisamment rapide pour que les transferts thermiques soient négligeables, et les effets dissipatifs (viscosité) étant supposés nuls, l'évolution d'une particule fluide au passage de l'onde est isentropique.

Au voisinage de l'état de repos (\rho_0, P_0), la variation de masse volumique \mu(x,t) = \rho(x,t) - \rho_0 s'exprime au premier ordre en fonction de la surpression acoustique p(x,t) = P(x,t) - P_0 par :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, \rho \approx \rho_0, d'où l'expression de \chi_S :

ce qui fournit la relation constitutive acoustique liant la surmasse volumique à la surpression :

Le fluide étant supposé non visqueux et l'action de la pesanteur étant négligeable devant les effets acoustiques, le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule fluide s'exprime par l'équation d'Euler :

L'écoulement étant unidimensionnel le long de l'axe Ox avec \vec{v}(x,t) = v(x,t)\,\vec{u}_x, la projection de l'équation d'Euler sur \vec{u}_x s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation acoustique :

• le terme convectif d'accélération v \frac{\partial v}{\partial x} est d'ordre 2 en perturbations, donc négligeable devant le terme d'accélération locale \frac{\partial v}{\partial t} (d'ordre 1) ;
• la masse volumique vaut \rho = \rho_0 + \mu, de sorte que \rho \frac{\partial v}{\partial t} = (\rho_0 + \mu)\frac{\partial v}{\partial t} \approx \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t}, le produit \mu \frac{\partial v}{\partial t} étant du second ordre ;
• la pression non perturbée P_0 étant uniforme et stationnaire, le gradient de pression se réduit à \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial p}{\partial x}.

L'équation de la dynamique simplifiée au premier ordre devient ainsi :

ou, sous forme vectorielle :

L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) s'écrit de manière générale :

Le champ de vitesse étant unidimensionnel selon l'axe Ox (\vec{v}(x,t) = v(x,t)\,\vec{u}_x) et la masse volumique ne dépendant que de x et t, cette équation devient :

On introduit les grandeurs acoustiques perturbatives : \rho(x,t) = \rho_0 + \mu(x,t), avec \rho_0 uniforme et stationnaire. Il vient :

Pour le terme de flux massique, on développe le produit :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations sont d'amplitude faible : \mu \ll \rho_0, si bien que le terme non linéaire \mu v est du second ordre par rapport au terme du premier ordre \rho_0 v et peut être négligé (\mu v \ll \rho_0 v). Dès lors :

L'équation locale de conservation de la masse simplifiée au premier ordre s'écrit donc :

ou, sous forme vectorielle intrinsèque :

D'après la relation constitutive obtenue à la question Q17, on a :

En dérivant cette relation par rapport au temps et en l'injectant dans l'équation de conservation de la masse linéarisée (question Q19) :

Soit, en simplifiant par \rho_0 :

Dérivons cette équation par rapport au temps :

Par ailleurs, l'équation d'Euler linéarisée (question Q18) s'écrit :

En la dérivant par rapport à x et en appliquant le théorème de Schwarz aux fonctions régulières (\frac{\partial^2 v}{\partial t \partial x} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial t}) :

En combinant ces deux relations, on obtient l'équation de d'Alembert vérifiée par la surpression p(x,t) :

Par identification avec la forme canonique de l'équation d'onde à une dimension \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0, la célérité c des ondes ultrasonores s'exprime par :

Application numérique La cornée étant principalement constituée d'eau, on prend \rho_0 = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, et d'après l'annexe 1, \chi_S = 3{,}6 \cdot 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} :

D'après l'équation d'Euler linéarisée obtenue à la question Q18 :

1. Onde se propageant dans le sens des x positifs Une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants s'écrit sous la forme générale :

Sa dérivée spatiale vérifie :

En injectant cette relation dans l'équation d'Euler :

En intégrant par rapport au temps, et compte tenu du fait que la perturbation est nulle au repos (v = 0 lorsque p = 0), on obtient :

L'impédance acoustique Z_+ = \frac{p_+}{v_+} s'écrit donc, en utilisant c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_S}} (établi à la question Q20) :

2. Onde se propageant dans le sens des x négatifs Pour une onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants :

Sa dérivée spatiale vérifie cette fois :

L'équation d'Euler donne alors :

L'impédance acoustique pour l'onde rétrograde est donc :

On choisit l'interface cornée / humeur aqueuse en x = 0. Le milieu 1 (x < 0) correspond à la cornée d'impédance acoustique Z_1, et le milieu 2 (x > 0) à l'humeur aqueuse d'impédance Z_2.

1. Conditions aux limites en x = 0 :

• Continuité de la vitesse particulaire normale : les deux milieux restant en contact intime (pas de décollement ni d'interpénétration de la matière à l'interface), la composante normale de la vitesse est continue :

  v(0^-, t) = v(0^+, t)

• Continuité de la pression acoustique : l'application du principe fondamental de la dynamique à une tranche fluide frontière d'épaisseur infinitésimale (de masse tendant vers zéro) impose l'absence de discontinuité des forces surfaciques de pression :

  p(0^-, t) = p(0^+, t)

2. Coefficients de réflexion et transmission en vitesse :

Dans le milieu 1, le champ de vitesse est la superposition de l'onde incidente (se propageant selon +x) et de l'onde réfléchie (se propageant selon -x) :

Dans le milieu 2, seule se propage l'onde transmise :

D'après la question Q21, l'impédance acoustique vérifie p_+ = Z v_+ et p_- = -Z v_-. Les surpressions associées s'écrivent donc :

En introduisant les amplitudes complexes (ou en évaluant en x = 0) avec les définitions r_v = \frac{v_r(0,t)}{v_i(0,t)} et t_v = \frac{v_t(0,t)}{v_i(0,t)}, les conditions aux limites deviennent :

En substituant t_v = 1 + r_v dans la seconde équation :

On en déduit l'expression du coefficient de réflexion en vitesse :

Puis le coefficient de transmission en vitesse :

3. Fraction de puissance acoustique incidente réfléchie :

La puissance acoustique instantanée traversant une surface S normale à la propagation est donnée par le flux du vecteur de Poynting acoustique \vec{\Pi} = p\,\vec{v}. Pour une onde progressive plane, la puissance moyenne incidente et la puissance moyenne réfléchie valent respectivement :

La fraction de puissance incidente réfléchie (facteur de réflexion énergétique R) s'exprime donc par le rapport :

Soit :

Le dispositif utilisé est un pachymètre ultrasonore constitué d'un transducteur (émetteur-récepteur piézoélectrique) placé au contact de la face avant de la cornée :

• Le transducteur émet une impulsion ultrasonore brève qui pénètre dans la cornée par sa face antérieure à un instant t_1.
• L'onde se propage dans la cornée à la célérité c, puis rencontre l'interface cornée – humeur aqueuse (face postérieure). En raison du saut d'impédance acoustique (Z_1 \neq Z_2, étudié en Q22), une fraction de l'onde est réfléchie.
• Cette onde réfléchie effectue le trajet retour à travers la cornée et atteint à nouveau le transducteur à un instant t_2.

Pendant la durée \Delta t = t_2 - t_1 (temps de vol), l'onde acoustique a parcouru un aller-retour dans la cornée d'épaisseur e, soit une distance totale 2e :

On en déduit l'expression de l'épaisseur de la cornée :

La célérité c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_S}} \approx 1{,}7\cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} étant connue d'après la question Q20, la mesure électronique du temps de propagation \Delta t donne un accès direct à l'épaisseur e, permettant de vérifier la condition e > 500\text{ }\mu\text{m}.

À chaque pulsation cardiaque, le cœur éjecte un volume V_0 = 75\text{ cm}^3. Pour une fréquence cardiaque de N = 70\text{ pulsations}\cdot\text{min}^{-1} = \frac{70}{60}\text{ s}^{-1}, le débit volumique sanguin moyen D s'écrit :

Numériquement :

Soit, en unités du système international :

Par conservation du débit volumique en régime permanent dans l'aorte de section S = 3{,}0\text{ cm}^2, la vitesse moyenne du sang en sortie du cœur s'exprime par :

Numériquement :

Soit :

Considérons le sang s'écoulant en régime permanent à travers le cœur. Le premier principe de la thermodynamique en système ouvert (formulation massique) s'écrit :

où :

• la pompe est supposée adiabatique, soit q = 0 ;
• les cotes d'entrée et de sortie sont sensiblement identiques, d'où \Delta e_p = g(z_s - z_e) \approx 0 ;

• l'enthalpie massique s'exprime par h = u + \frac{P}{\rho_s}. Le sang étant assimilé à un fluide incompressible (\rho = \rho_s = \text{cte}) d'énergie interne massique constante (u_s = u_e), il vient :

  h_s - h_e = (u_s - u_e) + \frac{P_s - P_e}{\rho_s} = \frac{P_s - P_e}{\rho_s}

Avec la condition cinétique v_e = \dfrac{v_s}{2}, la variation d'énergie cinétique massique s'écrit :

Le travail utile massique fourni par le cœur est donc :

Application numérique :

Le terme cinétique représente moins de 0{,}4\,\% du travail de transvasement et s'avère parfaitement négligeable. On obtient ainsi :

La puissance utile mécanique fournie par le cœur correspond au produit du débit massique D_m = \rho_s D par le travail massique w_u :

Application numérique :

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta, à une vitesse caractéristique v dans une conduite cylindrique de diamètre D = 2R, est défini par le rapport adimensionnel des forces d'inertie sur les forces visqueuses :

Dans une conduite cylindrique, l'écoulement est laminaire tant que les effets visqueux dissipatifs prédominent et empêchent le développement d'instabilités turbulentes, c'est-à-dire lorsque le nombre de Reynolds reste inférieur à un nombre de Reynolds critique Re_c :

1. Dépendance de la vitesse vis-à-vis des coordonnées d'espace :

• Invariance par rotation : La conduite est un cylindre de révolution d'axe Ox et de section constante. En l'absence de cause de dissymétrie azimutale pour l'écoulement laminaire, le système est invariant par rotation d'un angle quelconque autour de l'axe Ox. Il en découle que le champ scalaire v ne dépend pas de l'angle polaire \theta :

  \frac{\partial v}{\partial \theta} = 0 \implies v(r,\theta,x) = v(r,x)

• Incompressibilité du fluide : Le sang est assimilé à un fluide incompressible et homogène, la masse volumique \rho est donc constante. L'équation de conservation de la masse se réduit à la condition d'incompressibilité :

  \mathrm{div}\,\vec{v} = 0

  Le champ de vitesse étant purement axial, \vec{v}(M) = v(r,x)\vec{u}_x (avec v_r = 0 et v_\theta = 0), son expression en coordonnées cylindriques donne :

  \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{v} &= \frac{1}{r}\frac{\partial (r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v}{\partial x} \\ &= \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \end{aligned}

  La composante v est donc indépendante de la variable axiale x.

On en déduit que le champ de vitesse ne dépend que de la seule variable radiale r :

2. Vitesse du fluide au contact de la paroi :

Le sang étant un fluide visqueux (\eta \neq 0), les effets de frottement imposent la condition d'adhérence du fluide à la paroi solide. La paroi du vaisseau étant fixe dans le référentiel d'étude en r = R, la vitesse relative du fluide par rapport à la paroi s'annule :

Le système étudié est la portion cylindrique de fluide de rayon r (compris entre 0 et R) et de longueur L.

Les forces de viscosité (frottements internes exercés par le fluide extérieur r' > r sur le cylindre de fluide r' \leqslant r) s'exercent sur la surface latérale du cylindre, d'aire :

Sur les faces d'entrée et de sortie (sections planes perpendiculaires à \vec{u}_x), le gradient longitudinal de vitesse est nul (\partial v / \partial x = 0), donc les contraintes visqueuses normales sont nulles.

Puisque le rayon r est fixé sur toute la surface latérale, le terme \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} \vec{u}_x y est uniforme. La résultante des forces de viscosité s'exerçant sur cet élément de fluide s'écrit donc :

soit :

La section transverse de la portion cylindrique de fluide considérée est un disque d'aire :

• En amont (section d'entrée) : le vecteur unitaire normal sortant du système est \vec{n}_{\text{ext}} = -\vec{u}_x. La force de pression exercée par le fluide extérieur sur cette face d'entrée est donc motrice, dirigée dans le sens de l'écoulement :

  \boxed{ \vec{F}_{\text{amont}} = P_1 \pi r^2\,\vec{u}_x }

• En aval (section de sortie) : le vecteur unitaire normal sortant du système est \vec{n}_{\text{ext}} = +\vec{u}_x. La force de pression exercée par le fluide extérieur sur cette face de sortie est résistante, opposée au sens de l'écoulement :

  \boxed{ \vec{F}_{\text{aval}} = -P_2 \pi r^2\,\vec{u}_x }

On applique le principe fondamental de la dynamique, dans le référentiel d'étude galiléen, au système constitué du cylindre de fluide de rayon r compris entre les abscisses x et x+L.

L'écoulement étant stationnaire et unidirectionnel (\vec{v} = v(r)\vec{u}_x), le terme convectif d'accélération est nul :

L'accélération de chaque particule fluide est donc nulle. Le système est en équilibre dynamique :

En négligeant le poids devant les forces visqueuses et de pression, le bilan des forces extérieures appliquées à ce cylindre s'écrit :

D'après les résultats des questions Q28 et Q29 :

En projetant sur \vec{u}_x et en divisant par 2\pi r \eta L (pour r \neq 0), on obtient :

d'où l'équation différentielle demandée :

Par intégration directe par rapport à r, il vient :

où C est une constante d'intégration.

La condition aux limites d'adhérence à la paroi établie en Q27 impose v(R) = 0, soit :

On en déduit l'expression du profil de vitesse :

Le champ de vitesse dans le fluide s'écrit donc sous forme vectorielle :

D'après la question Q30, la vitesse du fluide à la distance r de l'axe s'écrit :

Considérons une couronne circulaire élémentaire comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r. Sa surface vaut \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r. Le débit volumique élémentaire à travers cette surface s'écrit :

Le débit volumique total à travers toute la section droite du vaisseau s'obtient par intégration :

On en déduit la loi de Poiseuille pour le débit volumique :

Par définition, la vitesse moyenne v_m de l'écoulement est reliée au débit volumique par la relation D_v = v_m S, avec S = \pi R^2 l'aire de la section transversale du vaisseau :

En remplaçant D_v par son expression, on obtient :

D'après le résultat de la question Q31, la vitesse moyenne du fluide dans une conduite cylindrique de section circulaire soumise à un écoulement de Poiseuille s'écrit :

Avec les données de l'énoncé et de l'annexe 2 :

• R = 5{,}0\,\mu\text{m} = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\text{ m} ;
• L = 1{,}0\text{ cm} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• P_1 - P_2 = 10\text{ kPa} = 1{,}0 \cdot 10^4\text{ Pa} ;
• \eta = 4{,}0\text{ mPa}\cdot\text{s} = 4{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}.

L'application numérique donne pour la vitesse moyenne :

Le nombre de Reynolds associé à cet écoulement en conduite de diamètre D = 2R vaut :

Avec \rho_s = 1{,}1 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, on obtient :

Le nombre de Reynolds étant immensément inférieur au seuil critique de transition (\mathrm{Re}_c \approx 2000), l'hypothèse d'un écoulement laminaire est parfaitement validée.

Le sang étant modélisé par un fluide incompressible en régime permanent, le débit volumique total D délivré par le cœur (calculé à la question Q24) est conservé à travers l'ensemble des ramifications vasculaires.

Puisque les N capillaires sont supposés montés en parallèle et identiques, le débit total s'écrit :

où d_v est le débit volumique traversant un capillaire de rayon R à la vitesse moyenne v_{\text{cap}} :

On en déduit l'expression du nombre total de capillaires :

Avec les valeurs numériques suivantes :

• D = 87{,}5\text{ cm}^3\cdot\text{s}^{-1} = 8{,}75 \cdot 10^{-5}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} (d'après Q24) ;
• R = 5{,}0\,\mu\text{m} = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\text{ m} (donnée de Q32) ;
• v_{\text{cap}} \approx 1\text{ mm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

le débit d'un capillaire vaut :

Le nombre de capillaires est donc :