Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2021 (page 2/2 : Parties III et IV)

Considérons un volume fixe \mathcal{V} de fluide délimité par une surface fermée \mathcal{S} orientée vers l'extérieur par le vecteur normal unitaire \vec{n}. Le bilan de masse s'écrit :

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky au flux massique sortant, on obtient :

Ce résultat étant vrai pour tout volume \mathcal{V}, on en déduit l'équation locale de conservation de la masse :

Le fluide est initialement au repos avec une masse volumique d'équilibre \rho_0 uniforme et indépendante du temps (\frac{\partial \rho_0}{\partial t} = 0, \vec{\operatorname{grad}}\rho_0 = \vec{0}). En introduisant les champs perturbés \rho(\vec{r}, t) = \rho_0 + \rho_a(\vec{r}, t) et \vec{v}(\vec{r}, t) = \vec{v}_a(\vec{r}, t) :

Dans le cadre de l'hypothèse des petites perturbations acoustiques (|\rho_a| \ll \rho_0), le terme \operatorname{div}(\rho_a \vec{v}_a) est du second ordre par rapport aux grandeurs de perturbation et est négligé devant \rho_0 \operatorname{div}\vec{v}_a. L'équation de conservation de la masse linéarisée au premier ordre devient donc :

L'équation générale du mouvement d'un fluide visqueux est donnée par l'équation de Navier-Stokes :

Appliquons successivement les hypothèses et simplifications :

• Fluide parfait : la viscosité du fluide est négligée (\eta = 0), le terme de frottement visqueux \eta \Delta \vec{v} est donc nul. L'équation se réduit alors à l'équation d'Euler :

  \rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v} \right) = \vec{f}_{\text{ext}} - \vec{\operatorname{grad}} P
• Forces extérieures : les forces de pesanteur sont négligées conformément à l'énoncé, soit \vec{f}_{\text{ext}} = \vec{0}.

• Linéarisation (petites perturbations acoustiques) : on injecte les champs perturbés autour de l'état de référence au repos uniforme :

  \vec{v} = \vec{v}_a, \quad P = P_0 + p_a, \quad \rho = \rho_0 + \rho_a

  Le terme convectif (\vec{v}_a \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v}_a est d'ordre 2 en amplitude de perturbation ; il est donc négligeable devant l'accélération locale \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} (d'ordre 1).

  De même, le produit \rho \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} = (\rho_0 + \rho_a)\frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} = \rho_0 \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} + \rho_a \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} se simplifie en \rho_0 \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} au premier ordre car \rho_a \frac{\partial \vec{v}_a}{\partial t} est du second ordre.

  Enfin, la pression d'équilibre P_0 étant spatio-temporellement constante et uniforme, \vec{\operatorname{grad}} P_0 = \vec{0}, d'où \vec{\operatorname{grad}} P = \vec{\operatorname{grad}} p_a.

On aboutit ainsi à l'équation d'Euler linéarisée de l'acoustique :

D'après l'équation de conservation de la masse linéarisée (question Q13) :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

L'équation d'Euler linéarisée (question Q14) s'écrit :

En appliquant l'opérateur divergence à cette égalité et en utilisant l'identité \operatorname{div}(\vec{\operatorname{grad}} p_a) = \Delta p_a, il vient :

En injectant (2) dans (1), on obtient la relation liant la masse volumique et la pression :

L'équation d'état fournie s'écrit :

En dérivant deux fois par rapport au temps :

En reportant cette expression dans (3), on aboutit à l'équation différentielle régissant la pression acoustique :

La source thermique étant modélisée comme ponctuelle et située à l'origine, le problème présente une invariance par rotation autour de celle-ci : le champ de surpression ne dépend que du rayon r et du temps t, soit p_a(\vec{r}, t) = p_a(r, t).

D'après le formulaire, le laplacien d'une fonction à symétrie sphérique s'écrit :

En dehors de la source ponctuelle (pour r > 0, où T_a ne varie plus), le second membre de l'équation établie à la question Q15 s'annule, ce qui conduit à :

La solution générale de cette équation de d'Alembert unidimensionnelle sur la fonction auxiliaire u(r,t) = r\,p_a(r,t) est la superposition d'une onde divergente et d'une onde convergente :

Par condition de causalité (rayonnement vers l'infini sans onde venant de l'infini), seule l'onde sphérique sortante existe (g = 0). On s'attend donc à :

Il s'agit d'une onde acoustique sphérique divergente (ou progressive sortante).

À grande distance de la source, l'amplitude de la surpression acoustique présente une décroissance inversement proportionnelle à la distance :

1. Détermination de la fréquence f :

La figure 3 représente la variation temporelle de la pression acoustique à la surface de la nanoparticule. On observe un signal biphasique (une surpression suivie d'une dépression) :

• le maximum de surpression a lieu à t \approx -2{,}5\text{ ns} ;
• le minimum de dépression a lieu à t \approx +2{,}5\text{ ns}.

L'intervalle de temps entre ces deux extrema correspond à une demi-période T/2 \approx 5\text{ ns} = \tau_p, ce qui correspond à une période acoustique fondamentale :

La fréquence principale du signal acoustique émis est donc :

2. Détermination de la longueur d'onde \lambda :

L'onde acoustique se propage dans l'eau à la célérité c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (donnée à la question 15). La longueur d'onde ultrasonore s'écrit :

3. Caractère ponctuel de la nanoparticule :

Le rayon de la nanoparticule d'or est a = 100\text{ nm} = 0{,}10\text{ µ m}. Comparons son rayon (ou son diamètre 2a = 0{,}20\text{ µ m}) à la longueur d'onde émise :

La taille de la source est bien plus petite que la longueur d'onde acoustique émise (a \ll \lambda) : les effets de diffraction intrinsèques à la structure de la source sont négligeables et l'émission est quasi-isotrope.

D'après la question Q16, l'onde acoustique divergente à symétrie sphérique en dehors de la zone source s'écrit sous la forme :

En identifiant cette solution à la surface de la nanoparticule (r = a) et au niveau du capteur situé à la distance d de celle-ci, il vient :

puisque a = 100\text{ nm} \ll d = 3\text{ cm}.

1. Retard de propagation (temps de vol) :

Avec d = 3\text{ cm} = 3\times 10^{-2}\text{ m} et c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

2. Atténuation d'amplitude : Le facteur d'atténuation géométrique vaut :

D'après la figure 3, l'amplitude de crête de la surpression à la surface de la nanoparticule est p_{\text{max}}(a) \simeq 3\text{ kPa}. L'amplitude de crête enregistrée par le capteur est donc :

3. Représentation graphique : Le signal reçu conserve la même forme temporelle bipolaire que sur la figure 3, avec une durée d'impulsion de l'ordre de 10\text{ à } 20\text{ ns}, mais il est retardé de \tau_d = 20\text{ µ s} et son amplitude est fortement atténuée ({\sim} 10\text{ mPa}).

La période séparant deux impulsions laser consécutives est donnée par :

En tomographie photoacoustique, l'onde lumineuse pénètre dans les tissus à la vitesse de la lumière (c/n \sim 2\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), de sorte que le temps de propagation optique sur quelques centimètres (\sim 0{,}1\text{ ns}) est tout à fait négligeable devant les temps acoustiques. L'onde ultrasonore est ainsi générée quasi-instantanément à la profondeur z et n'effectue qu'un trajet simple de la nanoparticule vers le capteur à la célérité c_0.

Pour éviter toute ambiguïté de distance (le signal émis par une impulsion doit avoir été entièrement enregistré avant l'arrivée du signal induit par l'impulsion suivante), le retard acoustique doit vérifier :

La profondeur maximale théorique sans ambiguïté temporelle est donc :

Application numérique avec c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f_{\mathrm{rep}} = 1\text{ kHz} :

Commentaire :

• Cette profondeur de 1{,}5\text{ m} est considérable et bien supérieure à l'épaisseur typique des organes étudiés (par exemple quelques millimètres pour un cerveau de rat, quelques centimètres pour le corps humain).

• Dans la pratique, la profondeur de pénétration n'est absolument pas limitée par la cadence de tir du laser, mais par :

  1. l'atténuation optique (diffusion et absorption exponentielle du faisceau laser dans les tissus) ;
  2. l'atténuation acoustique, particulièrement sévère aux hautes fréquences ultrasonores (f \sim 100\text{ MHz}, où l'onde s'atténue sur quelques millimètres seulement).
• La cadence f_{\mathrm{rep}} = 1\text{ kHz} garantit une absence totale d'ambiguïté temporelle tout en autorisant une cadence d'acquisition rapide, propice à un moyennage efficace pour améliorer le rapport signal sur bruit.

L'impulsion laser se propage à la vitesse de la lumière c \approx 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : pour une profondeur de l'ordre de quelques centimètres, le temps de trajet optique est de l'ordre de 10^{-10}\text{ s} = 0{,}1\text{ ns}, ce qui est négligeable devant la durée de l'impulsion \tau_p = 5\text{ ns}. Les nanoparticules situées à des distances différentes r_1 et r_2 du capteur sont donc excitées de manière synchrone en t \approx 0.

Chaque nanoparticule émet alors une impulsion acoustique sphérique qui se propage à la célérité c_0 dans les tissus. Les temps d'arrivée respectifs au capteur sont :

Le décalage temporel entre les deux signaux enregistrés par le capteur vaut donc :

Pour que les deux signaux soient temporellement résolus (c'est-à-dire discernables sans recouvrement complet), l'intervalle \Delta t doit être au moins égal à la durée temporelle caractéristique de l'impulsion de pression générée, \tau_{\text{ac}}. D'après l'étude précédente et la figure 3, cette durée est directement imposée par la durée de l'impulsion laser \tau_p ou par la période ultrasonore T = 1/f \approx 10\text{ ns} (correspondant à \lambda = 15\text{ µ m}) :

Numériquement, avec c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \tau_p = 5\text{ ns} :

Si l'on adopte comme critère la durée totale du signal biphasique de la figure 3 (T \approx 10\text{ ns}, soit une longueur d'onde acoustique \lambda = c_0 T = 15\text{ µ m}), on obtient :

Paramètre principal limitant : Le paramètre principal à l'origine de cette limite de résolution axiale est la durée de l'impulsion laser \tau_p (ou la largeur de bande acoustique / la longueur d'onde \lambda = c_0 \tau_p associée). Une impulsion optique plus brève génère un signal acoustique plus court et riche en hautes fréquences, améliorant ainsi la résolution axiale.

Un capteur ponctuel placé à l'origine (0,0,0) enregistre un signal acoustique dont la date d'arrivée t est reliée à la distance r de la source par le temps de vol :

Ce temps de vol ne fournit donc qu'une unique information spatiale à une dimension : la distance radiale r.

Par conséquent :

• Indétermination angulaire : le capteur étant ponctuel, il est isotrope (sensibilité identique dans toutes les directions). Une impulsion reçue à l'instant t peut provenir de n'importe quel point situé sur la demi-sphère de rayon r = c_0 t dans le demi-espace z > 0. On ne dispose d'aucune information sur la direction (\theta, \varphi) d'incidence de l'onde.
• Superposition de sources : si plusieurs nanoparticules sont situées à la même distance r du capteur dans des directions différentes, leurs signaux arrivent simultanément et se superposent, rendant impossible leur séparation spatiale.

Pour reconstruire une image à deux ou trois dimensions, il est indispensable de lever cette dégénérescence spatiale en disposant d'une résolution transverse, obtenue par exemple par un capteur focalisé (question suivante), un réseau de transducteurs ou un balayage spatial du capteur.

Par analogie avec un miroir sphérique convergent ou une lentille mince en optique, le capteur concave de diamètre d'ouverture D et de distance focale F concentre les ondes ultrasonores émises au foyer ou, réciproquement, diffracte avec un demi-angle au premier minimum donné par la relation d'Airy :

D'après le critère de résolution de Rayleigh, deux sources ponctuelles situées dans le plan focal à distance F peuvent être distinguées si le centre de la tache de diffraction de l'une coïncide avec le premier zéro de diffraction de l'autre. Le pouvoir de résolution spatiale latérale (séparation transversale minimale résolue) \delta x_{\min} s'écrit alors :

D'après la question Q17, pour la fréquence principale f \simeq 100\text{ MHz}, la longueur d'onde ultrasonore vaut \lambda = 15\text{ µ m}. Avec D = 1\text{ cm} et F = 3\text{ cm} :

Le réseau unidimensionnel comporte N capteurs régulièrement espacés selon l'axe (Ox) entre les abscisses -D/2 et +D/2. L'élément d'indice i \in \{1, \dots, N\} est donc localisé au point de coordonnées :

La nanoparticule source étant située en S(0, 0, F), la distance d_i entre la source et le capteur i s'écrit :

L'onde acoustique sphérique émise par la nanoparticule à un instant pris comme origine (t=0) atteint le capteur i à l'instant :

Le front d'onde atteint en premier le capteur central (x_i \approx 0) à l'instant minimal t_{\min} = \frac{F}{c_0}, et en dernier les capteurs situés aux extrémités (x = \pm D/2) à l'instant maximal :

Pour synchroniser causalement l'ensemble des signaux reçus (c'est-à-dire les aligner sur l'instant de réception le plus tardif t_{\max} par des lignes à retard positives), le délai \tau_i \ge 0 à appliquer au signal reçu par l'élément i est :

Remarque : En traitement d'antenne numérique (« delay-and-sum »), on définit souvent le décalage temporel relatif par rapport au centre : \delta t_i = t_i - t_{\min} = \frac{\sqrt{x_i^2 + F^2} - F}{c_0}.

La différence entre le plus long délai (appliqué au centre où le signal arrive le plus tôt) et le plus faible délai (nul, aux extrémités x = \pm D/2) s'écrit :

Comme D = 1\text{ cm} \ll F = 3\text{ cm}, on peut effectuer un développement limité au premier ordre non nul en (D/2F)^2 :

On obtient ainsi l'expression approchée :

Application numérique : Avec D = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}, F = 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} et c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Soit :

Considérons le milieu de propagation (tissus assimilés à de l'eau) au repos dans le référentiel du laboratoire, dans lequel la sonde est également fixe. La nanoparticule se déplace avec le flux sanguin à la vitesse \vec{v} et se comporte comme une source ponctuelle émettant une onde acoustique de période propre T = \frac{1}{f}.

Notons \vec{u} le vecteur unitaire orienté de la nanoparticule (source) vers la sonde (récepteur).

• À l'instant t_1 = 0, la nanoparticule est à la position \vec{r}_1, à une distance d_1 de la sonde. Le premier front d'onde est émis et parvient à la sonde à l'instant :

  t'_1 = \frac{d_1}{c_0}

• À l'instant t_2 = T, la nanoparticule a avancé de \Delta\vec{r} = \vec{v}\,T et se trouve à la distance d_2 \approx d_1 - (\vec{v}\cdot\vec{u})\,T de la sonde (en assimilant les fronts d'onde à des ondes planes à l'échelle de la longueur d'onde car la distance est très grande devant \lambda). Le second front d'onde est émis et parvient à la sonde à l'instant :

  t'_2 = T + \frac{d_2}{c_0} \approx T + \frac{d_1}{c_0} - \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{c_0}\,T

La période acoustique T' mesurée par la sonde est donc :

La fréquence reçue f' = \frac{1}{T'} s'écrit alors :

Puisque la vitesse du sang est très faible devant la célérité du son dans les tissus (v \ll c_0), un développement limité au premier ordre donne :

D'après le schéma de l'énoncé, la nanoparticule s'éloigne de la sonde avec une vitesse \vec{v} faisant un angle \pi - \alpha avec la direction de visée \vec{u}, soit \vec{v}\cdot\vec{u} = -v\cos\alpha (où v = \|\vec{v}\|). On obtient :

Le décalage fréquentiel \Delta f = f' - f s'en déduit immédiatement :

En valeur absolue, ou si l'écoulement s'effectue vers la sonde, on a :

L'inversion de la relation du décalage Doppler conduit à :

Avec les données de l'énoncé :

• c_0 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• f = 100\text{ MHz} = 1{,}00 \times 10^8\text{ Hz} ;
• \alpha = 60^{\circ} \implies \cos\alpha = 0{,}50.

Le facteur de conversion est donc :

1. Cas de l'aorte :

Pour |\Delta f_{\mathrm{aorte}}| = 16\text{ kHz} = 1{,}6 \times 10^4\text{ Hz}, on obtient :

2. Cas du capillaire :

Pour |\Delta f_{\mathrm{cap}}| = 10\text{ Hz}, on obtient :

Le nombre de Reynolds Re est un nombre sans dimension qui quantifie le rapport entre les termes d'inertie (terme convectif \rho(\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v}) et les termes de viscosité (\eta \Delta \vec{v}) dans l'équation de Navier-Stokes. Pour un écoulement au sein d'une conduite cylindrique de diamètre D = 2R à la vitesse caractéristique v, il est défini par :

1. Écoulement dans l'aorte : Avec les valeurs numériques du problème :

• R_{\mathrm{aorte}} \approx 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m}, soit D_{\mathrm{aorte}} = 2\times 10^{-2}\text{ m} ;
• v_{\mathrm{aorte}} \simeq 0{,}48\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q25) ;
• \rho = 1200\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta = 3\times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}.

2. Écoulement dans un capillaire : Avec :

• R_{\mathrm{cap}} \approx 10\text{ }\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m}, soit D_{\mathrm{cap}} = 2\times 10^{-5}\text{ m} ;
• v_{\mathrm{cap}} = 3{,}0\times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q25).

1. Forme du champ de vitesse

• Invariances et symétries : La géométrie du capillaire présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz). En régime permanent, tous les champs sont indépendants de \theta et du temps t.

• Direction de l'écoulement : L'écoulement est supposé irrotationnel selon (Oz), soit (\vec{\operatorname{rot}}\vec{v})_z = \frac{1}{r}\frac{\partial(r v_\theta)}{\partial r} = 0, ce qui implique r v_\theta = \text{cste} = 0 (pour éviter une divergence en r=0), d'où v_\theta = 0. De plus, le capillaire étant de longueur L \gg R et ses parois étant imperméables (v_r(R) = 0), l'écoulement est établi et rectiligne le long de la conduite : v_r = 0. Le champ de vitesse est donc purement axial :

  \vec{v} = v_z(r,z)\,\vec{u}_z

• Incompressibilité : La conservation de la masse pour un fluide incompressible s'écrit \operatorname{div}\vec{v} = 0. D'après l'expression de la divergence en coordonnées cylindriques :

  \operatorname{div}\vec{v} = \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 \implies v_z = v_z(r)

  Le champ de vitesse se réduit ainsi à \vec{v}(r) = v_z(r)\,\vec{u}_z.

2. Équation de Navier-Stokes et uniformité de la pression dans une section droite

Le terme d'accélération convective s'annule identiquement :

En négligeant la pesanteur (\vec{f}_{\text{ext}} = \vec{0}) et en régime stationnaire (\partial \vec{v}/\partial t = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes fournie dans le formulaire se réduit à :

D'après le formulaire, pour \vec{v} = v_z(r)\,\vec{u}_z, le Laplacien vectoriel est purement axial :

La projection de l'équation de Navier-Stokes sur les trois axes cylindriques donne :

Les deux premières équations montrent que la pression ne dépend ni de r ni de \theta :

Le champ de pression est donc rigoureusement uniforme dans toute section droite (z = \text{cste}) du capillaire.

3. Profil axial de pression

La projection axiale s'écrit :

Le membre de gauche ne dépend que de z tandis que le membre de droite ne dépend que de r. Ils sont donc nécessairement égaux à une même constante :

La pression varie donc de manière affine avec l'abscisse z :

D'après la question Q27, l'écoulement est stationnaire, à lignes de courant parallèles à l'axe, de la forme :

Le terme convectif d'accélération est identiquement nul :

En projetant l'équation de Navier-Stokes sur \vec{u}_z, en l'absence de forces volumiques extérieures et en utilisant l'expression du Laplacien vectoriel fournie par le formulaire :

En posant la perte de charge \Delta P = P_e - P_s, le gradient axial de pression vaut \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\frac{\Delta P}{L}. L'équation s'écrit alors :

Une première intégration par rapport à r donne :

Pour que le cisaillement visqueux (et la vitesse) reste fini sur l'axe du cylindre en r = 0, la constante d'intégration doit être nulle : C_1 = 0. Il vient :

Une seconde intégration conduit à :

La condition d'adhérence du fluide visqueux à la paroi fixe en r = R impose v_z(R) = 0, soit C_2 = \frac{\Delta P R^2}{4\eta L}. On obtient ainsi le profil de Poiseuille :

La vitesse moyenne \bar{v} du fluide à travers la section droite S = \pi R^2 est définie par :

Soit :

On en déduit :

avec v_{\max} = v_z(0) = \frac{(P_e - P_s)R^2}{4\eta L}.

D'après la question Q28, la vitesse moyenne de l'écoulement laminaire de Poiseuille dans une conduite cylindrique de rayon R = D/2 et de longueur L s'écrit :

où \Delta P = P_e - P_s désigne la perte de charge le long de la conduite. On en déduit l'expression de la perte de charge :

En introduisant cette relation dans la définition du facteur de friction de Darcy-Weisbach :

Le nombre de Reynolds associé au diamètre D étant Re = \frac{\rho \bar{v} D}{\eta} (défini à la question Q26), on obtient bien :

Application au capillaire : D'après la question Q26, Re_{\mathrm{cap}} \simeq 2{,}4 \times 10^{-3}. On a donc :

La perte de charge dans un capillaire de longueur L = 1\text{ cm} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}, avec R_{\mathrm{cap}} = 10\ \mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-5}\text{ m}, \eta = 3{,}0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s} et \bar{v}_{\mathrm{cap}} = 3{,}0 \times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, vaut :

1. Hypothèse sur la nature de la conduite :

L'aorte est un vaisseau sanguin dont la paroi interne (l'endothélium vasculaire) est extrêmement lisse afin de limiter le cisaillement et l'adhésion plaquettaire. On fait donc l'hypothèse d'une conduite hydrauliquement lisse (rugosité relative négligeable : \varepsilon / D \approx 0, courbe « Tuyau lisse » sur le diagramme de Moody). De plus, on suppose l'écoulement moyenné et permanent, bien que le flux artériel réel soit pulsatile.

2. Détermination du facteur de friction :

D'après la question Q26, le nombre de Reynolds dans l'aorte vaut :

Ce nombre de Reynolds correspond à la zone de transition ou au tout début du régime turbulent. En suivant l'abscisse Re \approx 3{,}8 \times 10^3 \approx 4 \times 10^3 jusqu'à la courbe inférieure correspondant au tuyau lisse, on lit sur l'axe des ordonnées :

Remarque : La formule empirique de Blasius pour les tubes lisses en régime turbulent modéré donne en cohérence :

3. Calcul de la perte de charge dans l'aorte :

D'après la définition du coefficient de Darcy-Weisbach rappelée dans l'énoncé et sur la figure 4 :

Avec les données numériques suivantes :

• L_{\mathrm{aorte}} = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m},
• D_{\mathrm{aorte}} = 2 R_{\mathrm{aorte}} = 2\text{ cm} = 0{,}02\text{ m}, d'où \dfrac{L_{\mathrm{aorte}}}{D_{\mathrm{aorte}}} = \frac{0{,}15}{0{,}02} = 7{,}5,
• \rho = 1200\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• v_{\mathrm{aorte}} \simeq 0{,}48\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après Q25).

L'énergie cinétique par unité de volume s'élève à :

On en déduit la perte de charge :

Le débit volumique dans une conduite cylindrique de section droite S = \pi R^2 traversée à la vitesse moyenne \bar{v} s'écrit :

1. Résistance à l'écoulement d'un capillaire Pour le capillaire sanguin, avec R_{\mathrm{cap}} \approx 10\,\mu\text{m} = 10^{-5}\text{ m} et \bar{v}_{\mathrm{cap}} = 3{,}0 \times 10^{-4}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q25) :

La perte de charge sur une longueur L_{\mathrm{cap}} = 1\text{ cm} vaut \Delta P_{\mathrm{cap}} \simeq 7{,}2 \times 10^2\text{ Pa} (question Q29). La résistance hydraulique d'un capillaire est donc :

2. Résistance à l'écoulement de l'aorte Pour l'aorte, avec R_{\mathrm{aorte}} \approx 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m} et \bar{v}_{\mathrm{aorte}} \simeq 0{,}48\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question Q25) :

(ce qui correspond à un débit sanguin d'environ 9\text{ L}\cdot\text{min}^{-1}, tout à fait cohérent avec la physiologie cardiovasculaire). Avec la perte de charge sur L_{\mathrm{aorte}} = 15\text{ cm}, \Delta P_{\mathrm{aorte}} \simeq 41\text{ Pa} (question Q30), on en déduit :

3. Nombre de capillaires en parallèle Pour un réseau constitué de N capillaires identiques montés en parallèle, chaque capillaire est soumis à la même différence de pression \Delta P. Le débit total traversant le réseau est la somme des débits individuels :

La résistance hydraulique équivalente du réseau de capillaires vaut donc, par analogie directe avec les résistances électriques en parallèle :

On souhaite que \mathcal{R}_{\mathrm{eq}} = \mathcal{R}_{\mathrm{aorte}}, ce qui conduit à :

Numériquement :