Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2021

D'après le diagramme simplifié des niveaux d'énergie du laser Nd:YAG (figure 1), la transition radiative correspondant à l'émission stimulée a lieu entre le niveau métastable d'énergie E_2 = 1{,}45\text{ eV} et le niveau inférieur d'énergie E_1 = 0{,}2\text{ eV}.

L'énergie E_{\text{ph}} du photon émis vaut donc :

Avec la charge élémentaire e = 1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}, on obtient en joules :

D'après la relation de Planck-Einstein, la longueur d'onde dans le vide \lambda_0 associée à cette émission s'écrit :

En utilisant la valeur approchée fournie pour la constante de Planck h \simeq \frac{20}{3} \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} et c = 3{,}0 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Cette longueur d'onde étant supérieure à la borne supérieure du spectre visible (\approx 750\text{--}800\text{ nm}), ce faisceau appartient au domaine du proche infrarouge (PIR).

Développons l'expression du champ électrique en sortie du cristal :

En utilisant les relations trigonométriques :

le champ électrique de sortie contient :

• une composante continue (rectification optique) ;
• des composantes aux pulsations doubles 2\omega_1 et 2\omega_2 (génération de seconde harmonique) ;
• des composantes aux pulsations somme \omega_1 + \omega_2 et différence |\omega_1 - \omega_2| (mélange à trois ondes).

Initialement, la seule onde disponible est l'onde issue du laser de pulsation fondamentale \omega_0 (associée à \lambda_0 = 1000\text{ nm} d'après la question 1).

• Génération de seconde harmonique (SHG) : en envoyant l'onde fondamentale (\omega_1 = \omega_2 = \omega_0), on obtient la pulsation 2\omega_0, ce qui correspond à la longueur d'onde :

  \lambda_2 = \frac{\lambda_0}{2} = 500\text{ nm}

• Génération de somme de fréquences (SFG) : en combinant l'onde fondamentale \omega_0 et l'onde de seconde harmonique 2\omega_0, on obtient la troisième harmonique 3\omega_0 = \omega_0 + 2\omega_0, soit :

  \lambda_3 = \frac{\lambda_0}{3} \simeq 333\text{ nm}

• Second doublage de fréquence : en doublant l'onde à 2\omega_0 (ou en combinant \omega_0 et 3\omega_0), on obtient la quatrième harmonique 4\omega_0, soit :

  \lambda_4 = \frac{\lambda_0}{4} = 250\text{ nm}

Par cascade de processus non linéaires, toutes les harmoniques d'ordre entier n \in \mathbb{N}^* sont théoriquement accessibles :

soit en pratique pour les premiers ordres :

D'après la figure 2, l'absorption des tissus biologiques est principalement régie par deux espèces :

• l'hémoglobine (\text{Hb}), dont l'absorbance est très élevée dans le domaine ultraviolet et visible (\lambda < 600\text{ nm}), mais chute de plusieurs ordres de grandeur au-delà de 600\text{--}700\text{ nm} ;
• l'eau (\text{H}_2\text{O}), dont l'absorbance est très faible en deçà de 1000\text{ nm}, mais augmente brutalement pour dépasser 10\text{ cm}^{-1} au-delà de 1200\text{--}1300\text{ nm}.

Il existe donc un creux d'absorption conjoint où les tissus sont particulièrement transparents, constituant la « fenêtre de transparence biologique » (située dans le proche infrarouge) :

(on admettra toute fourchette comprise entre environ 650\text{ nm} et 1300\text{ nm}).

Parmi les longueurs d'onde accessibles déterminées à la question Q2 :

• \lambda_4 = 250\text{ nm} et \lambda_3 \simeq 333\text{ nm} (proche UV) ainsi que \lambda_2 = 500\text{ nm} (visible) se situent dans la zone de forte absorption de l'hémoglobine (\text{absorbance} > 100\text{ cm}^{-1}), ce qui limiterait la pénétration du faisceau à une fraction de millimètre sous la peau ;
• \lambda_0 = 1000\text{ nm} tombe précisément dans le creux d'absorption, où l'eau et l'hémoglobine ont une absorbance minimale (inférieure à 1\text{ cm}^{-1}).

Pour réaliser une imagerie en profondeur, on choisira donc la radiation fondamentale du laser Nd:YAG :

1. Surface de la tache focale

Par diffraction à travers l'ouverture circulaire de diamètre D = 1\text{ mm} de l'objectif de focale f' = 1\text{ cm}, le faisceau converge en formant dans le plan focal une tache d'Airy dont le rayon au premier zéro d'intensité vaut :

En utilisant la longueur d'onde retenue \lambda_0 = 1{,}0\,\mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ m} (question Q1) :

La surface de la tache focale est donc :

Numériquement :

Remarque : Une estimation sans le facteur 1{,}22 donne r_0 \simeq \frac{\lambda_0 f'}{D} = 10\,\mu\text{m}, conduisant à S \simeq \pi \times 10^{-10}\text{ m}^2 \simeq 3{,}1 \times 10^{-6}\text{ cm}^2.

2. Puissance crête maximale

L'énergie lumineuse reçue par seconde et par unité de surface correspond à l'éclairement moyen (ou flux surfacique moyen) :

La puissance moyenne maximale admissible au foyer est donc :

Pour un laser impulsionnel délivrant des impulsions rectangulaires d'énergie E_{\text{imp}} = P_{\text{crête}} \tau_p à la fréquence de répétition f_{\text{rep}}, la puissance moyenne s'écrit :

On en déduit l'expression de la puissance crête maximale :

Avec \tau_p = 5\text{ ns} = 5 \times 10^{-9}\text{ s} et f_{\text{rep}} = 1\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz}, le rapport cyclique vaut \tau_p f_{\text{rep}} = 5 \times 10^{-6}.

Application numérique :

(Avec la convention r_0 = \lambda_0 f'/D, on obtiendrait P_{\text{crête, max}} \simeq 63\text{ W}.)

1. Formes de conversion de l'énergie optique absorbée

Lorsqu'un photon est absorbé par un système microscopique (atome, molécule, bande d'énergie ou plasmon d'une nanoparticule), celui-ci passe dans un état excité. L'énergie absorbée peut ensuite être convertie sous différentes formes :

• Énergie thermique (chaleur) : par désexcitation non radiative (relaxation vibrationnelle, conversion interne, diffusion électron-phonon). L'agitation microscopique se traduit par une élévation locale de la température du milieu (phénomène au cœ ur de l'effet photoacoustique) ;
• Énergie radiative (lumière) : par réémission spontanée d'un photon d'énergie généralement inférieure (déplacement de Stokes) lors d'un processus de photoluminescence (fluorescence ou phosphorescence) ;
• Énergie chimique : par rupture de liaisons, isomérisation moléculaire ou transfert d'électrons lors de réactions photochimiques (ex. : photosynthèse, photo-isomérisation du rétinal pour la vision, thérapie photodynamique) ;
• Énergie mécanique : par dilatation thermoélastique rapide induisant une onde acoustique de surpression, ou via l'onde de choc lors d'une photo-ablation laser ;
• Énergie électrique : par génération de paires électron-trou et séparation de charge (effet photovoltaïque) ou par photo-ionisation (effet photoélectrique externe).

2. Principaux phénomènes d'interaction lumière-matière

On distingue classiquement plusieurs grands mécanismes d'interaction :

1. L'absorption résonante : un photon incident d'énergie h\nu \simeq \Delta E fait passer le système d'un niveau d'énergie fondamental ou de basse énergie vers un niveau excité. Exemples : absorption par les liaisons hème de l'hémoglobine dans les tissus, ou excitation résonante des plasmons de surface dans les nanoparticules d'or.

2. L'émission de photons :

   • Émission stimulée : un photon incident induit la désexcitation d'un état excité en émettant un second photon strictement identique (même fréquence, phase, polarisation et direction). C'est le principe fondamental de l'amplification laser (comme pour le Nd:YAG étudié en partie I).
   • Émission spontanée (luminescence) : désexcitation radiative sans champ excitateur, rapide (\sim \text{ns}) en fluorescence ou différée par changement d'état de spin en phosphorescence (ex. : marqueurs fluorescents en imagerie biomédicale).

3. La diffusion de la lumière :

   • Diffusion élastique (sans changement de fréquence) : diffusion de Rayleigh pour des diffuseurs de taille très inférieure à la longueur d'onde (ex. : couleur bleue du ciel), ou diffusion de Mie pour des particules de taille comparable ou supérieure à \lambda (ex. : globules rouges, organites cellulaires dans les tissus, gouttelettes de brouillard).
   • Diffusion inélastique (avec transfert d'énergie) : diffusion Raman, où le photon diffusé échange un quantum d'énergie vibrationnelle avec la matière (décalages Stokes et anti-Stokes utilisés en spectroscopie structurale).
4. L'effet photoacoustique (génération thermoélastique) : lorsqu'une impulsion lumineuse brève est absorbée, l'échauffement quasi-instantané du milieu génère un gradient thermique et une contrainte mécanique thermoélastique, source d'une onde ultrasonore se propageant dans le milieu environnant.

1. Transparence de l'eau à la longueur d'onde d'émission

D'après le spectre d'absorption de la figure 2, le coefficient d'absorption de l'eau présente un minimum très marqué aux alentours de \lambda_0 = 1000\text{ nm} (absorbance inférieure à 1\text{ cm}^{-1}), à l'intérieur de la fenêtre de transparence biologique. L'énergie lumineuse laser n'est donc quasiment pas absorbée par l'eau, mais l'est en revanche très fortement par les nanoparticules d'or. Il est ainsi parfaitement légitime de considérer un terme source d'absorption nul dans l'eau (P_V = 0 pour r > a).

2. Équation de la diffusion thermique dans l'eau (r > a)

La géométrie du problème présentant une symétrie sphérique, la température ne dépend que de la distance radiale r et du temps t : T(r, t). Le vecteur densité de courant thermique s'écrit, d'après la loi de Fourier :

où \kappa est la conductivité thermique de l'eau.

On choisit comme système thermodynamique fermé la masse fixe d'eau contenue entre les instants t et t+\mathrm{d}t dans une coquille sphérique comprise entre les rayons r et r+\mathrm{d}r, de volume :

L'eau étant assimilée à une phase condensée incompressible et indilatable de masse volumique \rho et de capacité thermique massique c_p, la variation de son énergie interne (égale à la variation d'enthalpie) entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Pendant la durée \mathrm{d}t, ce système n'échange aucun travail et ne reçoit de la chaleur \delta Q que par conduction à travers ses frontières en r et r+\mathrm{d}r :

où le flux thermique sortant à travers une sphère de rayon r est :

On en déduit :

D'après le premier principe de la thermodynamique, \mathrm{d}U = \delta Q, soit :

En simplifiant par 4\pi r^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}t, on obtient :

En introduisant le coefficient de diffusivité thermique de l'eau D = \frac{\kappa}{\rho c_p} et l'identité donnée dans le formulaire \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2(rT)}{\partial r^2}, l'équation de la diffusion s'écrit :

ou, sous la forme équivalente (en multipliant par la variable r indépendante de t) :

Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans une coquille sphérique comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r (avec r + \mathrm{d}r \le a), de volume \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r, pendant la durée \mathrm{d}t.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à cette coquille entre t et t+\mathrm{d}t :

• Variation d'énergie interne : pour un milieu condensé indilatable et incompressible de masse volumique \rho_g et de capacité thermique massique c_{p_g} :

  \mathrm{d}U = \rho_g c_{p_g} \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d}V \, \mathrm{d}t = 4\pi r^2 \rho_g c_{p_g} \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}t

• Transfert thermique par conduction : la loi de Fourier s'écrit \vec{j}_{\text{th}} = -\kappa_g \frac{\partial T}{\partial r}\vec{u}_r. Le flux thermique net entrant à travers les surfaces en r et r+\mathrm{d}r vaut :

  \begin{aligned} \delta Q_{\text{th}} &= \left[\Phi_{\text{th}}(r,t) - \Phi_{\text{th}}(r+\mathrm{d}r, t)\right]\mathrm{d}t = - \frac{\partial \Phi_{\text{th}}}{\partial r}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t \\ &= 4\pi \kappa_g \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial T}{\partial r}\right)\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t \end{aligned}

• Énergie absorbée issue de l'impulsion laser : avec une puissance volumique absorbée P_V(r,t) :

  \delta E_{\text{laser}} = P_V(r,t) \, \mathrm{d}V \, \mathrm{d}t = 4\pi r^2 P_V(r,t)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t

En rassemblant les termes et en divisant par 4\pi r^2 \mathrm{d}r \, \mathrm{d}t, on obtient :

D'après le formulaire fourni en fin d'énoncé, pour un champ à symétrie sphérique :

L'équation de diffusion thermique avec terme source au sein de la nanoparticule (r \le a) s'écrit donc :

ou encore, en introduisant la diffusivité thermique de l'or D_g = \frac{\kappa_g}{\rho_g c_{p_g}} :

L'équation de la diffusion thermique s'écrit de manière générique \frac{\partial T}{\partial t} = D_{\text{th}} \Delta T, où D_{\text{th}} = \frac{\kappa}{\rho c_p} est la diffusivité thermique du milieu. Par analyse dimensionnelle, sur une longueur caractéristique spatiale a, le temps caractéristique d'évolution de la température s'estime par :

1. Temps caractéristique dans la nanoparticule d'or \tau_g : La diffusivité thermique de l'or vaut :

On en déduit le temps caractéristique :

2. Temps caractéristique dans l'eau \tau_e à une distance a : Avec \rho \simeq 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} pour l'eau, la diffusivité thermique du milieu environnant est :

Le temps caractéristique associé à une diffusion dans l'eau sur la distance a vaut :

3. Comparaison et discussion des échelles de temps : Avec la durée de l'impulsion laser \tau_p = 5\text{ ns}, on observe la hiérarchie stricte suivante :

• Conséquence de \tau_g \ll \tau_p : La diffusion thermique au sein de la nanoparticule est quasi instantanée à l'échelle de la durée du tir laser. Par conséquent, la température à l'intérieur de la nanoparticule d'or est homogénéisée en permanence et peut être considérée comme spatiellement uniforme : T(\vec{r}, t) \simeq T_g(t) pour r \le a.
• Conséquence de \tau_p \ll \tau_e : L'impulsion laser est beaucoup plus brève que le temps nécessaire à la chaleur pour diffuser dans l'eau sur une distance de l'ordre de grandeur de la taille de la nanoparticule. On se place en régime de confinement thermique : pendant l'impulsion lumineuse, les transferts thermiques vers le fluide environnant sont négligeables (confinés à une très fine couche interfaciale).

4. Scénario temporel de la température :

• Phase 1 : Échauffement (0 \le t \le \tau_p) : La nanoparticule absorbe l'énergie du faisceau laser. En raison du confinement thermique (\tau_p \ll \tau_e), le chauffage de la particule d'or est quasi adiabatique : sa température moyenne T_g(t) s'élève très rapidement et de façon quasi uniforme (\tau_g \ll \tau_p), pour atteindre un maximum à la fin de l'impulsion (t \sim \tau_p). L'eau environnante reste pour sa part quasi inchangée, hormis dans une pellicule nanométrique entourant la particule.
• Phase 2 : Relaxation et retour à l'équilibre (t > \tau_p) : Dès la fin de l'impulsion laser (P_V = 0), l'énergie thermique accumulée dans la nanoparticule diffuse lentement vers le fluide environnant sur une échelle de temps gouvernée par \tau_e \sim 80\text{ ns} (puis sur des temps plus longs pour des distances plus grandes). La température de la nanoparticule décroît tandis que l'eau s'échauffe localement au voisinage de r=a, avant une dispersion globale de la chaleur dans le milieu infini ramenant le système à la température d'équilibre T_0.

D'après la question Q7, l'équation locale de la chaleur au sein de la nanoparticule (r \le a) s'écrit :

où, par hypothèse de chauffage homogène, la puissance volumique absorbée ne dépend pas de l'espace : P_V(r,t) = P_V(t).

Intégrons cette équation sur le volume V = \frac{4}{3}\pi a^3 de la nanoparticule :

Examinons chacun des trois termes :

• Terme d'accumulation : Le volume V étant fixe, l'opérateur de dérivation temporelle commute avec l'intégrale spatiale :

  \iiint_V \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}V = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\iiint_V T(\vec{r},t)\,\mathrm{d}V\right) = V \frac{\mathrm{d}T_g}{\mathrm{d}t}

  en introduisant la température moyenne T_g(t) = \frac{1}{V}\iiint_V T(\vec{r},t)\,\mathrm{d}V.

• Terme de diffusion : Puisque \Delta T = \operatorname{div}(\vec{\nabla}T), le théorème de Green-Ostrogradski permet de transformer l'intégrale volumique en flux à travers la surface fermée S de la sphère de rayon a (orientée par la normale sortante \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r) :

  \iiint_V \Delta T\,\mathrm{d}V = \iint_S \vec{\nabla}T \cdot \vec{u}_r\,\mathrm{d}S = \iint_S \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=a^-}\,\mathrm{d}S

  Par symétrie sphérique, \frac{\partial T}{\partial r} est uniforme sur la sphère de rayon a, d'où avec S = 4\pi a^2 :

  \iiint_V \Delta T\,\mathrm{d}V = 4\pi a^2 \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=a^-}

  Remarque : on retrouve ce résultat directement par intégration radiale :

  \int_0^a \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial T}{\partial r}\right) 4\pi r^2\,\mathrm{d}r = 4\pi \left[r^2 \frac{\partial T}{\partial r}\right]_0^a = 4\pi a^2 \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=a^-}

  le terme en r=0 s'annulant par régularité au centre (\frac{\partial T}{\partial r} \to 0 pour r \to 0).

• Terme source : L'absorption étant homogène sur la nanoparticule, P_V sort de l'intégrale :

  \iiint_V P_V(t)\,\mathrm{d}V = P_V(t) \iiint_V \mathrm{d}V = P_V(t)\,V

En rassemblant ces trois contributions :

En divisant par la capacité thermique totale \rho_g c_{p_g} V et en remarquant que \frac{4\pi a^2}{V} = \frac{4\pi a^2}{\frac{4}{3}\pi a^3} = \frac{3}{a}, on obtient :

1. Équation dans l'eau (r > a)

D'après le bilan thermique établi à la question Q6, en l'absence de terme source volumique dans l'eau, l'équation de la diffusion thermique s'écrit en coordonnées sphériques :

En multipliant les deux membres par r et en divisant par \rho c_p, on obtient directement :

où la diffusivité thermique de l'eau s'exprime par :

2. Équation pour la nanoparticule (r \le a)

D'après l'intégration spatiale réalisée à la question Q9, la température moyenne T_g(t) de la nanoparticule obéit à :

Cette équation s'identifie bien à la forme proposée :

avec les coefficients suivants :

3. Applications numériques indicatives

Avec les grandeurs fournies dans l'énoncé (et \rho = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) :

• D = \frac{0{,}5}{10^3 \times 4000} = 1{,}25 \times 10^{-7}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} ;
• \alpha_g = \frac{3 \times 300}{20\cdot 10^3 \times 120 \times 100\cdot 10^{-9}} = 3{,}75 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \beta_g = \frac{1}{20\cdot 10^3 \times 120} \simeq 4{,}17 \times 10^{-7}\text{ K}\cdot\text{m}^3\cdot\text{J}^{-1}.

D'après l'équation régissant la température moyenne T_g(t) obtenue à la question Q10 :

En négligeant le terme de transfert thermique conductif à l'interface (\alpha_g \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=a^-} \simeq 0), ce qui est justifié en régime de confinement thermique car \tau_p \ll \tau_e, l'équation différentielle se simplifie en :

Le terme source laser P_V(t) est modélisé par une impulsion gaussienne centrée en t = 0 de durée caractéristique \tau_p :

Par intégration temporelle à partir de la température initiale T_0 :

L'intégrale d'une gaussienne conduit à une fonction d'allure sigmoïdale (proportionnelle à la fonction d'erreur \mathrm{erf}) :

• pour t \ll -\tau_p, \Delta T_g(t) \to 0 ;
• pour t = 0, la pente \frac{\mathrm{d}T_g}{\mathrm{d}t} est maximale et \Delta T_g(0) = \frac{\Delta T_{g,\text{max}}}{2} (point d'inflexion) ;

• pour t \gg \tau_p, l'impulsion s'éteint et la température atteint un palier maximal :

  \Delta T_{g,\text{max}} = \frac{1}{\rho_g c_{p_g}} \int_{-\infty}^{+\infty} P_V(t)\,\mathrm{d}t = \frac{\mathcal{E}_V}{\rho_g c_{p_g}}

  où \mathcal{E}_V est l'énergie volumique totale déposée par l'impulsion.

L'échelle de temps caractéristique de cette élévation de température est la durée de l'impulsion laser :

1. Estimation de la longueur de diffusion thermique \ell_{\mathrm{th}} dans l'eau

La diffusion thermique dans l'eau est régie par la diffusivité thermique D = [\mathrm{L}^2\cdot\mathrm{T}^{-1}] établie à la question Q10. Juste après l'extinction de l'impulsion laser, le temps caractéristique écoulé est la durée de l'impulsion \tau_p. Par analyse dimensionnelle, la distance caractéristique sur laquelle la chaleur s'est propagée dans l'eau s'écrit :

Avec les valeurs numériques du problème :

On obtient :

2. Dépendance mathématique en r de la température

• Dans la nanoparticule (r \le a) :
  Puisque \tau_g \sim 80\text{ ps} \ll \tau_p = 5\text{ ns} (question Q8), la conduction au sein de l'or est extrêmement rapide devant la durée du dépôt d'énergie. La température y est donc quasi-uniforme :

  T(r) \approx T_g(t) = \text{constante} \quad (r \le a)

• Dans l'eau environnante (r > a) :
  La fonction u(r,t) = r\left(T(r,t) - T_0\right) vérifie l'équation de diffusion unidimensionnelle :

  \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} \quad \text{pour } r > a

  avec la condition aux limites en r = a imposée par la nanoparticule chaude (u(a,t) \approx a \Delta T_g) et u \to 0 pour r \to +\infty.
  La solution invariante d'échelle fait intervenir la fonction d'erreur complémentaire \mathrm{erfc} :

  u(r,t) = a \Delta T_g \operatorname{erfc}\left(\frac{r-a}{2\sqrt{Dt}}\right)

  ce qui donne pour le profil de température dans l'eau juste après l'impulsion (t \approx \tau_p) :

  \boxed{T(r) = T_0 + \Delta T_g\,\frac{a}{r}\operatorname{erfc}\left(\frac{r-a}{2\ell_{\mathrm{th}}}\right)} \quad (r > a)

  Comme \ell_{\mathrm{th}} \approx 25\text{ nm} < a = 100\text{ nm}, l'atténuation est dominée par la décroissance rapide de type gaussien/complémentaire sur la distance \ell_{\mathrm{th}} au voisinage de la surface, le facteur géométrique a/r variant peu sur cette échelle.

3. Allure de la courbe de température T(r)