Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2023 (page 2/3 : Partie II (questions 21 à 32))

1. Définition du kelvin (en vigueur de 1967 à 2018) :
   Le kelvin (symbole \mathrm{K}) était défini comme la fraction \frac{1}{273{,}16} de la température thermodynamique du point triple de l'eau. Par convention, la température thermodynamique du point triple de l'eau était donc fixée exactement à :

   T_{\text{pt}} = 273{,}16\text{ K}

2. Définition du degré Celsius :
   La température Celsius t (ou \theta), exprimée en degrés Celsius (^\circ\mathrm{C}), est définie par translation à partir de la température thermodynamique T exprimée en kelvins selon :

   t(^\circ\mathrm{C}) = T(\mathrm{K}) - 273{,}15

   Une différence de température d'un degré Celsius est rigoureusement égale à une différence de température d'un kelvin (\Delta t = \Delta T).

3. Équivalent de 0\text{ }^\circ\mathrm{C} :
   D'après la relation précédente, pour t = 0\text{ }^\circ\mathrm{C} :

   \boxed{T(0\text{ }^\circ\mathrm{C}) = 273{,}15\text{ K}}

La cellule au point triple de l'eau réalise l'équilibre thermodynamique simultané entre les trois phases (glace, eau liquide et vapeur d'eau saturante) d'un échantillon d'eau chimiquement pure. Les principales sources d'incertitude affectant la reproductibilité et l'exactitude de cette température de référence sont les suivantes :

• La composition isotopique de l'eau : la présence en proportions variables d'isotopes lourds (deutérium {}^2\mathrm{H}, oxygène 18 {}^{18}\mathrm{O}) modifie légèrement les équilibres de phase. Une variation isotopique non contrôlée peut introduire des écarts de température atteignant plusieurs dizaines de microkelvins (ce qui avait contraint le CIPM à imposer en 2005 une composition standard, l'eau VSMOW).
• La pureté chimique et les gaz dissous : la présence d'impuretés dissoutes (sels, composés chimiques lessivés de la paroi) ou de gaz résiduels non dégazés (azote, dioxygène) modifie les potentiels chimiques et abaisse la température d'équilibre solide-liquide (loi de la cryométrie).
• L'effet de la pression hydrostatique : le thermomètre est plongé dans le puits thermométrique à une certaine profondeur sous la surface libre. La pression locale y est augmentée de \rho g h, ce qui décale légèrement la température d'équilibre liquide-solide selon la relation de Clapeyron (effet de l'ordre de -0{,}73\text{ mK}\cdot\text{m}^{-1}).
• Les fuites thermiques parasites : des transferts thermiques par conduction le long de la gaine du thermomètre et par rayonnement entre l'intérieur de la cellule et le milieu extérieur créent des gradients de température au voisinage du capteur.
• Le vieillissement de la cellule : à long terme, la dissolution lente des silicates des parois en verre borosilicaté enrichit l'eau en impuretés, entraînant une dérive temporelle de la température de référence.

L'équation d'état du gaz parfait s'écrit, à l'échelle macroscopique pour une quantité de matière n :

et à l'échelle microscopique pour un nombre de particules N = n N_A :

Par identification directe entre les deux expressions, on obtient la relation fondamentale liant la constante molaire des gaz parfaits R et la constante microscopique de Boltzmann k_B :

où N_A désigne la constante d'Avogadro.

L'approximation acoustique consiste à supposer que le passage de l'onde sonore ne provoque qu'une très faible perturbation des grandeurs thermodynamiques et cinématiques par rapport à leur état d'équilibre au repos.

Elle se traduit par les conditions sur les grandeurs sans dimension suivantes :

où c_s désigne la célérité des ondes sonores dans le gaz.

Cette approximation permet de linéariser les équations régissant l'écoulement (équation d'Euler, équation de conservation de la masse et équation d'état thermodynamique) en négligeant tous les termes d'ordre supérieur ou égal à deux devant les termes du premier ordre (notamment le terme convectif d'accélération (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} devant le terme d'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}, ainsi que les produits \mu_1 v_1).

L'écoulement étant supposé parfait et l'influence de la pesanteur négligée, le fluide vérifie l'équation d'Euler :

Dans le cadre d'un écoulement unidimensionnel selon (Ox), avec \vec{v} = v_1(x,t)\,\vec{u}_x, cette équation se projette sous la forme scalaire :

On décompose les grandeurs en la somme de l'état de repos uniforme et d'une perturbation du premier ordre :

Dans le cadre de l'approximation acoustique :

• le terme convectif v_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial x} est d'ordre 2 en perturbation et est négligé devant l'accélération locale \dfrac{\partial v_1}{\partial t} ;

• le produit \mu_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial t} est également du second ordre, de sorte que :

  \mu \frac{\partial v_1}{\partial t} = (\mu_0 + \mu_1)\frac{\partial v_1}{\partial t} \approx \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t}
• la pression au repos p_0 étant uniforme, \dfrac{\partial p}{\partial x} = \dfrac{\partial p_1}{\partial x}.

Au premier ordre, l'équation d'Euler linéarisée s'écrit donc :

L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) s'écrit de manière générale :

Dans le cas d'un écoulement unidimensionnel le long de l'axe (Ox), où \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\,\vec{u}_x, elle prend la forme scalaire :

On injecte la décomposition du champ de masse volumique \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et de la vitesse v(x,t) = v_1(x,t) :

Puisque l'état d'équilibre est homogène et stationnaire, \frac{\partial \mu_0}{\partial t} = 0. Le développement donne ainsi :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations sont d'ordre 1 (\mu_1 \ll \mu_0 et v_1 \ll c_s), si bien que le terme \mu_1 v_1 est un infiniment petit du second ordre, négligeable devant les termes du premier ordre. L'équation de conservation de la masse linéarisée s'écrit donc :

Par définition thermodynamique, le coefficient de compressibilité isentropique d'un fluide s'écrit :

Considérons une particule fluide de masse fixée m^* = \mu V. En différenciant cette relation à masse constante :

On en déduit l'expression de \chi_S en fonction de la masse volumique :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, l'écoulement est supposé parfait et les échanges thermiques conductifs entre zones comprimées et détendues sont négligeables aux échelles temporelles et spatiales de l'onde sonore : les transformations subies par chaque particule fluide sont donc réversibles et adiabatiques, c'est-à-dire isentropiques.

Au premier ordre en perturbation autour de l'état de repos uniforme (\mu_0, p_0), on a :

ce qui conduit immédiatement à la relation constitutive linéaire :

Rappelons les trois équations obtenues aux questions Q25, Q26 et Q27 :

• Équation d'Euler linéarisée :

  \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x} \tag{1}

• Équation de conservation de la masse linéarisée :

  \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0 \tag{2}

• Relation de compressibilité isentropique :

  \mu_1 = \mu_0 \chi_S p_1 \tag{3}

En injectant l'expression (3) de \mu_1 dans l'équation (2), on obtient, \mu_0 étant une constante non nulle :

Dérivons cette équation par rapport au temps t :

D'autre part, en dérivant l'équation d'Euler (1) par rapport à l'espace x et en appliquant le théorème de Schwarz aux dérivées croisées de v_1 :

En substituant ce terme dans l'équation précédente, il vient :

On reconnaît l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

où la célérité c_s des ondes sonores s'exprime par la relation de Newton-Laplace :

Pour une transformation isentropique (adiabatique réversible) d'un gaz parfait à coefficient adiabatique \gamma constant, la loi de Laplace s'écrit :

En différentiant cette relation logarithmiquement :

Le coefficient de compressibilité isentropique au repos vaut donc :

En reportant cette expression dans la relation établie à la question Q28, on obtient la formule de Laplace :

D'après l'équation d'état des gaz parfaits, pour une masse m occupant un volume V de masse molaire M :

On en déduit l'expression de la célérité du son en fonction de la température :

Application numérique :

• L'air est constitué principalement de gaz diatomiques (\mathrm{N}_2 à environ 80\,\% et \mathrm{O}_2 à 20\,\%). Les degrés de liberté de translation (3) et de rotation (2) étant activés à température ambiante, on a C_{V,m} = \frac{5}{2}R et C_{P,m} = \frac{7}{2}R, d'où :

  \gamma = \frac{C_{P,m}}{C_{V,m}} = \frac{7}{5} = 1{,}40.

• La masse molaire moyenne de l'air vaut :

  M \approx 0{,}80 \times 2 M_{\mathrm{N}} + 0{,}20 \times 2 M_{\mathrm{O}} = 0{,}80 \times 28 + 0{,}20 \times 32 = 28{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 28{,}8 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

• D'après la question Q23 :

  R = N_A k_B \approx 6{,}02 \times 10^{23} \times 1{,}38 \times 10^{-23} \approx 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.

Le calcul donne alors :

D'après la relation établie à la question Q29, la célérité du son dans un gaz parfait s'écrit :

L'hélium est un gaz rare monoatomique. Ses molécules ne possèdent que les trois degrés de liberté de translation, d'où :

À la température du point triple de l'eau, les données numériques fournies sont :

• \gamma = \dfrac{5}{3} ;
• N_A \approx 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} et k_B \approx 1{,}38 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}, soit R = N_A k_B \approx 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• T \approx 273{,}16\text{ K} ;
• M_{\mathrm{He}} \approx 4{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 4{,}0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

L'application numérique donne :

D'après la question Q29, la célérité du son dans un gaz parfait s'écrit :

En utilisant la relation entre la constante des gaz parfaits R, la constante d'Avogadro N_A et la constante de Boltzmann k_B (question Q23), soit R = N_A k_B, on obtient :

On en déduit l'expression de la constante de Boltzmann :

Pour déterminer k_B avec une très grande précision à l'aide de cette relation, les métrologues procèdent ainsi :

• Fixation de la température T : la mesure est réalisée à la température du point triple de l'eau, T = 273{,}16\text{ K}, dont la valeur était fixée exactement par convention dans l'ancien système international d'unités ;
• Choix du gaz : on emploie un gaz noble monoatomique (hélium ou argon), dont le coefficient adiabatique \gamma = 5/3 est exactement déterminé par la théorie cinétique des gaz, et dont la composition isotopique (et donc la masse molaire M) est mesurée avec une grande exactitude ;
• Extrapolation à pression nulle : le modèle du gaz parfait n'étant rigoureusement valable qu'à dilution infinie, on mesure c_s à différentes pressions p puis on extrapole la valeur de c_s^2 à la limite p \to 0 pour éliminer les corrections de gaz réel (développement du viriel acoustique).

La mesure acoustique de c_s donne alors directement accès à la valeur de k_B.

Dans le cas général tridimensionnel, les équations fondamentales de l'acoustique linéarisées (Q25, Q26 et Q27) s'écrivent :

En dérivant l'équation de conservation de la masse par rapport au temps :

En injectant l'équation d'Euler et en rappelant que \operatorname{div}(\vec{\nabla} p_1) = \Delta p_1 ainsi que c_s = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}} (question Q28), on obtient l'équation de d'Alembert vectorielle/scalaire tridimensionnelle :

Dans le cas d'une géométrie sphérique, en coordonnées sphériques (r, \theta, \phi), le laplacien donné par le formulaire conduit à la forme générale :