Feuille d'entraînement : Magnétostatique

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie PC 2026, Q3

   1. Invariances

   • Le fil étant supposé infini suivant l'axe (Oz), la distribution de courant est invariante par translation selon z.
   • La distribution présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) : elle est invariante par rotation d'angle \theta.

   Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

   \vec{B}(M) = \vec{B}(r) = B_r(r)\,\vec{e}_r + B_\theta(r)\,\vec{e}_\theta + B_z(r)\,\vec{e}_z.

   2. Symétries

   • Tout plan contenant le fil, en particulier le plan (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z), est un plan de symétrie pour la distribution de courant (P_{\mathrm{sym}}).

   • Le champ magnétique étant un vecteur axial (ou pseudovecteur), il est orthogonal en tout point M à tout plan de symétrie passant par M :

     \vec{B}(M) \perp (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z) \implies B_r(r) = 0 \quad \text{et} \quad B_z(r) = 0.

   Le champ magnétique est donc purement orthoradial :

   \vec{B}(M) = B_\theta(r)\,\vec{e}_\theta.

   3. Théorème d'Ampère

   • On choisit pour contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle d'axe (Oz), de rayon r, passant par M et orienté selon \vec{e}_\theta.

   • L'élément de longueur le long de ce contour s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta. La circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} vaut :

     \begin{aligned} \Gamma = \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_{0}^{2\pi} B_\theta(r)\,\vec{e}_\theta \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta) \\ &= r B_\theta(r) \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \\ &= 2\pi r B_\theta(r). \end{aligned}

   • La surface appuyée sur \mathcal{C} est traversée une seule fois par le fil. Le sens de parcours choisi pour \mathcal{C} induit, d'après la règle du tire-bouchon de Maxwell (ou de la main droite), une normale orientée selon +\vec{e}_z, dans le sens du courant I. Le courant enlacé algébrique est donc :

     I_{\text{enl}} = I.

   • D'après le théorème d'Ampère :

     \Gamma = \mu_0 I_{\text{enl}} \iff 2\pi r B_\theta(r) = \mu_0 I \iff B_\theta(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.

   On en déduit l'expression du champ magnétique créé par le fil infini en tout point de l'espace :

   \boxed{\vec{B}(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\vec{e}_\theta}

   Résultat

   $$\vec{B}(r)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\vec{e}}_{\theta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Polytechnique Physique A PC 2026, Q14

   Pour créer un champ magnétique uniforme et stationnaire \vec{B} = B\,\vec{e}_z, deux dispositifs expérimentaux classiques peuvent être envisagés :

   • Un solénoïde long d'axe (Oz) : il est constitué d'un enroulement cylindrique de spires conductrices jointives de rayon R, réparties à raison de n spires par unité de longueur et parcourues par un courant d'intensité constante I. Loin des extrémités (longueur L \gg R), le champ magnétique à l'intérieur est uniforme, stationnaire et dirigé le long de l'axe :

     \vec{B} = \mu_0 n I\,\vec{e}_z

     le sens de \vec{e}_z étant fixé par la règle de la main droite selon le sens d'enroulement et de circulation du courant. En spectrométrie de masse FT-ICR, où des champs intenses sont requis (de l'ordre de plusieurs teslas, typiquement B = 7\text{ T} comme précisé à la question 42), on utilise un solénoïde supraconducteur plongé dans un cryostat d'hélium liquide.

   • Des bobines de Helmholtz : constituées de deux bobines circulaires identiques, minces, coaxiales d'axe (Oz), de même rayon R, séparées d'une distance égale à leur rayon (D = R) et parcourues par le même courant I dans le même sens. Cette géométrie garantit l'annulation des première et deuxième dérivées spatiales de \vec{B} en leur centre, assurant ainsi une excellente uniformité du champ magnétique au voisinage de l'origine.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique PC 2025, Q10

   Considérons le fil rectiligne infini confondu avec l'axe (O, \vec{u}_z), parcouru par le courant stationnaire \vec{I} = I\vec{u}_z (I > 0).

   Invariances et symétries

   • La distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe (Oz) et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

     \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = \vec{B}_{f,\text{Bi}}(r)

   • Tout plan contenant l'axe (Oz) (plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z)) est un plan de symétrie \Pi_s pour la distribution de courant. En tout point M de ce plan, le champ magnétique lui est orthogonal :

     \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) \perp \Pi_s \implies \vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = B_\theta(r)\,\vec{u}_\theta

   Théorème d'Ampère On choisit comme contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle d'axe (Oz), de rayon r, orienté selon \vec{u}_\theta :

   \begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}_{f,\text{Bi}} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \int_0^{2\pi} B_\theta(r)\,\vec{u}_\theta \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta) \\ &= 2\pi r \, B_\theta(r) \end{aligned}

   Le courant enlacé par ce contour orienté est I_{\text{enlacé}} = I. D'après le théorème d'Ampère :

   \begin{aligned} 2\pi r \, B_\theta(r) = \mu_0 I \implies B_\theta(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{aligned}

   On en déduit l'expression vectorielle du champ magnétique :

   \boxed{\vec{B}_{f,\text{Bi}}(M) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,\vec{u}_\theta}

   Résultat

   $${\vec{B}}_{f,\text{Bi}}(M)=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\vec{u}}_{\theta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique C PC 2025, Q39

   Le solénoïde comporte n spires par unité de longueur parcourues par le courant I_0, ce qui équivaut à une nappe de courant superficielle de densité surfacique :

   \vec{j}_s = n I_0 \,\vec{e}_\theta.

   Sur un élément de surface \mathrm{d}S de la paroi, centré en P, le courant élémentaire associé s'écrit \mathrm{d}\vec{I} = \vec{j}_s \,\mathrm{d}S.

   La force élémentaire exercée par le reste du solénoïde \bar{\Sigma} sur cet élément de surface est la force de Laplace :

   \mathrm{d}\vec{F} = (\vec{j}_s \,\mathrm{d}S) \wedge \vec{B}_{\bar{\Sigma}}(P).

   D'après la question 38*, le champ créé par \bar{\Sigma} en P vaut :

   \vec{B}_{\bar{\Sigma}}(P) = \frac{1}{2}\,\mu_0 n I_0 \,\vec{e}_z.

   En effectuant le produit vectoriel en coordonnées cylindriques (\vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_r) :

   \begin{aligned} \mathrm{d}\vec{F} &= (n I_0 \,\mathrm{d}S \,\vec{e}_\theta) \wedge \left(\frac{1}{2}\mu_0 n I_0 \,\vec{e}_z\right) \\ &= \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I_0^2 \,\mathrm{d}S \,\vec{e}_r. \end{aligned}

   L'élément de surface orienté vers l'extérieur étant \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S \,\vec{e}_r, cette force se met sous la forme d'une force de pression \mathrm{d}\vec{F} = P_{\mathrm{ms}} \,\mathrm{d}\vec{S}, avec :

   \boxed{P_{\mathrm{ms}} = \frac{1}{2}\mu_0 n^2 I_0^2 = \frac{B_0^2}{2\mu_0}}

   Commentaire sur le sens de la force : La pression P_{\mathrm{ms}} est proportionnelle à I_0^2, elle est donc strictement positive quel que soit le signe du courant I_0. La force \mathrm{d}\vec{F} est par conséquent toujours dirigée vers l'extérieur (\vec{e}_r) : le solénoïde tend spontanément à se dilater radialement sous sa propre action (pression magnétique répulsive).

   Résultat

   $$P_{\mathrm{ms}}=\frac{1}{2}{\mu }_0{n}^2{I}_0^2=\frac{B_0^2}{2{\mu }_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique C PC 2025, Q47

   Soient \Sigma_{a,1} et \Sigma_{a,2} deux surfaces quelconques s'appuyant sur le même contour fermé orienté \Gamma_a, orientées toutes deux de manière compatible avec \Gamma_a selon la règle de la main droite.

   L'ensemble formé par \Sigma_{a,1} et \Sigma_{a,2} délimite un volume fermé \mathcal{V}. Formons la surface fermée \Sigma = \Sigma_{a,1} \cup \Sigma_{a,2} entourant ce volume \mathcal{V}, munie d'une normale \vec{n}_{\mathrm{ext}} dirigée vers l'extérieur de \mathcal{V}.

   En raison de la continuité de l'orientation le long du bord commun \Gamma_a, si le vecteur surface \mathrm{d}\vec{S}_1 = \vec{n}_1\,\mathrm{d}S est orienté vers l'extérieur de \mathcal{V} (\vec{n}_1 = \vec{n}_{\mathrm{ext}}), alors le vecteur surface \mathrm{d}\vec{S}_2 = \vec{n}_2\,\mathrm{d}S, orienté de manière compatible avec \Gamma_a, est orienté vers l'intérieur de \mathcal{V} (\vec{n}_2 = -\vec{n}_{\mathrm{ext}}). Le flux sortant total de \vec{B} à travers la surface fermée \Sigma s'écrit alors :

   \oiint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} = \iint_{\Sigma_{a,1}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_1 - \iint_{\Sigma_{a,2}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_2.

   D'après le théorème de Green-Ostrogradsky :

   \oiint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_{\mathrm{ext}} = \iiint_{\mathcal{V}} \operatorname{div}\vec{B} \, \mathrm{d}\tau.

   Or, d'après l'équation de Maxwell-Thomson rappelée en équation (17) de l'énoncé, le champ magnétique vérifie en tout point de l'espace :

   \operatorname{div}\vec{B} = 0.

   Par conséquent, l'intégrale volumique est identiquement nulle, ce qui conduit à :

   \iint_{\Sigma_{a,1}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_1 = \iint_{\Sigma_{a,2}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}_2.

   On en déduit que :

   \boxed{\Phi_a = \iint_{\Sigma_a} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} \quad \text{est indépendant du choix de la surface } \Sigma_a \text{ s'appuyant sur } \Gamma_a.}

   Résultat

   $${\Phi }_a={\iint }_{{\Sigma }_a}\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}\text{est indeˊpendant du choix de la surface }{\Sigma }_a\text{ s’appuyant sur }{\Gamma }_a.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique C PC 2025, Q53

   D'après la question Q46, l'énergie magnétique totale du système de circuits s'écrit comme la somme des énergies propres de chaque circuit et des énergies d'interaction entre chaque paire de circuits :

   U_C = \sum_{a} U_C^a + \sum_{a < b} U_C^{a \leftrightarrow b}.

   D'après la question Q51, l'énergie propre du circuit C_a vaut :

   U_C^a = \frac{1}{2} I_a \Phi_{a \rightarrow a}.

   D'après la question Q52, l'énergie d'interaction entre les circuits C_a et C_b peut s'écrire indifféremment :

   U_C^{a \leftrightarrow b} = I_a \Phi_{b \rightarrow a} = I_b \Phi_{a \rightarrow b} = \frac{1}{2}\left(I_a \Phi_{b \rightarrow a} + I_b \Phi_{a \rightarrow b}\right).

   En injectant ces deux expressions dans l'énergie totale, il vient :

   \begin{aligned} U_C &= \sum_{a} \frac{1}{2} I_a \Phi_{a \rightarrow a} + \frac{1}{2} \sum_{a \neq b} I_a \Phi_{b \rightarrow a} \\ &= \frac{1}{2} \sum_{a, b} I_a \Phi_{b \rightarrow a}. \end{aligned}

   On identifie immédiatement le facteur numérique demandé :

   \boxed{\beta_2 = \frac{1}{2}}

   et l'énergie magnétique totale s'écrit :

   \boxed{U_C = \frac{1}{2} \sum_{a, b} I_a \Phi_{b \rightarrow a} = \frac{1}{2} \sum_a I_a \Phi_a}

   où \Phi_a = \sum_b \Phi_{b \rightarrow a} représente le flux magnétique total traversant le circuit C_a.

   Théorème de réciprocité en magnétostatique : Pour deux circuits filiformes quelconques C_a et C_b parcourus respectivement par les courants I_a et I_b, on a la relation :

   \boxed{I_a \Phi_{b \rightarrow a} = I_b \Phi_{a \rightarrow b}}

   En introduisant les coefficients d'inductance mutuelle définis par \Phi_{b \rightarrow a} = M_{ba} I_b et \Phi_{a \rightarrow b} = M_{ab} I_a, cette relation équivaut à la symétrie de la matrice des inductances mutuelles :

   \boxed{M_{ab} = M_{ba}}

   Autrement dit, si les deux circuits sont parcourus par un même courant (I_a = I_b), le flux créé par le premier à travers le second est égal au flux créé par le second à travers le premier.

   Résultat

   $${\beta }_2=\frac{1}{2}$$

   $$U_C=\frac{1}{2}\sum _{a,b}{I}_a{\Phi }_{b\to a}=\frac{1}{2}\sum _a{I}_a{\Phi }_a$$

   $$I_a{\Phi }_{b\to a}=I_b{\Phi }_{a\to b}$$

   $$M_{ab}=M_{ba}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique PC 2024, Q1

   On adopte le système de coordonnées cylindriques (r, \theta, z) d'axe (Oz). Comme d \gg a et que les effets de bord sont négligés, on modélise le solénoïde comme infini.

   1. Symétries et invariances

   • Invariances : La distribution de courant est invariante par toute translation selon z et par toute rotation autour de l'axe (Oz) (invariance selon \theta). Par conséquent, le champ magnétique ne dépend que de la coordonnée radiale : \vec{B} = \vec{B}(r).

   • Symétries :

     • Tout plan méridien (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant (le sens du courant s'inverse par réflexion). C'est donc un plan de symétrie pour le champ magnétique \vec{B} (pseudo-vecteur) :

       \vec{B}(M) \in (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) \implies B_\theta(r) = 0

     • Tout plan orthogonal à l'axe (Oz), (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta), est un plan de symétrie pour la distribution de courant. C'est donc un plan d'antisymétrie pour \vec{B} :

       \vec{B}(M) \perp (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) \implies B_r(r) = 0

   On en déduit que le champ magnétique est purement axial :

   \vec{B}(r) = B(r) \vec{u}_z

   2. Uniformité à l'intérieur Considérons un contour rectangulaire fermé \mathcal{C}_1 entièrement situé à l'intérieur du solénoïde (r < a), orienté, dont deux côtés de longueur \ell sont parallèles à (Oz) aux distances r_1 et r_2, et les deux autres sont radiaux.

   Puisque le contour n'enlace aucun courant (I_{\text{enlacé}} = 0) et que \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0 sur les segments radiaux, le théorème d'Ampère donne :

   \oint_{\mathcal{C}_1} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = [B(r_1) - B(r_2)] \ell = \mu_0 \times 0 = 0 \implies B(r_1) = B(r_2)

   Le champ est donc uniforme à l'intérieur : \vec{B} = B_0 \vec{u}_z.

   3. Expression de B_0 Considérons maintenant un contour rectangulaire \mathcal{C}_2 de longueur \ell, ayant un côté à l'intérieur parallèle à \vec{u}_z et un côté à l'extérieur où le champ est nul (\vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0}).

   Le contour enlace N \dfrac{\ell}{d} spires parcourues chacune par le courant I. D'après le théorème d'Ampère :

   \begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}_2} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= B_0 \ell + 0 + 0 + 0 = B_0 \ell \\ I_{\text{enlacé}} &= \frac{N \ell}{d} I \\ B_0 \ell &= \mu_0 \frac{N \ell}{d} I \end{aligned}

   On obtient finalement :

   \boxed{\vec{B} = B_0 \vec{u}_z \quad \text{avec} \quad B_0 = \mu_0 \frac{N}{d} I}

   Résultat

   $$\vec{B}=B_0{\vec{u}}_z\text{avec}{B}_0={\mu }_0\frac{N}{d}I$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique C PC 2022, Q36

   Le champ magnétique créé par une charge magnétique q_m est purement radial et varie en 1/r^2 :

   \vec{B}_{\text{mono}}(M) = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi r^2}\vec{\mathrm{e}}_r

   Il est dirigé vers l'extérieur si q_m > 0 et vers l'origine si q_m < 0.

   Sous forme globale, les équations de Maxwell standard imposent la conservation du flux magnétique (découlant de \mathrm{div}\,\vec{B} = 0) à travers toute surface fermée \mathcal{S} orientée vers l'extérieur :

   \oiint_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0

   Calculons le flux de \vec{B}_{\text{mono}} à travers la sphère \mathcal{S}_r de rayon r centrée en O, orientée par l'élément de surface sortant \mathrm{d}\vec{S} = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{\mathrm{e}}_r :

   \begin{aligned} \Phi = \oiint_{\mathcal{S}_r} \vec{B}_{\text{mono}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} &= \int_{\theta=0}^\pi \int_{\varphi=0}^{2\pi} \left(\frac{\mu_0 q_m}{4\pi r^2} \vec{\mathrm{e}}_r\right) \cdot \left(r^2 \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{\mathrm{e}}_r\right) \\ &= \frac{\mu_0 q_m}{4\pi} \left( \int_0^\pi \sin\theta\,\mathrm{d}\theta \right) \left( \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \right) \\ &= \frac{\mu_0 q_m}{4\pi} \times 2 \times 2\pi \end{aligned}

   soit :

   \boxed{\Phi = \oiint_{\mathcal{S}_r} \vec{B}_{\text{mono}} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \mu_0 q_m \neq 0}

   Ce flux non nul contredit directement la relation de Maxwell \oiint_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0.

   Résultat

   $$\Phi =\iint {\vec{B}}_{\text{mono}}\cdot \mathrm{d}\vec{S}={\mu }_0{q}_m\ne 0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique-Chimie L PC 2021, Q1

   Dans le plan (\mathrm{O}, x, y) :

   • L'axe (\mathrm{O}x) est l'axe de révolution du système.
   • La spire, située dans le plan x = 0, apparaît sous forme de deux sections carrées e \times e distantes de 2a, centrées en (0, a) (point \mathrm{P}) et (0, -a).
   • L'aimant sphérique est centré en \mathrm{A} d'abscisse s > 0. Son moment magnétique dipolaire \overrightarrow{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x est orienté vers la gauche (-\vec{e}_x), définissant un pôle Nord magnétique dirigé vers la spire et un pôle Sud dirigé vers les x positifs.
   • Les lignes de champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{a}} sont fermées, orientées du pôle Nord vers le pôle Sud dans l'espace extérieur à l'aimant. Sur l'axe (\mathrm{O}x), entre l'aimant et la spire, le champ magnétique est dirigé selon -\vec{e}_x. Au niveau de la spire (x = 0), les lignes de champ traversent la spire de droite à gauche en divergeant par rapport à l'axe (\mathrm{O}x).

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10. Exercice 10ENS Physique-Chimie L PC 2021, Q10

    Étape 1 : Choix du contour et orientation

    La spire \mathcal{C} est un cercle de centre \mathrm{O} et de rayon a situé dans le plan x = 0. Sa surface étant orientée par le vecteur normal unitaire \vec{e}_x, la règle du tire-bouchon oriente le contour \mathcal{C} selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta des coordonnées cylindriques (\rho, \theta, x) d'axe (\mathrm{O}x) :

    \mathrm{d}\vec{\ell} = a\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta \quad \text{avec} \quad \theta \in [0, 2\pi]

    Étape 2 : Potentiel vecteur créé par l'aimant en un point de la spire

    L'aimant, assimilé à un dipôle magnétique ponctuel situé en \mathrm{A}(s, 0, 0) de moment \overrightarrow{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x, crée en un point \mathrm{P} de la spire le potentiel vecteur :

    \vec{A}(\mathrm{P}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\overrightarrow{\mathcal{M}} \times \overrightarrow{\mathrm{AP}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\|^3}

    Le vecteur position du point \mathrm{P} par rapport à \mathrm{A} s'écrit :

    \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = a\,\vec{e}_\rho - s\,\vec{e}_x

    La distance r = \|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\| est constante le long de la spire :

    r = \sqrt{a^2 + s^2}

    Le produit vectoriel s'évalue aisément grâce à \vec{e}_x \times \vec{e}_\rho = \vec{e}_\theta et \vec{e}_x \times \vec{e}_x = \vec{0} :

    \overrightarrow{\mathcal{M}} \times \overrightarrow{\mathrm{AP}} = (-\mathcal{M}\vec{e}_x) \times (a\,\vec{e}_\rho - s\,\vec{e}_x) = -\mathcal{M}a\,\vec{e}_\theta

    Le potentiel vecteur au point \mathrm{P} est donc purement orthoradial :

    \vec{A}(\mathrm{P}) = -\frac{\mu_0 \mathcal{M} a}{4\pi (a^2 + s^2)^{3/2}}\,\vec{e}_\theta

    Étape 3 : Calcul du flux par le théorème de Stokes

    Par définition du potentiel vecteur \vec{B}_{\mathrm{a}} = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{A}, le flux s'obtient par circulation sur le contour fermé \mathcal{C} :

    \begin{aligned} \phi_{\mathrm{a/s}}(s) &= \iint_{S} \vec{B}_{\mathrm{a}} \cdot \vec{e}_x\,\mathrm{d}S = \oint_{\mathcal{C}} \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} \\ &= \int_0^{2\pi} \left( -\frac{\mu_0 \mathcal{M} a}{4\pi (a^2 + s^2)^{3/2}}\,\vec{e}_\theta \right) \cdot \left( a\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta \right) \\ &= -\frac{\mu_0 \mathcal{M} a^2}{4\pi (a^2 + s^2)^{3/2}} \times 2\pi \\ &= -\frac{\mu_0 \mathcal{M} a^2}{2 (a^2 + s^2)^{3/2}} \end{aligned}

    Étape 4 : Mise sous la forme réduite

    En introduisant la variable sans dimension X = s/a, on factorise le dénominateur par a^3 :

    \phi_{\mathrm{a/s}}(s) = -\frac{\mu_0 \mathcal{M}}{2a} \frac{1}{\left(1 + X^2\right)^{3/2}}

    On identifie immédiatement la fonction F(X) :

    F(X) = \frac{1}{\left(1 + X^2\right)^{3/2}} \quad \text{qui vérifie bien} \quad F(0) = 1

    La constante \phi_0 correspond à la valeur du flux lorsque l'aimant est au centre de la spire (s=0) :

    \phi_0 = \phi_{\mathrm{a/s}}(0) = -\frac{\mu_0 \mathcal{M}}{2a}

    D'après la question Q9, le moment magnétique de l'aimant sphérique vaut :

    \mathcal{M} = \frac{\pi B^\star D^3}{6\mu_0}

    D'où l'expression finale de la constante \phi_0 :

    \phi_0 = -\frac{\mu_0}{2a}\left(\frac{\pi B^\star D^3}{6\mu_0}\right) = -\frac{\pi B^\star D^3}{12 a}

    \boxed{\phi_{\mathrm{a/s}}(s) = \phi_0 F(X) \quad \text{avec} \quad F(X) = \frac{1}{\left(1 + X^2\right)^{3/2}} \quad \text{et} \quad \phi_0 = -\frac{\pi B^\star D^3}{12 a}}

    Résultat

    $${\varphi }_{a/s}(s)={\varphi }_{0}F(X)\text{avec}F(X)=\frac{1}{{\left(1+X^2\right)}^{3/2}}\text{et}{\varphi }_0=-\frac{\pi B^{\star }{D}^3}{12a}$$

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