Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2026

Considérons un condensateur plan idéal, constitué de deux armatures métalliques planes parallèles séparées par du vide (ou de l'air de permittivité diélectrique \varepsilon_0). En négligeant les effets de bord, le champ électrostatique est nul à l'extérieur des armatures et uniforme entre celles-ci.

D'après le théorème de Coulomb à la surface d'un conducteur en équilibre électrostatique portant la densité surfacique de charge \sigma (ou par superposition des champs créés par les deux distributions planes de densités respectives +\sigma et -\sigma), le module du champ électrique E régnant entre les armatures est relié à la densité surfacique de charge \sigma (prise positive sur l'armature considérée) par :

Dans le vide (ou dans l'air assimilé au vide), la densité volumique d'énergie électrostatique associée à un champ électrique de module E s'écrit :

Considérons une armature de surface S séparée de l'autre armature par une distance x. À charge Q = \sigma S fixée, le champ électrique E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} est uniforme et indépendant de la distance x.

L'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur s'écrit, à l'aide du résultat de la question 2 :

Pour un déplacement virtuel \mathrm{d}x augmentant la distance entre les armatures à charge constante, la force électrostatique F_x exercée sur l'armature mobile dérive de l'énergie potentielle électrostatique :

Le signe négatif indique une force attractive qui tend à rapprocher les deux armatures de signes opposés.

La force par unité de surface P = \frac{|F_x|}{S} s'identifie donc à la densité d'énergie électrostatique :

En utilisant la relation E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} établie à la question 1, on obtient l'expression en fonction de \sigma :

Sens de la force : La force exercée sur l'armature est attractive (dirigée vers l'autre armature), ce qui correspond à une force dirigée vers l'extérieur du conducteur (pression électrostatique qui tend à « tirer » sur la surface conductrice vers le milieu diélectrique).

À l'équilibre électrostatique, la goutte conductrice sphérique de rayon R porte la charge Q uniformément répartie sur sa surface avec la densité surfacique :

Tout plan passant par le centre O de la goutte est plan de symétrie de la distribution de charges, et la distribution est invariante par toute rotation autour de O. En coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) d'origine O, le champ électrique est donc radial et ne dépend que de la distance radiale :

Choisissons comme surface de Gauss \mathcal{S} une sphère de rayon r > R centrée en O. Le flux du champ électrique à travers \mathcal{S}, orientée vers l'extérieur, s'écrit :

D'après le théorème de Gauss, la charge intérieure étant Q_{\text{int}} = Q :

Le champ électrique à l'extérieur de la goutte (r \ge R) est donc :

Immédiatement à l'extérieur de la surface de la goutte (r = R^+), le module du champ électrique vaut :

D'après le résultat de la question 3, la force par unité de surface subie par le conducteur s'écrit P = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E(R^+)^2, soit :

En tout point de la surface de la goutte :

• la force électrostatique par unité de surface est dirigée vers l'extérieur (d'après la question Q3) et a pour norme (d'après la question Q4) :

  P = \frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^4}

• la force de cohésion superficielle par unité de surface est dirigée vers l'intérieur et a pour norme :

  P_{\text{coh}} = \frac{\gamma}{R}

La force électrostatique déstabilise la goutte et l'emporte sur la force de cohésion dès lors que la résultante surfacique est dirigée vers l'extérieur, c'est-à-dire :

Cette condition se réécrit immédiatement :

La goutte devient donc instable si la charge Q (en valeur absolue) dépasse la valeur limite :

En électrostatique, le champ électrique dérive d'un potentiel scalaire :

L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit sous forme locale :

ce qui conduit à l'équation de Poisson :

Dans la région extérieure au cône, l'espace est supposé vide de charges (\rho = 0). Le potentiel électrostatique V(\vec{r}) vérifie donc l'équation de Laplace :

Par ailleurs, dans l'approximation de l'électrostatique, le liquide conducteur constituant le cône est assimilable à un conducteur à l'équilibre. Le champ électrique interne est nul (\vec{E}_{\text{int}} = \vec{0}), ce qui impose que le conducteur soit un volume équipotentiel.

Par continuité du potentiel électrostatique, la surface du cône est donc une surface équipotentielle :

D'après la question 3, la force électrostatique par unité de surface (pression électrostatique) s'exerçant sur la surface d'un conducteur est dirigée vers l'extérieur et a pour expression :

où E est le module du champ électrique immédiatement à l'extérieur de la surface du conducteur.

Par ailleurs, la force de tension superficielle par unité de surface est dirigée vers l'intérieur et s'écrit, d'après l'énoncé :

où K est une constante sans dimension.

À l'équilibre, ces deux forces surfaciques de sens opposés doivent se compenser exactement en tout point de la surface du cône :

On en déduit que le carré du champ électrique est inversement proportionnel à r :

Par conséquent, le module du champ électrique à la surface du cône doit varier comme l'inverse de la racine carrée de la distance au sommet :

Le champ électrostatique dérive du potentiel selon la relation \vec{E} = -\vec{\nabla} V. En coordonnées sphériques (r, \theta, \phi), avec l'expression proposée V(r, \theta, \phi) = V_0 + r^\delta f(\theta), le gradient s'écrit :

Le module du champ électrique à la surface du cône (\theta = \theta_0) varie donc en fonction de la coordonnée radiale r selon la loi d'échelle :

D'après la question 7, l'équilibre mécanique entre la répulsion électrostatique et la cohésion par tension superficielle impose que le module du champ électrique varie en r^{-1/2} le long de la surface. On en déduit :

soit :

Le problème présente une symétrie de révolution autour de l'axe du cône et du jet (\theta = 0). Le potentiel électrostatique est donc indépendant de l'angle azimutal \phi :

En coordonnées sphériques, le laplacien d'une fonction indépendante de \phi s'écrit :

En injectant la forme proposée à la question Q8, V(r,\theta) = V_0 + r^\delta f(\theta) (avec V_0 constant et \delta = 1/2) :

• La partie radiale donne :

  \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial (r^\delta f)}{\partial r}\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(\delta r^{\delta+1} f(\theta)\right) = \delta(\delta+1) r^{\delta-2} f(\theta)

• La partie angulaire s'écrit :

  \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial (r^\delta f)}{\partial \theta}\right) = r^{\delta-2} \left[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\theta}\right) \right]

Les deux termes présentent exactement la même puissance en r, à savoir r^{\delta-2}. L'équation de Laplace \Delta V = 0 s'écrit ainsi :

Pour tout r > 0, le terme radial r^{\delta-2} se simplifie. Comme l'opérateur angulaire fait intervenir des dérivées jusqu'à l'ordre deux par rapport à \theta, l'équation de Laplace se réduit bien à une équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre pour f(\theta).

D'après la question 6, la surface du cône est constituée d'un liquide conducteur à l'équilibre électrostatique : elle constitue donc une équipotentielle au potentiel constant V_0.

L'équation de la surface du cône étant \theta = \theta_0, le potentiel s'y écrit, sous la forme introduite à la question 8 :

Pour que cette condition V(r, \theta_0, \phi) = V_0 soit satisfaite en tout point de la surface, c'est-à-dire pour toute distance radiale r > 0, il est nécessaire et suffisant que :

À la surface d'un conducteur à l'équilibre électrostatique, le champ électrique immédiatement à l'extérieur est relié à la densité surfacique de charge \sigma par le théorème de Coulomb (rappelé à la question Q1) :

D'après le résultat de la question Q7, le module du champ électrique varie en r^{-1/2} le long de la surface du cône pour assurer la compensation avec la force de tension superficielle. Il en découle directement :

Au voisinage du sommet du cône (r \to 0), la densité de charge surfacique \sigma(r) devient ainsi extrêmement grande (effet de pointe).

Le liquide formant le fin jet s'échappe précisément de cette région apicale de concentration maximale en charges. Ce jet transporte donc une forte densité de charge électrique. Lors de sa désintégration en gouttelettes microscopiques, ces dernières emportent une charge électrique très élevée par rapport à leur faible volume.

Considérons un ion de masse m et de charge q, en mouvement dans un référentiel supposé galiléen où règnent un champ électrique \vec{E}(\vec{r}, t) et un champ magnétique \vec{B}(\vec{r}, t) connus.

Le poids de l'ion étant totalement négligeable devant les interactions électromagnétiques, la seule force agissant sur l'ion est la force de Lorentz :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ion :

En divisant cette équation par la masse m, on obtient :

Pour des champs \vec{E} et \vec{B} imposés et des conditions initiales données (\vec{r}(0) et \vec{v}(0)), l'équation différentielle régissant la trajectoire \vec{r}(t) ne fait intervenir les caractéristiques intrinsèques de l'ion que par l'intermédiaire du paramètre :

Ainsi, l'observation et la mesure du mouvement de l'ion (déviation, rayon de courbure, temps de vol ou fréquence d'oscillation) ne permettent d'accéder qu'au rapport charge sur masse \frac{q}{m} (ou rapport masse sur charge \frac{m}{q}), et non à la masse m de manière isolée.

1. Forme de la charge de l'ion

La charge électrique est quantifiée. La molécule étant initialement électriquement neutre, son ionisation par perte d'un nombre entier z \in \mathbb{N}^* d'électrons (chacun de charge -e) lui confère une charge nette positive :

(De façon équivalente en spectrométrie ESI en mode positif, cela correspond à la fixation de z protons \mathrm{H}^+).

2. Détermination des états de charge z et de la masse m

La masse d'un électron étant négligeable devant celle des nucléons (m_e \approx m_u / 1836), la masse m de l'ion est sensiblement égale à celle de la macromolécule neutre. Chaque pic correspond à une valeur M_z = m/z.

Le rapport entre les deux valeurs suggérées par l'énoncé vaut :

Comme m est constante pour une même protéine, on a \frac{z_2}{z_1} \approx 2, soit z_2 \approx 2z_1.

Pour deux pics consécutifs d'états de charge z et z+1, de rapports respectifs M_z = m/z et M_{z+1} = m/(z+1), on a la relation :

En considérant le pic à M_z = 1999{,}30 et le pic adjacent visible sur la figure 2 à M_{z+1} = 1888{,}29 :

On en déduit immédiatement pour le pic à 1000{,}15 :

Les valeurs de z cherchées sont donc :

On en déduit la masse de la protéine :

En retenant deux chiffres significatifs cohérents avec la dispersion expérimentale :

3. Ordre de grandeur du nombre d'atomes

Deux approches permettent d'évaluer le nombre d'atomes N_{\text{at}} :

• Par les acides aminés : un résidu d'acide aminé a une masse moyenne d'environ 110\text{ u} et comporte en moyenne une quinzaine d'atomes (\text{C, H, O, N}). La protéine contient ainsi environ 34\,000 / 110 \approx 300 résidus, soit :

  N_{\text{at}} \approx 300 \times 15 \approx 4\,500 \text{ atomes}

• Par la masse atomique moyenne : la matière organique est constituée majoritairement de carbone (12\text{ u}), d'hydrogène (1\text{ u}), d'azote (14\text{ u}) et d'oxygène (16\text{ u}). La masse moyenne par atome est de l'ordre de \bar{m}_{\text{at}} \approx 7\text{ u}, ce qui donne :

  N_{\text{at}} = \frac{m}{\bar{m}_{\text{at}}} \approx \frac{34\,000}{7} \approx 5\,000 \text{ atomes}

Pour créer un champ magnétique uniforme et stationnaire \vec{B} = B\,\vec{e}_z, deux dispositifs expérimentaux classiques peuvent être envisagés :

• Un solénoïde long d'axe (Oz) : il est constitué d'un enroulement cylindrique de spires conductrices jointives de rayon R, réparties à raison de n spires par unité de longueur et parcourues par un courant d'intensité constante I. Loin des extrémités (longueur L \gg R), le champ magnétique à l'intérieur est uniforme, stationnaire et dirigé le long de l'axe :

  \vec{B} = \mu_0 n I\,\vec{e}_z

  le sens de \vec{e}_z étant fixé par la règle de la main droite selon le sens d'enroulement et de circulation du courant. En spectrométrie de masse FT-ICR, où des champs intenses sont requis (de l'ordre de plusieurs teslas, typiquement B = 7\text{ T} comme précisé à la question 42), on utilise un solénoïde supraconducteur plongé dans un cryostat d'hélium liquide.

• Des bobines de Helmholtz : constituées de deux bobines circulaires identiques, minces, coaxiales d'axe (Oz), de même rayon R, séparées d'une distance égale à leur rayon (D = R) et parcourues par le même courant I dans le même sens. Cette géométrie garantit l'annulation des première et deuxième dérivées spatiales de \vec{B} en leur centre, assurant ainsi une excellente uniformité du champ magnétique au voisinage de l'origine.

On étudie un ion de masse m et de charge q dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

Le poids de l'ion étant totalement négligeable devant les forces électromagnétiques, la seule force agissant sur l'ion dans la cellule est la composante magnétique de la force de Lorentz :

Dans le système de coordonnées cartésiennes (x,y,z), le champ magnétique s'écrit \vec{B} = B\,\vec{e}_z et le vecteur vitesse s'exprime par :

Le produit vectoriel donne :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique :

On obtient, par projection sur les trois axes cartésiens, le système différentiel :

D'après la question Q15, les équations du mouvement dans le plan (x,y) s'écrivent :

En combinant ces deux relations sous la forme \ddot{Z} = \ddot{x} + i\ddot{y}, on obtient :

L'équation différentielle vérifiée par la coordonnée complexe Z(t) est donc :

On cherche une solution particulière sous la forme proposée Z(t) = Z_0 \exp(-i\omega_0 t) avec Z_0 \neq 0 et \omega_0 \neq 0. Les dérivées temporelles successives valent :

En substituant ces expressions dans l'équation du mouvement, il vient :

ce qui se simplifie en :

La condition \omega_0 \neq 0 impose directement :

Vérifications du résultat :

• Homogénéité : la force de Lorentz s'écrit F \sim q v B, d'où une accélération caractéristique a \sim \frac{q B}{m} v. Pour un mouvement circulaire uniforme de pulsation \omega_0 et de rayon R, v = R\omega_0 et a = R\omega_0^2, ce qui conduit bien à \omega_0 = \frac{qB}{m}. La grandeur a bien la dimension de l'inverse d'un temps (\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}).
• Sens de rotation : pour q > 0 et Z_0 = R \in \mathbb{R}^+, on a x(t) = R\cos(\omega_0 t) et y(t) = -R\sin(\omega_0 t). Le mouvement est circulaire uniforme dans le plan (x,y), parcouru dans le sens horaire. Au point (R, 0), le vecteur vitesse est dirigé selon -\vec{e}_y ; la force de Lorentz vaut alors \vec{F}_L = q(-v\vec{e}_y)\times(B\vec{e}_z) = -qvB\,\vec{e}_x, dirigée vers l'origine (force centripète). Le signe de \omega_0 est donc parfaitement cohérent avec la convention Z(t) = Z_0\exp(-i\omega_0 t).

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ion de masse m et de charge q, dans le référentiel galiléen du laboratoire, s'écrit :

En projetant sur les axes x et y, sachant que \vec{B} = B\vec{e}_z (avec B>0) :

En multipliant la seconde ligne par i et en l'ajoutant à la première, on obtient pour la coordonnée complexe Z(t) = x(t) + i y(t) :

Or \dot{y} - i\dot{x} = -i(\dot{x} + i\dot{y}) = -i\dot{Z}(t) et d'après la formule d'Euler :

Il vient ainsi :

En divisant par la masse m et en introduisant la pulsation cyclotron \omega_0 = \frac{qB}{m} établie à la question 16, on obtient l'équation du mouvement :

La force de frottement s'écrit sous la forme :

D'après la deuxième loi de Newton, une force est homogène au produit d'une masse par une accélération :

Comme [m] = \mathrm{M} et [v] = \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-1}, l'analyse dimensionnelle de la force de frottement donne :

Le paramètre \tau a donc la dimension d'une durée :

Cette forme de force de frottement apparaît principalement dans deux contextes du programme :

• Le modèle de Drude de la conduction électrique : les porteurs de charge (électrons de conduction) sont soumis à une force de frottement macroscopique effective -\frac{m}{\tau}\vec{v} rendant compte des collisions avec le réseau cristallin, où \tau représente le temps moyen entre deux collisions successives (temps de relaxation) ;
• Le frottement fluide linéaire (loi de Stokes) : à faible nombre de Reynolds, un corps se déplaçant dans un fluide subit une force proportionnelle à sa vitesse \vec{F} = -\alpha \vec{v}, ce qui conduit en posant \alpha = m/\tau à une équation régie par le temps caractéristique de relaxation de la vitesse \tau.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ion de masse m et de charge q dans le référentiel d'analyse galiléen s'écrit :

En projetant sur les axes cartésiens x et y, avec \vec{B} = B\vec{e}_z et \omega_0 = \frac{qB}{m} (d'après les questions Q15 et Q16) :

En effectuant la combinaison linéaire \ddot{Z} = \ddot{x} + \mathrm{i}\ddot{y}, on obtient :

L'équation du mouvement pour la coordonnée complexe Z(t) est donc :

On cherche une solution en régime forcé sous la forme Z(t) = Z_0 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}. Les dérivées temporelles valent :

En injectant ces expressions dans l'équation différentielle et en simplifiant par \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, il vient :

On en déduit l'expression de l'amplitude complexe Z_0 :

L'amplitude réelle (module du mouvement dans le plan (x,y)) s'en déduit :

D'après la question Q19, le module de l'amplitude complexe s'écrit :

Une force de frottement « suffisamment faible » correspond à un amortissement très faible, c'est-à-dire :

Dans ce régime, étudions le comportement de |Z_0(\omega)| au voisinage de \omega = \omega_0 :

• Le terme sous la racine, (\omega - \omega_0)^2 + \frac{1}{\tau^2}, varie très rapidement sur une échelle de pulsation de l'ordre de 1/\tau et atteint sa valeur minimale 1/\tau^2 exactement en \omega = \omega_0.
• En revanche, le facteur \omega au dénominateur varie très lentement sur cette même échelle : pour |\omega - \omega_0| \sim 1/\tau, \omega \approx \omega_0 à l'ordre zéro en (1/\omega_0\tau).

Par conséquent, |Z_0(\omega)| présente un pic très pointu (phénomène de résonance) centré en \omega \approx \omega_0, où l'amplitude atteint :

Déterminons la largeur de la résonance. Les pulsations de coupure \omega à -3\text{ dB} (définies par |Z_0(\omega)| = \frac{|Z_0(\omega_0)|}{\sqrt{2}}) vérifient, en approchant \omega par \omega_0 devant le radical :

La largeur à mi-hauteur en énergie de la résonance (distance entre les deux pulsations de coupure) est donc :

En ordre de grandeur :

D'après la question Q16, la pulsation de résonance cyclotronique s'écrit, avec q = ze (d'après la question Q13) :

Pour deux molécules de masses voisines m et m + \delta m portant le même degré d'ionisation z, l'écart entre leurs pulsations de résonance vaut, en valeur absolue :

Pour pouvoir distinguer deux pics de résonance dans le spectre, l'écart |\delta \omega_0| doit être supérieur ou de l'ordre de la largeur de résonance \Delta\omega \sim \frac{1}{\tau} établie à la question Q20 :

L'écart minimal de masse résoluble \delta m_{\min} vérifie donc :

ce qui correspond à un pouvoir de résolution en masse :

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(t) = E\cos(\omega t)\,\vec{e}_x. La force exercée sur l'ion de charge q est donc :

Considérons deux forces \vec{F}_1 et \vec{F}_2 répondant au modèle de la question Q17 avec une amplitude F = \frac{qE}{2}, associées respectivement aux pulsations \omega et -\omega :

Par parité du cosinus et imparité du sinus, leur somme donne bien :

La force d'excitation linéaire est donc la superposition exacte de ces deux composantes.

L'équation du mouvement établie à la question Q19 étant linéaire :

le mouvement en régime forcé est la somme des réponses particulières associées à chaque composante :

D'après le résultat de la question Q19 :

• Pour la composante de pulsation \omega avec une amplitude F = \frac{qE}{2} :

  Z_1(t) = Z_{0,1}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \quad \text{avec} \quad Z_{0,1} = \frac{qE}{2m\omega\left[(\omega_0 - \omega) - \frac{\mathrm{i}}{\tau}\right]}

• Pour la composante de pulsation -\omega avec la même amplitude F = \frac{qE}{2}, en substituant \omega par -\omega :

  Z_2(t) = Z_{0,2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \quad \text{avec} \quad Z_{0,2} = \frac{-qE}{2m\omega\left[(\omega_0 + \omega) - \frac{\mathrm{i}}{\tau}\right]}

Le mouvement en régime forcé s'écrit donc :

Examinons les modules des deux amplitudes :

Comme \omega > 0 et \omega_0 = \frac{qB}{m} > 0 :

• Le terme |Z_{0,1}| présente un dénominateur minimal très petit (d'ordre 1/\tau) pour \omega \approx \omega_0 \gg 1/\tau, conduisant à une grande amplitude.
• Le dénominateur de |Z_{0,2}| vaut au voisinage de \omega_0 environ \sqrt{4\omega_0^2 + 1/\tau^2} \approx 2\omega_0, ce qui ne présente aucun pic de résonance.

Par conséquent :

Pour créer un champ électrique uniforme dirigé selon l'axe x et sinusoïdal de pulsation \omega, on peut utiliser un condensateur plan constitué de deux plaques métalliques planes et parallèles :

• les plaques conductrices, de dimensions grandes devant leur écartement, sont disposées perpendiculairement à l'axe x (plans d'équations x = -d/2 et x = d/2, où d est la distance inter-plaques) ;

• les deux plaques sont reliées aux bornes d'un générateur de tension alternative sinusoïdale (GBF) délivrant une différence de potentiel :

  u(t) = V_1(t) - V_2(t) = U_0 \cos(\omega t)

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (les dimensions de la cellule étant très petites devant la longueur d'onde électromagnétique associée à \omega) et en négligeant les effets de bord au centre de la cellule, le champ électrique régnant entre les plaques est uniforme et s'écrit :

avec une amplitude E = \frac{U_0}{d}.

D'après la question 22, la composante du champ électrique responsable de la résonance correspond à la force d'excitation tournante de pulsation +\omega et d'amplitude F = \frac{qE}{2} :

ce qui s'écrit en représentation complexe :

En l'absence de force de frottement et en se plaçant exactement à la résonance (\omega = \omega_0), l'équation du mouvement complexe issue des questions 16 et 17 devient :

Soit la fonction test :

Calculons ses dérivées temporelles successives :

puis :

Injectons ces expressions dans le membre de gauche de l'équation du mouvement à la résonance (établie à la question Q24) :

L'équation différentielle s'écrit alors :

d'où :

En rappelant d'après la question Q16 que \omega_0 = \dfrac{qB}{m}, on obtient :

D'après la question Q25, la solution particulière à la résonance s'écrit :

avec A = \dfrac{E}{2B} > 0.

En coordonnées polaires (r, \theta) dans le plan (x, y), en posant Z(t) = r(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(t)} pour t \ge 0 :

• le rayon polaire est :

  r(t) = |Z(t)| = A t = \frac{E}{2B}\,t

• l'angle polaire vérifie :

  \theta(t) = \frac{\pi}{2} - \omega_0 t \quad (\text{modulo } 2\pi)

Le paramètre temporel s'exprime donc en fonction de \theta par :

où \theta décroît continûment depuis \pi/2 à t = 0. Il vient la relation polaire :

Il s'agit d'une spirale d'Archimède parcourue dans le sens horaire (sens trigonométrique indirect, \dot{\theta} = -\omega_0 < 0), partant de l'origine (0,0) à t = 0.

Rôles respectifs des deux champs :

• Champ magnétique \vec{B} : La force magnétique \vec{F}_m = q\vec{v}\times\vec{B} est orthogonale à la vitesse \vec{v}, donc sa puissance est identiquement nulle (\mathcal{P}_m = 0). Elle ne modifie pas l'énergie cinétique de la particule mais courbe sa trajectoire et impose le mouvement de giration à la pulsation cyclotron \omega_0 = \dfrac{qB}{m}.
• Champ électrique \vec{E} : À la résonance, la composante résonante du champ électrique tourne à la même pulsation \omega_0 que l'ion et reste colinéaire et de même sens que la vitesse tangentielle. La force électrique \vec{F}_e développe un travail moteur continuellement positif (\mathcal{P}_e > 0), accélérant l'ion et provoquant l'élargissement régulier du rayon orbital (r \propto t).

D'après la question 25, la position de l'ion dans le plan (x,y) en régime de résonance est donnée par :

La distance de l'ion à l'axe central (rayon de l'orbite) croît donc linéairement avec le temps :

Pour que la détection soit la plus aisée possible, il faut que l'amplitude du mouvement soit maximale, c'est-à-dire que le rayon r(t_E) atteint à la fin de l'impulsion électrique soit aussi grand que possible. Cependant, pour éviter que les ions n'entrent en collision avec les parois de la cellule d'analyse de taille caractéristique d, le rayon doit rester inférieur à la demi-dimension de la cellule, soit r(t_E) \lesssim \frac{d}{2} (ou de l'ordre de grandeur de d).

La valeur optimale du temps d'excitation t_E correspond donc à :

ce qui conduit à :

L'uniformité du champ magnétique \vec{B} est de loin la plus importante, pour deux raisons physiques majeures :

1. Détermination de la grandeur mesurée : La pulsation cyclotron s'écrit (question 16) :

   \omega_0 = \frac{qB}{m}

   C'est la mesure ultra-précise de cette fréquence qui donne accès au rapport m/q. Si le champ magnétique n'est pas rigoureusement uniforme, des ions de même rapport m/q situés en différents points de la cellule, ou un même ion lors de son mouvement au cours duquel son rayon varie de 0 à d/2, voient un champ B(\vec{r}) variable. La fréquence d'oscillation varie alors au cours du temps et dans l'espace, ce qui élargit considérablement les pics spectraux et dégrade la résolution en masse.

2. Mesure en vol libre (détection) : Le champ électrique \vec{E} n'intervient que pendant la phase transitoire d'excitation (durée t_E). Une éventuelle non-uniformité de \vec{E} modifierait légèrement l'amplitude finale du mouvement sans changer sa pulsation propre. En revanche, le champ magnétique \vec{B} gouverne le mouvement des ions pendant toute la phase de détection, qui dure beaucoup plus longtemps et au cours de laquelle le signal induit est mesuré.

À l'équilibre thermique à la température T, l'énergie cinétique moyenne de translation d'une particule à trois degrés de liberté est donnée par le théorème de l'équipartition de l'énergie :

où k_B désigne la constante de Boltzmann.

La quantité de mouvement \vec{p} = m\vec{v} est reliée à l'énergie cinétique par :

En ordre de grandeur, la quantité de mouvement d'origine thermique vaut donc :

Dans le plan (x, y) orthogonal au champ magnétique \vec{B} = B\vec{e}_z, un ion animé d'une vitesse v_\perp décrit un mouvement circulaire uniforme sous l'effet de la force de Lorentz. La relation fondamentale de la dynamique projetée sur la normale à la trajectoire s'écrit :

En utilisant l'ordre de grandeur de la quantité de mouvement d'origine thermique déterminé à la question 29, p_\perp \sim \sqrt{m k_B T}, on obtient l'ordre de grandeur du rayon cyclotron initial :

L'excitation résonante n'est efficace que si ce paquet d'ions reste initialement bien confiné au voisinage du centre de la cellule, c'est-à-dire si ce rayon thermique est très petit devant la taille caractéristique d de la cellule :

En élevant au carré, cette condition équivaut à :

La condition demandée s'écrit donc bien m \ll m_{\text{max}} avec :

Le champ magnétique étant dirigé selon l'axe z (\vec{B} = B \vec{e}_z), la force de Lorentz magnétique qui s'exerce sur un ion est :

Elle est strictement perpendiculaire à \vec{e}_z, de sorte que sa composante axiale est nulle : F_{m, z} = 0.

De même, le champ électrique d'excitation appliqué précédemment est orthogonal à l'axe z (E_z = 0).

Selon la direction z, la seconde loi de Newton (hors frottements) se réduit donc à :

Aucune force ne confine les ions le long de cet axe. Dès lors que les ions possèdent une vitesse axiale initiale v_{z0} \neq 0 (liée à leur injection ou à l'agitation thermique), ils effectuent une translation uniforme selon z et finissent inévitablement par heurter les parois ou quitter la cellule d'analyse.

Le champ électrostatique dérive du potentiel V(x,y,z) = \frac{\alpha}{2}\left(-x^2 - y^2 + \beta z^2\right) via la relation locale \vec{E} = -\vec{\nabla}V, soit en coordonnées cartésiennes :

Le champ électrique de piégeage s'écrit donc :

À l'intérieur de la cellule d'analyse, l'espace étant supposé vide de charges (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss locale s'écrit :

En calculant le laplacien de V :

Comme \alpha > 0, on en déduit directement :

On étudie l'ion de masse m et de charge q > 0 dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

D'après les consignes du préambule, on ne prend en compte ni la force d'excitation ni la force de frottement. L'ion n'est donc soumis qu'à la force de Lorentz :

où \vec{B} = B\,\vec{e}_z et le champ électrique de piégeage s'écrit, d'après le résultat de la question 32 :

Puisque le champ magnétique est colinéaire à \vec{e}_z, la force magnétique est orthogonale à l'axe z :

La projection de la seconde loi de Newton selon l'axe (\mathrm{O}z) donne alors immédiatement :

soit :

Comme \alpha > 0, q > 0 et m > 0, la constante \dfrac{2q\alpha}{m} est strictement positive. Cette équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_p. L'ion effectue donc des oscillations sinusoïdales autour de l'origine z = 0 à la pulsation :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'ion de masse m et de charge q, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, s'écrit en l'absence de frottement et de force d'excitation :

D'après les questions Q15 et Q32, le champ magnétique s'écrit \vec{B} = B\,\vec{e}_z et le champ électrique de piégeage a pour composantes transverses E_x = \alpha x et E_y = \alpha y. En projetant selon \vec{e}_x et \vec{e}_y, on obtient :

En divisant par la masse m et en introduisant la pulsation cyclotron \omega_0 = \frac{qB}{m} (établie à la question Q16) :

Formons la combinaison complexe \ddot{Z} = \ddot{x} + \mathrm{i}\ddot{y} :

En rappelant d'après la question Q33 que la pulsation de piégeage axial vérifie \omega_p^2 = \frac{2q\alpha}{m}, soit \frac{q\alpha}{m} = \frac{1}{2}\omega_p^2, l'équation du mouvement devient :

L'équation obtenue à la question Q16, \ddot{Z} + \mathrm{i}\omega_0\dot{Z} = 0, est ainsi modifiée par l'apparition d'un terme proportionnel à Z(t) : -\frac{1}{2}\omega_p^2 Z(t) (ou -\frac{q\alpha}{m}Z(t)).

D'après la question Q34, l'équation régissant le mouvement complexe dans le plan (x,y) en présence du potentiel de piégeage s'écrit :

En cherchant une solution de la forme Z(t) = Z_0 \exp(-\mathrm{i}\omega t) avec Z_0 \neq 0, les dérivées temporelles successives valent :

En reportant dans l'équation différentielle, on obtient :

Comme Z_0 \neq 0 et \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \neq 0, \omega doit être solution de l'équation algébrique :

Le discriminant de ce trinôme s'écrit :

Sous l'hypothèse d'un champ de piégeage faible, \omega_p \ll \omega_0, le rapport (\omega_p/\omega_0)^2 est strictement inférieur à 1/2. Le discriminant \Delta est donc strictement positif, ce qui garantit l'existence de deux solutions réelles distinctes pour \omega.

Les deux solutions s'écrivent exactement, avec la convention \omega_+ > \omega_- :

Dans la limite \omega_p \ll \omega_0, effectuons un développement limité au premier ordre en (\omega_p/\omega_0)^2 de la racine carrée :

En réinjectant ce développement dans les deux racines :

D'après les résultats de la question Q35, les deux pulsations propres du mouvement dans le plan perpendiculaire au champ magnétique sont :

avec, d'après les questions Q16 et Q33 :

Calculons le terme correctif commun :

1. Modification de la pulsation de résonance :

La pulsation propre haute \omega_+ devient :

Comme l'hypothèse de piégeage faible stipule que \omega_p \ll \omega_0, l'écart relatif s'écrit :

Le piégeage électrostatique entraîne donc un très faible décalage de la pulsation cyclotron vers les basses fréquences.

2. Nouveau mouvement d'oscillation lent :

La seconde solution correspond à la pulsation :

• D'une part, on a \omega_- \approx \dfrac{\omega_p}{2\omega_0}\omega_p \ll \omega_p \ll \omega_0, ce qui caractérise un mouvement d'oscillation transversal beaucoup plus lent que l'oscillation cyclotronique.
• D'autre part, le rapport \dfrac{\alpha}{B} ne dépend ni de m, ni de q : la pulsation \omega_- et donc la fréquence associée f_- = \dfrac{\omega_-}{2\pi} = \dfrac{\alpha}{2\pi B} sont indépendantes du rapport m/q.

Dans le vide, en choisissant l'origine des potentiels à l'infini, une charge ponctuelle q_j située en \vec{r}_j crée au point \vec{r}_i (j \neq i) le potentiel électrostatique :

En vertu du principe de superposition, le potentiel total V_i créé au point \vec{r}_i par les N-1 autres charges q_j (j \neq i) est la somme des potentiels élémentaires :

D'après la question Q37, le potentiel V'_i créé en \vec{r}_i par les charges q'_j (j \neq i) s'écrit :

En multipliant par q_i et en sommant sur i de 0 à N-1, on obtient :

Comme la distance entre deux points est symétrique, \|\vec{r}_i - \vec{r}_j\| = \|\vec{r}_j - \vec{r}_i\|, on peut intervertir l'ordre des sommations finies et renommer les indices muets (i \leftrightarrow j) :

On reconnaît dans la somme intérieure l'expression du potentiel V_j créé en \vec{r}_j par les charges q_i du premier état :

Il vient ainsi directement, en réécrivant l'indice muet j sous la lettre i :

Dans la nouvelle configuration envisagée, l'espace entre les électrodes est dépourvu de charges (q'_0 = 0). Le potentiel électrostatique V'(\vec{r}) vérifie donc l'équation de Laplace :

Les électrodes de détection étant deux plaques planes métalliques parallèles situées en y = -d/2 et y = d/2, et en négligeant les effets de bord, le problème ne dépend que de la coordonnée y. L'équation de Laplace se simplifie en :

La solution générale est une fonction affine de y :

où A et B sont des constantes déterminées par les conditions aux limites imposées sur les électrodes :

Par somme et différence de ces deux équations, on obtient immédiatement :

Le potentiel en tout point y \in [-d/2, d/2] s'écrit donc :

Au point y_0 où se trouve la charge dans la configuration réelle, le potentiel fictif V'_0 vaut :

Le système est constitué des deux électrodes (notées 1 et 2) et de la charge ponctuelle (notée 0).

1. Application du théorème de réciprocité Rappelons les caractéristiques des deux états considérés :

• État réel (sans prime) :

  q_0 = q,\quad V_1 = 0,\quad V_2 = 0

  Les charges portées par les électrodes sont notées q_1 et q_2.

• État auxiliaire (avec prime, question Q39) :

  q'_0 = 0,\quad V'_1 = -\frac{V}{2},\quad V'_2 = \frac{V}{2},\quad V'_0 = \frac{y_0}{d}\,V

D'après le théorème de réciprocité (question Q38) :

Développons chaque membre :

Le potentiel fictif V étant non nul, l'égalité conduit immédiatement à :

soit :

2. Détermination de la fréquence de résonance Après l'excitation, l'ion effectue dans le plan (x,y) un mouvement circulaire de pulsation cyclotron \omega_0 (ou \omega_+ avec piégeage). Sa coordonnée transverse oscille donc sinusoïdalement au cours du temps :

Il en résulte une oscillation temporelle de la différence de charge d'influence \Delta q(t) à la même pulsation \omega_0. Comme les deux électrodes sont reliées entre elles, la variation de ces charges induites génère un courant mesurable dans le circuit externe :

Ce courant oscillant à la pulsation \omega_0 permet, par analyse fréquentielle (spectrométrie par transformée de Fourier), de mesurer précisément la pulsation de résonance cyclotronique \omega_0, et donc de remonter au rapport m/q.

Deux raisons pratiques majeures justifient cette disposition orthogonale :

1. Éviter le couplage direct (diaphonie) entre excitation et détection :
   D'après la question 22, le champ électrique d'excitation est appliqué selon l'axe x (\vec{E} = E\cos(\omega t)\,\vec{e}_x), ce qui nécessite des électrodes d'excitation perpendiculaires à l'axe x (en x = \pm d/2).

   Si les électrodes de détection étaient également disposées selon cet axe, le signal d'excitation — d'amplitude très largement supérieure au faible signal induit par les paquets d'ions — serait directement capté par couplage capacitif parasite, saturant et risquant d'endommager les amplificateurs de détection.

   En plaçant les électrodes de détection perpendiculairement à l'axe y, le champ d'excitation selon \vec{e}_x leur est strictement parallèle : par symétrie, il n'induit aucune différence de potentiel entre les plaques en y = d/2 et y = -d/2. L'excitation et la détection sont ainsi électriquement découplées.

2. Encombrement géométrique et équivalence de détection :
   Les faces perpendiculaires à l'axe x étant déjà occupées par les plaques d'excitation, les faces perpendiculaires à l'axe y constituent les parois naturelles disponibles dans la cellule d'analyse. De plus, le mouvement cyclotron des ions étant une trajectoire circulaire dans le plan (x,y), la composante y(t) oscille à la même fréquence et avec la même amplitude que x(t) (à un déphasage de \pi/2 près) : la sensibilité de la détection est donc rigoureusement identique.

D'après les questions précédentes, le mouvement cyclotron d'un ion induit une différence de charge \Delta q(t) oscillant à la pulsation cyclotron \omega_0 = \frac{qB}{m} (ou très légèrement décalée par le piégeage selon la question Q36).

Avec q = ze et la masse exprimée en unités de masse atomique (m = (m/z) \cdot z \cdot m_u, où (m/z) désigne l'abscisse adimensionnée lue sur la figure 2), le rapport de charge sur masse s'écrit :

La fréquence du signal induit par une espèce d'ion est donc :

La fréquence f est une fonction décroissante de m/z. La composante spectrale de plus haute fréquence f_{\max} correspond donc à la borne inférieure de la plage de m/z observée sur le spectre. D'après la figure 2, le premier pic identifié se situe à :

D'après le théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist, pour éviter tout phénomène de repliement spectral (aliasing) et permettre la reconstruction fidèle du signal, la fréquence d'échantillonnage f_e doit vérifier :

La fréquence minimale d'échantillonnage est donc :

Effectuons l'application numérique avec les données :

• \frac{e}{m_u} = 10^8\text{ C}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• B = 7\text{ T} ;
• (m/z)_{\min} \approx 900 ;
• \pi \approx 3{,}14.

D'après les résultats de la question Q40, la différence de charge induite sur les plaques de détection s'écrit :

Le courant électrique induit détecté est alors de la forme :

Pour une amplitude d'oscillation transverse r donnée, l'amplitude du signal de charge induite est proportionnelle à la charge de l'ion :

De surcroît, la pulsation cyclotron étant elle-même proportionnelle à z (\omega_0 = \frac{z e B}{m}), la vitesse transverse maximale vérifie \dot{y}_{0,\max} \sim r\omega_0 \propto z, ce qui implique pour le courant induit une dépendance en :

Travailler avec des ions de charge élevée z présente ainsi l'avantage majeur d'accroître considérablement l'amplitude du signal électrique mesuré, ce qui permet :

• d'augmenter très nettement le rapport signal sur bruit (RSB) ;
• d'accroître la sensibilité du spectromètre, autorisant l'analyse d'échantillons en quantité extrêmement faible (voire de quelques ions isolés).