Feuille d'entraînement : Mouvement d'une particule chargée dans E et B

Corrigés

1. Exercice 1Polytechnique Physique A PC 2026, Q15

   On étudie un ion de masse m et de charge q dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

   Le poids de l'ion étant totalement négligeable devant les forces électromagnétiques, la seule force agissant sur l'ion dans la cellule est la composante magnétique de la force de Lorentz :

   \vec{F} = q\,\vec{v} \times \vec{B}

   Dans le système de coordonnées cartésiennes (x,y,z), le champ magnétique s'écrit \vec{B} = B\,\vec{e}_z et le vecteur vitesse s'exprime par :

   \vec{v} = \dot{x}\,\vec{e}_x + \dot{y}\,\vec{e}_y + \dot{z}\,\vec{e}_z

   Le produit vectoriel donne :

   \vec{v} \times \vec{B} = \left(\dot{x}\,\vec{e}_x + \dot{y}\,\vec{e}_y + \dot{z}\,\vec{e}_z\right) \times B\,\vec{e}_z = B\,\dot{y}\,\vec{e}_x - B\,\dot{x}\,\vec{e}_y

   En appliquant le principe fondamental de la dynamique :

   m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = q\,\vec{v}\times\vec{B}

   On obtient, par projection sur les trois axes cartésiens, le système différentiel :

   \boxed{\left\{ \begin{aligned} \ddot{x}(t) &= \frac{qB}{m}\,\dot{y}(t) \\[1ex] \ddot{y}(t) &= -\frac{qB}{m}\,\dot{x}(t) \\[1ex] \ddot{z}(t) &= 0 \end{aligned} \right.}

   Résultat

   $$\{\begin{array}{rl}\ddot{x}(t)& =\frac{qB}{m}\dot{y}(t)\\ \ddot{y}(t)& =-\frac{qB}{m}\dot{x}(t)\\ \ddot{z}(t)& =0\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Polytechnique Physique A PC 2026, Q16

   D'après la question Q15, les équations du mouvement dans le plan (x,y) s'écrivent :

   \begin{aligned} \ddot{x} &= \frac{qB}{m}\dot{y} \\ \ddot{y} &= -\frac{qB}{m}\dot{x} \end{aligned}

   En combinant ces deux relations sous la forme \ddot{Z} = \ddot{x} + i\ddot{y}, on obtient :

   \ddot{Z} = \frac{qB}{m}(\dot{y} - i\dot{x}) = -i\frac{qB}{m}(\dot{x} + i\dot{y}) = -i\frac{qB}{m}\dot{Z}

   L'équation différentielle vérifiée par la coordonnée complexe Z(t) est donc :

   \boxed{\ddot{Z} + i\frac{qB}{m}\dot{Z} = 0}

   On cherche une solution particulière sous la forme proposée Z(t) = Z_0 \exp(-i\omega_0 t) avec Z_0 \neq 0 et \omega_0 \neq 0. Les dérivées temporelles successives valent :

   \begin{aligned} \dot{Z}(t) &= -i\omega_0 Z_0 \exp(-i\omega_0 t) \\ \ddot{Z}(t) &= -\omega_0^2 Z_0 \exp(-i\omega_0 t) \end{aligned}

   En substituant ces expressions dans l'équation du mouvement, il vient :

   \left(-\omega_0^2 + i\frac{qB}{m}(-i\omega_0)\right) Z_0 \exp(-i\omega_0 t) = 0

   ce qui se simplifie en :

   -\omega_0^2 + \frac{qB}{m}\omega_0 = 0 \iff \omega_0\left(\frac{qB}{m} - \omega_0\right) = 0

   La condition \omega_0 \neq 0 impose directement :

   \boxed{\omega_0 = \frac{qB}{m}}

   Vérifications du résultat :

   • Homogénéité : la force de Lorentz s'écrit F \sim q v B, d'où une accélération caractéristique a \sim \frac{q B}{m} v. Pour un mouvement circulaire uniforme de pulsation \omega_0 et de rayon R, v = R\omega_0 et a = R\omega_0^2, ce qui conduit bien à \omega_0 = \frac{qB}{m}. La grandeur a bien la dimension de l'inverse d'un temps (\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}).
   • Sens de rotation : pour q > 0 et Z_0 = R \in \mathbb{R}^+, on a x(t) = R\cos(\omega_0 t) et y(t) = -R\sin(\omega_0 t). Le mouvement est circulaire uniforme dans le plan (x,y), parcouru dans le sens horaire. Au point (R, 0), le vecteur vitesse est dirigé selon -\vec{e}_y ; la force de Lorentz vaut alors \vec{F}_L = q(-v\vec{e}_y)\times(B\vec{e}_z) = -qvB\,\vec{e}_x, dirigée vers l'origine (force centripète). Le signe de \omega_0 est donc parfaitement cohérent avec la convention Z(t) = Z_0\exp(-i\omega_0 t).

   Résultat

   $$\ddot{Z}+i\frac{qB}{m}\dot{Z}=0$$

   $${\omega }_0=\frac{qB}{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Polytechnique Physique A PC 2026, Q20

   D'après la question Q19, le module de l'amplitude complexe s'écrit :

   |Z_0(\omega)| = \frac{F}{m\omega \sqrt{(\omega - \omega_0)^2 + \frac{1}{\tau^2}}}

   Une force de frottement « suffisamment faible » correspond à un amortissement très faible, c'est-à-dire :

   \frac{1}{\tau} \ll \omega_0 \quad \iff \quad \omega_0 \tau \gg 1

   Dans ce régime, étudions le comportement de |Z_0(\omega)| au voisinage de \omega = \omega_0 :

   • Le terme sous la racine, (\omega - \omega_0)^2 + \frac{1}{\tau^2}, varie très rapidement sur une échelle de pulsation de l'ordre de 1/\tau et atteint sa valeur minimale 1/\tau^2 exactement en \omega = \omega_0.
   • En revanche, le facteur \omega au dénominateur varie très lentement sur cette même échelle : pour |\omega - \omega_0| \sim 1/\tau, \omega \approx \omega_0 à l'ordre zéro en (1/\omega_0\tau).

   Par conséquent, |Z_0(\omega)| présente un pic très pointu (phénomène de résonance) centré en \omega \approx \omega_0, où l'amplitude atteint :

   |Z_0(\omega_0)| = \frac{F\tau}{m\omega_0}

   Déterminons la largeur de la résonance. Les pulsations de coupure \omega à -3\text{ dB} (définies par |Z_0(\omega)| = \frac{|Z_0(\omega_0)|}{\sqrt{2}}) vérifient, en approchant \omega par \omega_0 devant le radical :

   \sqrt{(\omega - \omega_0)^2 + \frac{1}{\tau^2}} \approx \frac{\sqrt{2}}{\tau} \implies (\omega - \omega_0)^2 \approx \frac{1}{\tau^2} \implies \omega - \omega_0 \approx \pm \frac{1}{\tau}

   La largeur à mi-hauteur en énergie de la résonance (distance entre les deux pulsations de coupure) est donc :

   \Delta \omega = \frac{2}{\tau}

   En ordre de grandeur :

   \boxed{\Delta\omega \sim \frac{1}{\tau}}

   Résultat

   $$\Delta \omega \sim \frac{1}{\tau }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q14

   Le facteur de Lorentz s'écrit :

   \gamma = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}

   Lorsque v \ll c, le terme u = -\dfrac{v^2}{c^2} est petit devant 1. On effectue le développement limité au premier ordre selon la formule usuelle (1 + u)^\alpha = 1 + \alpha u + o(u) avec \alpha = -\frac{1}{2} :

   \begin{aligned} \gamma &= 1 - \frac{1}{2}\left(-\frac{v^2}{c^2}\right) + o\left(\frac{v^2}{c^2}\right) \\ &= 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} + o\left(\frac{v^2}{c^2}\right) \end{aligned}

   Il vient ainsi pour l'écart (\gamma - 1) :

   \gamma - 1 \underset{v \ll c}{\approx} \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}

   En reportant cette approximation dans l'expression relativiste de l'énergie cinétique E_c = (\gamma - 1)mc^2, on obtient :

   E_c \approx \left(\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right) mc^2

   soit finalement :

   \boxed{E_c \underset{v \ll c}{\approx} \frac{1}{2}mv^2}

   On retrouve bien l'expression newtonienne classique de l'énergie cinétique à la limite des faibles vitesses.

   Résultat

   $$E_c\underset{v\ll c}{\approx }\frac{1}{2}m{v}^2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q25

   On étudie l'électron de charge q = -e et de masse m_e dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. En négligeant le poids devant la force électromagnétique, l'électron n'est soumis dans l'ondulateur qu'à la force magnétique de Lorentz :

   \vec{F}_m = q\,\vec{v} \wedge \vec{B} = -e\,\vec{v} \wedge \vec{B}.

   La puissance instantanée développée par cette force s'écrit :

   \mathcal{P} = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = (-e\,\vec{v} \wedge \vec{B}) \cdot \vec{v} = 0,

   car le produit vectoriel \vec{v} \wedge \vec{B} est par définition orthogonal à \vec{v}.

   D'après le théorème de la puissance cinétique rappelé dans le formulaire pour la dynamique relativiste :

   \frac{\mathrm{d}E_c}{\mathrm{d}t} = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = 0.

   L'énergie cinétique de l'électron est donc rigoureusement constante tout au long de sa trajectoire dans l'ondulateur :

   \boxed{E_c(t) = \text{cte} = E_c(0)}.

   D'après le formulaire, l'énergie cinétique s'exprime par :

   E_c = (\gamma - 1)\,m_e c^2 \iff \gamma = 1 + \frac{E_c}{m_e c^2}.

   La masse m_e et la vitesse de la lumière c étant constantes, la constance de E_c implique immédiatement que le facteur de Lorentz est constant :

   \boxed{\gamma(t) = \text{cte} = \gamma_0}.

   Enfin, le facteur de Lorentz est relié à la norme de la vitesse v = \|\vec{v}\| par :

   \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \iff v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}.

   Puisque \gamma est constant et que la fonction \gamma \mapsto v est bijective sur [1, +\infty[, la norme de la vitesse est également strictement constante :

   \boxed{v(t) = \text{cte} = v_0}.

   Résultat

   $$E_c(t)=\text{cte}=E_c(0)$$

   $$\gamma (t)=\text{cte}={\gamma }_0$$

   $$v(t)=\text{cte}=v_0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PC 2025, Q20

   On étudie le mouvement d'un porteur de charge individuel de masse m et de charge q au sein du semi-conducteur, dans le référentiel du matériau supposé galiléen.

   Ce porteur est soumis à :

   • la force électrique \vec{F}_e = q\vec{E} imposée par le champ électrique \vec{E} ;
   • la force de frottement fluide \vec{f} = -\dfrac{m}{\tau} \vec{v}, modélisant l'effet statistique des chocs avec le réseau ;
   • le poids, très largement négligeable devant la force électrique.

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué au porteur s'écrit :

   \begin{aligned} m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} &= q\vec{E} - \frac{m}{\tau} \vec{v} \end{aligned}

   soit l'équation différentielle du premier ordre :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{\tau} \vec{v} &= \frac{q}{m} \vec{E} \end{aligned}

   En régime permanent, le régime transitoire de durée caractéristique \tau s'est amorti et la vitesse devient constante (\mathrm{d}\vec{v}/\mathrm{d}t = \vec{0}) :

   \begin{aligned} \vec{v} &= \frac{q\tau}{m} \vec{E} \end{aligned}

   Le vecteur densité volumique de courant électrique dû à l'ensemble de ces porteurs de charge, présents avec une densité volumique n_q, est donné par :

   \begin{aligned} \vec{j} &= n_q q \vec{v} = \frac{n_q q^2 \tau}{m} \vec{E} \end{aligned}

   Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{j} = \gamma_{\text{el}} \vec{E}, on en déduit la conductivité électrique de Drude :

   \boxed{\gamma_{\text{el}} = \frac{n_q q^2 \tau}{m}}

   Résultat

   $${\gamma }_{\text{el}}=\frac{n_q{q}^2\tau }{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique B PC 2025, Q36

   On étudie le mouvement d'un électron, de masse m et de charge -e, dans un champ magnétique uniforme et stationnaire \vec{B} = B\,\vec{e}_z (avec B = \|\vec{B}\|), dans un référentiel galiléen de laboratoire.

   La seule force agissant sur l'électron est la force magnétique de Lorentz :

   \vec{F} = -e\,\vec{v}\wedge\vec{B}

   Cette force ne travaille pas car \vec{F}\cdot\vec{v} = 0. Le théorème de la puissance cinétique assure donc que la norme de la vitesse est constante au cours du mouvement :

   v(t) = v(0) = v_\perp

   La projection du principe fondamental de la dynamique suivant l'axe de \vec{B} donne \frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = 0, et comme v_z(0) = 0, la trajectoire est contenue dans le plan orthogonal à \vec{B}.

   Dans la base de Frenet (\vec{\tau}, \vec{n}) associée à la trajectoire plane, l'accélération tangentielle est nulle (\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0), de sorte que l'accélération est purement normale :

   \vec{a} = \frac{v_\perp^2}{r}\,\vec{n}

   où r est le rayon de courbure de la trajectoire. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur la normale rentrante \vec{n} s'écrit :

   m\,\frac{v_\perp^2}{r} = e\,v_\perp B

   Le rayon de courbure est donc constant, ce qui correspond à un mouvement circulaire uniforme de rayon :

   \boxed{r = \frac{m\,v_\perp}{e\,B}}

   Résultat

   $$r=\frac{m{v}_{\perp }}{eB}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique B PC 2025, Q38

   Soit \vec{B} le champ magnétique supposé uniforme. Décomposons le vecteur vitesse initiale \vec{v} en ses composantes parallèle et perpendiculaire à \vec{B} :

   \vec{v} = \vec{v}_\parallel + \vec{v}_\perp

   L'angle entre \vec{v} et \vec{B} étant noté \theta, la norme de la composante orthogonale au champ s'écrit :

   v_\perp = v \sin\theta

   La force de Lorentz s'exprime par :

   \vec{F} = -e\,\vec{v}\wedge\vec{B} = -e\,\vec{v}_\perp\wedge\vec{B}

   Elle est purement orthogonale à \vec{B} et ne dépend que de \vec{v}_\perp. Le mouvement dans le plan perpendiculaire au champ magnétique est donc identique à celui étudié à la question Q36 avec la vitesse v_\perp.

   En remplaçant v_\perp par son expression dans le résultat de la question Q36, on obtient le rayon de la trajectoire circulaire projetée :

   \boxed{r = \frac{m v \sin\theta}{e B}}

   Résultat

   $$r=\frac{mv\sin \theta }{eB}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique PC 2024, Q2

   Le cation, de charge électrique q = +e et de vitesse \vec{v} dans le référentiel du laboratoire (supposé galiléen), est soumis à la seule force magnétique de Lorentz :

   \vec{F}_m = e \, (\vec{v} \wedge \vec{B})

   La puissance instantanée développée par cette force s'écrit :

   \mathcal{P}(\vec{F}_m) = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = e \, (\vec{v} \wedge \vec{B}) \cdot \vec{v}

   Par propriété du produit vectoriel, le vecteur \vec{v} \wedge \vec{B} est orthogonal au vecteur vitesse \vec{v} à chaque instant. On en déduit :

   \boxed{\mathcal{P}(\vec{F}_m) = 0}

   D'après le préambule, la force magnétique est la seule force agissant sur le cation. Le théorème de la puissance cinétique appliqué à la particule dans le référentiel galiléen donne :

   \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_c}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P}(\vec{F}_m) = 0

   L'énergie cinétique se conserve donc au cours du mouvement :

   \boxed{\mathcal{E}_c = \frac{1}{2} m v^2 = \text{cte}}

   La masse m de la particule étant constante, la norme de la vitesse est elle aussi constante, notée v_0 :

   v = \|\vec{v}\| = v_0 = \text{cte}

   Résultat

   $$\mathcal{P}({\vec{F}}_m)=0$$

   $${\mathcal{E}}_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\text{cte}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique PC 2024, Q4

    Dans la base de Frenet (\vec{u}_T, \vec{u}_N), l'accélération d'un point matériel s'écrit de façon générale :

    \vec{a} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_T + \frac{v^2}{r}\,\vec{u}_N

    où r est le rayon de courbure local de la trajectoire. D'après la question Q2, la norme de la vitesse est constante (v = v_0), d'où \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0. Il vient donc :

    \boxed{\vec{a} = \frac{v_0^2}{r}\,\vec{u}_N}

    On applique le principe fondamental de la dynamique au cation de masse m et de charge +e dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

    m \vec{a} = \vec{F}_m = e\,\vec{v} \wedge \vec{B}

    Le mouvement ayant lieu dans un plan perpendiculaire au champ magnétique \vec{B} = B_0 \vec{u}_z, la force de Lorentz est purement normale et centripète (question Q3) :

    \vec{F}_m = e\,v_0 B_0\,\vec{u}_N

    En projetant le principe fondamental de la dynamique selon le vecteur unitaire normal \vec{u}_N, on obtient :

    m \frac{v_0^2}{r} = e\,v_0 B_0 \implies r = \frac{m v_0}{e B_0}

    Les grandeurs m, e, B_0 et v_0 étant des constantes, le rayon de courbure r est constant le long de la trajectoire. Le mouvement étant plan, une trajectoire à rayon de courbure constant est un cercle. La trajectoire est donc circulaire, de rayon noté r_L (rayon de Larmor) :

    \boxed{r_L = \frac{v_0}{\omega_c} \quad \text{avec} \quad \omega_c = \frac{e B_0}{m}}

    Résultat

    $$\vec{a}=\frac{v_0^2}{r}{\vec{u}}_N$$

    $$r_L=\frac{v_0}{{\omega }_c}\text{avec}{\omega }_c=\frac{e{B}_0}{m}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question