Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2023

Le système (\mathcal{S}^*) étant un système fermé, sa masse se conserve au cours du temps :

D'après la définition du système fermé coïncidant avec le volume de contrôle (\mathcal{S}) :

• à l'instant t : le système est constitué du fluide présent dans (\mathcal{S}) et du sous-système (\mathcal{S}_1) de masse \delta m_1 qui va y entrer :

  m(\mathcal{S}^*, t) = m_{(\mathcal{S})}(t) + \delta m_1

• à l'instant t+\mathrm{d}t : le système est constitué du fluide présent dans (\mathcal{S}) et du sous-système (\mathcal{S}_2) de masse \delta m_2 qui en est sorti :

  m(\mathcal{S}^*, t+\mathrm{d}t) = m_{(\mathcal{S})}(t+\mathrm{d}t) + \delta m_2

L'écoulement étant stationnaire, l'état du fluide dans le volume de contrôle fixe (\mathcal{S}) ne dépend pas explicitement du temps, d'où :

Le bilan de masse s'écrit alors :

En divisant par la durée élémentaire \mathrm{d}t, on en déduit l'égalité des débits massiques d'entrée et de sortie :

Pendant la durée \mathrm{d}t, les forces pressantes extérieures agissent sur les différentes parties de la surface frontière du système fermé (\mathcal{S}^*) :

• Sur les parois latérales fixes et indéformables du volume de contrôle, le déplacement de chaque élément de paroi est nul, de sorte que le travail correspondant est nul : \delta W_{\text{parois}} = 0.

• À l'entrée, le fluide amont pousse la section (\Sigma_1') jusqu'à (\Sigma_1). La force pressante extérieure \vec{F}_{p,1} = p_1 \Sigma_1 \vec{u}_1 s'exerce dans le sens de l'écoulement. Le travail élémentaire moteur reçu est :

  \delta W_{p,1} = p_1 \Sigma_1 \mathrm{d}x_1 = p_1 \, \delta V_1 = p_1 \frac{\delta m_1}{\rho_1}

• À la sortie, le système (\mathcal{S}^*) pousse le fluide aval qui lui oppose la force \vec{F}_{p,2} = -p_2 \Sigma_2 \vec{u}_2. Le travail élémentaire résistant reçu lors du déplacement de (\Sigma_2) à (\Sigma_2') est :

  \delta W_{p,2} = - p_2 \Sigma_2 \mathrm{d}x_2 = - p_2 \, \delta V_2 = - p_2 \frac{\delta m_2}{\rho_2}

D'après la question Q1, la conservation de la masse impose \delta m_1 = \delta m_2 = \delta m. Le travail total des forces pressantes reçu par (\mathcal{S}^*) s'écrit alors :

Le travail massique des forces pressantes w_p = \frac{\delta W_p}{\delta m} est donc :

Par extensivité de l'énergie interne, l'énergie interne du système fermé (\mathcal{S}^*) s'écrit aux dates t et t+\mathrm{d}t :

La variation d'énergie interne de (\mathcal{S}^*) pendant la durée \mathrm{d}t est donc :

L'écoulement étant stationnaire, l'état du fluide dans le volume de contrôle fixe (\mathcal{S}) ne dépend pas du temps, d'où :

De plus, d'après le résultat de la question Q1, la conservation de la masse impose \delta m_1 = \delta m_2 = D_m\,\mathrm{d}t. Il vient ainsi :

L'énergie cinétique macroscopique et l'énergie potentielle de pesanteur étant également des grandeurs extensives invariantes dans le volume de contrôle (\mathcal{S}) en régime stationnaire, on obtient par un raisonnement strictement identique :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique au système fermé (\mathcal{S}^*) entre les instants t et t+\mathrm{d}t :

Le travail élémentaire total \delta W reçu par (\mathcal{S}^*) se décompose en :

• le travail des forces pressantes \delta W_p = \delta m \, w_p = D_m \left( \frac{p_1}{\rho_1} - \frac{p_2}{\rho_2} \right) \mathrm{d}t (d'après Q2) ;
• le travail utile \delta W_u = \mathcal{P}_u \, \mathrm{d}t, associé aux parties mobiles éventuelles (turbines, compresseurs, ventilateurs).

Le transfert thermique élémentaire reçu par le fluide s'écrit \delta Q = \mathcal{P}_{th} \, \mathrm{d}t.

Le bilan d'énergie s'écrit donc :

En utilisant les expressions des variations d'énergie établies à la question Q3 :

Par définition de l'enthalpie massique h = u + \frac{p}{\rho}, on a h_i = u_i + \frac{p_i}{\rho_i} pour i \in \{1, 2\}, d'où :

En réinjectant dans le bilan avec \mathrm{d}E_c = D_m (e_{c,2} - e_{c,1})\,\mathrm{d}t et \mathrm{d}E_p = D_m (e_{p,2} - e_{p,1})\,\mathrm{d}t, on obtient :

En divisant par \mathrm{d}t \neq 0, on aboutit à la forme finale du premier principe en écoulement stationnaire :

Par analogie électrothermique en régime stationnaire, la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur constitue la force motrice du transfert thermique, tandis que le flux thermique de pertes \mathcal{P}_{th,p} correspond au courant traversant les parois. La résistance thermique globale R_{th} des parois vérifie donc la relation :

D'où l'expression de la résistance thermique :

Avec T_{\text{int}} = 20,0\text{ }^\circ\text{C}, T_{\text{ext}} = 0,0\text{ }^\circ\text{C} (soit T_{\text{int}} - T_{\text{ext}} = 20,0\text{ K}) et \mathcal{P}_{th,p} = 5,0\text{ kW} = 5,0 \cdot 10^{3}\text{ W} :

Par définition du rapport des capacités thermiques, on a :

En injectant cette relation dans la relation de Mayer C_P - C_V = nR, il vient :

La masse de l'air sec considéré étant m = n M_{as}, la capacité thermique massique à pression constante c_P = \frac{C_P}{m} s'écrit :

Application numérique : Avec \gamma = 1,4, R = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{as} = 29\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 29 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

On applique le bilan d'énergie pour un fluide en écoulement stationnaire (établi en Q4) aux deux systèmes ouverts suivants :

• Système ouvert \mathcal{S}_{\text{neuf}} : la conduite transportant l'air neuf. En régime stationnaire, sans travail utile (\mathcal{P}_u = 0) et en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle macroscopiques (\Delta e_c = 0, \Delta e_p = 0) :

  D_m (h_{s,\text{neuf}} - h_{e,\text{neuf}}) = \Phi

  où \Phi est le flux thermique reçu par l'air neuf depuis l'air vicié à travers la paroi séparatrice. Comme l'air est modélisé par un gaz parfait, la seconde loi de Joule donne \Delta h = c_P \Delta T :

  D_m c_P (T'_{\text{ext}} - T_{\text{ext}}) = \Phi

• Système ouvert \mathcal{S}_{\text{vicié}} : la conduite transportant l'air vicié. Avec les mêmes hypothèses et le même débit massique D_m :

  D_m c_P (T'_{\text{int}} - T_{\text{int}}) = \Phi'

  où \Phi' est le flux thermique reçu par l'air vicié.

L'échangeur étant parfaitement calorifugé vis-à-vis du milieu extérieur, le transfert thermique a lieu exclusivement entre les deux veines fluides :

On en déduit :

ce qui conduit directement à la relation demandée :

On en déduit l'expression littérale et la valeur numérique de la température de sortie de l'air vicié T'_{\text{int}} :

Avec T_{\text{int}} = 20,0\text{ }^\circ\mathrm{C}, T_{\text{ext}} = 0,0\text{ }^\circ\mathrm{C} et T'_{\text{ext}} = 15,0\text{ }^\circ\mathrm{C} :

Considérons le système ouvert constitué par le flux d'air neuf à l'intérieur de l'habitation, entre son entrée à la température T'_{\text{ext}} et sa diffusion uniforme dans la pièce à la température T_{\text{int}}.

En régime stationnaire, en l'absence de puissance utile (\mathcal{P}_u = 0) et en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle, le premier principe pour un écoulement stationnaire établi à la question Q4 s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait, son enthalpie ne dépend que de la température (deuxième loi de Joule), d'où \mathrm{d}h = c_P\,\mathrm{d}T. On en déduit :

Application numérique :

• D_m = 150\text{ kg}\cdot\text{h}^{-1} = \dfrac{150}{3\,600}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} \approx 4,17\cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}
• c_P = \dfrac{\gamma R}{(\gamma - 1)M_{as}} \approx 1,00\cdot 10^{3}\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} (d'après Q6)
• T_{\text{int}} - T'_{\text{ext}} = 20,0 - 15,0 = 5,0\text{ K}

Considérons le système ouvert constitué par le volume d'air intérieur de l'habitation, en régime stationnaire.

L'air neuf entre dans ce volume avec le débit massique D_m à la température T'_{ext}, et l'air vicié en sort au même débit massique D_m à la température T_{int}. Les variations d'énergie cinétique et potentielle de pesanteur étant négligées et aucune puissance mécanique utile n'étant reçue (\mathcal{P}_u = 0), le premier principe pour un écoulement stationnaire (établi à la question Q4) s'écrit :

où :

• le membre de gauche correspond au flux thermique \mathcal{P}_{th,a} nécessaire au réchauffement de l'air entrant déterminé à la question Q8 :

  D_m \left[ h(T_{int}) - h(T'_{ext}) \right] = \mathcal{P}_{th,a}

• le flux thermique net reçu par le volume d'air intérieur est la somme algébrique de la puissance thermique fournie par le système de chauffage \mathcal{P}_c et des pertes thermiques à travers les parois vers l'extérieur -\mathcal{P}_{th,p} :

  \mathcal{P}_{th} = \mathcal{P}_c - \mathcal{P}_{th,p}

On en déduit :

soit l'expression littérale de la puissance de chauffage :

Application numérique : D'après l'énoncé, \mathcal{P}_{th,p} = 5,0\text{ kW} et d'après le résultat de la question Q8, \mathcal{P}_{th,a} \approx 0,21\text{ kW}.

Dans le cas d'une VMC simple flux, l'air neuf pénètre directement dans l'habitation à la température T_{\text{ext}} sans échangeur. Le flux thermique nécessaire pour le réchauffer jusqu'à T_{\text{int}} s'obtient de même qu'à la question Q8 :

Application numérique :

En régime stationnaire, le bilan thermique sur la pièce (établi à la question Q9) conduit à :

Application numérique :

Le pourcentage d'énergie économisée en passant d'une VMC simple flux à une VMC double flux vaut :

Application numérique :

Cas d'un échange thermique parfait :

Si l'air vicié sort de l'échangeur à la température extérieure T'_{\text{int}} = T_{\text{ext}}, la relation établie à la question Q7 (T_{\text{int}} - T'_{\text{int}} = T''_{\text{ext}} - T_{\text{ext}}) donne immédiatement :

L'air neuf entrant est ainsi intégralement préchauffé à la température intérieure : le flux nécessaire pour le réchauffer devient nul (\mathcal{P}''_{th,a} = 0).

La puissance de chauffage requise se limite alors strictement aux pertes thermiques à travers les parois :

Le pourcentage d'énergie économisée par rapport à une VMC simple flux serait donc :

Le diagramme d'état (p, T) d'un corps pur présente les domaines de stabilité thermodynamique des trois états de la matière (solide, liquide, gaz). Pour l'eau, la pente de la courbe d'équilibre solide-liquide est négative, car la masse volumique de la glace est inférieure à celle de l'eau liquide (\rho_{\text{glace}} < \rho_{\text{eau}}).

Les deux points caractéristiques sont définis comme suit :

• Le point triple \mathrm{T}_t : il correspond à l'unique état d'équilibre diphasé simultané des trois phases (solide, liquide, vapeur). En vertu de la règle des phases de Gibbs, la variance y est strictement nulle (v = c + 2 - \varphi = 1 + 2 - 3 = 0), ce qui lui confère des coordonnées (p_t, T_t) parfaitement fixées et universelles pour l'eau pure (T_t \simeq 273,16\text{ K} = 0,01\text{ }^\circ\text{C} et p_t \simeq 611\text{ Pa}).
• Le point critique \mathrm{C} : c'est le point d'arrêt supérieur de la courbe de vaporisation (équilibre liquide-gaz). Au-delà de ses coordonnées (p_C, T_C), il n'existe plus de transition de phase du premier ordre entre l'état liquide et l'état gazeux : les grandeurs thermodynamiques molaires (notamment le volume molaire et la masse volumique) des deux phases deviennent identiques en ce point, et le fluide se trouve dans un état supercritique. Pour l'eau, T_C \simeq 647\text{ K} (374\text{ }^\circ\text{C}) et p_C \simeq 221\text{ bar}.

D'après la loi de Dalton, pour un mélange idéal de gaz parfaits, la pression totale du mélange p_0 est égale à la somme des pressions partielles de ses constituants :

Par définition du degré hygrométrique \varphi = \frac{p_e}{p_{e,\text{sat}}(T)}, la pression partielle de vapeur d'eau vaut :

La pression partielle d'air sec s'en déduit :

Chaque constituant se comportant comme un gaz parfait occupant le volume total V à la température T, on a :

Applications numériques :

L'humidité spécifique \phi de l'air s'obtient par :

À saturation, le degré hygrométrique atteint \varphi_{\text{sat}} = 100\% = 1, de sorte que la pression partielle de la vapeur d'eau devient égale à la pression de vapeur saturante :

La vapeur d'eau étant assimilée à un gaz parfait à la température constante T dans le volume V, la masse de vapeur d'eau présente à saturation s'écrit :

La masse initiale de vapeur d'eau étant m_e = \varphi \frac{p_{e,\text{sat}} V M_e}{R T} (d'après la question Q12), la masse d'eau à évaporer vaut :

Le volume d'eau liquide correspondant est relié à sa masse par sa masse volumique \rho_e :

Application numérique :

Considérons le système ouvert délimité par le volume fixe V de la cuisine. La masse de vapeur d'eau contenue dans ce volume à l'instant t vaut :

Entre les instants t et t+\mathrm{d}t, la variation de cette masse s'écrit :

Ce bilan s'exprime à partir des différents flux de matière et du terme source :

• masse de vapeur d'eau apportée par l'air neuf entrant : \delta m_{e,\text{entrant}} = D_v\,C_{\text{ext}}\,\mathrm{d}t ;
• masse de vapeur d'eau évacuée par l'air vicié sortant : \delta m_{e,\text{sortant}} = D_v\,C(t)\,\mathrm{d}t ;
• masse de vapeur d'eau créée par l'activité humaine : \delta m_{e,\text{créée}} = S\,\mathrm{d}t.

En écrivant \mathrm{d}m_e = \delta m_{e,\text{entrant}} - \delta m_{e,\text{sortant}} + \delta m_{e,\text{créée}}, on obtient :

soit l'équation différentielle du premier ordre :

En régime stationnaire, la concentration ne dépend plus du temps, donc \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t} = 0. La concentration limite associée s'écrit alors :

Pour respecter la consigne C_{\text{stat}} \le C_{\text{lim}}, il vient :

Le débit volumique minimal à assurer s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q14, le débit volumique minimal d'air à renouveler est :

Avec les valeurs fournies :

• S = 0,30\text{ kg}\cdot\text{h}^{-1}
• C_{ext} = 7,0 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• C_{lim} = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

Il vient :

Soit, en unités du système international :

Pour commenter le choix de la VMC double flux de débit massique D_m = 150\text{ kg}\cdot\text{h}^{-1}, évaluons la masse volumique de l'air \rho dans les conditions intérieures (T = 293\text{ K}, p_0 = 1,0 \cdot 10^5\text{ Pa}) :

Le débit volumique apporté par la VMC est donc :

Le débit minimal massique nécessaire est quant à lui D_{m,min} = \rho D_{v,m} \simeq 1,2 \times 100 = 120\text{ kg}\cdot\text{h}^{-1}.

Comme D_v > D_{v,m} (soit D_m > D_{m,min}), la VMC assure un débit suffisant pour évacuer la vapeur d'eau émise et maintenir l'humidité sous le seuil critique de 60%. Elle offre une marge de sécurité d'environ 25\,\% pour absorber d'éventuels pics d'activité, tout en assurant un taux de renouvellement de l'air de la cuisine (V = 50\text{ m}^3) de :

ce qui est conforme aux recommandations pour les pièces de service (cuisine, salle de bain).

Invariances : Le système présente une symétrie de révolution autour de l'axe (O,\vec{u}_z) : les armatures circulaires et les fils d'alimentation rectilignes infinis sont invariants par toute rotation d'un angle \theta autour de cet axe.

La distribution de charges et de courants ne dépend donc pas de \theta. Par conséquent, les composantes du champ électrique en coordonnées cylindriques sont indépendantes de \theta et ne dépendent que des coordonnées spatiales r et z, ainsi que du temps t :

Symétries : Considérons le plan \Pi_s = (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z) passant par le point M et contenant l'axe de révolution (Oz) :

• La répartition des charges sur les disques est invariante par réflexion par rapport à ce plan ;
• Les courants apportés par les fils axiaux sont portés par (Oz) \subset \Pi_s, et les éventuels courants de charge surfaciques radiaux sur les armatures sont contenus dans \Pi_s pour les points du plan. Les courants sont donc symétriques par rapport à \Pi_s.

Le plan \Pi_s est ainsi un plan de symétrie pour la distribution de charges et de courants.

Le champ électrique \vec{E} étant un vecteur polaire (vrai vecteur), en tout point M appartenant à un plan de symétrie des sources, le champ électrique est contenu dans ce plan :

On en déduit que le champ électrique est a priori de la forme :

D'après l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques fournie dans les données et en tenant compte de la forme du champ obtenue à la question précédente (E_\theta = 0 et invariance par rotation selon \theta) :

On en déduit l'égalité approchée :

Les grandeurs caractéristiques de variation spatiale sont l'écartement inter-armatures d selon la direction axiale z, et le rayon a des armatures selon la direction radiale r. En ordre de grandeur, les dérivées spatiales s'écrivent :

Il vient ainsi :

Comme les effets de bords sont négligeables, on a d \ll a, d'où :

La composante radiale E_r est donc négligeable devant la composante axiale, soit \vec{E}(M,t) \simeq E_z(r,z,t)\,\vec{u}_z.

À l'intérieur du condensateur (dans le vide), la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0). L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

En utilisant l'opérateur divergence en coordonnées cylindriques avec \vec{E} \simeq E_z(r,z,t)\,\vec{u}_z :

La composante E_z est donc indépendante de la coordonnée axiale z. Par conséquent, le champ électrique est finalement de la forme :

L'armature supérieure située en z=d porte la charge totale q(t) répartie de façon uniforme sur le disque de rayon a et de surface S = \pi a^2. La densité surfacique de charge s'écrit donc :

Considérons une surface de Gauss cylindrique \mathcal{S}_G, de génératrices parallèles à l'axe \vec{u}_z, de section droite \Delta S, délimitée par :

• une base supérieure \mathcal{S}_2 située juste au-dessus de l'armature supérieure (z > d), où le champ électrique est nul par hypothèse ;
• une base inférieure \mathcal{S}_1 située à l'intérieur du condensateur (0 < z < d), où le champ vaut \vec{E}_0(t) = E_{0,z}(t)\vec{u}_z ;
• une surface latérale \mathcal{S}_L de vecteur unitaire orthogonal sortant perpendiculaire à \vec{u}_z.

Le flux du champ électrique sortant de la surface fermée \mathcal{S}_G se décompose en trois contributions :

• Sur la base extérieure \mathcal{S}_2 : \vec{E}_{\text{ext}} = \vec{0}, donc le flux est nul.
• Sur la surface latérale \mathcal{S}_L : \vec{E}_0(t) \parallel \vec{u}_z et la normale unitaire sortante \vec{n}_L \perp \vec{u}_z, d'où \vec{E} \cdot \vec{n}_L = 0.

• Sur la base intérieure \mathcal{S}_1 : la normale sortante est \vec{n}_1 = -\vec{u}_z, d'où :

  \iint_{\mathcal{S}_1} \vec{E}_0(t) \cdot (-\vec{u}_z)\,\mathrm{d}S = -E_{0,z}(t)\,\Delta S

Ainsi, le flux sortant total vaut \Phi = -E_{0,z}(t)\,\Delta S.

La charge intérieure contenue dans \mathcal{S}_G est la charge portée par l'élément de surface \Delta S de l'armature supérieure :

D'après le théorème de Gauss, \Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}, soit :

Le champ électrique uniforme à l'intérieur du condensateur s'écrit donc :

Le champ électrique s'écrit \vec{E}(M,t) = \vec{E}_0(t) + \vec{E}_2(M,t). Le champ \vec{E}_0(t) étant spatialement uniforme d'après la question Q18, ses dérivées spatiales sont nulles, d'où :

Pour pouvoir considérer en première approximation que \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\vec{E}) \simeq \vec{0}, il suffit que le champ électrique induit \vec{E}_2 constitue une perturbation négligeable devant le champ principal \vec{E}_0, soit :

Introduisons la longueur d'onde de l'onde électromagnétique dans le vide associée à la fréquence f, \lambda = \dfrac{c}{f}, ainsi que la période des oscillations T = \dfrac{1}{f}. La condition a \ll \dfrac{c}{f} s'interprète physiquement sous deux angles équivalents :

• Point de vue spatial (a \ll \lambda) : la dimension caractéristique du système (a) est très petite devant la longueur d'onde spatiale du champ électromagnétique. À l'échelle du condensateur, la phase spatiale de l'onde ne varie pratiquement pas et les effets de propagation ondulatoire sont négligeables.
• Point de vue temporel (\dfrac{a}{c} \ll T) : la durée de propagation de l'interaction électromagnétique à travers le composant, \tau_{\text{prop}} \sim \dfrac{a}{c}, est négligeable devant le temps caractéristique d'évolution temporelle des sources T. Les interactions peuvent donc être considérées comme instantanées.

Cette condition définit le domaine de validité de l'Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS).

D'après la question Q18, le champ électrique à l'intérieur du condensateur s'écrit :

Puisque \vec{E}_0 = -\vec{\mathrm{grad}}(V_0) = -\dfrac{\partial V_0}{\partial z}\,\vec{u}_z, il vient :

En intégrant par rapport à z, on obtient l'expression du potentiel scalaire, à une constante additive près (pouvant dépendre du temps) :

La différence de potentiel entre l'armature supérieure (en z = d) et l'armature inférieure (en z = 0) s'écrit donc :

Par définition, la capacité C du condensateur relie la charge q(t) de l'armature portée au potentiel V_0(z=d) à la différence de potentiel entre cette armature et celle portée au potentiel V_0(z=0) :

On en déduit immédiatement :

Le pont est alimenté entre les nœuds M et N par le générateur de tension sinusoïdale, soit \underline{u}_{MN} = \underline{e}. Aucun courant n'est soutiré entre les nœuds A et B.

Dans la branche supérieure M\text{--}A\text{--}N, constituée des deux résistors de résistances R_1 et R_2 en série, la formule du pont diviseur de tension donne directement :

De même, dans la branche inférieure M\text{--}B\text{--}N, les dipôles d'impédances respectives \underline{Z}_0 (entre M et B) et \underline{Z} (entre B et N) sont montés en série. Par division de tension :

D'après le schéma de la figure 5, la flèche de tension u(t) pointe vers le potentiel le plus haut en A, soit :

En substituant les expressions obtenues :

Les termes en R_2 \underline{Z} se simplifient au numérateur, d'où finalement :

D'après l'expression établie à la question Q21, la tension \underline{u} s'annule quelle que soit la tension d'alimentation \underline{e} si et seulement si :

En introduisant les admittances complexes \underline{Y}_0 = \frac{1}{\underline{Z}_0} et \underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}}, cette condition s'écrit de manière équivalente :

Les dipôles entre M et B d'une part, et entre B et N d'autre part, étant des associations parallèles d'une résistance et d'une capacité, leurs admittances s'écrivent :

La condition d'équilibre devient ainsi :

Les grandeurs R_1, R_2, R_0, R, C_0, C et \omega étant réelles, l'égalité de deux nombres complexes équivaut à l'égalité simultanée de leurs parties réelles et imaginaires :

Puisque la pulsation \omega \neq 0, ce système de deux équations permet de déterminer de façon unique la résistance de fuite R et la capacité C :

D'après le résultat de la question Q22, à l'équilibre du pont de Sauty, la capacité C s'exprime par :

Avec \frac{R_1}{R_2} = 0{,}1 et C_0 = 1{,}44\text{ nF}, on obtient :

Sur la courbe d'étalonnage de la figure 6, on repère l'ordonnée C = 144\text{ pF} :

• à 30\,\%\text{RH}, la capacité vaut 140{,}0\text{ pF} ;
• à 70\,\%\text{RH}, la capacité vaut 150{,}0\text{ pF} ;
• la sensibilité du capteur est quasi-constante sur cette plage, de l'ordre de 0{,}25\text{ pF}/\%.

Pour une capacité de 144\text{ pF}, la lecture graphique donne un degré hygrométrique :

L'approximation acoustique repose sur les hypothèses suivantes :

1. Hypothèse des faibles perturbations (linéarité) : l'onde sonore constitue une perturbation de très faible amplitude par rapport à l'état de repos macroscopique du fluide :

   \begin{aligned} |p_1(x,t)| &\ll p_0 \\ |\rho_1(x,t)| &\ll \rho_0 \\ \|\vec{v}_1(x,t)\| &\ll c \end{aligned}

   où c désigne la célérité de l'onde sonore dans le milieu (le nombre de Mach acoustique M = v_1/c est très petit devant 1).

   Ces conditions permettent de linéariser les équations de la mécanique des fluides et de la thermodynamique en ne conservant que les termes du premier ordre en p_1, \rho_1 et \vec{v}_1 et en négligeant les termes d'ordres supérieurs ou égaux à deux (en particulier le terme convectif (\vec{v}_1 \cdot \vec{\operatorname{grad}})\vec{v}_1).

2. Comportement de fluide parfait : les forces de viscosité sont négligeables devant les forces pressantes et d'inertie.
3. Caractère isentropique des transformations : les transferts thermiques par conduction thermique sont négligeables à l'échelle d'une période temporelle de l'onde sonore (évolution adiabatique) et, en l'absence de viscosité, les compressions et détendues locales sont réversibles, donc isentropiques.

1. Équation d'Euler et première équation de couplage

Pour un fluide parfait en négligeant les forces de pesanteur, l'équation d'Euler s'écrit sous forme locale :

Pour une onde plane se propageant selon l'axe (Ox), le champ de vitesse est purement longitudinal \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\vec{u}_x, la pression vaut p(x,t) = p_0 + p_1(x,t) avec p_0 uniforme, et la masse volumique est \rho(x,t) = \rho_0 + \rho_1(x,t).

La projection de l'équation d'Euler sur l'axe (Ox) donne :

Dans le cadre de l'approximation acoustique précisée à la question Q24, les grandeurs perturbées p_1, \rho_1 et v_1 sont infiniment petites d'ordre un. On néglige donc les termes d'ordre deux :

• le terme convectif : v_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial x} \ll \dfrac{\partial v_1}{\partial t} ;
• le terme croisé : \rho_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial t} \ll \rho_0 \dfrac{\partial v_1}{\partial t}.

Il vient ainsi au premier ordre :

2. Équation de continuité et seconde équation de couplage

L'équation locale de conservation de la masse s'écrit :

Soit, en géométrie unidimensionnelle selon (Ox) :

Comme l'état d'équilibre est stationnaire (\partial \rho_0/\partial t = 0) et spatialement uniforme (\partial \rho_0/\partial x = 0) :

En négligeant le terme quadratique \dfrac{\partial (\rho_1 v_1)}{\partial x} devant le terme d'ordre un \rho_0 \dfrac{\partial v_1}{\partial x}, on obtient la seconde équation de couplage :

L'évolution du fluide étant supposée isentropique (absence d'effets visqueux et de transferts thermiques conductifs au passage de l'onde), l'entropie massique s de chaque particule fluide reste constante et égale à sa valeur d'équilibre s_0. La masse volumique peut donc être exprimée en fonction de la seule variable pression : \rho = \rho(p, s_0).

L'état d'équilibre non perturbé correspond à p = p_0 et \rho(p_0, s_0) = \rho_0. Au passage de l'onde sonore, le champ de pression s'écrit p = p_0 + p_1. Comme |p_1| \ll p_0 d'après l'approximation acoustique, un développement de Taylor au premier ordre autour de l'équilibre donne :

Par identification avec le champ perturbé \rho = \rho_0 + \rho_1, il vient au premier ordre :

D'après la définition du coefficient de compressibilité isentropique rappelée par l'énoncé, évaluée à l'équilibre :

On en déduit immédiatement la relation liant la perturbation de masse volumique \rho_1 à la surpression acoustique p_1 :

D'après la question Q25, les deux équations de couplage linéarisées s'écrivent :

En substituant la relation constitutive isentropique établie à la question Q26, \rho_1 = \rho_0 \chi_{S,0} p_1, dans l'équation (2), on obtient, \rho_0 et \chi_{S,0} étant constants :

Pour éliminer le champ des vitesses v_1, dérivons l'équation (1) par rapport à x et l'équation (3) par rapport à t :

Les fonctions étant de classe \mathcal{C}^2, le théorème de Schwarz assure l'égalité des dérivées croisées : \frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t} = \frac{\partial^2 v_1}{\partial t \partial x}. Il vient ainsi :

La surpression acoustique p_1(x,t) vérifie donc l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

avec la célérité c des ondes sonores donnée par :

Considérons une particule fluide fermée de masse m et de volume V, de sorte que sa masse volumique s'écrit \rho = \frac{m}{V}. Pour un gaz parfait de rapport \gamma constant subissant une évolution isentropique (adiabatique et réversible), la loi de Laplace s'écrit :

En remplaçant le volume par V = \frac{m}{\rho}, il vient :

La masse m de la particule fluide étant constante au cours de son mouvement, on en déduit :

En prenant le logarithme népérien de cette relation :

Par différentiation logarithmique le long d'une isentropique, on obtient :

Le coefficient de compressibilité isentropique défini à la question Q26 s'exprime donc par :

À l'état d'équilibre thermodynamique (p = p_0), ce coefficient vaut :

D'après l'expression de la célérité c = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_{S,0}}} établie à la question Q27, on aboutit directement à la relation de Laplace :

L'onde se propageant dans le sens des x croissants est caractérisée par la pression acoustique :

D'après la première équation de couplage établie à la question Q25 :

En dérivant p_1(x,t) par rapport à l'abscisse x :

Il vient ainsi :

En intégrant par rapport au temps t, la constante d'intégration étant nulle puisque le fluide est au repos en moyenne temporelle :

Puisque k = \frac{\omega}{c}, on a \frac{k}{\rho_0 \omega} = \frac{1}{\rho_0 c}, d'où :

L'impédance caractéristique du milieu s'exprime donc par :

Dans le cas d'une onde plane progressive sinusoïdale se propageant dans le sens inverse (sens des x décroissants), la surpression s'écrit sous la forme :

Sa dérivée spatiale devient :

L'équation de couplage donne alors :

ce qui conduit, après intégration par rapport à t, à :

La relation entre p_1 et v_1 devient donc :

L'expression de la densité volumique moyenne d'énergie sonore comprend deux contributions distinctes :

• \langle e_c \rangle_T = \frac{1}{2}\rho_0 \langle v_1^2 \rangle_T est la densité volumique moyenne d'énergie cinétique macroscopique, liée au mouvement oscillatoire des particules fluides ;
• \langle e_p \rangle_T = \frac{1}{2}\chi_{S,0} \langle p_1^2 \rangle_T est la densité volumique moyenne d'énergie potentielle élastique (ou énergie de compression), emmagasinée par les compressions et dilatations isentropiques successives du fluide.

Pour l'onde plane progressive sinusoïdale considérée, la pression acoustique s'écrit p_1(x,t) = p_{1,m}\cos(\omega t - kx). La moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} du terme en cosinus carré vaut \langle \cos^2(\omega t - kx) \rangle_T = \frac{1}{2}, d'où :

D'après la relation établie à la question Q29, on a v_1(x,t) = \frac{p_1(x,t)}{\rho_0 c}, ce qui conduit à :

Par ailleurs, d'après la question Q27, la célérité vérifie c^2 = \frac{1}{\rho_0 \chi_{S,0}}, soit \chi_{S,0} = \frac{1}{\rho_0 c^2}. En reportant ces grandeurs dans les deux composantes énergétiques :

En sommant les deux contributions, on obtient :

1. Analyse dimensionnelle de l'intensité acoustique

Une pression est le quotient d'une force par une surface, soit en termes de dimensions :

Une vitesse a pour dimension :

Le produit p_1 v_1 a donc pour dimension :

Or, une puissance surfacique (quotient d'une puissance par une surface) s'écrit dimensionnellement :

L'intensité sonore I = |\langle p_1 v_1 \rangle_T| est donc bien homogène à une puissance surfacique (exprimée en \mathrm{W\cdot m^{-2}}).

2. Relation entre I et \langle e \rangle_T

D'après la question Q29, pour l'onde plane progressive se propageant dans le sens des x croissants :

Le produit instantané s'écrit ainsi :

En prenant la moyenne temporelle sur une période T, sachant que \rho_0 c > 0 et \langle p_1^2 \rangle_T \ge 0 :

D'après le résultat de la question Q30, la densité volumique moyenne d'énergie sonore vaut :

En comparant ces deux expressions, on obtient :

L'intensité sonore I est donc bien strictement proportionnelle à la densité volumique moyenne d'énergie sonore \langle e \rangle_T, le coefficient de proportionnalité étant la célérité c de l'onde.

1. Puissance sonore absorbée par les parois et objets :

L'intensité sonore réverbérée I_r correspond à la puissance sonore moyenne incidente par unité de surface sur les parois et obstacles de la pièce. La puissance sonore totale incidente sur la surface totale S s'écrit donc :