Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2024

L'enveloppe gonflable forme les parois verticales du spa, modélisées par un cylindre annulaire creux de hauteur H, de rayon extérieur R_{\text{ext}} = d_{\text{ext}}/2 et de rayon intérieur R_{\text{int}} = d_{\text{int}}/2. Le tapis de fond n'étant pas gonflé, le volume intérieur de l'enveloppe s'écrit :

D'après le formulaire, on prend \dfrac{\pi}{4} = 0{,}8. Avec d_{\text{ext}} = 2{,}0\text{ m} et d_{\text{int}} = \sqrt{2}\text{ m} :

Le volume d'air est donc :

L'enveloppe atteint ce volume au bout de la durée de gonflage t_{\mathrm{g}} = 10\text{ min} = 600\text{ s}. Le débit volumique moyen de la pompe vaut :

Application numérique :

À la fin de la phase de gonflage (t = t_{\mathrm{g}}), l'enveloppe a atteint son volume définitif V à la pression atmosphérique extérieure P_0 = 1{,}0\text{ bar} et à la température T. La quantité de matière d'air présente dans l'enveloppe est :

La pompe prélève de l'air extérieur à la pression P_0 et à la température T avec un débit volumique moyen D_{\mathrm{p}} = \frac{V}{t_{\mathrm{g}}}. Le débit molaire correspondant injecté dans l'enveloppe est donc constant :

Pour t > t_{\mathrm{g}}, le volume V et la température T restent constants. La surpression \Delta P(t) = P(t) - P_0 au bout d'une durée supplémentaire \Delta t s'écrit, d'après la loi des gaz parfaits :

La valve de surpression s'ouvre lorsque \Delta P = \delta p = 0{,}1\text{ bar}. La durée supplémentaire de fonctionnement de la pompe avant ouverture est donc :

En effectuant l'application numérique :

La valve de surpression s'ouvre donc au bout d'une durée supplémentaire de 1{,}0\text{ minute} après la fin du gonflage, soit au bout d'un temps total depuis le début du gonflage de :

À l'issue du gonflage en une durée t_{\mathrm{g}}, la pompe est arrêtée et l'enveloppe contient une quantité d'air constante n occupant le volume V. La pression initiale à l'intérieur est égale à la pression extérieure :

à la température initiale T_1 = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\text{ K}.

La valve de surpression s'ouvre lorsque la surpression interne atteint le seuil \delta p = 0{,}1\text{ bar}, soit à la pression intérieure :

L'air étant modélisé par un gaz parfait et le volume V de l'enveloppe restant constant, la loi des gaz parfaits donne :

En faisant le rapport membre à membre de ces deux équations, on obtient la loi de Gay-Lussac (transformation isochore) :

Application numérique :

En degrés Celsius, la température de déclenchement vaut :

La vitesse de chauffage est constante et vaut v_{\mathrm{c}} = 2\,^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}^{-1}. Pour élever la température de l'eau de T_{\mathrm{i}} = 20\,^{\circ}\mathrm{C} à T_{\mathrm{f}} = 40\,^{\circ}\mathrm{C}, la variation de température est :

La durée nécessaire \Delta t s'exprime donc par :

D'où l'application numérique :

L'eau occupe un cylindre de diamètre intérieur d_{\text{int}} = \sqrt{2}\text{ m} et de hauteur h_{\mathrm{e}} = 3/4\text{ m}. Son volume est :

En utilisant la valeur \frac{\pi}{4} = 0{,}8 donnée dans le formulaire de l'énoncé :

La masse d'eau correspondante est :

En négligeant dans un premier temps les pertes thermiques vers l'extérieur, l'énergie thermique requise pour chauffer cette masse d'eau est donnée par le premier principe :

La puissance thermique moyenne nécessaire correspondante est :

Avec v_{\mathrm{c}} = 2\,^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}^{-1} = \frac{2}{3\,600}\text{ K}\cdot\mathrm{s}^{-1} = \frac{1}{1\,800}\text{ K}\cdot\mathrm{s}^{-1} :

La puissance thermique théorique de 2{,}8\text{ kW} est très proche de la puissance de chauffage annoncée \mathscr{P}_{\mathrm{c}} = 2{,}5\text{ kW} (l'écart relatif n'est que d'environ 10\,\%). Cette légère différence s'explique notamment par le fait que le spa n'est pas nécessairement rempli au volume maximal ou par l'approximation sur \pi/4.

Le chauffage par le Soleil est le plus efficace au midi solaire (moment où le Soleil culmine au zénith ou atteint sa hauteur maximale au-dessus de l'horizon pour une latitude donnée).

Cette efficacité maximale s'explique par deux arguments complémentaires :

• Effet d'incidence géométrique : La puissance solaire reçue par unité de surface horizontale (surface libre de l'eau du spa) s'écrit :

  \mathcal{P}_{\text{surf}} = \mathcal{P}_0 \cos \theta = \mathcal{P}_0 \sin h

  où \theta est l'angle d'incidence par rapport à la normale verticale (angle zénithal), h = \frac{\pi}{2} - \theta est la hauteur angulaire du Soleil au-dessus de l'horizon, et \mathcal{P}_0 est l'éclairement direct perpendiculaire aux rayons. Cette puissance surfacique interceptée est maximale lorsque le Soleil est au plus haut dans le ciel (\theta minimal, soit h maximal).

• Atténuation atmosphérique minimale : L'épaisseur d'atmosphère traversée par les rayons solaires est minimale à la verticale :

  e_{\text{atm}}(\theta) \simeq \frac{e_0}{\cos \theta}

  où e_0 est l'épaisseur de l'atmosphère. L'atténuation du faisceau incident par diffusion (notamment la diffusion Rayleigh par les molécules d'air, étudiée aux questions suivantes) et par absorption est donc la plus faible au midi solaire, maximisant ainsi l'éclairement \mathcal{P}_0 arrivant au sol.

1. Justification de la forme de l'onde électromagnétique

L'expression \vec{E} = E_0 \cos [\omega (t - x/c)] \widehat{e}_z correspond à une onde plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant selon l'axe (Ox) à la vitesse c, polarisée rectilignement selon (Oz) :

• Caractère plan : la distance Soleil-Terre (d \approx 1{,}5 \times 10^8\text{ km}) est immense devant l'échelle locale d'étude dans l'atmosphère ; le front d'onde sphérique issu du Soleil est donc localement rigoureusement plan. De plus, l'air étant très peu dense, la vitesse de phase est assimilable à la célérité c dans le vide.
• Caractère monochromatique : le rayonnement solaire est polychromatique, mais en vertu de la linéarité des équations de propagation et des interactions considérées, l'analyse de Fourier permet d'étudier indépendamment chaque composante spectrale de pulsation \omega.
• Transversalité et polarisation : la structure d'onde plane dans l'air (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0) impose un champ électrique orthogonal à la direction de propagation \widehat{e}_x. La lumière naturelle solaire n'étant pas polarisée, on peut la décomposer sur deux polarisations rectilignes indépendantes orthogonales (par exemple selon \widehat{e}_y et \widehat{e}_z) et restreindre l'étude à l'une d'entre elles.

2. Création du moment dipolaire induit \vec{p}

Les molécules de diazote \mathrm{N}_2 et de dioxygène \mathrm{O}_2 sont centrosymétriques : au repos, les barycentres des charges positives (noyaux) et des charges négatives (cortège électronique) coïncident, le moment dipolaire permanent est nul.

• Sous l'action du champ électrique \vec{E}(t) de l'onde, les électrons subissent une force de rappel liée aux noyaux ainsi que la force électrique oscillante \vec{F} = -e\,\vec{E}(t).
• Les noyaux, beaucoup plus lourds que les électrons, restent quasi immobiles sur l'échelle de temps optique, tandis que le nuage électronique subit un déplacement oscillant \vec{r}(t) par rapport aux noyaux.
• Cette séparation des barycentres de charges positives et négatives induit un moment dipolaire oscillant \vec{p}(t) = -e\,\vec{r}(t), aligné sur le champ électrique excitateur \widehat{e}_z et oscillant à la pulsation \omega.

L'onde incidente se propageant selon +x dans le vide (ou l'air assimilé au vide), la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting définit l'éclairement :

puisque c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}. On en déduit l'expression du carré de l'amplitude du champ :

Le moment dipolaire induit a pour amplitude :

La puissance moyenne diffusée par chaque molécule s'écrit alors :

En utilisant la relation fondamentale \varepsilon_0^2 c^4 = 1/\mu_0^2, cette puissance s'exprime sous la forme :

Considérons une tranche d'atmosphère comprise entre x et x + \mathrm{d}x, de section droite S normale à la direction de propagation. Le volume de cette tranche est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x et contient \mathrm{d}N = n S\,\mathrm{d}x molécules. En régime permanent, la diminution de la puissance transportée par le faisceau entre x et x + \mathrm{d}x est intégralement imputable à la puissance diffusée dans toutes les directions par ces molécules :

Comme \Phi(x) = \mathcal{E}_\omega(x) S, il vient :

Par intégration immédiate avec la condition initiale \mathcal{E}_\omega(0), on obtient :

avec la longueur d'atténuation caractéristique :

Vérification dimensionnelle :

• [n] = \mathrm{L}^{-3}, [m] = \mathrm{M}, [e] = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T} et \kappa est sans dimension ;
• d'après la loi de Laplace ou les données, [\mu_0] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}\cdot\mathrm{I}^{-2} ;
• par conséquent : [\mu_0 e^2] = (\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}\cdot\mathrm{I}^{-2}) \times (\mathrm{I}^2\cdot\mathrm{T}^2) = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L} ;
• au dénominateur : [n \mu_0^2 e^4] = \mathrm{L}^{-3} \times (\mathrm{M}\cdot\mathrm{L})^2 = \mathrm{M}^2 \cdot \mathrm{L}^{-1} ;
• au numérateur : [m^2] = \mathrm{M}^2.

On a donc bien :

L'expression de H_\omega est bien homogène à une longueur.

1. Estimation de la longueur d'atténuation H_\omega

Le maximum d'émission du Soleil dans le domaine visible correspond au vert, soit une longueur d'onde dans le vide :

La pulsation correspondante de l'onde lumineuse est :

Le rapport des pulsations vaut ainsi :

Comme \kappa^2 \simeq 37 \gg 1, on a (\kappa^2 - 1)^2 \simeq 36^2 \simeq 1{,}3 \times 10^3.

La densité volumique n de molécules d'air au niveau du sol est estimée par la loi des gaz parfaits à la pression P_0 = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa} et à la température ambiante T \simeq 290\text{ K} :

D'après l'expression établie à la question Q7 :

En injectant les valeurs numériques :

Le terme d'échelle vaut :

On en déduit l'ordre de grandeur de H_\omega :

(soit un ordre de grandeur de quelques centaines de kilomètres).

2. Effet d'une augmentation d'altitude sur le chauffage

L'atténuation du rayonnement solaire par diffusion Rayleigh à travers une couche d'épaisseur x s'écrit \mathcal{E}_\omega(x)/\mathcal{E}_\omega(0) = \exp(-x/H_\omega).

L'épaisseur caractéristique de l'atmosphère étant L_{\text{atm}} \sim 100\text{ km} < H_\omega, la majeure partie du rayonnement visible traverse l'atmosphère sans être diffusée (\exp(-100/800) \simeq 0{,}88, soit seulement une dizaine de pourcents atténuée).

De plus, l'élévation d'altitude envisageable pour l'installation d'un spa ne dépasse guère \Delta z \sim 1\text{ à } 2\text{ km}. La variation relative de flux associée à la diminution du trajet atmosphérique est de l'ordre de :