Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2024 (page 2/2 : Partie II)

1. Définition de la résistance thermique

Par analogie avec la résistance électrique en régime continu (loi d'Ohm U = R_{\text{él}} I), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un milieu situé entre deux surfaces isothermes aux températures T_1 et T_2 (T_1 > T_2), traversé par un flux thermique \Phi en régime stationnaire, est définie par :

Elle s'exprime en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1} (ou ^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{W}^{-1}).

2. Résistance thermique de conduction des parois verticales R_{\mathrm{p}}

L'enveloppe gonflable est constituée d'une lame d'air de conductivité thermique \lambda_{\mathrm{a}} (l'épaisseur du plastique étant négligée), comprise entre les rayons r_{\mathrm{int}} = d_{\mathrm{int}}/2 et r_{\mathrm{ext}} = d_{\mathrm{ext}}/2. Le transfert thermique s'effectue sur la hauteur d'eau h_{\mathrm{e}} en contact avec la paroi.

En symétrie cylindrique et en régime stationnaire sans source interne, le flux thermique \Phi à travers un cylindre de rayon r (r_{\mathrm{int}} \leqslant r \leqslant r_{\mathrm{ext}}) et de hauteur h_{\mathrm{e}} est conservatif :

En séparant les variables et en intégrant entre r_{\mathrm{int}} et r_{\mathrm{ext}} :

On en déduit l'expression de la résistance thermique de conduction de la paroi verticale :

Remarque : Si l'on considérait l'échange sur toute la hauteur du spa, on remplacerait h_{\mathrm{e}} par H. L'application numérique avec h_{\mathrm{e}} = 0{,}75\text{ m} donne R_{\mathrm{p}} = \frac{\ln\sqrt{2}}{2\pi \times 2{,}5\times 10^{-2} \times 0{,}75} \approx 2{,}94\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \approx 3\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}, ce qui est parfaitement en accord avec la valeur fournie.

3. Résistance thermique du tapis d'herbe R_{\mathrm{t}}

Le tapis d'herbe sous l'installation est assimilé à une couche plane d'épaisseur e_{\mathrm{h}}, de conductivité thermique \lambda_{\mathrm{h}} et de section S_{\mathrm{t}}. En géométrie plane unidimensionnelle stationnaire, le gradient de température est uniforme :

En considérant la surface totale au sol occupée sous l'installation S_{\mathrm{t}} = \frac{\pi d_{\mathrm{ext}}^2}{4} :

Remarque : Avec d_{\mathrm{ext}} = 2{,}0\text{ m}, S_{\mathrm{t}} = \pi \approx 3{,}14\text{ m}^2, d'où R_{\mathrm{t}} = \frac{5\times 10^{-3}}{3{,}5\times 10^{-2} \times \pi} \approx 4{,}5\times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \approx 5\times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}, ce qui redonne bien la valeur indiquée par l'énoncé. Si l'on considérait uniquement l'aplomb de la colonne d'eau (S_{\mathrm{int}} = \pi d_{\mathrm{int}}^2 / 4), on obtiendrait R_{\mathrm{t}} \approx 9\times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}.

L'eau du spa à la température T_{\mathrm{int}} échange de la puissance thermique avec l'extérieur à T_{\mathrm{ext}} par trois voies indépendantes en parallèle :

• par la surface libre de l'eau (convection avec l'air extérieur) : résistance R_{\mathrm{s}} ;
• par le fond du spa (conduction à travers le tapis d'herbe) : résistance R_{\mathrm{t}} ;
• par les parois latérales verticales (convection eau-paroi puis conduction dans l'enveloppe d'air en série) : résistance R_{\mathrm{lat}} = R_{\mathrm{pc}} + R_{\mathrm{p}}.

La résistance thermique équivalente R_{\mathrm{th}} vérifie donc :

On applique le premier principe de la thermodynamique au système fermé constitué par l'eau du spa (masse m_{\mathrm{e}}, capacité thermique massique c_{\mathrm{e}}), supposée homogène en température, entre les instants t et t + \mathrm{d}t :

Comme l'eau est une phase condensée indilatable et incompressible, \mathrm{d}U = m_{\mathrm{e}} c_{\mathrm{e}} \, \mathrm{d}T_{\mathrm{int}}. En posant \theta(t) = T_{\mathrm{int}}(t) - T_{\mathrm{ext}}, et puisque T_{\mathrm{ext}} est constante, il vient :

L'intégration avec la condition initiale en t = 0 donne bien :

Application numérique : D'après la question Q4, m_{\mathrm{e}} = 1{,}2 \times 10^3\text{ kg} et c_{\mathrm{e}} = 4{,}2 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}, d'où la capacité thermique de l'eau :

Pour la conductance thermique :

On en déduit :

Commentaire :

• Cette durée caractéristique de l'ordre d'une journée et demie est grande devant la durée typique des variations climatiques journalières, ce qui justifie l'hypothèse d'un régime quasi stationnaire.
• Néanmoins, à l'échelle d'une nuit (environ 10\text{ h}), l'eau se refroidit de façon notable : en 10\text{ h}, l'écart de température diminue d'un facteur \mathrm{e}^{-10/38} \simeq 0{,}77, soit une baisse de température d'environ 3^{\circ}\mathrm{C}.
• On constate que la conductance est largement dominée par les pertes par la surface libre et par le sol (36{,}7\text{ W}\cdot\text{K}^{-1} sur 37\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}), les parois latérales étant très bien isolées par l'air emprisonné (R_{\mathrm{p}} \gg R_{\mathrm{s}}, R_{\mathrm{t}}).

1. Résistance de la toile de sol :

La toile de sol est une couche d'air emprisonné d'épaisseur e_{\mathrm{t}} = 5\text{ mm} placée sous le spa, de surface S_{\mathrm{ext}} = \frac{\pi d_{\mathrm{ext}}^2}{4}. Sa résistance thermique de conduction s'écrit :

Avec \frac{\pi}{4} = 0{,}8, soit S_{\mathrm{ext}} = 0{,}8 \times (2{,}0)^2 = 3{,}2\text{ m}^2 :

Cette résistance s'ajoute en série avec celle du tapis d'herbe R_{\mathrm{t}} = 5 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}. La résistance de la voie inférieure devient :

2. Résistance de la couverture :

La couverture gonflée d'air d'épaisseur e_{\mathrm{s}} = 25\text{ cm} comble l'espace au-dessus de l'eau. Pour la surface d'échange supérieure de l'eau S_{\mathrm{int}} = \frac{\pi d_{\mathrm{int}}^2}{4} = 0{,}8 \times 2 = 1{,}6\text{ m}^2, la résistance thermique de conduction de cette couche d'air est :

Les résistances d'échange convectif associées (de l'ordre de \frac{1}{h_{\mathrm{a}} S} \sim 0{,}06\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}) sont tout à fait négligeables devant cette valeur. La voie supérieure présente donc désormais une résistance :

3. Nouvelle résistance équivalente et temps caractéristique :

La résistance latérale reste inchangée : R_{\mathrm{lat}} = R_{\mathrm{p}} + R_{\mathrm{pc}} \simeq 3\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}. Les trois voies de fuite thermique étant en parallèle, la conductance globale s'écrit :

D'où :

Le nouveau temps caractéristique de refroidissement vaut alors :

4. Estimation du gain :

Le gain relatif sur le temps caractéristique s'exprime par le rapport :

soit un allongement de la durée de maintien en température de \Delta \tau = \tau' - \tau \approx 100\text{ h}.

Pour maintenir la température de l'eau constante à la valeur T_{\mathrm{int}} = 38^{\circ}\mathrm{C}, la variation de son énergie interne est nulle :

La puissance à fournir \mathscr{P}_{\mathrm{fournie}} doit donc être égale au flux thermique de déperdition vers l'environnement à T_{\mathrm{ext}} = 25^{\circ}\mathrm{C}.

En utilisant la définition de la résistance thermique globale avec les équipements d'isolation (toile de sol et couverture) notée R_{\mathrm{th}}' (question Q11) :

Avec T_{\mathrm{int}} - T_{\mathrm{ext}} = 38 - 25 = 13\text{ K} et R_{\mathrm{th}}' \simeq 0{,}10\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} :

Considérons le cylindre métallique d'axe (Ox), de section constante S, délimité par ses deux extrémités planes situées en x = 0 et x = L, soumises à une différence de potentiel :

En régime permanent, la conservation de la charge électrique impose :

En négligeant les effets de bord, les lignes de champ électrique et de courant sont rectilignes et parallèles à l'axe du cylindre. Le champ électrique est donc uniforme :

La circulation du champ électrique entre les deux extrémités relie son amplitude à la tension appliquée :

D'après la loi d'Ohm locale dans le matériau conducteur de conductivité \sigma :

L'intensité I du courant électrique traversant une section droite S orientée par \vec{u}_x s'écrit alors :

Par définition de la résistance électrique R_{\text{él}} = \frac{U}{I}, on en déduit :

Dans le référentiel du conducteur supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron de masse m, de charge q = -e et de vitesse \vec{v} s'écrit :

Soit, en divisant par m :

Le champ \vec{E} étant supposé constant, l'équation admet pour solution générale :

Pour t \gg \tau_{\mathrm{d}}, le terme transitoire exponentiel s'annule et la vitesse atteint la valeur constante \vec{v}_{\infty} (vitesse limite ou de dérive) :

Le vecteur densité de courant volumique associé au mouvement d'ensemble de ces porteurs de charge s'écrit :

Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité électrique :

Entre deux collisions, le frottement phénoménologique n'intervient pas : l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique \vec{F} = -e\vec{E}. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron dans le référentiel du conducteur (galiléen) s'écrit :

Le champ \vec{E} étant uniforme et constant, une intégration directe entre t_0 et t_0 + \delta t donne :

Moyennons cette expression sur un très grand nombre de collisions. Après une collision, l'électron est diffusé dans une direction aléatoire isotrope, de sorte que la vitesse moyenne après choc est nulle : \langle \vec{v}_0 \rangle = \vec{0}. La vitesse moyenne juste avant un choc vaut donc :

Par identification avec la vitesse stationnaire de dérive établie à la question Q14, \vec{v}_\infty = -\dfrac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}, on en déduit :

Le paramètre \tau_{\mathrm{d}} s'interprète donc physiquement comme le temps de vol libre moyen (ou durée moyenne entre deux collisions successives subies par un électron).

Effet de la température sur la résistance :

• Lorsque la température T augmente, l'agitation thermique des ions du réseau cristallin s'amplifie (accroissement de l'amplitude de vibration du réseau, modélisable par des phonons) et la vitesse thermique des électrons augmente également (v_{\mathrm{th}} \propto \sqrt{T}).
• La probabilité de collision par unité de temps augmente : le libre parcours moyen et le temps moyen entre collisions \tau_{\mathrm{d}} diminuent donc lorsque T augmente.
• D'après la question Q14, la conductivité s'écrit \sigma = \dfrac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}, donc \sigma diminue avec la température (le nombre de porteurs libres n_{\mathrm{e}} restant essentiellement constant dans un métal).
• D'après la question Q13, la résistance électrique vaut R_{\text{él}} = \dfrac{L}{\sigma S} : la diminution de \sigma entraîne donc l'augmentation de la résistance avec la température.

L'Amplificateur Linéaire Intégré (ALI) étant idéal, ses courants d'entrée sont nuls (i^+ = i^- = 0). Les deux branches alimentées sous la tension constante V_0 constituent donc deux ponts diviseurs non chargés.

Les potentiels appliqués sur les entrées non inverseuse (+) et inverseuse (-) s'écrivent :

L'ALI fonctionnant en régime de saturation sans contre-réaction, la tension de sortie vaut V_{\mathrm{s}} = \pm V_{\mathrm{sat}} selon le signe de la tension différentielle \varepsilon = V^+ - V^-. L'interrupteur change donc d'état lorsque \varepsilon = 0, soit pour V^+ = V^-, ce qui équivaut à :

En utilisant la loi de comportement de la thermistance R_{\mathrm{th}}(T) = R_0 [1 + \alpha(T - T_{\mathrm{ref}})], il vient :

On en déduit la température de commutation :

Pour déterminer la précision relative nécessaire sur R_2, différentions l'expression R_2 = R_0 [1 + \alpha(T_{\mathrm{c}} - T_{\mathrm{ref}})] en considérant R_0, \alpha et T_{\mathrm{ref}} parfaitement connus :

L'incertitude relative sur R_2 pour une précision souhaitée \Delta T_{\mathrm{c}} sur la température s'écrit alors :

Pour les températures de fonctionnement usuelles du spa (T_{\mathrm{c}} \in [20^{\circ}\mathrm{C}, 40^{\circ}\mathrm{C}]), on a :

On peut donc adopter l'approximation :

Pour un réglage au degré près, soit \Delta T_{\mathrm{c}} = 1^{\circ}\mathrm{C} = 1\text{ K} :

(La formule exacte donne \frac{\Delta R_2}{R_2} = \frac{4 \times 10^{-3}}{1{,}08} \simeq 3{,}7 \times 10^{-3} \simeq 0{,}4\%).

1. Rôle et réglage des deux comparateurs

D'après le résultat de la question 16, la température de basculement d'un interrupteur à ALI vaut :

On utilise donc deux montages identiques à celui de la figure 2, équipés de résistances de consigne distinctes :

• Un premier comparateur réglé avec une résistance R_{2,\min} correspondant au seuil bas T_{\min} = 38\,^{\circ}\mathrm{C} ;
• Un second comparateur réglé avec une résistance R_{2,\max} correspondant au seuil haut T_{\max} = 40\,^{\circ}\mathrm{C}.

2. Cycle de fonctionnement souhaité (hystérésis)

Le système de chauffage doit adopter un comportement à mémoire (cycle d'hystérésis) :

• Si T < T_{\min} : l'eau est trop froide, la commande force la mise en marche du chauffage (état ON).
• Si T > T_{\max} : la température maximale est atteinte, la commande coupe le chauffage (état OFF).
• Si T \in [T_{\min}, T_{\max}] : la commande doit maintenir l'état antérieur (le chauffage reste allumé si l'eau était en cours de chauffe, et éteint si l'eau était en phase de refroidissement naturel).

3. Organisation des interrupteurs commandés

Puisqu'un système purement combinatoire sans mémoire ne peut pas distinguer une phase de montée d'une phase de descente, deux agencements classiques permettent de réaliser cette fonction :

• Organisation électronique (Bascule RS) : Les tensions de sortie des deux ALI (mises en forme en niveaux logiques 0/1) sont envoyées sur une bascule RS commandant le circuit de puissance :

  • Le comparateur de seuil bas est relié à l'entrée S (Set) : il délivre un niveau actif dès que T \le T_{\min}, basculant la sortie Q à 1 (chauffage ON).
  • Le comparateur de seuil haut est relié à l'entrée R (Reset) : il délivre un niveau actif dès que T \ge T_{\max}, forçant Q à 0 (chauffage OFF).
  • Pour T \in ]T_{\min}, T_{\max}[, les entrées sont inactives (S = 0, R = 0), ce qui correspond à l'état mémoire (Q_{n+1} = Q_n).
• Organisation électromécanique (Relais avec auto-maintien) : L'interrupteur commandé par le seuil bas (fermé pour T \le T_{\min}) joue le rôle de contact de marche ; il est placé en parallèle avec un contact auxiliaire du relais commandant la résistance chauffante (boucle d'auto-maintien). L'ensemble est placé en série avec l'interrupteur commandé par le seuil haut (normalement fermé, qui s'ouvre dès que T \ge T_{\max}).

D'après la loi de la statique des fluides dans l'eau incompressible au repos, la pression à la profondeur z = h_{\mathrm{e}} (au fond du spa) s'écrit :

où P_0 = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa} est la pression à la surface libre.

La bulle d'air est modélisée par un gaz parfait fermé (n = \text{cste}) à température constante T. La loi de Boyle-Mariotte donne :

La variation relative de volume d'une bulle entre le fond et la surface s'exprime par :

Application numérique avec \rho_{\mathrm{e}} = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, h_{\mathrm{e}} = 0{,}75\text{ m} et P_0 = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa} :

La variation relative de volume est très inférieure à l'unité (\approx 7\%). On peut donc, en première approximation, considérer que le volume V_{\mathrm{b}} de la bulle reste constant au cours de sa remontée.

Le nombre de Reynolds associé au mouvement de la bulle dans l'eau s'écrit :

où D = 2R est le diamètre de la bulle (dimension caractéristique pour une sphère, cohérente avec l'expression C_x = 24/\mathrm{Re} en régime de Stokes).

Avec les données numériques fournies :

• \rho_{\mathrm{e}} = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• \eta_{\mathrm{e}} = 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s},
• R \simeq 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m},

pour une vitesse v_{\mathrm{b}} comprise entre quelques dizaines de centimètres par seconde (v_{\mathrm{b}} \simeq 0{,}2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et un mètre par seconde (v_{\mathrm{b}} \simeq 1{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), on obtient :

Le nombre de Reynolds est donc de l'ordre de :

Puisque \mathrm{Re} \gg 1, on est très éloigné du régime visqueux de Stokes (\mathrm{Re} < 1). Sur la figure 3, pour \mathrm{Re} \in [10^2, 10^3], le coefficient de traînée C_x varie peu et tend vers une constante de l'ordre de grandeur de l'unité (C_x \sim 0{,}5 - 1).

On se trouve dans le régime inertiel (ou régime quadratique de Newton). D'après la définition du coefficient de traînée donnée sur la figure 3, avec le maître-couple de la bulle sphérique S = \pi R^2, le module de la force de traînée s'exprime par :

La force de traînée s'opposant au déplacement vertical de la bulle vers le haut, elle s'écrit vectoriellement :

1. Établissement de la loi de vitesse

On étudie la bulle d'air, de masse m_{\mathrm{b}} = \rho_{\mathrm{a}} V_{\mathrm{b}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_{\mathrm{a}}, lâchée sans vitesse initiale au fond du spa dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

On oriente l'axe vertical (Oz) vers le haut. La bulle est soumise à :

• son poids : \vec{P} = -m_{\mathrm{b}} g\, \widehat{e}_z = -\rho_{\mathrm{a}} V_{\mathrm{b}} g\, \widehat{e}_z ;
• la poussée d'Archimède exercée par l'eau : \vec{\Pi} = \rho_{\mathrm{e}} V_{\mathrm{b}} g\, \widehat{e}_z ;
• la force de traînée définie à la question précédente : \vec{F}_{\mathrm{t}} = -\frac{1}{2}\rho_{\mathrm{e}} C_x \pi R^2 v_{\mathrm{b}}^2\, \widehat{e}_z.

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe vertical ascendant s'écrit :

En remplaçant V_{\mathrm{b}} = \frac{4}{3}\pi R^3 et m_{\mathrm{b}} = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_{\mathrm{a}} :

On factorise par le terme constant :

avec la vitesse v_1 définie par :

En posant la durée caractéristique \tau_{\mathrm{b}} telle que \frac{v_1}{\tau_{\mathrm{b}}} = \frac{\rho_{\mathrm{e}} - \rho_{\mathrm{a}}}{\rho_{\mathrm{a}}} g, on obtient :

L'équation différentielle s'écrit alors :

En intégrant entre t = 0 (où v_{\mathrm{b}}(0) = 0) et t, à l'aide de la formule du formulaire \int \frac{\mathrm{d}x}{1-x^2} = \operatorname{arg\,tanh}(x) + \mathrm{cste} :

soit la forme demandée :

La fonction trigonométrique hyperbolique f est la fonction tangente hyperbolique : f = \tanh.

2. Interprétation de v_1 et \tau_{\mathrm{b}}

• v_1 représente la vitesse limite de remontée de la bulle (\lim_{t \to \infty} v_{\mathrm{b}}(t) = v_1), atteinte lorsque les forces motrices (poussée d'Archimède corrigée du poids) et la force de frottement quadratique se compensent exactement (\frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{b}}}{\mathrm{d}t} = 0).
• \tau_{\mathrm{b}} représente le temps caractéristique d'accélération (durée du régime transitoire) : à t = \tau_{\mathrm{b}}, la bulle a déjà atteint v_{\mathrm{b}} = v_1 \tanh(1) \simeq 0{,}76\, v_1, et pour t \gtrsim 3\tau_{\mathrm{b}}, la vitesse est établie à plus de 99\,\%.

3. Commentaire sur l'adéquation du modèle

Calculons la durée totale de remontée de la bulle sur la hauteur d'eau h_{\mathrm{e}} = 0{,}75\text{ m} à la vitesse v_1 :

On constate que la durée du régime transitoire est extrêmement brève devant le temps de parcours :

La distance parcourue pendant l'accélération est de l'ordre de d_{\text{trans}} \sim v_1 \tau_{\mathrm{b}} \simeq 0{,}21 \times 25 \times 10^{-6}\text{ m} \simeq 5\ \mu\text{m}, valeur infime devant le rayon de la bulle (R = 1\text{ mm}) et la profondeur du spa. La bulle atteint donc sa vitesse limite quasi instantanément au fond du spa.

De plus, pour v_1 = 0{,}21\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, le nombre de Reynolds vaut :

Sur la figure 3 de l'énoncé, à \mathrm{Re} \simeq 400, on lit bien C_x \simeq 0{,}6, ce qui correspond précisément à la valeur déduite de v_1 :

Le modèle hydrodynamique avec traînée quadratique est donc parfaitement cohérent et adapté.

Le problème présente une invariance par toute rotation autour du centre de la bulle sphérique. En coordonnées sphériques (r, \theta, \phi) de centre le centre de la bulle, le champ de vitesse de l'eau est purement radial et ne dépend spatialement que de la coordonnée radiale r :

L'écoulement de l'eau étant supposé incompressible, l'équation de conservation de la masse se réduit à :

En utilisant l'expression de la divergence en coordonnées sphériques donnée dans le formulaire de l'énoncé :

où f(t) est une fonction ne dépendant que du temps.

À la frontière de la bulle, en r = R(t), la condition cinématique de continuité de la vitesse normale (non-traversée de l'interface) impose :

On en déduit :

Ainsi, pour tout point M situé dans l'eau (r \ge R(t)) :

D'après la question Q21, le champ de vitesse de l'eau autour de la bulle s'écrit :

En posant R(t) = R_0 + \varepsilon(t) avec |\varepsilon(t)| \ll R_0, la vitesse de l'interface vaut \frac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\varepsilon(t)}{\mathrm{d}t}. À l'ordre 1 en \varepsilon, la vitesse v(r,t) s'écrit donc :

La vitesse v(r,t) étant au moins d'ordre 1 en perturbation, évaluons les termes de l'équation de conservation de l'impulsion :

• Le terme d'accélération convective \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial v^2(r,t)}{\partial r} = v\dfrac{\partial v}{\partial r} est proportionnel à \left(\dfrac{\mathrm{d}\varepsilon}{\mathrm{d}t}\right)^2, c'est-à-dire du second ordre en perturbation : il est donc négligeable devant le terme d'accélération locale.

• Le terme d'accélération locale s'écrit à l'ordre le plus bas :

  \frac{\partial v(r,t)}{\partial t} = \frac{R_0^2}{r^2}\frac{\mathrm{d}^2\varepsilon(t)}{\mathrm{d}t^2}

L'équation du mouvement se réduit ainsi à :

Par identification avec la relation proposée, on obtient :

Pour déterminer la pression P_{\mathrm{a}}(t), intégrons cette dérivée spatiale de la surface de la bulle r = R(t) jusqu'à l'infini :

Sachant que P(\infty, t) = P_0 et en négligeant la tension superficielle ainsi que la viscosité, la continuité de la pression à l'interface impose P(R(t),t) = P_{\mathrm{a}}(t). Il vient :

À l'ordre le plus bas en \varepsilon, \dfrac{\beta}{R(t)} \simeq \dfrac{\beta}{R_0} = \rho_{\mathrm{e}} R_0, d'où :

L'air contenu dans la bulle est modélisé par un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma_{\mathrm{a}}. L'évolution étant supposée isentropique, la loi de Laplace s'écrit :

Le volume d'une bulle sphérique de rayon R(t) vaut V_{\mathrm{b}}(t) = \dfrac{4}{3}\pi R(t)^3. En prenant comme état de référence l'état d'équilibre (P_0, R_0), il vient :

En exprimant le rayon sous la forme R(t) = R_0 + \varepsilon(t) = R_0 \left(1 + \dfrac{\varepsilon(t)}{R_0}\right), on en déduit :

Sachant que |\varepsilon(t)| \ll R_0, on développe au premier ordre en \varepsilon(t)/R_0 :

On obtient ainsi, à l'ordre le plus bas non nul en \varepsilon(t) :

D'après la question Q22, la dynamique du fluide impose la relation :

D'après la question Q23, la détente-compression isentropique de l'air donne :

En égalant ces deux expressions, on obtient :

Comme \frac{3\gamma_{\mathrm{a}}P_0}{\rho_{\mathrm{e}}R_0^2} > 0, cette équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation :

Le rayon de la bulle oscille donc sinusoïdalement à la fréquence :

Application numérique :

• R_0 = 1\text{ mm} = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m} ;
• P_0 = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa} ;
• \rho_{\mathrm{e}} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \gamma_{\mathrm{a}} = 1{,}4.

On calcule :

Validité de l'hypothèse isentropique :

La diffusivité thermique de l'air s'exprime par D_{\mathrm{th}} = \frac{\lambda_{\mathrm{a}}}{\rho_{\mathrm{a}} c_{\mathrm{a}}} (ou avec c_{p,\mathrm{a}} = \gamma_{\mathrm{a}} c_{\mathrm{a}}) :

Le temps caractéristique de diffusion thermique à l'échelle de la bulle est :

La période des oscillations de la bulle vaut quant à elle :

On constate que :

Le transfert thermique entre l'air de la bulle et l'eau environnante n'a pas le temps de s'effectuer à l'échelle d'une période d'oscillation. L'évolution est donc adiabatique. Les dissipations visqueuses étant négligées, la transformation est réversible, ce qui justifie pleinement l'hypothèse d'une transformation isentropique.

L'eau étant incompressible et la bulle de masse volumique négligeable devant celle de l'eau (\rho_{\mathrm{a}} \ll \rho_{\mathrm{e}}), l'énergie cinétique associée aux oscillations est quasi-intégralement localisée dans l'écoulement de l'eau autour de la bulle.

D'après le résultat de la question Q21, à l'ordre le plus bas en \varepsilon, la vitesse du fluide à la distance r \ge R_0 s'écrit :

L'énergie cinétique du fluide occupant le volume r \ge R_0 vaut donc :

Pour des oscillations sinusoïdales \varepsilon(t) = \varepsilon_0 \cos(\omega_{\mathrm{osc}} t + \phi), la moyenne temporelle de (\dot{\varepsilon})^2 vaut \frac{1}{2}\omega_{\mathrm{osc}}^2 \varepsilon_0^2. En utilisant l'expression de la pulsation propre issue de la question Q24, \omega_{\mathrm{osc}}^2 = \frac{3\gamma_{\mathrm{a}} P_0}{\rho_{\mathrm{e}} R_0^2}, on obtient :

Estimation numérique :

• Le facteur d'échelle énergétique vaut :

  3\pi \gamma_{\mathrm{a}} P_0 R_0^3 \approx 3 \times 3{,}14 \times 1{,}4 \times 10^5 \times (10^{-3})^3 \approx 1{,}3 \times 10^{-3}\text{ J} = 1{,}3\text{ mJ}
• D'après la question Q18, la surpression hydrostatique subie au fond du spa est de l'ordre de \Delta P / P_0 \simeq 7{,}4\%. Lors de l'émission ou du relâchement d'une bulle, l'amplitude relative des oscillations radiales est typiquement de l'ordre de grandeur de cette perturbation : \frac{\varepsilon_0}{R_0} \sim \frac{1}{3}\frac{\Delta V}{V} \sim 2\% à 5\% (soit \varepsilon_0 \sim 20\text{ à }50\ \mu\text{m}).
• Pour \frac{\varepsilon_0}{R_0} \sim 3\% = 3 \times 10^{-2}, il vient \left(\frac{\varepsilon_0}{R_0}\right)^2 \sim 10^{-3}, d'où :

(ordre de grandeur compris entre 10^{-7}\text{ J} et 10^{-5}\text{ J} par bulle).

Conclusion sur le brassage de l'eau :

• À l'échelle microscopique : Bien que l'énergie individuelle d'une bulle soit faible, le débit de la pompe génère un nombre colossal de bulles (de l'ordre de 10^5 à 10^6 bulles par seconde). Les oscillations à haute fréquence (f \simeq 3{,}3\text{ kHz}) transfèrent de l'énergie à l'eau sous forme d'ondes de pression acoustiques audibles et de micro-courants cisaillés par viscosité au voisinage immédiat des bulles. Ce phénomène assure un « micro-brassage » local procurant la sensation tactile de massage et de relaxation.
• À l'échelle macroscopique : Le brassage global et le renouvellement de l'eau dans le spa ne sont pas assurés par ces oscillations purement radiales (qui sont de moyenne spatiale nulle), mais par l'ascension des bulles : sous l'effet de la poussée d'Archimède, les bulles remontent à la vitesse v_1 \simeq 20\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} en créant dans leur sillage des colonnes ascendantes et de grands rouleaux de convection qui mélangent efficacement tout le volume du bassin.