Bilans macroscopiques : 76 questions de concours corrigées

Définir puis déterminer le débit d'énergie cinétique D_E_c traversant le cylindre éolien si l'éolienne était absente.

Déterminer la variation d p de la quantité de mouvement d'un système fermé S_F(t), que l'on définira soigneusement et incluant notamment Σ(t), pendant la durée d t. En déduire la relation µ…

Déterminer la variation d E_c de l'énergie cinétique de S_F(t) pendant la durée d t. En déduire la relation 1/2 µ Q(v_s²-vₑ²)=P_int +Pₑₓₜ , avec P_int la puissance des actions intérieures et Pₑₓₜ la…

En négligeant tout frottement mécanique à l'intérieur de la pompe, exprimer la puissance P qu'elle fournit en fonction de v₀, Pₑ, P₀, ρ₀ et du débit volumique D_v. Exprimer aussi le rendement…

Définir le système fermé Σ correspondant au système ouvert Σ* en précisant sa composition à l'instant t et à l'instant t + dt.

À partir d'une étude dynamique sur le système fermé vaisseau + gaz éjecté entre les instants t et t + dt, justifier l'équation différentielle suivante, dans laquelle F = -D v₁ représente la force de…

Pour une injection sur une trajectoire de Hohmann vers Mars depuis l'orbite basse terrestre, une variation de vitesse Δ V_T = 3,70 km⁻¹ est requise. Déterminer la masse m_c de LH₂ consommée. Le…

Des deux questions précédentes déduire, en régime stationnaire, l'expression de la dérivée du vecteur quantité de mouvement du système fermé (dp*(t))/dt à l'instant t. On introduira Dₘ le débit…

On considère le système constitué du fluide circulant en régime stationnaire entre deux aubes du rotor entre les instants t et t + dt (figure 7). Effectuer pour ce système un bilan précis de moment…

Effectuer le bilan de quantité de mouvement en projection sur e_z. En notant F e_z la force exercée par l'eau sur les parois intérieures du flyboard, montrer que : F = Pₑ Sₑ + 2 P₀ S_s - M_eau g + µ…

Déterminer F en fonction de Dₘ et v. On effectuera un bilan de quantité de mouvement en projection sur uₓ sur le système compris dans le volume de contrôle formé par le lieu d'occupation des roches…

On se propose de démontrer la relation précédente en effectuant, au choix, un bilan d'énergie mécanique ou cinétique. Définir et décrire avec soin une surface de contrôle Σ et un système fermé Σ*…

Par un bilan de quantité de mouvement sur une surface de contrôle judicieusement choisie, justifier que les poussées produites par les tuyères relatives au flux chaud et froid sont respectivement…

Evaluer numériquement F_eau et F.

A l'aide de la question précédente, que peut-on dire de l'évolution de la quantité de mouvement du système (K) au cours du temps ?

Calculer P et k ; commenter.

Déterminer le nombre d'étages n de détente contenus dans la turbine haute pression.

Peut-on appliquer le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) au système candidat + flyboard + eau qu'il contient ? Justifier.

Donner l'expression de M_eau en fonction de H. En déduire une expression simplifiée de F.

Comparer l'ordre de grandeur de cette puissance à celle générée par une centrale nucléaire.

Le dispositif est conçu pour acheminer m_j = 25 tonnes de roches par jour ; il fonctionne en continu. Évaluer le débit massique moyen Dₘ d'arrivée des roches sur le tapis exprimé en kg⁻¹.

Établir I_sp en fonction de g et v₁. Pour le vaisseau envisagé par la NASA, on a I_sp = 825 s. Calculer la vitesse v₁ d'éjection des gaz du moteur NERVA.

Quel est le pourcentage de la poussée assurée par le flux chaud ?

Lors d'un essai au sol sur banc fixe, le turboréacteur délivre une poussée de 20 kN. Quel débit massique Dₘ doit alors assurer la soufflante ?

Donner l'expression du vecteur quantité de mouvement du système fermé p*(t) à l'instant t.

Donner l'expression du vecteur quantité de mouvement du système fermé p*(t + dt) à l'instant t + dt.

Exprimer v_s en fonction de v et des données. Déterminer l'expression de F en fonction de µ, Q et v_s Le pompier doit-il pousser ou tirer sur la lance ?

Exprimer la composante F_eau de la résultante F_eau =F_eau t_s des actions exercées par l'eau sur la lance en fonction de T et de F

Exprimer la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie de la lance. Montrer que la tension s'écrit T=1/2 µ Q² 1/A k₁ avec k₁ un coefficient que l'on exprimera en fonction du rapport A / A_s…

Exprimer la variation d² m(r, t) de la masse du système ouvert entre les instants t et t + dt.

Ecrire alors le théorème de la résultante cinétique pour le système (K). On listera à cette fin les forces qui s'exercent sur le système sans chercher à les expliciter.

Déterminer littéralement la puissance électrique Pₑ que doit fournir le panneau solaire à la pompe en fonction des données regroupées en début de partie. L'application numérique, non demandée, donne…

En tenant compte des pertes de charge, déterminer littéralement la puissance électrique P'ₑ que doit fournir le panneau solaire à la pompe en fonction de Pₑ, D_v, Δ P_c et de r. Faire l'application…

Déduire des trois questions précédentes que : F = P₀ (2 S_s + Sₑ) - M_eau g + µ g H Sₑ + µ D_v² β où β est à expliciter en fonction de Sₑ et de S_s.

En admettant que la puissance P_pompe fournie par la pompe est égale à la puissance des forces de pressions, exprimer P_pompe en fonction de la rehausse de pression totale qu'elle procure Pₑ + Δ P_c…

À partir des données de l'énoncé, estimer numériquement la puissance hydroélectrique moyenne que peut récupérer le barrage de Jinping I.

Exprimer la puissance des forces de pression exercées sur le fluide traversant le capillaire en fonction de Δ P, Dₘ et ρ puis en fonction de R_u, ρ, Dₘ et ℓ.

Établir une équation différentielle vérifiée par C(t) à partir d'un bilan de masse entre les instants t et t+dt pour la vapeur d'eau dans l'air de la cuisine. En déduire que le débit volumique…

L'air extérieur, de température égale à 5 ^, a un degré hygrométrique de 100

Démontrer que le débit volumique local, Q(z,t), et le rayon local R(z,t) = a + h(z,t) de la surface libre vérifient la relation -(∂ Q)/(∂ z) = 2π R(∂ R)/(∂ t). (6)

Quel sera le surplus de consommation dans l'hypothèse du voyage raccourci évoqué dans la sous-partie I.D ?

Estimer à partir des documents un temps caractéristique lié à la convection.

Quantifier la puissance de crête nécessaire à la recharge de tous les véhicules électriques. Estimer la surface d'un champ éolien permettant d'assurer cette production d'électricité. Commenter.

Exprimer la poussée F du turboréacteur complet uniquement en fonction de Dₘ, des vitesses d'éjection c₆ et c₇ et du facteur de by-pass.

En déduire l'expression et la valeur numérique de la poussée par unité de débit massique Dₘ, dite poussée spécifique du turboréacteur, notée F_s.

Effectuer le bilan des forces s'exerçant sur le système.

Indiquer quelle(s) approximation(s) est/sont nécessaire(s) pour conclure que la force appliquée par le réacteur à l'air a pour expression : F_avion = Dₘ · (v_s - vₑ).

En considérant un réacteur positionné horizontalement avec son entrée à gauche comme indiqué sur la figure 12, représenter qualitativement le vecteur de la force exercée par l'air sur l'avion F_air…

Déterminer la puissance liée à la force propulsive.

Déterminer la quantité de mouvement traversant la surface S par unité de temps à l'abscisse x, qu'on notera F(x), en fonction de S, j, m, e, et v(x). Que vaut F(0) ? Justifier que la force de…

Par un bilan appliqué à la surface de contrôle comprise entre M₁ et M₂, montrer que T(M₁)=T(M₂)=T, on exprimera T en fonction des données µ, Q, v, p et A.

Exprimer la quantité de masse δ mₑ(r, t) entrant dans le système ouvert par la surface en r ainsi que la quantité de masse δ mₑ(r + dr, t) entrant par la surface en r + dr entre les instants t et t…

Démontrer l'équation-bilan vérifiée par h(r, t) : (∂ h)/(∂ t) = - (µ ω²)/η [ 2/3 h³ + r h² (∂ h)/(∂ r) ]

On note u(r, t) la vitesse moyenne de v_r(r, x, t) sur la surface latérale d'un cylindre de rayon r et de hauteur ℓ. En utilisant le résultat de la question Q32 sur la surface fermée qui entoure ce…

En définissant rigoureusement le volume de contrôle, effectuer un bilan de moment cinétique du fluide en écoulement à travers la roue Francis par rapport à l’axe de rotation et montrer que le couple…

En déduire l’expression de Γ_i et de la puissance indiquée P_i en fonction notamment de D_v, ω, Rₑ, R_s, βₑ et de β_s. En sortie d’arbre, le couple disponible Γ est inférieur à Γ_i. Pour quelle…

On pose n₀(r) = n(r, 0). Montrer que pour tout r et tout t 0, on a n(r, t) = (n₀(r/(λ(t))))/(λ(t)³)

Obtenir une expression de (∂ N_B)/(∂ t)(R, t) faisant apparaître v_r(R, t).

En déduire la puissance mécanique Pₘ de la pompe nécessaire à ce captage d'eau de mer. Commenter la valeur obtenue.

Appliquer le PFD, toujours en projection sur e_z, au système candidat + flyboard à vide (sans l'eau qu'il contient) considéré comme étant à l'équilibre à l'altitude H dans le référentiel terrestre…

Exprimer la variation de quantité de mouvement Δp_dt de l'ensemble des photons qui rebondissent sur la surface métallique d'aire S pendant une durée infinitésimale dt en fonction de I, S, dt et de c.

Que peut-on en déduire concernant la puissance totale moyenne du cœur humain ? On attend ici une réponse numérique.

En utilisant la relation de Bernoulli dans l'écoulement extérieur ainsi que le résultat de la question 39, montrer l'équation, dite équation intégrale de Von Karman, τ_w/(ρ vₑ²) = 1/vₑ dvₑ/(dx') (δ*…

On sait que l'atmosphère martienne est environ 100 fois moins dense que l'atmosphère terrestre et que l'accélération de la pesanteur martienne a pour valeur g_Mars = 3,7 m⁻². À partir des données et…

Le vaisseau est lancé par une fusée (photo ci-dessus) qui peut, à l'aide de tuyères, éjecter des gaz avec une vitesse de u = 3 km⁻¹ (par rapport à la tuyère). La trajectoire de la fusée est supposée…

En s'aidant d'un bilan de puissance, déterminer la puissance électrique minimale à fournir à la pompe pour obtenir une pression à la lance P_l = 6 bar et un débit de 500 L⁻¹ dans les conditions…

Quelle est l'énergie produite par cette éolienne sur une année ? Justifier votre raisonnement. Quelle est la puissance moyenne produite sur une année.

Définir le coefficient de puissance η de l'éolienne qui représente le rendement moyen de l'éolienne en énergie. L'exprimer en fonction de k, λ, a et des données géométriques de l'éolienne. Faire…

Ce débit massique permet-il d'obtenir la même valeur de la poussée en vol de croisière ? Justifier qualitativement.

Justifier la valeur de l'angle d'inclinaison choisi. À l'aide d'une démarche que l'on présentera avec soin, estimer la puissance mécanique transmise par le fluide au premier étage de la turbine…

Évaluer la contribution hydrodynamique au débit massique d'échappement atmosphérique de Mars donnée par le modèle qui précède. Conclure.

Montrer, par une approche quantitative, qu'une telle démarche pour effectuer l'opération de transfert de l'astéroïde Patientia sur la trajectoire de Hohmann souhaitée n'est pas vraiment envisageable.

Déterminer l'expression du rapport des amplitudes de vagues dans les deux zones en fonction du rapport des vitesses de groupe. Comment varie l'amplitude de la vague à l'approche du rivage ?…

Déterminer l'expression du rapport des amplitudes de vagues dans les deux zones en fonction du rapport des vitesses de groupe. Comment varie l'amplitude de la vague à l'approche du rivage ?…

Par un bilan de masse et de quantité de mouvement entre les instants t et t + dt sur le système fermé délimité par la surface Σ*, montrer qu'en se limitant au premier ordre, d/(dx') (ρ vₑ²(x')(δ(x')…

Exprimer, dans le cadre du modèle choisi, la somme T_B + T_C. Établir ensuite l'égalité T_B = T_C. En déduire enfin l'expression de la tension T_B, dans le cas où v² ≫ Rg (cas dans lequel nous nous…