Feuille d'entraînement : Bilans macroscopiques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q12

   La pompe étant située entre les points B et C, elle fournit au fluide un surcroît de pression \Delta P_{\text{pompe}} = P_C - P_B.

   Les surfaces libres en O et E sont à la même pression atmosphérique P_O = P_E = P_0. On peut donc décomposer cette différence selon :

   P_C - P_B = (P_C - P_E) - (P_B - P_O)

   D'après les questions Q10 et Q11 :

   \begin{aligned} P_B - P_O &= -\rho g z_B - \frac{1}{2}\rho v^2 - \Delta P_{\text{pertes},a} \\ P_C - P_E &= \rho g (z_E - z_C) - \frac{1}{2}\rho v^2 + \Delta P_{\text{pertes},r} \end{aligned}

   où \Delta P_{\text{pertes},a} = \Delta P_{\text{reg},a} + \Delta P_{\text{sing},a} et \Delta P_{\text{pertes},r} = \Delta P_{\text{reg},r} + \Delta P_{\text{sing},r}.

   En effectuant la différence, les termes d'énergie cinétique se compensent (conduites de même diamètre) et comme z_B = z_C, il vient :

   P_C - P_B = \rho g (z_E - z_C + z_B) + \Delta P_{\text{pertes},a} + \Delta P_{\text{pertes},r} = \rho g z_E + \Delta P_{\text{pertes,tot}}

   avec \Delta P_{\text{pertes,tot}} = \Delta P_{\text{reg},a} + \Delta P_{\text{sing},a} + \Delta P_{\text{reg},r} + \Delta P_{\text{sing},r}.

   La puissance mécanique P_m cédée par la pompe au fluide s'écrit alors :

   \boxed{P_m = Q_V \left( \rho g z_E + \Delta P_{\text{pertes,tot}} \right)}

   Application numérique :

   • Terme gravitaire :

     \rho g z_E = 1,0 \times 10^3 \times 9,8 \times 25 = 2,45 \times 10^5\text{ Pa} = 2,45\text{ bar}

   • Pertes de charge totales (d'après Q7 et Q8) :

     \Delta P_{\text{pertes,tot}} \approx 2,1 \times 10^3 + 63 + 1,0 \times 10^3 + 126 \approx 3,3 \times 10^3\text{ Pa} = 0,033\text{ bar}

   • Débit volumique :

     Q_V = \frac{40}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 1,11 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}

   D'où :

   P_m = \frac{40}{3600} \times (2,45 \times 10^5 + 3,3 \times 10^3) \approx 2,8 \times 10^3\text{ W}

   \boxed{P_m \approx 2,8\text{ kW}}

   Commentaire :

   • La puissance mécanique nécessaire est modeste (environ 2,8\text{ kW}), ce qui correspond à une pompe industrielle de petite à moyenne taille, aisément alimentée par le réseau électrique usuel. En tenant compte d'un rendement global usuel de l'ordre de 70 à 80\,\%, la puissance électrique consommée sera de l'ordre de 3,5 à 4\text{ kW}.
   • Le terme gravitaire \rho g z_E représente plus de 98\,\% de la puissance à fournir : les pertes de charge restent très faibles (moins de 2\,\%) en raison du grand diamètre des canalisations (D = 20\text{ cm}) qui maintient la vitesse d'écoulement à une valeur faible (v \approx 0,35\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

   Résultat

   $$P_m=Q_V\left(\rho g{z}_E+\Delta P_{\text{pertes,tot}}\right)$$

   $$P_m\approx 2,8\text{ kW}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q67

   Pour qu'Ingenuity effectue un vol stationnaire, la force de poussée verticale \vec{F} compense exactement son poids \vec{P}_{\text{poids}} :

   F = P_{\text{poids}} = m \, g_{\text{Mars}}

   D'après le document 8 et les données :

   • m = 1{,}8\text{ kg} ;
   • g_{\text{Mars}} = 3{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
   • F = 1{,}8 \times 3{,}7 \approx 6{,}7\text{ N} ;
   • \rho = \frac{\rho_{\text{Terre}}}{100} = \frac{1{,}29}{100} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;

   • Le rayon des pales est R = 60\text{ cm} = 0{,}60\text{ m}, d'où la surface balayée :

     S = \pi R^2 \approx 3{,}14 \times 0{,}60^2 \approx 1{,}13\text{ m}^2

   D'après la formule de Rankine-Froude donnée par l'énoncé, la puissance induite minimale nécessaire s'écrit :

   P = \sqrt{\frac{F^3}{2\rho S}} = \sqrt{\frac{(m \, g_{\text{Mars}})^3}{2\rho S}}

   En effectuant le calcul numérique :

   \begin{aligned} F^3 &\approx 6{,}66^3 \approx 295\text{ N}^3 \approx 3{,}0 \cdot 10^2\text{ N}^3 \\ 2\rho S &\approx 2 \times 1{,}29 \cdot 10^{-2} \times 1{,}13 \approx 2{,}9 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1} \\ \frac{F^3}{2\rho S} &\approx \frac{295}{2{,}9 \cdot 10^{-2}} \approx 1{,}0 \cdot 10^4\text{ W}^2 \end{aligned}

   On en déduit :

   \boxed{P \approx 100\text{ W} \sim 10^2\text{ W}}

   Résultat

   $$P\approx 100\text{ W}\sim 10^2\text{ W}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question