Feuille d'entraînement : Bilans macroscopiques

Corrigés

1. Exercice 1X-ENS Physique MPI 2026, Q25

   Pendant la durée \mathrm{d}t, les ions traversant la surface S à l'abscisse x sont contenus dans un cylindre de section S et de longueur \mathrm{d}\ell = v(x)\,\mathrm{d}t, soit un volume \mathrm{d}\tau = S\,v(x)\,\mathrm{d}t.

   La charge correspondante est \mathrm{d}q = \rho(x)\,\mathrm{d}\tau = j\,S\,\mathrm{d}t d'après la relation j = \rho(x)\,v(x) établie à la question précédente. Chaque ion portant une charge e, le nombre d'ions traversant la section S pendant \mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}N = \frac{\mathrm{d}q}{e} = \frac{j\,S\,\mathrm{d}t}{e}

   Chaque ion transporte une quantité de mouvement p_x(x) = m\,v(x) orientée selon \vec{e}_x. La quantité de mouvement totale traversant la surface S par unité de temps à l'abscisse x est donc :

   F(x) = \frac{\mathrm{d}P_x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}N \cdot m\,v(x)}{\mathrm{d}t}

   ce qui conduit à :

   \boxed{F(x) = \frac{m\,j\,S}{e}\,v(x)}

   D'après le texte, les ions entrent en x = 0 avec une vitesse initiale négligeable, c'est-à-dire v(0) \approx 0. On a donc immédiatement :

   \boxed{F(0) = 0}

   Force de poussée du moteur :

   Considérons le système fermé constitué de l'engin spatial et de l'ensemble des ions éjectés, isolé dans le référentiel d'étude (ou appliquons le théorème de la quantité de mouvement à l'engin spatial en tant que système ouvert).

   Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t, le moteur éjecte dans le vide interplanétaire à l'abscisse x = d des ions qui emportent une quantité de mouvement :

   \mathrm{d}\vec{P}_{\text{ions}} = F(d)\,\mathrm{d}t\,\vec{e}_x

   La quantité de mouvement introduite par les ions en x = 0 étant nulle (F(0) = 0), la conservation de la quantité de mouvement globale du système impose :

   \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{\text{moteur}}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{\text{ions}}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}

   La force de poussée \vec{F}_{\text{poussée}} exercée sur l'engin spatial s'identifie à la variation temporelle de sa quantité de mouvement :

   \vec{F}_{\text{poussée}} = \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{\text{moteur}}}{\mathrm{d}t} = - F(d)\,\vec{e}_x

   La norme de la force de poussée est bien égale à F(d) :

   \boxed{F_{\text{poussée}} = F(d)}

   Elle est dirigée dans le sens des x décroissants (sens de -\vec{e}_x), c'est-à-dire opposée au sens d'éjection des ions, conformément au principe des actions réciproques (principe de la propulsion par réaction).

   Résultat

   $$F(x)=\frac{mjS}{e}v(x)$$

   $$F(0)=0$$

   $$F_{\text{pousseˊe}}=F(d)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question