Feuille d'entraînement : Bilans macroscopiques

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q35

   Le système (\mathcal{K}) est un système fermé constitué d'un ensemble de particules fluides dont la masse totale m est constante au cours du temps. Sa quantité de mouvement s'écrit sous forme lagrangienne :

   \vec{P}_{(\mathcal{K})}(t) = \int_{(\mathcal{K})} \vec{v}\,\mathrm{d}m

   D'après la question précédente, chaque particule de fluide est en mouvement rectiligne uniforme, si bien que son accélération (dérivée particulaire de la vitesse) est nulle à tout instant :

   \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{a} = \vec{0}

   En dérivant par rapport au temps la quantité de mouvement du système fermé, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{(\mathcal{K})}}{\mathrm{d}t} = \int_{(\mathcal{K})} \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}m = \vec{0}

   La quantité de mouvement du système (\mathcal{K}) est donc constante au cours du temps :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}\vec{P}_{(\mathcal{K})}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{\vec{P}}_{(\mathcal{K})}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2026, Q36

   Dans le référentiel lié au tuyau, supposé galiléen, le théorème de la résultante cinétique appliqué au système fermé (\mathcal{K}) s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{(\mathcal{K})}}{\mathrm{d}t} = \sum \vec{F}_{\text{ext}}

   D'après la question précédente (Q35), la quantité de mouvement de (\mathcal{K}) est constante au cours du temps (\mathrm{d}\vec{P}_{(\mathcal{K})}/\mathrm{d}t = \vec{0}), ce qui conduit à l'équilibre des forces :

   \boxed{ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} }

   Les actions mécaniques extérieures appliquées au système (\mathcal{K}) sont :

   • les forces de pression exercées par le fluide extérieur sur les deux sections planes d'entrée (z = 0) et de sortie (z = e) du cylindre ;
   • les forces de frottement visqueux (ou de cisaillement) exercées par le fluide environnant sur la surface latérale du cylindre (en r) ;
   • le poids du fluide contenu dans (\mathcal{K}) (actions gravitationnelles).

   Résultat

   $$\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2025, Q40

   On applique le premier principe de la thermodynamique en système ouvert (ou théorème de Bernoulli généralisé) à l'écoulement d'eau supposé incompressible de masse volumique \rho, entre la surface libre du réservoir (état d'entrée noté \text{e}) et l'orifice de sortie du tuyau de refoulement (état de sortie noté \text{s}) :

   • À la surface du réservoir : l'altitude est z_{\mathrm{e}}, la pression est P_{\mathrm{e}} = P_{\mathrm{atm}} et la vitesse est négligeable (v_{\mathrm{e}} \approx 0) car la section du réservoir S = 100\text{ m}^2 est très grande devant celle du tuyau.
   • À la sortie du tuyau de refoulement débouchant dans l'air libre : l'altitude est z_{\mathrm{s}}, la pression est P_{\mathrm{s}} = P_{\mathrm{atm}} et la vitesse du fluide vaut v_{\mathrm{s}} = v.

   La vitesse d'écoulement v dans le tuyau de section droite s = \frac{\pi d^2}{4} s'exprime en fonction du débit volumique D_{\mathrm{v}} par :

   v = \frac{D_{\mathrm{v}}}{s} = \frac{4 D_{\mathrm{v}}}{\pi d^2}

   En l'absence de pertes de charge, le bilan d'énergie mécanique volumique (Bernoulli avec apport de travail utile) s'écrit :

   \left( P_{\mathrm{s}} + \rho g z_{\mathrm{s}} + \frac{1}{2}\rho v^2 \right) - \left( P_{\mathrm{e}} + \rho g z_{\mathrm{e}} + \frac{1}{2}\rho v_{\mathrm{e}}^2 \right) = \frac{\mathcal{P}_{\text{fluide}}}{D_{\mathrm{v}}}

   Comme P_{\mathrm{s}} = P_{\mathrm{e}} = P_{\mathrm{atm}} et v_{\mathrm{e}} \approx 0, la puissance mécanique cédée par la pompe au fluide s'écrit :

   \mathcal{P}_{\text{fluide}} = D_{\mathrm{v}} \left[ \rho g (z_{\mathrm{s}} - z_{\mathrm{e}}) + \frac{1}{2}\rho v^2 \right] = \rho D_{\mathrm{v}} \left[ g(z_{\mathrm{s}} - z_{\mathrm{e}}) + \frac{8 D_{\mathrm{v}}^2}{\pi^2 d^4} \right]

   Par définition du rendement électromécanique de la pompe, r = \frac{\mathcal{P}_{\text{fluide}}}{\mathcal{P}_{\mathrm{e}}}, d'où l'expression littérale de la puissance électrique \mathcal{P}_{\mathrm{e}} :

   \boxed{\mathcal{P}_{\mathrm{e}} = \frac{\rho D_{\mathrm{v}}}{r}\left[ g(z_{\mathrm{s}} - z_{\mathrm{e}}) + \frac{8 D_{\mathrm{v}}^2}{\pi^2 d^4} \right]}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{\mathrm{e}}=\frac{\rho D_{\mathrm{v}}}{r}\left[g(z_{\mathrm{s}}-z_{\mathrm{e}})+\frac{8D_{\mathrm{v}}^2}{{\pi }^2{d}^4}\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2025, Q43

   D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à une masse d'eau traversant l'installation en écoulement stationnaire, ou d'après le théorème de Bernoulli généralisé avec pertes de charge, la puissance mécanique utile \mathcal{P}_{\mathrm{u}}' transmise par la pompe au fluide s'écrit :

   \mathcal{P}_{\mathrm{u}}' = \mathcal{P}_{\mathrm{u}} + D_{\mathrm{v}} \Delta P_{\mathrm{c}}

   où \mathcal{P}_{\mathrm{u}} désigne la puissance utile sans pertes de charge (déterminée à la question Q40) et D_{\mathrm{v}} \Delta P_{\mathrm{c}} représente la puissance dissipée par frottement visqueux au sein de la canalisation.

   Le rendement électromécanique de la pompe étant défini par r = \dfrac{\mathcal{P}_{\mathrm{u}}'}{\mathcal{P}'_{\mathrm{e}}}, on a :

   \mathcal{P}'_{\mathrm{e}} = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{u}}'}{r} = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{u}} + D_{\mathrm{v}} \Delta P_{\mathrm{c}}}{r}

   Comme la puissance électrique sans pertes de charge s'exprime par \mathcal{P}_{\mathrm{e}} = \dfrac{\mathcal{P}_{\mathrm{u}}}{r}, on en déduit immédiatement :

   \boxed{\mathcal{P}'_{\mathrm{e}} = \mathcal{P}_{\mathrm{e}} + \frac{D_{\mathrm{v}} \Delta P_{\mathrm{c}}}{r}}

   Application numérique :

   • \mathcal{P}_{\mathrm{e}} = 186\text{ W} ;
   • D_{\mathrm{v}} = 2\text{ L}\cdot\mathrm{s}^{-1} = 2{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1} ;
   • \Delta P_{\mathrm{c}} = 1{,}4 \cdot 10^4\text{ Pa} ;
   • r = 0{,}75 = \dfrac{3}{4}.

   Le surcroît de puissance électrique requis pour vaincre les pertes de charge est :

   \Delta \mathcal{P}_{\mathrm{e}} = \frac{2{,}0 \cdot 10^{-3} \times 1{,}4 \cdot 10^4}{0{,}75} = \frac{28}{0{,}75} = \frac{112}{3} \approx 37{,}3\text{ W}

   D'où la puissance électrique totale nécessaire :

   \mathcal{P}'_{\mathrm{e}} = 186 + 37{,}3 = 223{,}3\text{ W}

   \boxed{\mathcal{P}'_{\mathrm{e}} \approx 223\text{ W}}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{\mathrm{e}}^{\prime }={\mathcal{P}}_{\mathrm{e}}+\frac{D_{\mathrm{v}}\Delta P_{\mathrm{c}}}{r}$$

   $${\mathcal{P}}_{\mathrm{e}}^{\prime }\approx 223\text{ W}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2024, Q57

   Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, le volume d'eau traversant le barrage est \mathrm{d}V = D_{\mathrm{v}}\,\mathrm{d}t, soit une masse :

   \mathrm{d}m = \rho_{\mathrm{e}} D_{\mathrm{v}}\,\mathrm{d}t

   En chutant d'une hauteur H sous l'effet de la pesanteur, cette masse d'eau perd une énergie potentielle de pesanteur :

   \mathrm{d}E_{\mathrm{p}} = \mathrm{d}m\,g H = \rho_{\mathrm{e}} D_{\mathrm{v}} g H\,\mathrm{d}t

   La puissance hydroélectrique maximale récupérable (en supposant un rendement unitaire de conversion) s'écrit donc :

   \mathcal{P} = \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}t} = \rho_{\mathrm{e}} D_{\mathrm{v}} g H

   Le débit volumique annuel moyen est donné par D_{\mathrm{v},\text{an}} = 2{,}0\cdot 10^{10}\text{ m}^3\cdot\text{an}^{-1}. En estimant la durée d'une année à :

   \Delta t_{\text{an}} \approx 365{,}25 \times 24 \times 3600\text{ s} \approx 3{,}15\cdot 10^7\text{ s} \approx 3\cdot 10^7\text{ s}

   le débit volumique moyen en \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1} vaut :

   D_{\mathrm{v}} = \frac{D_{\mathrm{v},\text{an}}}{\Delta t_{\text{an}}} \approx \frac{2{,}0\cdot 10^{10}}{3{,}15\cdot 10^7} \approx 6{,}3\cdot 10^2\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}

   Avec \rho_{\mathrm{e}} = 1\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et H = 305\text{ m} :

   \mathcal{P} = 1\cdot 10^3 \times 6{,}3\cdot 10^2 \times 10 \times 305 \approx 1{,}9\cdot 10^9\text{ W}

   En arrondissant à un seul chiffre significatif :

   \boxed{\mathcal{P} \approx 2\cdot 10^9\text{ W} = 2\text{ GW}}

   Résultat

   $$\mathcal{P}\approx 2\cdot 10^9\text{ W}=2\text{ GW}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2024, Q58

   D'après la question Q57, la puissance hydroélectrique moyenne pouvant être récupérée par le barrage de Jinping I est de l'ordre de :

   \mathcal{P} \approx 2\text{ GW} = 2\cdot 10^9\text{ W}.

   Une tranche nucléaire usuelle (réacteur à eau pressurisée REP) délivre une puissance électrique typique de l'ordre de 1\text{ GW} (entre 900\text{ MW} et 1\,450\text{ MW} pour le parc français, et jusqu'à 1{,}6\text{ GW} pour un réacteur EPR). Une centrale nucléaire comportant généralement entre 2 et 4 réacteurs, la puissance électrique totale d'un tel site est comprise entre quelques gigawatts et une dizaine de gigawatts (typiquement de 2\text{ à }5\text{ GW}).

   Par conséquent, la puissance moyenne délivrée par ce grand barrage hydroélectrique est :

   \boxed{\text{du même ordre de grandeur que celle produite par une centrale nucléaire (de l'ordre du gigawatt, } 10^9\text{ W}).}

   Elle équivaut à elle seule à la production électrique continue d'environ deux tranches nucléaires de forte puissance.

   Résultat

   $$\text{du meˆme ordre de grandeur que celle produite par une centrale nucleˊaire (de l’ordre du gigawatt, }10^9\text{ W}).$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question