Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2026

On se place dans le référentiel lié à la conduite, supposé galiléen.

On définit le système fermé S_{\mathrm{F}} constitué :

• à l'instant t : du fluide présent dans la surface de contrôle \Sigma(t), auquel s'ajoute la masse élémentaire de fluide \delta m_{\mathrm{e}} s'apprêtant à y pénétrer pendant l'intervalle [t, t+\mathrm{d}t] ;
• à l'instant t+\mathrm{d}t : de ce même ensemble de matière, qui occupe désormais le volume intérieur de la surface de contrôle \Sigma(t+\mathrm{d}t), auquel s'ajoute la masse élémentaire \delta m_{\mathrm{s}} sortie de la surface de contrôle pendant \mathrm{d}t.

Le fluide étant incompressible de masse volumique \mu et le régime étant permanent (débit volumique Q uniforme et constant dans le temps) :

La quantité de mouvement du système fermé s'écrit aux instants t et t+\mathrm{d}t :

L'écoulement étant stationnaire, la quantité de mouvement contenue dans la surface de contrôle fixe ne dépend pas du temps : \vec{p}_{\Sigma}(t+\mathrm{d}t) = \vec{p}_{\Sigma}(t).

La variation de quantité de mouvement du système fermé S_{\mathrm{F}} pendant la durée \mathrm{d}t est donc :

D'après le théorème de la quantité de mouvement appliqué au système fermé S_{\mathrm{F}} dans le référentiel galiléen :

où \vec{R}_{\mathrm{ext}} désigne la résultante des actions mécaniques extérieures appliquées à S_{\mathrm{F}}. On en déduit directement :

Considérons le système fermé S_{\mathrm{F}} défini à la question précédente. Aux instants t et t+\mathrm{d}t, son énergie cinétique se décompose selon :

où les tranches élémentaires de masse \mathrm{d}m = \mu Q\,\mathrm{d}t, animées respectivement des vitesses uniformes \vec{v}_{\mathrm{e}} et \vec{v}_{\mathrm{s}}, ont pour énergies cinétiques :

L'écoulement étant stationnaire, la répartition des vitesses dans le volume de contrôle \Sigma ne dépend pas du temps, d'où :

La variation d'énergie cinétique du système fermé s'écrit donc :

D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué au système fermé S_{\mathrm{F}} dans le référentiel d'étude galiléen :

En divisant par \mathrm{d}t, on obtient directement la relation demandée :

L'écoulement est supposé stationnaire et le fluide incompressible de masse volumique \mu constante. D'après l'équation de conservation de la masse (ou de continuité), le débit volumique Q se conserve le long du tuyau :

La vitesse étant uniforme sur chaque section droite d'aire A et dirigée selon le vecteur tangent \widehat{t}(M), le flux de vitesse s'écrit simplement :

L'aire A de la section droite étant constante tout le long du tuyau, la norme de la vitesse l'est également :

Considérons le système fermé S_{\mathrm{F}}(t) coïncidant à l'instant t avec le volume de contrôle constitué de la paroi du tuyau et du fluide contenu entre les sections droites en M_1 et M_2.

Dans le plan horizontal (la pesanteur étant compensée par la réaction normale du sol et les frottements étant nuls), les actions mécaniques extérieures s'exerçant sur S_{\mathrm{F}}(t) sont localisées aux deux sections d'extrémité :

• En amont (M_1) :

  • La force de surpression exercée par le fluide amont, dirigée vers l'intérieur du volume de contrôle selon la normale entrante :

    \vec{F}_{p,1} = p A\,\widehat{t}(M_1)

  • L'action mécanique exercée par le tuyau amont, représentée sur la figure 3 par la force :

    -\vec{T}_1 = - T(M_1)\,\widehat{t}(M_1)

• En aval (M_2) :

  • La force de surpression exercée par le fluide aval, dirigée vers l'intérieur du volume de contrôle selon la normale entrante :

    \vec{F}_{p,2} = - p A\,\widehat{t}(M_2)

  • L'action mécanique exercée par le tuyau aval, représentée sur la figure 3 par la force :

    \vec{T}_2 = T(M_2)\,\widehat{t}(M_2)

La résultante des actions extérieures s'écrit donc :

D'après le bilan de quantité de mouvement établi à la question Q1, en régime permanent :

avec \vec{v}_{\mathrm{e}} = v\,\widehat{t}(M_1) et \vec{v}_{\mathrm{s}} = v\,\widehat{t}(M_2) d'après la question Q3. Il vient :

soit, en regroupant les termes :

Puisque les points M_1 et M_2 sont quelconques et que les vecteurs unitaires tangents \widehat{t}(M_1) et \widehat{t}(M_2) ne sont pas colinéaires, cette égalité vectorielle impose l'annulation de chacun des deux coefficients :

On en déduit que la tension est constante tout le long du tuyau :

1. Expression de v_{\mathrm{s}} :

L'écoulement étant incompressible et permanent, le débit volumique Q se conserve le long de la lance entre la section d'entrée A et la section de sortie A_{\mathrm{s}} :

On en déduit immédiatement :

2. Expression de la force \vec{F} :

Considérons le système fermé S_{\mathrm{F}}(t) coïncidant à l'instant t avec la lance et le fluide qu'elle contient. L'écoulement étant permanent, le bilan de quantité de mouvement établi à la question Q1 s'écrit :

avec \vec{v} = v\,\widehat{t}_{\mathrm{s}} et \vec{v}_{\mathrm{s}} = v_{\mathrm{s}}\,\widehat{t}_{\mathrm{s}}.

Dressons l'inventaire des actions mécaniques extérieures s'exerçant sur le système :

• La force \vec{F} exercée par le pompier sur la lance ;

• En entrée (section A), la force exercée par la partie amont (tuyau et fluide) :

  • la force de pression de l'eau : + p A\,\widehat{t}_{\mathrm{s}} ;
  • la tension exercée par le tuyau souple : -\vec{T} = -T\,\widehat{t}_{\mathrm{s}} (force de rappel vers l'amont) ;
• En sortie (section A_{\mathrm{s}}), le fluide débouche à l'air libre : en surpression, la pression relative est nulle (p_{\mathrm{s}} = 0) ;
• Sur la paroi extérieure de la lance, la surpression atmosphérique est nulle.

La résultante des actions extérieures s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q4, la tension du tuyau vaut T = p A + \mu Q v, ce qui donne p A - T = -\mu Q v. Par conséquent :

En injectant cette expression dans le bilan de quantité de mouvement :

3. Action du pompier sur la lance :

Puisque \mu > 0 et Q > 0, le vecteur \vec{F} est colinéaire et de même sens que la vitesse d'éjection \vec{v}_{\mathrm{s}} : il est dirigé vers l'avant (vers l'aval).

Pour maintenir la lance immobile, le pompier doit donc pousser sur la lance dans le sens de l'éjection.

Considérons la lance seule, modélisée comme un solide de masse négligeable, en équilibre mécanique dans le référentiel d'étude terrestre supposé galiléen.

Ce système est soumis à trois actions mécaniques extérieures :

• la force exercée par la paroi du tuyau amont : le tuyau souple étant sous tension T, il exerce une force de traction dirigée vers l'amont, c'est-à-dire dans le sens opposé à l'écoulement :

  \vec{T}_{\text{tuyau}\to\text{lance}} = - T\,\widehat{t_{\mathrm{s}}}
• la force exercée par le pompier sur la lance : \vec{F} = F\,\widehat{t_{\mathrm{s}}} ;
• la résultante des actions exercées par l'eau sur la paroi interne de la lance : \vec{F}_{\text{eau}} = F_{\text{eau}}\,\widehat{t_{\mathrm{s}}}.

À l'équilibre statique de la lance, le principe fondamental de la statique impose :

Soit vectoriellement :

En projetant cette relation sur le vecteur unitaire \widehat{t_{\mathrm{s}}}, on obtient :

1. Relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie de la lance

L'écoulement est supposé parfait, incompressible, homogène et stationnaire, et les effets de la pesanteur sont négligés. Le théorème de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant entre l'entrée de la lance (surpression p, vitesse v) et la sortie à l'air libre (surpression nulle p_{\mathrm{s}} = 0, vitesse v_{\mathrm{s}}) :

On en déduit l'expression de la surpression à l'entrée de la lance :

2. Expression de la tension T et identification de k_1

D'après la question Q3, la conservation du débit volumique donne v = \frac{Q}{A} et d'après la question Q5, v_{\mathrm{s}} = \frac{Q}{A_{\mathrm{s}}} = v \frac{A}{A_{\mathrm{s}}}. La surpression s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q4, la tension dans le tuyau est donnée par :

On obtient bien la forme demandée :

3. Expression de F_{\text{eau}} et identification de k_2

D'après la question Q6, on a F_{\text{eau}} = T - F. Or, d'après la question Q5, la force exercée par le pompier a pour norme :

En effectuant la différence, il vient :

On a donc bien :

4. Sens de l'action de l'eau sur la lance et comparaison entre T et F_{\text{eau}}

Comme A > A_{\mathrm{s}}, on a \frac{A}{A_{\mathrm{s}}} > 1, ce qui assure k_2 > 0 et donc F_{\text{eau}} > 0.

• L'action exercée par l'eau sur la lance, \vec{F}_{\text{eau}} = F_{\text{eau}}\,\widehat{t}_{\mathrm{s}}, est dirigée vers l'aval (dans le sens de l'écoulement, vers l'avant).

• D'après la relation F_{\text{eau}} = T - F, on a :

  T - F_{\text{eau}} = F = \mu Q v_{\mathrm{s}} > 0 \implies \boxed{T > F_{\text{eau}}}

Commençons par exprimer les données dans les unités du système international :

• \mu = 10^{3}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
• A = 10\times 10^{-3}\text{ m}^{2} = 10^{-2}\text{ m}^{2},
• A_{\mathrm{s}} = 0{,}5\times 10^{-3}\text{ m}^{2},
• Q = 600\text{ L}\cdot\text{min}^{-1} = \frac{600\times 10^{-3}\text{ m}^{3}}{60\text{ s}} = 10\times 10^{-3}\text{ m}^{3}\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-2}\text{ m}^{3}\cdot\text{s}^{-1}.

Le rapport de réduction de section vaut :

La vitesse de l'eau dans le tuyau et la vitesse d'éjection en sortie s'en déduisent :

D'après le résultat de la question Q5, la norme de la force exercée par le pompier est :

L'application numérique donne :

D'après la question Q7, la composante de l'action de l'eau sur la lance s'écrit :

Le facteur commun vaut :

Le coefficient adimensionnel est :

On en déduit :

Soit, avec un chiffre significatif :

Dans le jet libre au-dessus de la sortie, le fluide est en contact avec l'air ambiant. Les frottements avec l'air étant négligés et la pression extérieure étant uniforme, la pression au sein du jet est partout égale à la pression atmosphérique :

L'écoulement étant stationnaire, incompressible et le fluide supposé parfait, on applique la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant entre la sortie du tuyau (cote z = 0, vitesse v_{\mathrm{s}}) et le sommet de la trajectoire (cote z = h, vitesse nulle) :

On en déduit directement :

soit :

L'écoulement étant supposé parfait, stationnaire et incompressible, on applique le théorème de Bernoulli le long d'une ligne de courant reliant le réseau d'alimentation (amont) à la sortie du rétrécissement (aval).

Conformément aux indications du sujet, la gravité n'intervient pas à l'intérieur de la conduite et l'on travaille directement avec les surpressions par rapport à la pression atmosphérique :

• dans le réseau de distribution : la surpression vaut p_0 et la vitesse est quasi-nulle (v_0 \approx 0) ;
• en sortie du rétrécissement : le jet débouche à l'air libre, sa surpression est nulle (p_{\mathrm{s}} = 0) et sa vitesse est v_{\mathrm{s}, m}.

La relation de Bernoulli s'écrit donc :

d'où l'expression de la vitesse d'éjection maximale :

D'après la question Q9, la hauteur atteinte par le jet est reliée à la vitesse de sortie par h_m = \dfrac{v_{\mathrm{s}, m}^2}{2g}. En injectant l'expression de v_{\mathrm{s}, m} :

L'expression obtenue pour h_m ne fait intervenir que la surpression p_0, la masse volumique de l'eau \mu et l'accélération de la pesanteur g. Cette hauteur n'est donc pas modifiée si l'on rétrécit la sortie dans le cadre du modèle du fluide parfait.

Application numérique : Avec p_0 = 3\text{ bar} = 3 \times 10^5\text{ Pa}, \mu = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Avec un seul chiffre significatif :

1. Nombres sans dimension dont dépend f

Le coefficient de perte de charge régulière f dépend de deux grandeurs adimensionnelles :

• le nombre de Reynolds de l'écoulement :

  Re = \frac{\mu v D}{\eta} = \frac{v D}{\nu}

  où \eta est la viscosité dynamique de l'eau et \nu = \eta / \mu sa viscosité cinématique ;

• la rugosité relative de la conduite :

  \varepsilon_{\mathrm{r}} = \frac{\varepsilon}{D}

  où \varepsilon désigne la hauteur moyenne des aspérités de la paroi interne du tuyau.

2. Nom de la représentation graphique

La représentation graphique donnant f en fonction du nombre de Reynolds Re pour différentes valeurs de la rugosité relative \varepsilon/D en coordonnées log-log est appelée le diagramme de Moody (ou abaque de Nikuradse).

3. Puissance mécanique dissipée P_{\text{dis}}

Considérons le système fermé S_{\mathrm{F}}(t) constitué du fluide présent dans la conduite de longueur L à l'instant t, ainsi que de la tranche infinitésimale de fluide entrant pendant \mathrm{d}t.

D'après le bilan d'énergie cinétique établi à la question Q2 :

Le diamètre D étant constant sur cette portion, l'incompressibilité du fluide impose l'égalité des vitesses en entrée et en sortie : v_1 = v_2 = v. La variation d'énergie cinétique est donc nulle :

Détaillons les puissances mises en jeu :

• la puissance des actions intérieures correspond aux déformations visqueuses irréversibles au sein du fluide, soit P_{\text{int}} = - P_{\text{dis}} avec P_{\text{dis}} > 0 la puissance dissipée ;

• la puissance des actions extérieures s'exerce par l'intermédiaire des forces de pression aux deux extrémités de la conduite et au niveau des parois. La paroi étant rigide et immobile, les forces de contact n'y travaillent pas. En travaillant avec les surpressions selon les conventions de l'énoncé, le travail des forces de pression en amont et en aval s'écrit :

  P_{\text{ext}} = p_1 A v - p_2 A v = (p_1 - p_2) Q

Il vient alors immédiatement :

soit :

L'eau étant considérée comme un fluide incompressible, le débit volumique Q se conserve le long de l'écoulement :

Appliquons le bilan d'énergie mécanique établi à la question Q2 au volume de contrôle compris entre le réseau de distribution (entrée notée \mathrm{e}, surpression p_0, vitesse v_{\mathrm{e}} \approx 0) et la sortie du rétrécissement (sortie notée \mathrm{s}, surpression nulle p_{\mathrm{s}} = 0, vitesse v_{\mathrm{s}}) :

• La puissance des forces de pression extérieures vaut P_{\mathrm{ext}} = (p_0 - p_{\mathrm{s}})Q = p_0 Q.

• La puissance des actions intérieures correspond à la puissance totale dissipée par viscosité P_{\mathrm{int}} = - P_{\mathrm{dis}}. D'après la question Q11, cette puissance dissipée s'exprime comme le produit du débit par la somme des pertes de pression :

  P_{\mathrm{dis}} = \left[\Delta p_{\text{conduite}} + \Delta p_{\text{singulière}}\right] Q = \left[\frac{1}{2}\mu v^2 \frac{L}{D} f + \frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{s}}^2 K\right] Q

En injectant ces expressions dans le bilan et en simplifiant par Q \neq 0 :

En remplaçant v par v_{\mathrm{s}}(d/D)^2, il vient :

Comme d'après la question Q10, p_0 = \frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{s},m}^2, on obtient :

Vérification de cohérence : lorsqu'on néglige toutes les pertes de charge (f = 0 et K = 0), le dénominateur se réduit à 1, et l'on retrouve bien v_{\mathrm{s}} = v_{\mathrm{s},m}.

D'après la question Q9, la hauteur atteinte par le jet s'écrit h = \dfrac{v_{\mathrm{s}}^2}{2g}. En utilisant h_m = \dfrac{v_{\mathrm{s},m}^2}{2g} (question Q10), on en déduit directement :

Les coefficients de perte de charge f et K ainsi que les grandeurs géométriques L, D, d étant strictement positifs, le terme correctif au dénominateur est strictement supérieur à 1 en présence de pertes :

Il n'est donc pas possible d'avoir un jet plus haut que h_m, cette valeur représentant la limite théorique absolue sans dissipation d'énergie mécanique.

D'après les résultats de la question Q12, la hauteur du jet et la vitesse de sortie s'écrivent :

avec h_m = 30\text{ m}, L = 25\text{ m}, D = 2{,}5\text{ cm} = 2{,}5 \cdot 10^{-2}\text{ m}, soit :

1. Avec le rétrécissement (d = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} et K = 0{,}5) :

Le terme de pertes régulières devient négligeable :

On en déduit :

2. Sans le rétrécissement (d = D et K = 0) :

D'où :

Avec un chiffre significatif, on obtient le tableau récapitulatif :

Explication physique : En rétrécissant la section de sortie, on réduit fortement le débit et donc la vitesse de l'eau dans la conduite, ce qui supprime quasiment toutes les pertes de charge régulières (proportionnelles à v^2) et permet de convertir presque toute la surpression p_0 en énergie cinétique à la buse.

D'après la loi de Laplace fournie par l'énoncé :

Une différence de pression s'exprime en pascals ({\mathrm{Pa}}, soit des {\mathrm{N/m^{2}}}), et les rayons de courbure R_1 et R_2 ont la dimension d'une longueur ({\mathrm{m}}). Il vient donc :

De manière équivalente, à partir de l'énergie potentielle de surface E_p = \alpha S, où une énergie s'exprime en joules ({\mathrm{J}}) et une aire en mètres carrés ({\mathrm{m^{2}}}) :

Dans le Système International d'unités (unités de base), sachant qu'1{\mathrm{N}} = 1{\mathrm{kg\cdot cdot\cdot m/s^{2}}} :

Avant perturbation, la tranche de fluide est un cylindre de rayon R_0 et de longueur \lambda. Son volume est donc :

En présence de la perturbation, le rayon local s'écrit r(z) = R + \varepsilon \sin(kz) avec k = \frac{2\pi}{\lambda}. Le volume de la tranche comprise entre -\lambda/2 et \lambda/2 s'obtient en intégrant les sections droites le long de l'axe z :

Calculons les trois intégrales sur une période spatiale \lambda :

• \displaystyle \int_{-\lambda/2}^{\lambda/2} R^2\,\mathrm{d}z = R^2 \lambda
• \displaystyle \int_{-\lambda/2}^{\lambda/2} 2 R \varepsilon \sin(kz)\,\mathrm{d}z = 0 (la fonction sinus est impaire et intégrée sur une période centrée en 0)
• \displaystyle \int_{-\lambda/2}^{\lambda/2} \varepsilon^2 \sin^2(kz)\,\mathrm{d}z = \varepsilon^2 \frac{\lambda}{2} (la valeur moyenne de \sin^2 vaut 1/2)

Il vient ainsi :

Le fluide étant incompressible, le volume de la tranche est conservé (V = V_0), d'où :

Comme \varepsilon \ll R_0, on effectue un développement limité à l'ordre 2 en \varepsilon/R_0 à l'aide de la formule (1 - u)^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}u + o(u) :

Le profil du rayon est donné par r(z) = R + \varepsilon \sin(kz), d'où :

Au second ordre en \varepsilon, le terme sous la racine se développe selon :

En multipliant par r(z) = R + \varepsilon \sin(kz) et sachant que R = R_0 + \mathcal{O}(\varepsilon^2), il vient au second ordre :

L'aire latérale S s'obtient en intégrant sur une période [-\lambda/2, \, \lambda/2] de longueur \lambda = 2\pi/k :

On obtient ainsi :

D'après le résultat de la question Q15, la conservation du volume impose :

En injectant cette relation dans l'expression de S :

On identifie bien la forme demandée S = 2\pi R_0 \lambda (1 + \gamma \varepsilon^2) avec :

L'énergie potentielle associée à la tranche est E_p = \alpha S. L'état non perturbé (\varepsilon = 0) est un état d'équilibre. Cet équilibre est stable si et seulement si l'énergie potentielle y présente un minimum strict, c'est-à-dire si une déformation augmente l'aire de la surface latérale (\Delta S > 0), soit :

Comme k = \frac{2\pi}{\lambda}, cette condition se réécrit :

La perturbation n'est donc stable que si \lambda < \lambda_\ell, avec :

À l'ordre 1 en \varepsilon, le rayon du jet s'écrit r(z) = R_0 + \varepsilon \sin(kz). On a :

Comme \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}z}\right)^2 = \mathcal{O}(\varepsilon^2), les dénominateurs des rayons de courbure se réduisent à 1 à l'ordre 1 :

D'après la loi de Laplace donnée dans l'énoncé, l'écart de pression entre l'intérieur et l'extérieur du jet est :

En factorisant par \varepsilon \sin(kz) :

En rappelant l'expression du coefficient \gamma = \frac{1}{4}\left(k^2 - \frac{1}{R_0^2}\right) obtenue à la question précédente (Q16), soit k^2 - \frac{1}{R_0^2} = 4\gamma, il vient :

Condition de stabilité :

• Dans une zone de renflement (r(z) > R_0), \sin(kz) > 0.
• Dans une zone de striction (r(z) < R_0), \sin(kz) < 0.

Pour que l'écart de pression ait un effet modérateur, il doit repousser le fluide du renflement vers la striction. Il faut donc que la surpression interne soit plus forte au niveau du renflement qu'au niveau du col :

Ceci impose que le coefficient devant \varepsilon \sin(kz) soit strictement positif :

En réinjectant l'expression de \gamma :

soit finalement :

On retrouve bien la condition de stabilité obtenue à la question Q16.

Les grandeurs physiques intervenant dans le phénomène ont pour dimensions respectives :

On cherche une loi de puissance de la forme :

L'équation aux dimensions associée s'écrit :

Par identification des exposants de chaque unité de base :

Ce système conduit directement à :

À une constante sans dimension près (que l'on prend égale à l'unité), le temps typique de brisure du jet s'exprime sous la forme :

Le fluide étant homogène et incompressible de masse volumique \mu, la cote du centre d'inertie de la tranche s'écrit :

Par symétrie axiale autour de l'axe Oz, le volume infinitésimal d'une tranche d'épaisseur \mathrm{d}z située à la cote z est :

Au premier ordre en \varepsilon, en prenant R = R_0 :

Calculons d'abord le volume V de la tranche comprise entre z = -\lambda/4 et z = +\lambda/4 :

La fonction \sin(kz) étant impaire et l'intervalle d'intégration centré en zéro, la seconde intégrale est rigoureusement nulle :

Calculons maintenant le moment statique :

L'intégrale de la fonction impaire z est nulle. La fonction z\sin(kz) étant paire, il vient :

Sachant que k = \frac{2\pi}{\lambda}, pour z = \lambda/4, on a k z = \pi/2. Posons le changement de variable u = kz (\mathrm{d}u = k\,\mathrm{d}z) :

Le moment statique vaut donc :

On en déduit la cote du centre de gravité z_G :

On obtient bien la forme demandée :

1. Bilan des forces et relation fondamentale de la dynamique

On considère la tranche de fluide comprise entre z = -\lambda/4 et z = +\lambda/4. Au premier ordre en \varepsilon, son volume est V \approx \pi R_0^2 \frac{\lambda}{2}, soit une masse :

D'après la question 19, la cote de son centre de gravité vérifie z_G = \sigma \lambda \frac{\varepsilon}{R_0}, d'où son accélération :

La résultante des forces de pression s'exerçant sur les deux extrémités planes de section S \approx \pi R_0^2 suivant l'axe vertical (Oz) s'écrit :

D'après le résultat de la question 17 :

Comme k \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}, on a \sin\left(k\frac{\lambda}{4}\right) = 1 et \sin\left(-k\frac{\lambda}{4}\right) = -1, d'où :

La force axiale motrice est donc :

En appliquant le principe fondamental de la dynamique au centre d'inertie de la tranche (M \ddot{z}_G = F_z) :

En simplifiant par \pi R_0^2 et en réorganisant :

En utilisant \lambda = \frac{2\pi}{k}, soit \frac{4}{\lambda^2} = \frac{k^2}{\pi^2}, on obtient :

En introduisant le temps typique \tau_h = \sqrt{\frac{\mu R_0^3}{\alpha}} de la question 18 et la variable sans dimension \xi = k R_0, l'équation différentielle s'écrit :

2. Discussion de la forme des solutions et stabilité

• Si \xi > 1, c'est-à-dire k > \frac{1}{R_0} soit \lambda < 2\pi R_0 = \lambda_\ell : le terme multiplicatif de \varepsilon est positif, l'équation est de type oscillateur harmonique \ddot{\varepsilon} + \omega^2 \varepsilon = 0. La perturbation oscille à pulsation constante sans amplification : le jet cylindrique est stable.
• Si \xi < 1, c'est-à-dire k < \frac{1}{R_0} soit \lambda > \lambda_\ell : l'équation est de la forme \ddot{\varepsilon} - \frac{1}{\tau_k^2}\varepsilon = 0. Le jet est instable.

On retrouve exactement la condition de stabilité établie à la question 16 (\lambda < \lambda_\ell).

3. Temps caractéristique d'instabilité \tau_k

Dans le cas instable (\xi < 1), la solution générale est :

Pour toute condition initiale générique (C_1 \neq 0), l'amplitude croît exponentiellement selon \exp(+t/\tau_k) avec un temps caractéristique donné par :

Remarque : avec la valeur \sigma = \frac{2}{\pi^2} obtenue à la question 19, on a simplement \tau_k = \frac{\sqrt{2}\,\tau_h}{\xi \sqrt{1 - \xi^2}}.

4. Temps minimal \tau_{\min} et longueur d'onde la plus instable \lambda_c

Le temps \tau_k est minimal lorsque la quantité sous le radical, g(\xi) = \xi^2(1 - \xi^2) = \xi^2 - \xi^4, est maximale pour \xi \in ]0, 1[. En posant u = \xi^2 :

Le maximum de g vaut g(\xi_c) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}. La valeur minimale de \tau_k est donc :

La longueur d'onde associée à ce mode de croissance le plus rapide est :

1. Sélection de la longueur d'onde \lambda_c

Le jet d'eau subit en pratique un spectre continu de perturbations de faible amplitude (bruit mécanique, vibrations, fluctuations d'écoulement). D'après la question Q20, chaque mode instable (k < 1/R_0, soit \lambda > 2\pi R_0) croît en \exp(+t/\tau_k).

Le mode de longueur d'onde \lambda_c présente le temps caractéristique le plus faible \tau_{\min}, c'est-à-dire le taux de croissance \omega = 1/\tau_k maximal :

Ce mode domine très rapidement tous les autres. Les pincements (ou strictions) se développent périodiquement avec la période spatiale \lambda_c, et le jet se fragmente en fractions de longueur \lambda_c.

2. Rayon des gouttes sphériques

Considérons une fraction de jet cylindrique de longueur \lambda_c et de rayon initial R_0. Par incompressibilité du fluide, son volume se conserve intégralement lorsqu'il se rassemble en une goutte sphérique unique de rayon R_g :

En égalant ces deux volumes :

En injectant l'expression \lambda_c = 2\sqrt{2}\pi R_0 établie à la question Q20 :

3. Comparaison des surfaces d'interface et commentaire

Pour une portion de longueur \lambda_c :

• L'aire latérale initiale du cylindre vaut :

  S_{\text{initiale}} = 2\pi R_0 \lambda_c = 2\pi R_0 (2\sqrt{2}\pi R_0) = 4\sqrt{2}\pi^2 R_0^2 \approx 55{,}8\,R_0^2

• L'aire de la goutte sphérique formée vaut :

  S_{\text{finale}} = 4\pi R_g^2 = 4\pi R_0^2 \left(\frac{3\pi}{\sqrt{2}}\right)^{2/3} \approx 44{,}5\,R_0^2

Le rapport des aires s'écrit :

Commentaire : L'aire interfaciale diminue d'environ 20\,\% lors de la fragmentation. L'énergie potentielle capillaire E_p = \alpha S étant proportionnelle à la surface de l'interface, la rupture spontanée du jet cylindrique en gouttes sphériques s'accompagne d'une diminution de l'énergie libre de surface : c'est le moteur thermodynamique fondamental de l'instabilité de Rayleigh-Plateau.

1. Distance de fragmentation du jet

D'après la question 18, le temps typique de l'instabilité capillaire s'écrit :

Le jet sort d'un orifice de diamètre d = 4\text{ mm}, son rayon initial vaut donc :

Avec \mu = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \alpha = 7{,}2\cdot 10^{-2}\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} :

On en déduit :

Le temps caractéristique de brisure vaut :

La vitesse du jet étant considérée comme constante sur la hauteur d'observation (v = 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), la distance de brisure depuis l'orifice s'écrit :

En respectant la consigne d'un chiffre significatif :

2. Fréquence des chocs sur l'évier

Le jet se divise en gouttes à partir de tronçons de longueur \lambda_c. D'après la question 20 :

Numériquement, avec 2\sqrt{2}\pi \approx 8{,}9 :

La fréquence f à laquelle les gouttes frappent l'évier correspond à la fréquence de détachement :

Application numérique :

Avec un chiffre significatif :