Feuille d'entraînement : Fluides visqueux

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 1 PSI 2026, Q11

   1. Nombres sans dimension dont dépend f

   Le coefficient de perte de charge régulière f dépend de deux grandeurs adimensionnelles :

   • le nombre de Reynolds de l'écoulement :

     Re = \frac{\mu v D}{\eta} = \frac{v D}{\nu}

     où \eta est la viscosité dynamique de l'eau et \nu = \eta / \mu sa viscosité cinématique ;

   • la rugosité relative de la conduite :

     \varepsilon_{\mathrm{r}} = \frac{\varepsilon}{D}

     où \varepsilon désigne la hauteur moyenne des aspérités de la paroi interne du tuyau.

   2. Nom de la représentation graphique

   La représentation graphique donnant f en fonction du nombre de Reynolds Re pour différentes valeurs de la rugosité relative \varepsilon/D en coordonnées log-log est appelée le diagramme de Moody (ou abaque de Nikuradse).

   3. Puissance mécanique dissipée P_{\text{dis}}

   Considérons le système fermé S_{\mathrm{F}}(t) constitué du fluide présent dans la conduite de longueur L à l'instant t, ainsi que de la tranche infinitésimale de fluide entrant pendant \mathrm{d}t.

   D'après le bilan d'énergie cinétique établi à la question Q2 :

   \frac{1}{2}\mu Q\left(v_2^2 - v_1^2\right) = P_{\text{int}} + P_{\text{ext}}

   Le diamètre D étant constant sur cette portion, l'incompressibilité du fluide impose l'égalité des vitesses en entrée et en sortie : v_1 = v_2 = v. La variation d'énergie cinétique est donc nulle :

   P_{\text{int}} + P_{\text{ext}} = 0

   Détaillons les puissances mises en jeu :

   • la puissance des actions intérieures correspond aux déformations visqueuses irréversibles au sein du fluide, soit P_{\text{int}} = - P_{\text{dis}} avec P_{\text{dis}} > 0 la puissance dissipée ;

   • la puissance des actions extérieures s'exerce par l'intermédiaire des forces de pression aux deux extrémités de la conduite et au niveau des parois. La paroi étant rigide et immobile, les forces de contact n'y travaillent pas. En travaillant avec les surpressions selon les conventions de l'énoncé, le travail des forces de pression en amont et en aval s'écrit :

     P_{\text{ext}} = p_1 A v - p_2 A v = (p_1 - p_2) Q

   Il vient alors immédiatement :

   - P_{\text{dis}} + (p_1 - p_2) Q = 0

   soit :

   \boxed{P_{\text{dis}} = (p_1 - p_2) Q}

   Résultat

   $$P_{\text{dis}}=(p_1-p_2)Q$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q30

   On applique le principe fondamental de la dynamique, dans le référentiel d'étude galiléen, au système constitué du cylindre de fluide de rayon r compris entre les abscisses x et x+L.

   L'écoulement étant stationnaire et unidirectionnel (\vec{v} = v(r)\vec{u}_x), le terme convectif d'accélération est nul :

   (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = v(r)\frac{\partial v}{\partial x}\vec{u}_x = \vec{0}

   L'accélération de chaque particule fluide est donc nulle. Le système est en équilibre dynamique :

   \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}

   En négligeant le poids devant les forces visqueuses et de pression, le bilan des forces extérieures appliquées à ce cylindre s'écrit :

   \vec{F}_{\text{amont}} + \vec{F}_{\text{aval}} + \vec{F}_{\text{visc}} = \vec{0}

   D'après les résultats des questions Q28 et Q29 :

   P_1 \pi r^2 \vec{u}_x - P_2 \pi r^2 \vec{u}_x + 2\pi r L \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}\vec{u}_x = \vec{0}

   En projetant sur \vec{u}_x et en divisant par 2\pi r \eta L (pour r \neq 0), on obtient :

   \begin{aligned} 2\pi r L \eta \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} &= -(P_1 - P_2)\pi r^2 \end{aligned}

   d'où l'équation différentielle demandée :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r} = -\frac{P_1 - P_2}{2\eta L}r}

   Par intégration directe par rapport à r, il vient :

   v(r) = -\frac{P_1 - P_2}{4\eta L}r^2 + C

   où C est une constante d'intégration.

   La condition aux limites d'adhérence à la paroi établie en Q27 impose v(R) = 0, soit :

   -\frac{P_1 - P_2}{4\eta L}R^2 + C = 0 \implies C = \frac{P_1 - P_2}{4\eta L}R^2

   On en déduit l'expression du profil de vitesse :

   v(r) = \frac{P_1 - P_2}{4\eta L}\left(R^2 - r^2\right)

   Le champ de vitesse dans le fluide s'écrit donc sous forme vectorielle :

   \boxed{\vec{v}(M) = \frac{P_1 - P_2}{4\eta L}\left(R^2 - r^2\right)\vec{u}_x}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}r}=-\frac{P_1-P_2}{2\eta L}r$$

   $$\vec{v}(M)=\frac{P_1-P_2}{4\eta L}\left(R^2-r^2\right){\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q31

   D'après la question Q30, la vitesse du fluide à la distance r de l'axe s'écrit :

   v(r) = \frac{P_1 - P_2}{4\eta L} \left(R^2 - r^2\right)

   Considérons une couronne circulaire élémentaire comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r. Sa surface vaut \mathrm{d}S = 2\pi r\,\mathrm{d}r. Le débit volumique élémentaire à travers cette surface s'écrit :

   \mathrm{d}D_v = v(r)\,\mathrm{d}S = 2\pi r v(r)\,\mathrm{d}r

   Le débit volumique total à travers toute la section droite du vaisseau s'obtient par intégration :

   \begin{aligned} D_v &= \int_0^R 2\pi r \frac{P_1 - P_2}{4\eta L}\left(R^2 - r^2\right)\mathrm{d}r \\ &= \frac{\pi (P_1 - P_2)}{2\eta L} \int_0^R \left(R^2 r - r^3\right)\mathrm{d}r \\ &= \frac{\pi (P_1 - P_2)}{2\eta L} \left[ \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^R \\ &= \frac{\pi (P_1 - P_2)}{2\eta L} \left(\frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4}\right) \end{aligned}

   On en déduit la loi de Poiseuille pour le débit volumique :

   \boxed{D_v = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\left(P_1 - P_2\right)}

   Par définition, la vitesse moyenne v_m de l'écoulement est reliée au débit volumique par la relation D_v = v_m S, avec S = \pi R^2 l'aire de la section transversale du vaisseau :

   v_m = \frac{D_v}{\pi R^2}

   En remplaçant D_v par son expression, on obtient :

   \boxed{v_m = \frac{R^2}{8\eta L}(P_1 - P_2)}

   Résultat

   $$D_v=\frac{\pi R^4}{8\eta L}\left(P_1-P_2\right)$$

   $$v_m=\frac{R^2}{8\eta L}(P_1-P_2)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique U PSI 2025, Q24

   Un élément de fluide de volume mésoscopique \mathrm{d}\tau porte une charge électrique nette \mathrm{d}q = \rho_e \, \mathrm{d}\tau.

   Soumis au champ électrostatique \vec{E}, cet élément subit la force électrique de Lorentz :

   \mathrm{d}\vec{F}_e = \mathrm{d}q \, \vec{E} = \rho_e \vec{E} \, \mathrm{d}\tau

   La densité volumique de force électrostatique s'écrit donc :

   \vec{f}_{\text{vol}} = \frac{\mathrm{d}\vec{F}_e}{\mathrm{d}\tau} = \rho_e \vec{E}

   En utilisant la relation locale reliant le champ électrique au potentiel électrostatique, \vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi, on obtient directement :

   \boxed{\vec{f}_{\text{vol}} = -\rho_e \overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi}

   Résultat

   $${\vec{f}}_{\text{vol}}=-{\rho }_e\overrightarrow{\mathrm{grad}}\varphi$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2025, Q25

   Le nombre de Reynolds \mathrm{Re} est un nombre sans dimension qui compare l'ordre de grandeur des effets inertiels à celui des effets visqueux au sein de l'écoulement d'un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta.

   Pour un écoulement caractérisé par une vitesse typique v et une longueur caractéristique L, il est défini par :

   \boxed{\mathrm{Re} = \frac{\rho v L}{\eta}}

   Résultat

   $$\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\eta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique U PSI 2025, Q27

   L'équation de Navier-Stokes s'écrit :

   \rho\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v}\right] = \eta \Delta \vec{v} - \overrightarrow{\operatorname{grad}} P + \vec{f}_{\text{vol}}

   avec \vec{f}_{\text{vol}} = -\rho_e \overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi d'après la question Q24.

   Examinons chacun des termes avec le champ de vitesse \vec{v} = v(z)\vec{e}_x :

   • L'écoulement étant recherché en régime stationnaire, on a :

     \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0}

   • Le terme convectif se développe à l'aide de la formule fournie :

     (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} = v(z) \frac{\partial}{\partial x}\big(v(z)\vec{e}_x\big) = \vec{0}

     puisque v ne dépend que de la variable z. Le terme d'accélération particulaire est donc rigoureusement nul.

   • Le laplacien vectoriel de \vec{v} s'écrit en coordonnées cartésiennes :

     \Delta \vec{v} = \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right)\vec{e}_x = \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}z^2}\,\vec{e}_x

   En injectant ces résultats, l'équation de Navier-Stokes se simplifie sous la forme :

   \boxed{\eta \frac{\mathrm{d}^2 v}{\mathrm{d}z^2}\,\vec{e}_x - \overrightarrow{\operatorname{grad}} P - \rho_e \overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi = \vec{0}}

   Résultat

   $$\eta \frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{z}^2}{\vec{e}}_x-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P-{\rho }_e\overrightarrow{\mathrm{grad}}\varphi =\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 1 PSI 2025, Q3

   Le nombre de Reynolds d'un écoulement en conduite cylindrique de diamètre intérieur d s'écrit :

   \mathcal{R} = \frac{\rho_0 v_0 d}{\eta}

   où \rho_0 est la masse volumique du fluide, v_0 la vitesse moyenne d'écoulement et \eta la viscosité dynamique.

   À l'aide des valeurs de l'énoncé et du diamètre d \simeq 5{,}8\text{ cm} obtenu à la question 1 :

   • \rho_0 = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3},
   • v_0 \simeq 38\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},
   • d \simeq 5{,}8 \times 10^{-2}\text{ m},
   • \eta = 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ Pa}\cdot\text{s}.

   L'application numérique donne :

   \mathcal{R} = \frac{1{,}0 \times 10^3 \times 38 \times 5{,}8 \times 10^{-2}}{1{,}0 \times 10^{-3}} \simeq 2{,}2 \times 10^6

   \boxed{\mathcal{R} = \frac{\rho_0 v_0 d}{\eta} \simeq 2{,}2 \times 10^6}

   Le nombre de Reynolds critique pour une conduite circulaire lisse étant \mathcal{R}_c \sim 2\,000 (comme visualisé sur le diagramme de Moody de la figure 3 au terme de la branche laminaire), on a ici \mathcal{R} \gg \mathcal{R}_c. L'écoulement de l'eau dans le tube du canon est donc nettement turbulent (en régime de turbulence pleinement développée).

   Résultat

   $$\mathcal{R}=\frac{{\rho }_0{v}_{0}d}{\eta }\simeq 2,2\times 10^6$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique PSI 2024, Q8

   1. Définition et interprétation du nombre de Reynolds

   Pour l'écoulement d'un fluide de masse volumique \rho_{\mathrm{a}} et de viscosité dynamique \eta autour d'un obstacle de dimension caractéristique L à une vitesse relative v, le nombre de Reynolds est une grandeur sans dimension définie par :

   Re = \frac{\rho_{\mathrm{a}} v L}{\eta}

   Physiquement, le nombre de Reynolds quantifie le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses au sein du fluide :

   Re \sim \frac{\|\text{forces d'inertie}\|}{\|\text{forces visqueuses}\|}

   • Si Re \ll 1 (ou de l'ordre de l'unité), les forces visqueuses prédominent : l'écoulement est laminaire (régime de Stokes), et la traînée est proportionnelle à la vitesse (\vec{F}_1).
   • Si Re \gg 1 (Re \gtrsim 10^3), les effets inertiels prédominent avec formation d'un sillage turbulent, et la force de frottement devient proportionnelle au carré de la vitesse (\vec{F}_2).

   2. Estimation de la vitesse de la goutte

   D'après le préambule de la partie I, la goutte décrit une orbite de rayon r \approx 1\text{ cm} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} avec une pseudo-période T \approx 3\text{ s}. En assimilant la trajectoire à un cercle sur un tour, la vitesse vaut en ordre de grandeur :

   v \approx \frac{2\pi r}{T} \approx \frac{2 \times 3{,}14 \times 1{,}0 \times 10^{-2}}{3} \approx 2{,}1 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 2\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1}

   3. Calcul d'ordre de grandeur de Re et choix de la force

   Pour une goutte sphérique de rayon R = 2\text{ mm} = 2 \times 10^{-3}\text{ m}, la dimension caractéristique est le diamètre L = 2R = 4 \times 10^{-3}\text{ m} (ou le rayon R). Avec les données de l'énoncé (\rho_{\mathrm{a}} = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta = 1{,}8 \times 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}) :

   \begin{aligned} Re &= \frac{1{,}2 \times (2{,}1 \times 10^{-2}) \times (4 \times 10^{-3})}{1{,}8 \times 10^{-5}} \approx 5{,}6 \sim 5 \end{aligned}

   (ou Re \approx 2{,}8 \sim 3 si l'on prend L = R).

   Le nombre de Reynolds obtenu est de l'ordre de quelques unités (Re \sim 1 \text{ à } 5) : il est très éloigné du domaine fortement turbulent/inertiel (Re \gtrsim 10^3) requis pour l'application d'une loi de traînée purement quadratique. L'écoulement reste dominé par la dissipation visqueuse (régime proche de celui de Stokes).

   \boxed{\text{On retient la force de frottement proportionnelle à la vitesse : } \vec{F}_1 = -k_1 \vec{v} = -6\pi\eta R \vec{v}}

   Résultat

   $$\text{On retient la force de frottement proportionnelle aˋ la vitesse : }{\vec{F}}_1=-k_1\vec{v}=-6\pi \eta R\vec{v}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2023, Q35

   Pour vaincre les pertes de charge \Delta P à travers le banc d'accumulateurs et assurer un écoulement à débit volumique Q_{V,e} d'un fluide incompressible, le ventilateur doit fournir au fluide une puissance utile (puissance aéraulique) donnée par :

   \mathcal{P}_{\text{utile}} = Q_{V,e} \Delta P

   En introduisant le rendement électromécanique \eta du ventilateur, la puissance électrique consommée \mathcal{P}_{\text{él}} s'exprime sous la forme :

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{él}} = \frac{Q_{V,e} \Delta P}{\eta}}

   Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

   • Q_{V,e} = 80\text{ m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1} = \frac{80}{3600}\text{ m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1} \approx 2{,}22 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1},
   • \Delta P = 10\text{ mbar} = 1{,}0 \times 10^3\text{ Pa},
   • \eta = 0{,}60,

   on obtient :

   \mathcal{P}_{\text{él}} = \frac{\frac{80}{3600} \times 1{,}0 \times 10^3}{0{,}60} \approx 37\text{ W}

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{él}} \approx 37\text{ W}}

   Commentaire :

   • Cette consommation électrique représente environ 25\text{ }\% de la puissance thermique évacuée par l'air (\mathcal{P} \approx 147\text{ W}, calculée à la question Q32), ce qui constitue un coût énergétique non négligeable pour le refroidissement à cette échelle.
   • Extrapolée à la batterie complète d'un véhicule électrique comptant environ 2000 accumulateurs (soit un facteur 2000 / 144 \approx 14), la puissance de ventilation serait de l'ordre de 500\text{ W}. Cette puissance est facilement délivrée par le réseau de bord d'un véhicule et demeure très modeste par rapport à la puissance du groupe motopropulseur (plusieurs dizaines à centaines de kilowatts).

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}=\frac{Q_{V,e}\Delta P}{\eta }$$

   $${\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}\approx 37\text{ W}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 1 PSI 2023, Q1

    Le nombre de Reynolds \mathcal{R}_e est un nombre adimensionnel caractéristique d'un écoulement fluide, défini par :

    \boxed{\mathcal{R}_e = \frac{\rho v L}{\eta} = \frac{v L}{\nu}}

    où :

    • \rho est la masse volumique du fluide,
    • v est une vitesse caractéristique de l'écoulement,
    • L est une dimension spatiale caractéristique du système (par exemple le diamètre D = 2R pour un écoulement en conduite cylindrique),
    • \eta est la viscosité dynamique du fluide,
    • \nu = \eta / \rho est sa viscosité cinématique.

    Sur le plan physique, le nombre de Reynolds compare l'ordre de grandeur des forces d'inertie (terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} dans l'équation de Navier-Stokes, d'ordre de grandeur \rho v^2 / L) à celui des forces de viscosité (terme de diffusion visqueuse \eta \Delta \vec{v}, d'ordre de grandeur \eta v / L^2) :

    \mathcal{R}_e \sim \frac{\|\text{forces d'inertie}\|}{\|\text{forces de viscosité}\|}.

    Résultat

    $${\mathcal{R}}_e=\frac{\rho vL}{\eta }=\frac{vL}{\nu }$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question