Feuille d'entraînement : Dynamique des fluides parfaits

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique U PSI 2026, Q7

   Considérons une particule fluide de masse constante \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V occupant un parallélépipède de dimensions (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) et de volume \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, animée de la vitesse \vec{v}(\vec{r}, t) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   Sa quantité de mouvement est :

   \mathrm{d}\vec{q} = \mathrm{d}m\,\vec{v} = \rho\,\mathrm{d}V\,\vec{v}.

   Le taux de variation temporel de \mathrm{d}\vec{q} s'écrit, pour cette particule fermée (\mathrm{d}m = \text{cte}) :

   \frac{\mathrm{d}(\mathrm{d}\vec{q})}{\mathrm{d}t} = \mathrm{d}m\,\frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = \rho\,\mathrm{d}V\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right].

   Le fluide étant parfait et les forces volumiques extérieures (comme la pesanteur) étant négligées, les seules forces agissant sur la particule sont les forces de pression. Évaluons la composante de la résultante de ces forces selon \vec{e}_x :

   • sur la face d'abscisse x, normale sortante -\vec{e}_x, la force reçue est P(x, y, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x ;
   • sur la face d'abscisse x + \mathrm{d}x, normale sortante +\vec{e}_x, la force reçue est -P(x+\mathrm{d}x, y, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x.

   Le bilan selon \vec{e}_x donne :

   \mathrm{d}F_{p,x} = [P(x, y, z, t) - P(x+\mathrm{d}x, y, z, t)]\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = -\frac{\partial P}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.

   Comme P(\vec{r}, t) = P_0 + p(\vec{r}, t) avec P_0 uniforme, \dfrac{\partial P}{\partial x} = \dfrac{\partial p}{\partial x}. En sommant sur les trois directions d'espace, la résultante des forces de pression s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{F}_p = -\vec{\operatorname{grad}} p \,\, \mathrm{d}V.

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule fluide :

   \rho\,\mathrm{d}V\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right] = -\vec{\operatorname{grad}} p \,\, \mathrm{d}V.

   Dans le cadre de l'approximation acoustique :

   • la vitesse v est du premier ordre en perturbation, donc le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim v^2/\lambda est d'ordre 2, tout à fait négligeable devant \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} \sim \omega v = \dfrac{c}{\lambda} v dès lors que v \ll c ;
   • la masse volumique \rho = \rho_0 + \rho est remplacée au premier ordre par \rho_0.

   En simplifiant par \mathrm{d}V, on obtient la relation d'Euler acoustique linéarisée :

   \boxed{\rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \simeq -\vec{\operatorname{grad}} p}

   Résultat

   $${\rho }_0\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\simeq -\overrightarrow{\mathrm{grad}}p$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 PSI 2026, Q9

   Dans le jet libre au-dessus de la sortie, le fluide est en contact avec l'air ambiant. Les frottements avec l'air étant négligés et la pression extérieure étant uniforme, la pression au sein du jet est partout égale à la pression atmosphérique :

   P = P_{\text{atm}}

   L'écoulement étant stationnaire, incompressible et le fluide supposé parfait, on applique la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant entre la sortie du tuyau (cote z = 0, vitesse v_{\mathrm{s}}) et le sommet de la trajectoire (cote z = h, vitesse nulle) :

   P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{s}}^{2} + \mu g \times 0 = P_{\text{atm}} + \frac{1}{2}\mu \times 0^{2} + \mu g h

   On en déduit directement :

   \frac{1}{2} v_{\mathrm{s}}^{2} = g h

   soit :

   \boxed{h = \frac{v_{\mathrm{s}}^{2}}{2g}}

   Résultat

   $$h=\frac{v_{\mathrm{s}}^2}{2g}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie PSI 2024, Q6

   Pour appliquer le théorème de Bernoulli, les conditions suivantes doivent être satisfaites :

   • le fluide est supposé parfait (viscosité négligée) ;
   • le fluide est homogène et incompressible (\mu = \text{cte}) ;
   • l'écoulement s'effectue en régime stationnaire ;
   • la seule force volumique à distance est la pesanteur, qui dérive d'une énergie potentielle volumique e_{\mathrm{p,vol}} = \mu g z.

   Ces conditions étant vérifiées, la quantité P + \frac{1}{2}\mu v^2 + \mu g z est constante le long d'une ligne de courant.

   On applique ce théorème entre :

   • un point \mathrm{E} situé à l'entrée du tube central à la surface libre : z_{\mathrm{e}} = 0, P(\mathrm{E}) = P_{\mathrm{e}} et v(\mathrm{E}) = v_{\mathrm{e}} ;
   • un point \mathrm{S} situé à la section de sortie de l'une des deux tuyères : z_{\mathrm{s}} = H, v(\mathrm{S}) = v_{\mathrm{s}}, et la pression y vaut la pression atmosphérique extérieure P(\mathrm{S}) = P_0 par continuité de la pression à la traversée de la surface libre d'un jet libre dans l'air.

   La relation de Bernoulli s'écrit :

   P_{\mathrm{e}} + \frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{e}}^2 + \mu g z_{\mathrm{e}} = P_0 + \frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{s}}^2 + \mu g z_{\mathrm{s}}

   Soit, avec z_{\mathrm{e}} = 0 et z_{\mathrm{s}} = H :

   P_{\mathrm{e}} = P_0 + \mu g H + \frac{1}{2}\mu (v_{\mathrm{s}}^2 - v_{\mathrm{e}}^2)

   D'après la question Q4, on a v_{\mathrm{e}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{S_{\mathrm{e}}} et v_{\mathrm{s}} = \dfrac{D_{\mathrm{v}}}{2S_{\mathrm{s}}}. On en déduit l'expression demandée :

   \boxed{P_{\mathrm{e}} = P_0 + \mu g H + \frac{1}{2}\mu D_{\mathrm{v}}^2 \left(\frac{1}{4S_{\mathrm{s}}^2} - \frac{1}{S_{\mathrm{e}}^2}\right)}

   Résultat

   $$P_{\mathrm{e}}=P_0+\mu gH+\frac{1}{2}\mu D_{\mathrm{v}}^2\left(\frac{1}{4S_{\mathrm{s}}^2}-\frac{1}{S_{\mathrm{e}}^2}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q11

   Considérons une ligne de courant reliant un point A situé à la surface libre du liquide à un point B situé au niveau de l'orifice de sortie :

   • au point A : cote z_A = h(t), pression P_A = P_0 (pression atmosphérique) et vitesse du fluide v_A = V(t) ;
   • au point B : cote z_B = 0, pression P_B = P_0 (jet libre dans l'air ambiant) et vitesse d'éjection v_B = v(t).

   Dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires, la relation de Bernoulli rappelée à la question Q10 s'écrit :

   P_0 + \frac{1}{2}\rho V(t)^2 + \rho g h(t) = P_0 + \frac{1}{2}\rho v(t)^2 + 0

   soit, en simplifiant par P_0 et en divisant par \frac{1}{2}\rho :

   v(t)^2 - V(t)^2 = 2gh(t)

   L'écoulement étant incompressible, le débit volumique se conserve le long du tube de courant, ce qui donne :

   D_v = S\,V(t) = s\,v(t) \implies V(t) = \frac{s}{S}\,v(t)

   L'équation devient alors :

   v(t)^2\left[1 - \left(\frac{s}{S}\right)^2\right] = 2gh(t)

   Comme s \ll S, le terme (s/S)^2 est tout à fait négligeable devant 1 (c'est-à-dire V^2 \ll v^2). On en déduit l'expression de la vitesse d'écoulement à travers l'orifice, connue sous le nom de formule de Torricelli :

   \boxed{v(t) = \sqrt{2gh(t)}}

   Résultat

   $$v(t)=\sqrt{2gh(t)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q18

   Considérons l'équation d'Euler (6) donnée par l'énoncé pour un fluide homogène de masse volumique \rho constante :

   \rho \left[ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \frac{1}{2} \vec{\mathrm{grad}}(\vec{u} \cdot \vec{u}) \right] = -\rho g \widehat{e}_z - \vec{\mathrm{grad}}(p)

   En divisant cette relation par la masse volumique \rho, constante dans l'espace et le temps, on obtient :

   \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \frac{1}{2} \vec{\mathrm{grad}}(\vec{u} \cdot \vec{u}) + g \widehat{e}_z + \frac{1}{\rho}\vec{\mathrm{grad}}(p) = \vec{0}

   Exprimons chaque terme sous la forme d'un gradient :

   • L'écoulement étant irrotationnel, \vec{u} = \vec{\mathrm{grad}}\,\phi. Par permutation des dérivées spatiales et temporelle (théorème de Schwarz), il vient :

     \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\vec{\mathrm{grad}}\,\phi\right) = \vec{\mathrm{grad}}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)

   • Le champ de pesanteur dérive de l'altitude z :

     g \widehat{e}_z = \vec{\mathrm{grad}}(gz)

   • Le fluide étant homogène (\rho = \mathrm{cste}) :

     \frac{1}{\rho}\vec{\mathrm{grad}}(p) = \vec{\mathrm{grad}}\left(\frac{p}{\rho}\right)

   En regroupant l'ensemble des termes sous l'opérateur gradient par linéarité, l'équation s'écrit :

   \vec{\mathrm{grad}}\left( \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2} \vec{u} \cdot \vec{u} + gz + \frac{p}{\rho} \right) = \vec{0}

   La nullité du gradient spatial implique que la quantité entre parenthèses ne dépend pas des coordonnées d'espace (x, z). Elle ne dépend donc que du temps t :

   \boxed{\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2} \vec{u} \cdot \vec{u} + gz + \frac{p}{\rho} = f(t)}

   Dans le cas d'un écoulement stationnaire (\partial / \partial t = 0), les grandeurs ne dépendent plus du temps, donc f(t) = \mathrm{cste}. On retrouve alors le théorème de Bernoulli (ou relation de Bernoulli) :

   \boxed{\frac{1}{2} u^2 + gz + \frac{p}{\rho} = \mathrm{cste}}

   Résultat

   $$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\frac{1}{2}\vec{u}\cdot \vec{u}+gz+\frac{p}{\rho }=f(t)$$

   $$\frac{1}{2}{u}^2+gz+\frac{p}{\rho }=\mathrm{cste}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q24

   D'après la question Q23, le potentiel des vitesses de la vague linéaire s'écrit :

   \phi(x,z,t) = \frac{A\omega}{k}\frac{\cosh[k(z+H)]}{\sinh(kH)}\sin(kx-\omega t)

   En évaluant ce potentiel en z=0, on obtient :

   \phi(x,0,t) = \frac{A\omega}{k\tanh(kH)}\sin(kx-\omega t)

   La dérivée temporelle de ce potentiel en surface vaut donc :

   \left.\frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{z=0} = -\frac{A\omega^2}{k\tanh(kH)}\cos(kx-\omega t)

   En injectant cette dérivée dans la condition aux limites dynamique linéarisée en z=0 :

   \eta(x,t) = -\left.\frac{1}{g}\frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{z=0} = \frac{A\omega^2}{gk\tanh(kH)}\cos(kx-\omega t)

   Or, le profil de la surface libre est donné par :

   \eta(x,t) = A\cos(kx-\omega t)

   L'identification de ces deux expressions pour toute position x et tout instant t impose :

   1 = \frac{\omega^2}{gk\tanh(kH)}

   d'où la relation de dispersion :

   \boxed{\omega^2 = g k \tanh(kH)}

   Résultat

   $${\omega }^2=gk\tanh (kH)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q25

   La vitesse de phase d'une onde monochromatique est définie par :

   v_{\varphi} = \frac{\omega}{k}

   En utilisant la relation de dispersion obtenue à la question Q24, \omega^2 = gk\tanh(kH), on en déduit l'expression générale de la vitesse de phase :

   \boxed{v_{\varphi} = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh(kH)}}

   La longueur d'onde étant reliée au nombre d'onde par \lambda = 2\pi/k, le produit adimensionné s'écrit :

   kH = 2\pi \frac{H}{\lambda}

   1. Cas d'une faible profondeur (eau peu profonde : H \ll \lambda) On a dans ce cas kH \ll 1. Au premier ordre de développement limité :

   \tanh(kH) \underset{kH \to 0}{=} kH + o(kH)

   L'expression de la vitesse de phase devient alors :

   \boxed{v_{\varphi} \approx \sqrt{gH}}

   2. Cas d'une grande profondeur (eau profonde : H \gg \lambda) On a cette fois kH \gg 1. La fonction tangente hyperbolique tend asymptotiquement vers 1 :

   \lim_{kH \to +\infty} \tanh(kH) = 1

   L'expression de la vitesse de phase se réduit à :

   \boxed{v_{\varphi} \approx \sqrt{\frac{g}{k}} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}}

   Résultat

   $$v_{\phi }=\sqrt{\frac{g}{k}\tanh (kH)}$$

   $$v_{\phi }\approx \sqrt{gH}$$

   $$v_{\phi }\approx \sqrt{\frac{g}{k}}=\sqrt{\frac{g\lambda }{2\pi }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2022, Q24

   Pour l'écoulement d'un fluide soumis au champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{e}_z, sous les hypothèses suivantes :

   • fluide parfait (viscosité négligeable) ;
   • écoulement stationnaire (\partial/\partial t = 0) ;
   • fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cste}) ;

   la grandeur scalaire, appelée constante de Bernoulli, est conservée le long d'une même ligne de courant :

   \boxed{P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante}}

   où P est la pression statique, v la norme de la vitesse du fluide et z l'altitude repérée selon l'axe vertical ascendant.

   Résultat

   $$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\text{constante}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2022, Q25

   1. Définition de la surface de contrôle \Sigma et du système fermé \Sigma^*

   On isole un tube de courant d'extension finie, de faible section, entourant une ligne de courant entre un point amont A (altitude z_A, pression P_A, vitesse v_A, section S_A) et un point aval B (altitude z_B, pression P_B, vitesse v_B, section S_B).

   • La surface de contrôle \Sigma est la frontière fermée limitant le volume fixe V_0 constitué par le tronçon de tube de courant entre les sections S_A et S_B, et la surface latérale S_{\text{lat}} constituée de lignes de courant.

   • Le système fermé coïncident \Sigma^* est constitué à chaque instant par les mêmes particules fluides :

     • à l'instant t, \Sigma^*(t) comprend le fluide situé dans le volume V_0, ainsi qu'une tranche élémentaire entrante de masse \mathrm{d}m_A = \rho\, S_A v_A\,\mathrm{d}t = \rho\,\mathrm{d}V_A située immédiatement en amont de S_A ;
     • à l'instant t + \mathrm{d}t, ces mêmes particules occupent le volume V_0 et une tranche élémentaire sortante de masse \mathrm{d}m_B = \rho\, S_B v_B\,\mathrm{d}t = \rho\,\mathrm{d}V_B située immédiatement en aval de S_B.

   2. Bilan d'énergie mécanique pour le système fermé \Sigma^*

   Appliquons le théorème de l'énergie mécanique au système fermé \Sigma^* entre les instants t et t + \mathrm{d}t dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

   \mathrm{d}E_m = \delta W_{\text{ext, non cons}}

   • Variation d'énergie cinétique :

     \begin{aligned} \mathrm{d}E_c &= E_c(t+\mathrm{d}t) - E_c(t) \\ &= \left[ E_c(V_0, t+\mathrm{d}t) + \frac{1}{2}\mathrm{d}m_B\, v_B^2 \right] - \left[ \frac{1}{2}\mathrm{d}m_A\, v_A^2 + E_c(V_0, t) \right] \end{aligned}

     L'écoulement étant stationnaire, l'énergie cinétique contenue dans le volume fixe V_0 est constante : E_c(V_0, t+\mathrm{d}t) = E_c(V_0, t).
     L'écoulement étant incompressible et le fluide homogène (\rho = \text{cste}), la conservation de la masse impose :

     \mathrm{d}m_A = \mathrm{d}m_B = \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V

     Il vient donc :

     \mathrm{d}E_c = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\left(v_B^2 - v_A^2\right)

   • Variation d'énergie potentielle de pesanteur : Par le même raisonnement (champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{e}_z et stationnarité du contenu de V_0) :

     \mathrm{d}E_{pp} = \mathrm{d}m\,g\left(z_B - z_A\right)

   • Travail des forces extérieures non conservatives : Le fluide étant parfait, il n'y a pas de frottements visqueux ni de dissipation interne (\delta W_{\text{visc}} = 0).
     Sur la surface latérale S_{\text{lat}}, les déplacements des particules fluides se font parallèlement aux lignes de courant, donc orthogonalement aux forces de pression locales : le travail sur la paroi latérale est nul.
     Le travail extérieur se réduit donc au travail des forces pressantes sur les sections S_A (force motrice) et S_B (force résistante) :

     \delta W_{\text{ext, non cons}} = P_A S_A (v_A\,\mathrm{d}t) - P_B S_B (v_B\,\mathrm{d}t) = (P_A - P_B)\,\mathrm{d}V = \frac{P_A - P_B}{\rho}\,\mathrm{d}m

   3. Obtention de la relation de Bernoulli

   En égalant \mathrm{d}E_m = \mathrm{d}E_c + \mathrm{d}E_{pp} et \delta W_{\text{ext, non cons}} :

   \begin{aligned} \frac{1}{2}\mathrm{d}m\left(v_B^2 - v_A^2\right) + \mathrm{d}m\,g\left(z_B - z_A\right) &= \frac{P_A - P_B}{\rho}\,\mathrm{d}m \end{aligned}

   En divisant par \mathrm{d}m et en regroupant les grandeurs relatives à chaque point :

   \boxed{P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g z_B = \text{cste}}

   Résultat

   $$P_A+\frac{1}{2}\rho v_A^2+\rho g{z}_A=P_B+\frac{1}{2}\rho v_B^2+\rho g{z}_B=\text{cste}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie PSI 2022, Q16

    La relation de Bernoulli s'applique sous les conditions suivantes :

    • fluide parfait (viscosité négligeable, aucune dissipation par frottement) ;
    • écoulement incompressible et fluide homogène (\rho = \mathrm{cste}) ;
    • écoulement en régime stationnaire (ou permanent) ;
    • fluide soumis uniquement à des forces massiques conservatives (ici, le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z).

    Sous ces hypothèses, la quantité suivante est conservée le long d'une même ligne de courant :

    \boxed{P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \mathrm{cste}}

    où P est la pression statique, v la vitesse locale de la particule fluide et z l'altitude repérée selon un axe vertical orienté vers le haut. Entre deux points 1 et 2 d'une même ligne de courant, elle s'écrit :

    P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2

    Résultat

    $$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=\mathrm{cste}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question