Corrigé détaillé ENS Physique PSI 2021, épreuve U

L'équation d'état du gaz parfait s'écrit à l'équilibre thermostatique :

où N est le nombre total d'atomes contenus dans le volume V, et k_{\mathrm{B}} la constante de Boltzmann.

La masse totale du gaz est m_{\text{tot}} = N m, où m est la masse d'un atome d'argon. La masse volumique de référence est donc :

En substituant dans l'équation d'état, on obtient la relation liant P_0, T_0, \rho_0 et k_{\mathrm{B}} :

Considérons une tranche de fluide de section S, comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x à l'état d'équilibre (repos). Son volume initial est :

Au cours du passage de l'onde à l'instant t, les particules initialement en x et x+\mathrm{d}x se trouvent respectivement en x + u(x,t) et x + \mathrm{d}x + u(x+\mathrm{d}x,t). L'épaisseur de la tranche devient :

Le volume instantané de cette tranche de masse fixe s'écrit donc au premier ordre :

La dilatation volumique relative de la tranche s'exprime ainsi par :

Par définition, le coefficient de compressibilité isentropique s'écrit :

La transformation de cette tranche de fluide étant supposée isentropique, la variation de volume au premier ordre liée à la surpression acoustique p(x,t) = P(x,t) - P_0 vaut :

En identifiant les deux expressions de la dilatation volumique relative, on obtient la relation cherchée :

ou de manière équivalente :

Considérons le système fermé constitué par la tranche de fluide de section S, comprise entre les abscisses de repos x et x + \mathrm{d}x. Sa masse, constante au cours du mouvement, vaut :

Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, le fluide n'est soumis selon l'axe (Ox) qu'aux forces de pression exercées sur ses faces latérales :

• sur la face en x + u(x, t), orientée par +\vec{e}_x : \vec{F}_1 = P(x + u(x, t), t) S \, \vec{e}_x ;
• sur la face en x + \mathrm{d}x + u(x + \mathrm{d}x, t), orientée par -\vec{e}_x : \vec{F}_2 = - P(x + \mathrm{d}x + u(x + \mathrm{d}x, t), t) S \, \vec{e}_x.

Dans le cadre de l'approximation acoustique (termes d'ordre 1 en perturbation), les coordonnées lagrangiennes et eulériennes se confondent, si bien que :

La résultante des forces de pression selon (Ox) s'écrit alors :

puisque la pression d'équilibre P_0 est uniforme (\frac{\partial P_0}{\partial x} = 0).

L'accélération de la tranche de fluide est, au premier ordre, l'accélération particulaire locale :

le terme convectif v \frac{\partial v}{\partial x} étant du second ordre en perturbation.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la tranche donne :

En simplifiant par le volume au repos S \mathrm{d}x, on obtient directement l'équation d'Euler linéarisée :

D'après la question Q2, la surpression acoustique p(x,t) est reliée au déplacement particulaire u(x,t) par :

En dérivant cette relation par rapport à la variable d'espace x, on obtient :

Par ailleurs, d'après la relation dynamique obtenue à la question Q3 (équation (1)), et en exprimant le champ de vitesse v(x,t) = \frac{\partial u}{\partial t} :

En substituant l'expression de \frac{\partial p}{\partial x} dans cette équation du mouvement, il vient :

En multipliant l'ensemble par -\chi_S, on aboutit directement à l'équation demandée :

Cette équation porte le nom d'équation de d'Alembert (ou équation des ondes à une dimension non dispersive et non amortie).

La forme canonique de l'équation de d'Alembert à une dimension pour le champ de déplacement u(x, t) s'écrit :

où c désigne la célérité de propagation de l'onde dans le milieu.

Par identification terme à terme avec l'équation (2) établie à la question [4], \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \rho_0 \chi_S \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0, on obtient :

Comme la célérité c est une grandeur strictement positive, on en déduit :

Pour une transformation isentropique (adiabatique réversible) d'un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma constant, la loi de Laplace s'écrit :

En différentiant cette relation à entropie S fixée, il vient :

Le coefficient de compressibilité isentropique s'en déduit à l'état de référence (P_0, T_0) :

D'après le résultat de la question Q5, la célérité du son s'écrit :

En utilisant la relation d'état obtenue à la question Q1, \frac{P_0}{\rho_0} = \frac{k_{\mathrm{B}} T_0}{m}, on obtient directement :

Application numérique : Pour l'argon, gaz monoatomique, on a \gamma = 5/3. En introduisant la constante des gaz parfaits R = N_A k_{\mathrm{B}} et la masse molaire M_{\text{Ar}} = N_A m, le rapport s'exprime par \frac{k_{\mathrm{B}}}{m} = \frac{R}{M_{\text{Ar}}}. Données numériques :

• T_0 = 25^\circ\text{C} = 298{,}15\text{ K} \simeq 298\text{ K} ;
• M_{\text{Ar}} \simeq 39{,}95\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} \simeq 4{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• R \simeq 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Le calcul donne :

d'où c \simeq 3{,}2 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. En respectant la consigne générale de l'énoncé prescrivant un chiffre significatif :

D'après la relation établie à la question précédente :

Pour déterminer la constante de Boltzmann k_{\mathrm{B}} avec une précision métrologique (incertitude relative inférieure à 10^{-6}), le choix d'un gaz rare monoatomique comme l'argon s'impose pour plusieurs raisons physiques :

• Valeur exacte et indépendance thermique de \gamma : pour un gaz monoatomique, les seuls degrés de liberté microscopiques sont les trois translations d'espace. Les capacités thermiques molaires valent rigoureusement \bar{C}_V = \frac{3}{2}R et \bar{C}_P = \frac{5}{2}R, ce qui conduit à :

  \gamma = \frac{\bar{C}_P}{\bar{C}_V} = \frac{5}{3}

  Cette valeur est un rapport exact d'entiers et ne dépend pas de la température, n'apportant ainsi aucune incertitude métrologique sur \gamma. À l'inverse, pour un gaz polyatomique, \gamma varie avec la température en raison de l'excitation thermique progressive des modes de rotation et de vibration.

• Absence de dispersion et d'atténuation par relaxation moléculaire : dans les molécules polyatomiques, les échanges d'énergie entre les degrés de liberté de translation et les modes internes (rotation, vibration) nécessitent un temps de relaxation non nul, ce qui entraîne une dispersion de la célérité c(\omega) ainsi qu'une forte absorption acoustique. Pour un gaz monoatomique, ces mécanismes de relaxation interne n'existent pas.
• Inertie chimique et pureté : en tant que gaz noble, l'argon est chimiquement inerte, ne réagit pas avec les parois de la cavité et peut être obtenu commercialement avec un très haut degré de pureté chimique.

Des parois d'impédance acoustique infinie sont indéformables et immobiles. Par continuité de la composante normale de la vitesse à l'interface fluide-paroi, le champ de vitesse s'annule en ces frontières pour tout instant t :

Puisque v(x, t) = \frac{\partial u}{\partial t} et que u(x, t) vérifie l'équation de d'Alembert (équation 2 de la question Q4), la vitesse acoustique v(x, t) vérifie également cette équation :

On cherche une solution stationnaire sous forme de variables séparées de pulsation \omega :

En injectant cette forme dans l'équation de d'Alembert, la composante spatiale X(x) vérifie :

La solution générale s'écrit :

L'application des conditions aux limites impose :

• en x = 0 : X(0) = A = 0, d'où X(x) = B \sin(kx) ;
• en x = L : X(L) = B \sin(kL) = 0.

Pour obtenir une solution physique non triviale (B \neq 0), il est nécessaire que \sin(kL) = 0, soit kL = n\pi avec n \in \mathbb{N}^* (la pulsation étant strictement positive).

Les pulsations propres associées aux solutions stationnaires sont donc discrètes et données par :

D'après le résultat de la question Q8, la pulsation propre du mode fondamental (n=1) s'écrit :

La fréquence f_1 associée est reliée à la pulsation par f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi}, soit :

Pour l'application numérique, on utilise la célérité du son dans l'argon obtenue à la question Q6, c \simeq 322\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, et la longueur L = 10\text{ cm} = 0{,}10\text{ m} :

Conformément à la consigne générale de l'énoncé imposant d'effectuer les applications numériques avec un chiffre significatif :

Le champ de pression acoustique étant à symétrie sphérique, il ne dépend ni de \theta ni de \varphi : p(\vec{r}, t) = p(r, t). Par conséquent, les dérivées partielles par rapport aux variables angulaires sont nulles :

D'après l'expression (5) ou (6) du Laplacien en coordonnées sphériques fournie par l'énoncé, l'opérateur Laplacien appliqué à p(r, t) se réduit à sa partie radiale :

En injectant cette expression dans l'équation de d'Alembert (3), on obtient l'équation vérifiée par p(r, t) :

On remarque que :

En multipliant par r, l'équation peut donc s'écrire sous la forme équivalente remarquable :

D'après la question Q10, la surpression acoustique à symétrie sphérique p(r,t) vérifie l'équation :

En notation complexe, en posant \underline{g}(r, t) = r\,\underline{p}(r, t), cette équation devient :

Pour une onde monochromatique de pulsation \omega, en adoptant la convention de l'énoncé où la dépendance temporelle est en e^{-i\omega t}, on cherche \underline{g}(r,t) sous la forme :

La dérivée temporelle seconde donne \frac{\partial^2 \underline{g}}{\partial t^2} = -\omega^2\,\underline{g}. En réinjectant dans l'équation de propagation, \underline{G}(r) vérifie l'équation de Helmholtz à une dimension :

En posant :

l'équation s'écrit \frac{\mathrm{d}^2\underline{G}}{\mathrm{d}r^2} + k^2\underline{G} = 0. Elle admet pour base de solutions fondamentales indépendantes les exponentielles complexes :

En revenant à la fonction \underline{p}(r, t) = \frac{\underline{g}(r, t)}{r} = \frac{\underline{G}(r)}{r}e^{-i\omega t}, on obtient bien les deux solutions :

En prenant la partie réelle des grandeurs complexes issues de la question Q11 :

• Pour \underline{p}_+(r, t) : la phase s'écrit \varphi(r, t) = \omega(t - r/c). Une surface équiphase est une sphère de rayon r telle que r - c t = \text{cte}, ce qui correspond à un déplacement radial à vitesse \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = +c > 0. La solution \underline{p}_+ représente donc une onde sphérique divergente (ou centrifuge), qui se propage du centre vers l'extérieur.
• Pour \underline{p}_-(r, t) : la phase s'écrit \varphi(r, t) = \omega(t + r/c). Une surface équiphase vérifie r + c t = \text{cte}, soit \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = -c < 0. La solution \underline{p}_- représente ainsi une onde sphérique convergente (ou centripète), qui se propage de l'extérieur vers le centre r = 0.

Dans les deux cas, le facteur 1/r traduit l'étalement spatial de l'onde : pour conserver la puissance acoustique totale à travers une surface sphérique d'aire \mathcal{S}(r) = 4\pi r^2, l'amplitude du champ de pression décroît en 1/r.

L'équation d'Euler linéarisée régissant le champ acoustique s'écrit (équation (4)) :

Avec la convention de l'énoncé pour les grandeurs complexes harmoniques en e^{-i\omega t}, l'opérateur \frac{\partial}{\partial t} se traduit par une multiplication par -i\omega. L'équation devient ainsi :

Le champ de pression ne dépendant que de r, le gradient se réduit à sa composante radiale :

1. Calcul pour l'onde divergente \underline{p}_+(r, t) = \dfrac{e^{i(kr-\omega t)}}{r} :

Dérivons \underline{p}_+ par rapport à r :

On en déduit le champ de vitesse associé :

En utilisant k = \frac{\omega}{c} (d'où \frac{k}{\omega\rho_0} = \frac{1}{\rho_0 c} et \frac{1}{i} = -i) :

2. Calcul pour l'onde convergente \underline{p}_-(r, t) = \dfrac{e^{i(-kr-\omega t)}}{r} :

De même, dérivons \underline{p}_- par rapport à r :

Le champ de vitesse associé s'écrit alors :

Soit, avec k = \frac{\omega}{c} :

D'après les questions Q11 et Q13, la surpression acoustique et le champ de vitesse s'écrivent sous forme complexe :

La composante radiale moyenne de l'intensité acoustique \langle \vec{j} \rangle = \langle p \vec{v} \rangle est donnée par :

Calculons le produit \underline{p}\,\underline{v}_r^* :

En développant :

• Les termes directs donnent :

  |a_+|^2\left(1 - \frac{i}{kr}\right) - |a_-|^2\left(1 + \frac{i}{kr}\right)

  dont la partie réelle vaut |a_+|^2 - |a_-|^2.

• Les termes croisés s'écrivent :

  a_+^* a_- e^{-2ikr}\left(1 - \frac{i}{kr}\right) - a_+ a_-^* e^{2ikr}\left(1 + \frac{i}{kr}\right) = Z - Z^* = 2i\,\operatorname{Im}(Z)

  où Z = a_+^* a_- e^{-2ikr}\left(1 - \frac{i}{kr}\right). Ce terme étant imaginaire pur, sa partie réelle est strictement nulle.

On obtient ainsi, pour tout rayon r :

Le flux sortant moyen à travers une sphère de rayon r_0 orientée vers l'extérieur s'écrit donc :

Ce flux est indépendant du rayon r_0.

En régime périodique établi, l'énergie acoustique moyenne contenue dans la sphère de rayon r_0 est constante, soit \left\langle \frac{\partial e_{ac}}{\partial t} \right\rangle = 0. En intégrant l'équation locale de conservation de l'énergie (équation 9) sur la boule de rayon r_0, le théorème de Green-Ostrogradski impose que le flux moyen sortant \Phi(r_0) soit nul en l'absence de source ou de puits d'énergie en r=0. À la limite r_0 \to 0, le centre de la cavité n'absorbe ni ne produit d'énergie acoustique, d'où nécessairement :

On en déduit immédiatement :

D'après la question Q13, les champs de vitesse associés aux ondes sphériques divergente et convergente s'écrivent :

Au voisinage de r = 0 (k r \ll 1), développons les exponentielles à l'ordre 1 en k r :

Calculons les développements des facteurs spatiaux respectifs :

et de même pour le terme convergent :

On remarque que les deux composantes possèdent exactement le même terme prépondérant en 1/r^2.

Le champ de vitesse total \vec{\underline{v}}(\vec{r}, t) = a_+ \vec{\underline{v}}_+(\vec{r}, t) + a_- \vec{\underline{v}}_-(\vec{r}, t) s'écrit donc au voisinage de r \to 0 :

En utilisant k = \omega / c, le terme dominant de la vitesse s'exprime ainsi :

Ce terme diverge en 1/r^2 lorsque r \to 0. Pour que cette divergence disparaisse (terme dominant nul), il est nécessaire que son numérateur s'annule :

Une paroi d'impédance infinie impose une vitesse normale nulle au niveau de la frontière rigide r = R_c :

D'après l'équation d'Euler linéarisée (4) en régime sinusoïdal de pulsation \omega :

La condition aux limites en r = R_c équivaut donc à l'annulation du gradient radial de pression :

D'après le résultat de la question Q15, la régularité du champ de vitesse à l'origine impose a_- = -a_+. Le champ de surpression s'écrit alors :

où k = \frac{\omega}{c} (d'après la question Q11).

Introduisons la quantité adimensionnée x = kr = \frac{\omega r}{c}, évaluée en r = R_c par :

et la fonction :

Le champ de pression à l'intérieur de la sphère s'écrit ainsi \underline{p}(r, t) = 2i a_+ k e^{-i\omega t} f(kr). En dérivant par rapport à r :

Pour une solution non triviale (a_+ \neq 0), la condition aux limites en r = R_c donne immédiatement la condition de résonance :

D'après la question Q16, la condition de résonance s'écrit f'(x) = 0, avec :

Les solutions non nulles de cette équation correspondent aux extrema locaux de la fonction sinus cardinal f(x).

La dérivée s'exprime par :

Pour tout entier n \in \mathbb{N}^*, étudions le signe de f'(x) sur les bornes remarquables de l'intervalle [n\pi, (n+1)\pi] :

Les valeurs f'(n\pi) et f'\!\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) sont de signes opposés. D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction continue f', il existe au moins une solution x_n annulant f'(x) dans l'intervalle ]n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}[.

De plus, sur l'intervalle ]n\pi + \frac{\pi}{2}, (n+1)\pi[, les grandeurs \cos x et \sin x ont des signes strictement opposés ; le numérateur x\cos x - \sin x est donc de signe constant (celui de -(-1)^n) et ne s'annule jamais.

Il existe ainsi une unique racine x_n par intervalle ]n\pi, (n+1)\pi[, formant un ensemble infini et discret de solutions indexé par n \in \mathbb{N}^*, encadré par :

Puisque x = \frac{\omega R_c}{c}, les pulsations de résonance \omega_n = \frac{c}{R_c}x_n sont également en nombre infini et discrètes, et vérifient :

D'après la question Q16, la condition de résonance s'écrit f'(x) = 0 avec f(x) = \frac{\sin x}{x}. Pour x > 0, la dérivée de f vaut :

L'équation f'(x) = 0 équivaut donc à :

Si \cos x = 0, alors \sin x = \pm 1 \neq 0, donc \cos x ne peut pas s'annuler en une racine de f'. On peut ainsi diviser par \cos x, ce qui conduit à :

Par \pi-périodicité de la fonction tangente, pour tout n \in \mathbb{N}^* :

Comme x_n > n\pi, on a \lim_{n \to \infty} x_n = +\infty, ce qui implique :

D'après l'encadrement obtenu à la question Q17, x_n - n\pi \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[. Sur cet intervalle, la fonction tangente est strictement croissante et diverge en \frac{\pi}{2}^-.

Graphiquement, la solution x_n correspond à l'intersection entre la droite y = x et la branche de la tangente sur l'intervalle \left]n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}\right[. Lorsque n croît, l'ordonnée de l'intersection tend vers +\infty, ce qui force l'abscisse x_n à se rapprocher de l'asymptote verticale d'équation x = n\pi + \frac{\pi}{2}.

On en déduit :

D'après la question Q18, pour n \in \mathbb{N}^*, on a :

Posons \delta_n = n\pi + \frac{\pi}{2} - x_n. On a donc \delta_n > 0 d'après l'encadrement établi en Q17, et \lim_{n \to \infty} \delta_n = 0.

Par périodicité et déphasage de la fonction tangente :

L'équation \tan x_n = x_n s'écrit alors :

Comme \lim_{n \to \infty} \delta_n = 0, on a \tan \delta_n = \delta_n + o(\delta_n), d'où :

En prenant l'inverse :

On en déduit le développement asymptotique de x_n à l'ordre 1/n :

Par identification avec la forme x_n \simeq C_1 n + C_0 + \frac{C_{-1}}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right), on obtient :

Pour éviter la divergence de la tangente au voisinage de n\pi + \frac{\pi}{2}, on résout l'équation équivalente :

sur l'intervalle fermé I_n = \left[n\pi,\, n\pi + \frac{\pi}{2}\right]. La fonction g y est continue, dérivable, et vérifie :

Le produit g(n\pi)\,g\!\left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -n\pi < 0 assure l'existence d'une unique racine x_n sur I_n par le théorème des valeurs intermédiaires (car g'(x) = -x\sin x garde un signe constant sur l'intervalle ouvert).

On peut mettre en œuvre l'une des méthodes suivantes :

1. Méthode par dichotomie (très robuste) :

• On pose a = n\pi et b = n\pi + \frac{\pi}{2}, avec une tolérance \varepsilon > 0 souhaitée.

• Tant que b - a > \varepsilon :

  • On évalue le milieu m = \frac{a+b}{2} ;
  • Si g(a) \times g(m) \leqslant 0, la racine est dans [a, m], on pose b \leftarrow m ;
  • Sinon, elle est dans [m, b], on pose a \leftarrow m.
• On renvoie \boxed{x_n \simeq \frac{a+b}{2}} avec une précision garantie \frac{\pi}{2^{k+1}}.

2. Méthode du point fixe (très rapide) : En inversant la tangente sur l'intervalle ]n\pi, n\pi + \pi/2[, l'équation s'écrit sous forme de point fixe :

Comme la fonction \phi(x) = n\pi + \arctan(x) est contractante (\lvert \phi'(x) \rvert = \frac{1}{1+x^2} \leqslant \frac{1}{1+n^2\pi^2} \ll 1), la suite récurrente définie par :

converge géométriquement vers x_n en seulement quelques itérations.

Dans le cadre de l'acoustique linéaire, les deux équations locales fondamentales de la dynamique des fluides s'écrivent :

• L'équation de conservation de la masse linéarisée :

  \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\vec{v} = 0

• L'équation d'Euler linéarisée (équation (4) de l'énoncé) :

  \rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{\operatorname{grad}} p = \vec{0}

À une dimension d'espace, ces relations se réduisent à :

En dérivant la conservation de la masse par rapport au temps t et l'équation d'Euler par rapport à x, puis en utilisant le théorème de Schwarz pour permuter les dérivées croisées (\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial t} = \frac{\partial^2 v}{\partial t \partial x}), il vient :

(Cette relation \Delta p = \frac{\partial^2 \rho}{\partial t^2} reste valable en trois dimensions en prenant la divergence de l'équation d'Euler).

D'autre part, la relation phénoménologique (10) reliant la surpression p à la masse volumique \rho est :

Puisque \rho_0 est uniforme et constant, appliquons l'opérateur laplacien \Delta à cette relation :

En égalant les deux expressions de \Delta p, on obtient :

Soit, en divisant par c^2 :

À une dimension d'espace, le laplacien se réduit à \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}. L'équation de propagation établie à la question Q21 s'écrit alors :

En injectant la solution sous la forme \underline{\rho}(x, t) = \rho_0 + \underline{R}_0 e^{i(kx-\omega t)}, les dérivées spatiales et temporelles de la perturbation s'expriment par :

L'équation de propagation devient, après simplification par \underline{R}_0 e^{i(kx-\omega t)} \neq 0 :

On en déduit la relation de dispersion :

Dans la limite d'une faible dissipation (\omega\tau_r \ll 1), effectuons un développement limité au premier ordre en \omega\tau_r :

En prenant la racine carrée, on obtient bien deux valeurs possibles pour le vecteur d'onde k :

D'après la question Q22, le champ de masse volumique s'écrit sous forme complexe :

avec k = \pm \frac{\omega}{c}\left(1 + \frac{i\omega\tau_r}{2}\right). Pour une onde se propageant dans le sens des x > 0, la vitesse de phase doit être positive, ce qui impose de choisir le signe + :

On remarque que k'' > 0, ce qui garantit une atténuation de l'onde pour x > 0. Pour R_0 réel, la perturbation physique \delta\rho(x, t) = \operatorname{Re}(\underline{\rho}(x, t) - \rho_0) s'écrit :

À l'instant t = 0, le profil spatial le long de l'axe x > 0 est :

Deux échelles caractéristiques de longueur apparaissent :

1. La longueur d'onde spatiale \lambda, période des oscillations spatiales :

   \boxed{\lambda = \frac{2\pi}{k'} = \frac{2\pi c}{\omega}}

2. La longueur d'atténuation (ou distance de pénétration) \ell_{\mathrm{att}}, sur laquelle l'amplitude est divisée par \mathrm{e} :

   \boxed{\ell_{\mathrm{att}} = \frac{1}{k''} = \frac{2c}{\omega^2\tau_r}}

Le rapport de ces deux échelles vaut :

L'atténuation s'effectue donc sur une distance de l'ordre de 3 longueurs d'onde.

On considère l'onde progressive se propageant dans le sens des x croissants :

1. Calcul de la surpression acoustique \underline{p}(x, t) :

D'après la loi d'état modifiée (équation (10) de l'énoncé) :

En notation complexe, avec \frac{\partial}{\partial t} \equiv -i\omega, il vient directement :

Soit, au premier ordre en \omega\tau_r :

2. Calcul du champ de vitesse \underline{v}(x, t) :

L'équation de conservation de la masse linéarisée à une dimension s'écrit :

En notation complexe, elle devient :

Or, au premier ordre en \omega\tau_r :

On en déduit l'expression de \underline{v}(x, t) :

3. Calcul de l'impédance acoustique complexe \underline{Z} :

L'impédance complexe du milieu pour cette onde progressive s'obtient par :

À l'aide du développement limité obtenu précédemment :

D'après les résultats de la question précédente, pour une onde se propageant vers les x > 0 avec \underline{R}_0 = R_0 \in \mathbb{R} :

où k_0 = \frac{\omega}{c} et \ell_{\mathrm{att}} = \frac{2c}{\omega^2\tau_r}.

Au premier ordre en \omega\tau_r, on a :

En prenant la partie réelle à l'instant t = 0, les signaux physiques réels s'écrivent :

Traduction graphique d'une partie imaginaire non nulle pour \underline{Z} :

• Déphasage spatial (à t fixé) : Les courbes de p(x, 0) et v(x, 0) ne s'annulent pas aux mêmes abscisses et leurs extrema ne coïncident pas. Elles présentent un décalage spatial :

  \boxed{\Delta x = \frac{|\varphi_Z|}{k_0} = \frac{\omega\tau_r}{2 k_0} = \frac{c\tau_r}{2}}
• Déphasage temporel (à x fixé) : Pour un observateur immobile en x, la pression et la vitesse oscillent avec un décalage temporel \Delta t = \frac{|\varphi_Z|}{\omega} = \frac{\tau_r}{2}.

Dans un fluide parfait sans pertes, \underline{Z} = \rho_0 c est réel, et p et v seraient rigoureusement en phase (\Delta x = 0).

Une paroi rigide indéformable en x = L impose que la vitesse particulaire du fluide s'y annule à tout instant :

D'après l'équation d'Euler acoustique à une dimension établie à la question Q3 :

En adoptant la convention de l'énoncé pour les grandeurs complexes dépendant du temps en e^{-i\omega t} (d'où \frac{\partial}{\partial t} \to -i\omega), cette relation s'écrit :

La condition aux limites \underline{v}(L, t) = 0 équivaut donc à un gradient spatial de pression nul en x = L :

L'expression de la surpression complexe dans la cavité étant :

sa dérivée spatiale vaut :

En évaluant en x = L et puisque k \neq 0 :

On en déduit immédiatement :

L'onde se propageant dans le sens des x croissants au sein de la cavité est donnée par \underline{p}_+(x, t) = a_+ e^{i(kx - \omega t)}.

En x = 0, cette onde résulte de la superposition de l'onde directement émise par la membrane vibrante, d'amplitude p_0, et de l'onde régressive \underline{p}_-(x, t) = a_- e^{i(-kx - \omega t)} qui vient frapper la paroi en x = 0 et s'y réfléchit. En supposant une réflexion totale en pression sur la paroi en x=0, l'onde réfléchie présente en x=0 une amplitude a_-.

D'après l'énoncé, l'amplitude a_+ est la somme de l'amplitude p_0 et de cette amplitude réfléchie :

D'après le résultat de la question Q26, la réflexion sur la paroi rigide en x = L impose :

En substituant cette expression dans la relation précédente, il vient :

On en déduit l'expression de l'amplitude a_+ :

Dans la cavité, la surpression acoustique s'écrit sous la forme :

D'après l'équation d'Euler linéarisée \rho_0 \frac{\partial \underline{v}}{\partial t} + \frac{\partial \underline{p}}{\partial x} = 0, et avec la convention temporelle e^{-i\omega t}, le champ de vitesse particulaire associé est :

où \underline{Z} = \frac{\rho_0 \omega}{k} \simeq \rho_0 c \left(1 - \frac{i\omega\tau_r}{2}\right) est l'impédance acoustique du milieu (établie à la question [24]).

En x = 0, la vitesse imposée par la membrane a pour amplitude v_0, ce qui s'écrit en notation complexe \underline{v}(0, t) = v_0 e^{-i\omega t}. On en déduit :

Or, d'après la question [26], la condition de réflexion en paroi rigide en x = L impose a_- = a_+ e^{2ikL}. Par conséquent :

En prenant le carré du module, on obtient :

Pour expliciter le dénominateur, notons le nombre d'onde complexe sous la forme k = k' + i k'', avec d'après la question [22] :

Le facteur de propagation sur un aller-retour s'écrit e^{2ikL} = e^{-2k''L} e^{2ik'L}, d'où :

Comme l'atténuation est faible (\omega\tau_r \ll 1 \implies k'' \ll k'), les termes d'absorption k'' et l'impédance |\underline{Z}| varient très lentement avec la pulsation \omega devant les oscillations spatiales portées par k'L.

L'intensité I \propto |a_+|^2 est donc maximale lorsque le dénominateur est minimal, c'est-à-dire pour :

Comme k' = \frac{\omega}{c}, les pulsations de résonance correspondent à :

On retrouve bien exactement les mêmes fréquences de résonance que pour la cavité idéale sans pertes de la question [8].

D'après la question [28], l'intensité I(\omega) \propto |a_+|^2 s'écrit sous la forme :

En utilisant l'expression du nombre d'onde complexe établie à la question [22], k = k' + i k'' avec :

Le facteur de propagation sur un aller-retour s'écrit :

Le facteur d'atténuation sur un aller-retour est :

Ce terme d'atténuation, noté \eta par l'énoncé, est très proche de 1 car \omega \tau_r \ll 1 et l'atténuation par trajet reste faible. On a donc :

Posons \omega = \omega_n + \delta\omega avec \delta\omega = \omega - \omega_n \ll \omega_n. Le déphasage spatial vérifie :

Le terme d'interférence s'écrit alors :

Le module au carré vaut ainsi :

En remplaçant \phi et (1 - \eta) par leurs expressions au voisinage de \omega_n :

avec :

L'intensité I(\omega) prend donc bien l'allure d'un profil lorentzien :

où \alpha est une constante indépendante de \delta\omega au premier ordre.

D'après l'équation (13), la surpression acoustique dans la cavité s'écrit :

En x = 0, la surpression complexe est donnée par \underline{p}(0, t) = \underline{P}(0)\,e^{-i\omega t} avec :

D'après la condition de réflexion en x = L (question [26]), a_- = a_+ e^{2ikL}. En utilisant l'expression de a_+ en fonction de l'amplitude d'excitation p_0 (question [27]), il vient :

Le nombre d'onde complexe s'écrit k = k' + ik'' avec k' = \frac{\omega}{c} et k'' = \frac{\omega^2\tau_r}{2c}. Posons \eta = e^{-2k''L} et \phi = 2k'L - 2n\pi = \frac{2(\omega - \omega_n)L}{c}. On a alors :

Au voisinage de la résonance \omega \simeq \omega_n, \phi \ll 1 et \eta \simeq 1 :

• Au numérateur : 1 + e^{2ikL} = 1 + \eta\,e^{i\phi} \simeq 2 ;

• Au dénominateur :

  1 - e^{2ikL} = 1 - \eta\,e^{i\phi} \simeq 1 - \eta(1 + i\phi) = (1 - \eta) - i\eta\phi \simeq (1 - \eta) - i\phi

En développant \eta = e^{-2k''L} \simeq 1 - 2k''L, le dénominateur devient :

En introduisant la demi-largeur de résonance définie à la question [29], \Delta\omega = c\,k'' = \frac{\omega^2\tau_r}{2}, il vient :

Notons \psi_0 = \arg(p_0) la phase de l'excitation. La phase \psi(\omega) = \arg(\underline{P}(0)) de la pression en x = 0 s'obtient directement par le quotient de la partie imaginaire et de la partie réelle :

En prenant pour référence de phase l'onde incidente p_0 (\psi_0 = 0), on a simplement :

D'après la question Q16, la pulsation de résonance \omega_n d'un mode radial vérifie :

Par ailleurs, pour un gaz parfait monoatomique de masse atomique m et de coefficient de Laplace \gamma = 5/3, la célérité du son s'écrit (d'après la question Q6) :

En égalant les deux expressions de c^2, on obtient :

D'où l'expression de la constante de Boltzmann :

Pour évaluer la précision requise, prenons la différentielle logarithmique de cette relation, en considérant m, \gamma et le nombre sans dimension x_n comme des constantes parfaitement déterminées :

En différenciant :

La condition sur l'incertitude relative globale est \left|\frac{\Delta k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}}\right| \le 10^{-6}. En supposant pour chaque grandeur que les autres paramètres ont une incertitude nulle :

• Pour la pulsation de résonance \omega_n :

  \left|\frac{\Delta k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}}\right| = 2 \left|\frac{\Delta \omega_n}{\omega_n}\right| \le 10^{-6} \implies \boxed{\left|\frac{\Delta \omega_n}{\omega_n}\right| \le 5 \times 10^{-7}}

• Pour le rayon de la cavité R_{\mathrm{c}} :

  \left|\frac{\Delta k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}}\right| = 2 \left|\frac{\Delta R_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{c}}}\right| \le 10^{-6} \implies \boxed{\left|\frac{\Delta R_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{c}}}\right| \le 5 \times 10^{-7}}

• Pour la température T (soit T_0) :

  \left|\frac{\Delta k_{\mathrm{B}}}{k_{\mathrm{B}}}\right| = \left|\frac{\Delta T}{T}\right| \le 10^{-6} \implies \boxed{\left|\frac{\Delta T}{T}\right| \le 10^{-6}}

Le fil de platine est assimilé à un cylindre conducteur de section droite circulaire constante S = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4} et de longueur L.

En régime stationnaire, la loi de Pouillet (ou intégration de la loi d'Ohm locale \vec{j} = \frac{1}{\rho_{\mathrm{el}}}\vec{E}) donne la résistance électrique :

soit en fonction du diamètre D :

On en déduit l'expression littérale de la longueur L nécessaire pour obtenir une résistance R = 25\ \Omega :

Application numérique : D'après le tableau 1, pour le platine à 20\ ^\circ\text{C}, \rho_{\mathrm{el}} = 1{,}06 \times 10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}. Avec D = 80\ \mu\text{m} = 8{,}0 \times 10^{-5}\text{ m} et R = 25\ \Omega :

Conformément à la consigne demandant un chiffre significatif (ou deux au maximum) :

La résistance du fil de platine s'exprime en fonction de sa géométrie et de la résistivité par la relation établie à la question Q32 :

En négligeant la dilatation thermique devant la variation thermique de la résistivité (le coefficient de dilatation linéique du platine étant de l'ordre de 9 \times 10^{-6}\text{ K}^{-1}, très inférieur à \alpha \simeq 4 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1}), on a, d'après l'équation (15) :

Pour une variation élémentaire \Delta T, la variation correspondante de résistance est :

Pour atteindre une sensibilité en température \Delta T \le 100\ \mu\text{K} = 1{,}0 \times 10^{-4}\text{ K}, la sensibilité requise sur la mesure de résistance vaut :

Avec R_{\mathrm{T}} = 25\ \Omega et \alpha = 3{,}92 \times 10^{-3}\text{ K}^{-1} (tableau 1) :

Soit, avec un chiffre significatif :

En termes relatifs, cela impose une sensibilité relative :

La température T = 273{,}16\text{ K} correspond à la température du point triple de l'eau pure.

Au point triple coexistent en équilibre thermodynamique les trois phases de l'eau pure : la glace, l'eau liquide et la vapeur d'eau.

Au voisinage de la température d'étalonnage T_0 = 273{,}16\text{ K} où la résistance R_0 = R(T_0) \simeq 25\ \Omega est étalonnée avec une très haute précision, la variation de la résistance avec la température s'écrit au premier ordre :

L'écart de température mesuré par rapport au point de référence s'en déduit :

En supposant la mesure de résistance parfaitement précise devant l'incertitude sur \alpha, l'incertitude absolue \delta T sur la température liée à l'incertitude relative \frac{\delta \alpha}{\alpha} vaut :

Pour garantir une précision \delta T \le 100\ \mu\text{K} = 10^{-4}\text{ K} avec \frac{\delta \alpha}{\alpha} \simeq 1\,\% = 10^{-2}, il faut donc que l'écart de température vérifie :

La plage de température autour de la référence T_0 = 273{,}16\text{ K} sur laquelle on doit travailler est donc :

soit un intervalle de température :

Le platine présente plusieurs avantages déterminants pour la réalisation d'un thermomètre étalon de haute précision :

• Résistivité électrique élevée par rapport aux métaux nobles usuels (Ag, Cu, Au) : D'après la table 1, la résistivité du platine (\rho_{\mathrm{el}} = 1{,}06 \times 10^{-7}\ \Omega\cdot\mathrm{m}) est environ cinq à sept fois supérieure à celle du cuivre, de l'argent ou de l'or. À diamètre de fil D fixé, la longueur de fil nécessaire pour atteindre une résistance donnée (25\ \Omega) est donc considérablement plus courte (L \simeq 1{,}2\text{ m} pour le platine contre environ 8\text{ m} pour le cuivre), ce qui permet de concevoir une sonde compacte (quelques centimètres de long).
• Inertie chimique et stabilité métrologique : Le platine est un métal noble chimiquement inerte. Contrairement à des métaux de résistivité comparable comme l'étain, il ne s'oxyde pas, ne subit pas de corrosion ni de transition de phase cristalline à basse température (contrairement à l'étain sujet à la « peste de l'étain » sous 13^\circ\mathrm{C}). Sa structure cristalline est extrêmement stable, ce qui garantit une reproductibilité remarquable et une absence de dérive temporelle de la mesure.
• Reproductibilité de la loi de résistance : La dépendance en température R(T) du platine est remarquablement reproductible et quasi-linéaire sur un très large domaine de température.