Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MP 2020

a) Soient deux solides S_1 et S_2 en contact au point I à la date t. On note I_1 \in S_1 et I_2 \in S_2 les points matériels des deux solides géométriquement coïncidants en I à cet instant.

La vitesse de glissement de S_1 par rapport à S_2 au point de contact est la vitesse du point matériel I_1 dans le référentiel lié au solide S_2 :

b) Non, il n'est pas nécessaire de préciser dans quel référentiel elle est exprimée.

En effet, le référentiel est implicitement fixé par la relation de mouvement relatif : c'est le référentiel attaché au solide S_2.

De plus, en appliquant la formule de composition des vitesses par rapport à un référentiel d'observation quelconque \mathcal{R} :

on obtient immédiatement :

Puisque les deux points coïncident au même instant en I, la vitesse d'entraînement du repère \mathcal{R} est identique pour les deux et s'élimine par différence. La vitesse de glissement est donc une grandeur intrinsèque au couple de solides en contact, indépendante du référentiel d'étude \mathcal{R} choisi.

En phase d'adhérence, la vitesse de glissement est nulle (\vec{v}_g = \vec{0}). La composante tangentielle \vec{T} de la réaction du support est une force de liaison qui s'adapte aux actions extérieures appliquées au solide pour maintenir l'absence de mouvement relatif, sous la condition de non-glissement :

Le passage de l'adhérence au glissement intervient lorsque les actions extérieures imposent, pour maintenir l'immobilité relative, un effort tangentiel qui atteint le seuil maximal admissible :

À cet instant, la force de frottement statique ne suffit plus à empêcher le déplacement relatif : le contact décroche et le solide se met à glisser (\vec{v}_g \neq \vec{0}).

Le passage d'un régime de glissement à un régime d'adhérence requiert deux conditions :

1. Une condition cinématique : la vitesse de glissement du solide par rapport à son support doit s'annuler :

   \vec{v}_g = \vec{0}

2. Une condition dynamique de maintien : à cet instant, l'effort tangentiel \vec{T} nécessaire pour maintenir le contact sans glissement (déterminé par les lois de la dynamique avec \vec{v}_g = \vec{0}) doit satisfaire l'inégalité de Coulomb relative à l'adhérence :

   \|\vec{T}\| \le f_s \|\vec{N}\|

Si cette seconde condition n'est pas remplie, le solide ne s'arrête que de manière instantanée et repart immédiatement en glissement (le plus souvent en inversant le sens de sa vitesse).

Le mouvement de l'ensemble comporte deux phases successives :

1. Première phase (mise en mouvement et chute du solide 2) : À l'instant initial, le système est libéré sans vitesse. Comme la condition \alpha > f_s est vérifiée, le poids du solide 2 l'emporte sur l'effort résistant maximal dû au frottement statique sur le solide 1 (\alpha M g > f_s M g). Le système accélère : le solide 2 descend d'une hauteur H_0 tandis que le solide 1 glisse vers la droite. Durant toute cette phase d'entraînement, le fil est tendu. Cette phase s'achève à la date t_1 lorsque le solide 2 entre en contact avec le support inférieur S'.
2. Deuxième phase (glissement décéléré du solide 1 seul) : Une fois le solide 2 posé sur le support S', il n'exerce plus aucune force de traction sur le solide 1. Le solide 1, animé de la vitesse horizontale non nulle V_1 acquise à la fin de la première phase, poursuit son mouvement par inertie. Durant cette phase, le fil n'est plus tendu (fil détendu). Le solide 1 est freiné par la seule force de frottement dynamique exercée par le support horizontal S jusqu'à l'arrêt complet du mobile, après un déplacement total de distance D.

On étudie le mouvement dans le référentiel terrestre lié au support \text{S}, supposé galiléen.

Système 1 : solide 1 de masse M Le solide 1 est soumis à quatre forces :

• son poids : \vec{P}_1 = M g\,\vec{e}_z (vertical descendant) ;
• la composante normale de l'action du support \text{S} : \vec{N} = -N\,\vec{e}_z (verticale ascendante) ;
• la composante tangentielle de frottement : \vec{T} = -T\,\vec{e}_x (horizontale, s'opposant au déplacement selon +x) ;
• la tension du fil : \vec{F}_1 = F\,\vec{e}_x (horizontale, orientée vers la poulie).

Le théorème de la résultante cinétique appliqué au solide 1 s'écrit :

Le solide 1 n'ayant pas de mouvement selon la verticale (\ddot{Y}_1 = 0, \ddot{Z}_1 = 0), ses projections donnent :

• sur l'axe horizontal (Ox) :

  \boxed{ M \ddot{X} = F - T }

• sur l'axe vertical (Oz) :

  \boxed{ N = M g }

Système 2 : solide 2 de masse \alpha M Le solide 2 se déplace verticalement et est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P}_2 = \alpha M g\,\vec{e}_z (vertical descendant) ;
• la tension du fil : \vec{F}_2 = -F\,\vec{e}_z (verticale ascendante).

Le théorème de la résultante cinétique appliqué au solide 2 donne :

La projection sur l'axe vertical descendant (Oz) conduit à :

Pendant le mouvement, le solide 1 glisse sur le support horizontal fixe S vers la droite (dans le sens de l'axe (Ox) orienté par le vecteur unitaire \vec{e}_x).

La vitesse de glissement du solide 1 par rapport au support S s'écrit :

D'après la loi de Coulomb en régime dynamique :

• la composante tangentielle \vec{T} est de sens opposé à la vitesse de glissement, soit portée par -\vec{e}_x ;
• sa norme vérifie l'égalité T = \|\vec{T}\| = f_g \|\vec{N}\| = f_g N.

En utilisant la composante normale N = M g obtenue à la question Q5, la force de frottement s'exprime vectoriellement par :

a) Lien entre \ddot{X} et \ddot{Z}

Pendant toute la première phase, le fil reste tendu. En notant x_P l'abscisse de la poulie et z_P sa cote verticale, la longueur L du fil s'écrit :

où \ell_{\text{enroulement}}, x_P, z_P et L sont constants. En dérivant deux fois par rapport au temps :

b) Vitesse \dot{X}(t) en fonction de \alpha, f_g et g

D'après les relations établies en Q5 et l'expression de la composante tangentielle T = f_g M g obtenue en Q6 :

Comme \ddot{Z} = \ddot{X}, en sommant ces deux équations membre à membre afin d'éliminer la tension F :

L'accélération étant constante et le solide 1 partant du repos (\dot{X}(0) = 0), on intègre entre 0 et t :

c) Durée t_1 de la première phase

La première phase s'achève à la date t_1 lorsque le solide 2 atteint le support S', ayant ainsi parcouru la distance verticale H_0. Comme \dot{Z}(0) = 0 et \ddot{Z} = \ddot{X} :

On en déduit la durée t_1 :

d) Vitesse atteinte V_1

À la date t_1, la vitesse atteinte par le solide 1 est :

a) Expression de X(t) dans la deuxième phase

Pour t \ge t_1, le solide 2 est immobilisé sur S' et le fil n'est plus tendu (F = 0).

Le solide 1 glisse toujours sur le support S dans le sens de \vec{e}_x, avec la force de frottement dynamique \vec{T} = -f_g M g \vec{e}_x (d'après Q6). La projection du théorème de la résultante cinétique sur l'axe horizontal donne :

À la date t = t_1, les conditions initiales de cette deuxième phase sont (d'après Q7) :

Une première intégration par rapport au temps donne la vitesse :

Une seconde intégration donne la position :

b) Expression de f_g en fonction de \alpha, H_0 et D

Le solide 1 s'arrête à une date finale t_f telle que sa vitesse s'annule :

La distance d_2 parcourue par le solide 1 lors de cette seconde phase s'écrit :

La distance totale parcourue depuis l'état initial étant D = H_0 + d_2, il vient :

En utilisant l'expression de V_1^2 obtenue à la question Q7d, à savoir V_1^2 = \dfrac{2(\alpha - f_g)}{\alpha + 1} g H_0, on obtient :

En développant cette relation afin d'isoler f_g :

On en déduit l'expression du coefficient de frottement dynamique :

1. Première phase du mouvement (0 \le t \le t_1) :

On applique le théorème de l'énergie cinétique dans le référentiel terrestre supposé galiléen au système fermé \{\text{solide 1} + \text{solide 2} + \text{fil}\} entre t = 0 (système au repos) et t_1 (vitesse V_1) :

Les forces effectuant un travail au cours de cette phase sont :

• le poids du solide 2, sur le déplacement vertical H_0 :

  W(\vec{P}_2) = \alpha M g H_0

• la force de frottement dynamique exercée sur le solide 1, colinéaire et opposée au déplacement H_0 :

  W(\vec{T}) = - T \cdot H_0 = - f_g M g H_0
• le fil étant idéal et inextensible, le travail des forces intérieures de tension est nul (W_{\text{int}} = 0) ;
• le poids du solide 1 et la composante normale \vec{N} de la réaction sont orthogonaux au déplacement horizontal, donc ne travaillent pas.

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit donc :

soit :

2. Deuxième phase du mouvement (t_1 \le t \le t_{\text{fin}}) :

Le solide 2 est immobile au sol S' et le fil est détendu. On applique le théorème de l'énergie cinétique au solide 1 seul entre t_1 (vitesse V_1) et l'arrêt (vitesse nulle), sur la distance restante d_2 = D - H_0 :

d'où :

3. Détermination de f_g :

En égalant les deux expressions de \frac{1}{2} M V_1^2, on obtient :

En simplifiant par M g non nul :

Développons :

Le terme -f_g H_0 se simplifie de part et d'autre :

On retrouve bien l'expression obtenue à la question Q8 :

Le rapport de masse \alpha est donné par :

D'après les questions précédentes (Q8-b et Q9), le coefficient de frottement dynamique f_g s'exprime par :

Avec les données numériques suivantes :

• H_0 = 40{,}0\text{ cm} = 0{,}400\text{ m} ;
• \langle D \rangle = 1{,}50\text{ m} ;
• \alpha = 1{,}20.

On calcule le numérateur et le dénominateur :

D'où :

On étudie le solide 1 de masse M dans le référentiel terrestre lié au support, supposé galiléen. L'angle \theta augmentant très lentement, le solide est à l'équilibre mécanique tant qu'il n'y a pas glissement.

Le système est soumis à deux actions :

• son poids \vec{P} = M\vec{g} ;
• la réaction du support \vec{R} = \vec{N} + \vec{T}, où \vec{N} est orthogonale au support et orientée vers le haut, et \vec{T} est parallèle au support et orientée vers le haut de la pente (pour s'opposer à la tendance au mouvement vers le bas).

D'après le principe fondamental de la statique appliqué au solide 1 :

En projetant sur l'axe orthogonal au plan incliné (dirigé vers le haut) et sur l'axe parallèle au plan incliné (dirigé vers le bas de la pente), on obtient :

D'après la loi de Coulomb relative au frottement statique (rappelée en partie I), l'absence de glissement impose :

Le décrochement (mise en glissement) a lieu à la limite stricte de l'adhérence (d'après la question Q2), atteinte pour l'angle critique \theta = \theta_{\text{lim}} tel que T = f_s N, soit :

La mesure de l'angle d'inclinaison \theta_{\text{lim}} permet ainsi de déterminer directement le coefficient de frottement statique f_s, indépendamment de la masse M du solide et de l'accélération de la pesanteur g.

D'après le résultat établi à la question précédente (Q11), le coefficient de frottement statique s'exprime en fonction de l'angle limite de décrochement par :

Avec la valeur expérimentale moyenne \theta_{\text{lim}} = 29{,}5^\circ, on obtient :

L'ordre de grandeur du coefficient de frottement statique mesuré est donc :

soit environ 0{,}6.