Feuille d'entraînement : Description d'un système thermodynamique

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique U PSI 2026, Q5

   Pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique réversible (donc isentropique), sous l'hypothèse de capacités thermiques constantes (gaz parfait de Laplace), la loi de Laplace s'écrit :

   P V^\gamma = \text{cte}

   où \gamma = \frac{c_P}{c_V} désigne l'indice adiabatique du gaz.

   En prenant le logarithme népérien puis en différentiant à entropie constante le long de cette transformation isentropique, il vient :

   \begin{aligned} \ln P + \gamma \ln V &= \text{cte} \\ \frac{\mathrm{d}P}{P} + \gamma \frac{\mathrm{d}V}{V} &= 0 \\ \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_S &= -\frac{V}{\gamma P} \end{aligned}

   Par définition du coefficient de compressibilité isentropique :

   \chi_S = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_S = \frac{1}{\gamma P}

   Évalué à l'état d'équilibre thermodynamique de l'air non perturbé, où la pression est la pression atmosphérique P_0, on obtient :

   \boxed{\chi_S = \frac{1}{\gamma P_0}}

   Résultat

   $${\chi }_S=\frac{1}{\gamma P_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique U PSI 2026, Q23

   Pour une quantité de matière n de gaz parfait, l'équation d'état s'écrit :

   P V = n R T \implies V(T, P) = \frac{n R T}{P}

   La dérivée partielle du volume par rapport à la température à pression constante vaut ainsi :

   \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \frac{n R}{P} = \frac{V}{T}

   En utilisant la définition donnée par l'énoncé :

   \beta = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = \frac{1}{V}\left(\frac{V}{T}\right) = \frac{1}{T}

   Évalué au voisinage de la température d'équilibre T_0, le coefficient de dilatation thermique isobare d'un gaz parfait s'écrit :

   \boxed{\beta = \frac{1}{T_0}}

   Résultat

   $$\beta =\frac{1}{T_0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Modelisation PSI 2026, Q8

   Par définition, le coefficient de compressibilité isentropique est donné par :

   \chi_s = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\!s}

   Pour un gaz parfait de rapport des capacités thermiques \gamma constant subissant une évolution isentropique (loi de Laplace) :

   P V^\gamma = \text{cte}

   En prenant la dérivée logarithmique à entropie s constante :

   \ln P + \gamma \ln V = \text{cte} \implies \frac{\mathrm{d}P}{P} + \gamma \frac{\mathrm{d}V}{V} = 0

   On en déduit l'expression de la dérivée partielle :

   \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{\!s} = -\frac{V}{\gamma P}

   En substituant cette dérivée dans l'expression de \chi_s, il vient :

   \boxed{\chi_s = \frac{1}{\gamma P}}

   Résultat

   $${\chi }_s=\frac{1}{\gamma P}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Modelisation PSI 2026, Q9

   D'après la question Q8, le coefficient de compressibilité isentropique de l'air assimilé à un gaz parfait est donné par :

   \chi_s = \frac{1}{\gamma P}

   L'équation d'état du gaz parfait pour une masse m occupant un volume V s'écrit :

   P V = \frac{m}{M_a} R T

   La masse volumique de l'air \rho = \frac{m}{V} s'exprime donc sous la forme :

   \rho = \frac{P M_a}{R T}

   En injectant ces deux expressions dans la définition de la célérité du son V_{\mathrm{son}} = \sqrt{\dfrac{1}{\rho \chi_s}}, on obtient :

   \frac{1}{\rho \chi_s} = \frac{\gamma P}{\rho} = \frac{\gamma P}{\dfrac{P M_a}{R T}} = \frac{\gamma R T}{M_a}

   D'où l'expression recherchée :

   \boxed{V_{\mathrm{son}} = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M_a}}}

   Résultat

   $$V_{\mathrm{son}}=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M_a}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Modelisation PSI 2026, Q10

   Pour une mole de gaz parfait, la relation de Mayer s'écrit :

   C_{p,m} - C_{V,m} = R

   Par définition du coefficient isentropique \gamma :

   \gamma = \frac{C_{p,m}}{C_{V,m}} \iff C_{V,m} = \frac{C_{p,m}}{\gamma}

   En injectant cette relation dans celle de Mayer, on obtient :

   C_{p,m}\left(1 - \frac{1}{\gamma}\right) = R \iff C_{p,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}

   La capacité thermique massique à pression constante c_p s'en déduit en divisant la capacité molaire C_{p,m} par la masse molaire M du gaz :

   c_p = \frac{C_{p,m}}{M}

   D'où l'expression recherchée :

   \boxed{c_p = \frac{\gamma R}{(\gamma - 1)M}}

   Résultat

   $$c_p=\frac{\gamma R}{(\gamma -1)M}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 PSI 2025, Q8

   Par définition, pour une mole de fluide homogène, les capacités thermiques molaires à volume constant et à pression constante s'écrivent :

   C_{vm} = \left( \frac{\partial U_m}{\partial T} \right)_{V_m} \quad \text{et} \quad C_{pm} = \left( \frac{\partial H_m}{\partial T} \right)_{P}

   où H_m = U_m + P V_m désigne l'enthalpie molaire du gaz.

   1. Expression de C_{vm} :
      D'après la première loi de Joule vérifiée par le fluide et le résultat de la question Q7, l'énergie interne molaire s'écrit U_m(T) = \frac{RT}{\gamma - 1} + U_0. La dérivée partielle se réduit à une dérivée droite :

      \boxed{C_{vm} = \frac{\mathrm{d}U_m}{\mathrm{d}T} = \frac{R}{\gamma - 1}}

   2. Expression de C_{pm} :
      D'après l'équation d'état obtenue à la question Q7, P(V_m - b) = RT, soit P V_m = RT + P b. L'enthalpie molaire vaut donc :

      H_m(T, P) = U_m(T) + RT + P b

      En dérivant par rapport à T à pression P constante (le covolume b étant une constante) :

      C_{pm} = \left( \frac{\partial H_m}{\partial T} \right)_P = \frac{\mathrm{d}U_m}{\mathrm{d}T} + R = C_{vm} + R

      Ce qui conduit à :

      \boxed{C_{pm} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}}

   Résultat

   $$C_{vm}=\frac{\mathrm{d}{U}_m}{\mathrm{d}T}=\frac{R}{\gamma -1}$$

   $$C_{pm}=\frac{\gamma R}{\gamma -1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q5

   Pour un gaz parfait subissant une transformation isentropique, la loi de Laplace s'écrit :

   P V^\gamma = \text{cte}

   Par différentiation logarithmique à entropie S fixée, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}P}{P} + \gamma \frac{\mathrm{d}V}{V} = 0 \implies \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_S = -\frac{V}{\gamma P}

   Le coefficient de compressibilité isentropique s'en déduit à l'état d'équilibre :

   \chi_s = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_S = \frac{1}{\gamma P_0}

   Par ailleurs, l'équation d'état du gaz parfait pour une masse m de volume V donne :

   P_0 V = \frac{m}{M_{\text{air}}} R T_0 \implies \mu_0 = \frac{m}{V} = \frac{P_0 M_{\text{air}}}{R T_0}

   D'après l'expression établie à la question Q4, la célérité c_1 des ondes acoustiques dans l'air s'écrit :

   c_1 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_s}} = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{P_0 M_{\text{air}}}{R T_0} \times \dfrac{1}{\gamma P_0}}}

   soit finalement :

   \boxed{c_1 = \sqrt{\frac{\gamma R T_0}{M_{\text{air}}}}}

   Application numérique :

   • T_0 = 293\text{ K}
   • \gamma = 1{,}40
   • M_{\text{air}} = 29{,}0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

   c_1 = \sqrt{\frac{1{,}40 \times 8{,}31 \times 293}{29{,}0 \times 10^{-3}}} \approx 343\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   \boxed{c_1 = 343\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$c_1=\sqrt{\frac{\gamma R{T}_0}{M_{\text{air}}}}$$

   $$c_1=343\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique PSI 2024, Q40

   Le gaz d'atomes de rubidium (atomes neutres sans liaisons chimiques) est assimilé à un gaz parfait monoatomique à la température T. Dans le référentiel du laboratoire, chaque atome de masse M possède trois degrés de liberté de translation indépendants, associés aux composantes cartésiennes de sa vitesse \vec{v} = (v_x, v_y, v_z).

   D'après le théorème d'équipartition de l'énergie, chaque terme quadratique indépendant de l'énergie cinétique contribue en moyenne pour \frac{1}{2}k_{\mathrm{B}}T à l'énergie thermique :

   \langle E_{\mathrm{c}} \rangle = \frac{1}{2} M \langle v^2 \rangle = \frac{1}{2} M \left( \langle v_x^2 \rangle + \langle v_y^2 \rangle + \langle v_z^2 \rangle \right) = 3 \times \frac{1}{2} k_{\mathrm{B}} T = \frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T.

   Par définition, la vitesse quadratique moyenne des atomes est la racine carrée de la moyenne du carré de la vitesse :

   \boxed{v_{\mathrm{qm}} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{M}}}

   Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

   • k_{\mathrm{B}} = 1{,}4 \times 10^{-23}\;\mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1},
   • T = 1\,000\;\mathrm{K} = 10^3\;\mathrm{K},
   • M = 1{,}4 \times 10^{-25}\;\mathrm{kg}.

   Le rapport k_{\mathrm{B}}/M se calcule immédiatement :

   \frac{k_{\mathrm{B}}}{M} = \frac{1{,}4 \times 10^{-23}}{1{,}4 \times 10^{-25}} = 10^2\;\mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}\cdot\mathrm{kg}^{-1},

   ce qui conduit à :

   v_{\mathrm{qm}} = \sqrt{3 \times 10^2 \times 10^3} = \sqrt{30 \times 10^4} = 10^2 \sqrt{30} \simeq 100 \times 5{,}48\;\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

   En conservant deux chiffres significatifs :

   \boxed{v_{\mathrm{qm}} \approx 5{,}5 \times 10^2\;\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}}

   Résultat

   $$v_{\mathrm{qm}}=\sqrt{⟨v^2⟩}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm{B}}T}{M}}$$

   $$v_{\mathrm{qm}}\approx 5,5\times 10^2\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 PSI 2023, Q2

   Hypothèses nécessaires :

   • La voile est considérée fixe dans le référentiel d'étude galiléen lié à la Terre.
   • Les particules d'air ont toutes pour vitesse initiale \vec{v}_i = \vec{v}_{\mathrm{v}} = v_{\mathrm{v}}\widehat{e}_x.
   • Le choc est parfaitement inélastique : la particule cède intégralement sa quantité de mouvement à la voile, de sorte que sa vitesse finale immédiatement après collision est \vec{v}_f = \vec{0}.
   • Le transfert de quantité de mouvement s'effectue sur la durée caractéristique \tau du choc, et la force exercée est modélisée par sa valeur moyenne temporelle sur cet intervalle.
   • Le poids de la molécule et les interactions intermoléculaires sont négligés devant la force de contact lors de l'impact.

   La variation de quantité de mouvement de la molécule au cours de la collision s'écrit :

   \Delta \vec{p}_{\mathrm{mol}} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = m \vec{v}_f - m \vec{v}_i = -m \vec{v}_{\mathrm{v}} = -m v_{\mathrm{v}} \widehat{e}_x

   D'après le théorème de la quantité de mouvement sous forme intégrée (théorème de l'impulsion) sur la durée \tau, la force moyenne \vec{f}_{\mathrm{voile} \to \mathrm{mol}} exercée par la voile sur la molécule vérifie :

   \vec{f}_{\mathrm{voile} \to \mathrm{mol}} = \frac{\Delta \vec{p}_{\mathrm{mol}}}{\tau} = -\frac{m v_{\mathrm{v}}}{\tau}\widehat{e}_x

   En vertu du principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force \vec{f} exercée par la molécule d'air sur la voile est l'opposée de cette action :

   \vec{f} = \vec{f}_{\mathrm{mol} \to \mathrm{voile}} = -\vec{f}_{\mathrm{voile} \to \mathrm{mol}}

   D'où :

   \boxed{\vec{f} = \frac{m v_{\mathrm{v}}}{\tau}\widehat{e}_x}

   Résultat

   $$\vec{f}=\frac{m{v}_{\mathrm{v}}}{\tau }{\hat{e}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10X-ENS Physique PSI 2023, Q8

    La seconde identité thermodynamique s'écrit pour le système fermé constitué par le gaz :

    \mathrm{d}H = T\,\mathrm{d}S + V\,\mathrm{d}P \iff \mathrm{d}S = \frac{\mathrm{d}H}{T} - \frac{V}{T}\,\mathrm{d}P

    L'air étant assimilé à un gaz parfait, son enthalpie ne dépend que de la température (première loi de Joule) :

    \mathrm{d}H = m c_p\,\mathrm{d}T

    où m est la masse du système et c_p sa capacité thermique massique à pression constante.

    D'après l'équation d'état des gaz parfaits, avec la relation de Mayer c_p - c_v = \frac{R}{\mathcal{M}} :

    P V = \frac{m}{\mathcal{M}} R T = m(c_p - c_v) T \implies \frac{V}{T} = \frac{m(c_p - c_v)}{P}

    La variation infinitésimale d'entropie en fonction des différentielles \mathrm{d}T et \mathrm{d}P s'exprime donc sous la forme :

    \mathrm{d}S = m c_p \frac{\mathrm{d}T}{T} - m(c_p - c_v) \frac{\mathrm{d}P}{P}

    Pour éliminer la masse m, on écrit l'équation d'état dans l'état de référence 1 :

    P_1 V_1 = m(c_p - c_v) T_1 \implies m = \frac{P_1 V_1}{(c_p - c_v) T_1}

    En injectant cette relation dans l'expression de \mathrm{d}S, on obtient :

    \begin{aligned} \mathrm{d}S &= \frac{P_1 V_1}{(c_p - c_v) T_1} \left( c_p \frac{\mathrm{d}T}{T} - (c_p - c_v) \frac{\mathrm{d}P}{P} \right) \\ &= \frac{P_1 V_1}{T_1} \left( \frac{c_p}{c_p - c_v} \frac{\mathrm{d}T}{T} - \frac{\mathrm{d}P}{P} \right) \end{aligned}

    \boxed{\mathrm{d}S = \frac{P_1 V_1}{T_1} \left( \frac{c_p}{c_p - c_v} \frac{\mathrm{d}T}{T} - \frac{\mathrm{d}P}{P} \right) = \frac{c_p}{c_p - c_v} \frac{P_1 V_1}{T_1} \frac{\mathrm{d}T}{T} - \frac{P_1 V_1}{T_1} \frac{\mathrm{d}P}{P}}

    Résultat

    $$\mathrm{d}S=\frac{P_1{V}_1}{T_1}\left(\frac{c_p}{c_p-c_v}\frac{\mathrm{d}T}{T}-\frac{\mathrm{d}P}{P}\right)=\frac{c_p}{c_p-c_v}\frac{P_1{V}_1}{T_1}\frac{\mathrm{d}T}{T}-\frac{P_1{V}_1}{T_1}\frac{\mathrm{d}P}{P}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question