Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2026

Les nombres d'électrons de valence des atomes considérés sont :

• Azote \mathrm{N} (colonne 15) : n_{\mathrm{v}}(\mathrm{N}) = 5 ;
• Oxygène \mathrm{O} (colonne 16) : n_{\mathrm{v}}(\mathrm{O}) = 6 ;
• Hydrogène \mathrm{H} (colonne 1) : n_{\mathrm{v}}(\mathrm{H}) = 1.

1. Monoxyde d'azote \mathrm{NO}(\mathrm{g}) : Il comporte 5 + 6 = 11 électrons de valence (nombre impair). On ne peut pas former exclusivement des paires d'électrons :

2. Ion nitrite \mathrm{NO}_2^-(\mathrm{aq}) : Nombre d'électrons de valence : 5 + 2 \times 6 + 1 = 18 électrons, soit 9 doublets. L'atome central d'azote porte un doublet non liant, une double liaison avec un oxygène et une liaison simple avec un oxygène portant une charge formelle négative :

3. Acide nitreux \mathrm{HNO}_2(\mathrm{aq}) : Nombre d'électrons de valence : 1 + 5 + 2 \times 6 = 18 électrons (9 doublets). Le proton est lié à l'un des atomes d'oxygène :

4. Ion nitrate \mathrm{NO}_3^-(\mathrm{aq}) : Nombre d'électrons de valence : 5 + 3 \times 6 + 1 = 24 électrons, soit 12 doublets. L'azote central est tétracovalent, porte une charge formelle positive \oplus, et est lié à un oxygène par une double liaison et à deux oxygènes par des liaisons simples portant chacun une charge formelle \ominus :

5. Acide nitrique \mathrm{HNO}_3(\mathrm{aq}) : Nombre d'électrons de valence : 1 + 5 + 3 \times 6 = 24 électrons (12 doublets) :

Particularité du monoxyde d'azote \mathrm{NO}(\mathrm{g}) :

Ne pouvant pas saturer la couche de valence de chacun de ses atomes (l'azote est entouré de 7 électrons), il présente une très forte réactivité afin de compléter son octet (tendance rapide à la dimérisation en \mathrm{N}_2\mathrm{O}_2 à basse température ou à l'oxydation en \mathrm{NO}_2 en présence de dioxygène).

L'acide nitrique \mathrm{HNO}_3 est un acide fort dans l'eau. Sa réaction de dissolution dans l'eau, totale, s'écrit :

D'après les données thermodynamiques de l'énoncé, le \mathrm{p}K_a associé au couple \mathrm{HNO}_3(\mathrm{aq})/\mathrm{NO}_3^-(\mathrm{aq}) vaut :

L'espèce \mathrm{HNO}_3 ne pourrait prédominer que pour un \mathrm{pH} strictement inférieur à sa valeur de \mathrm{p}K_a, c'est-à-dire pour \mathrm{pH} < -1{,}4. Le diagramme potentiel-pH fourni étant tracé sur le domaine usuel \mathrm{pH} \in [0, 14], l'acide nitrique y est totalement dissocié sous forme d'ions nitrate \mathrm{NO}_3^-(\mathrm{aq}). Son domaine de prédominance n'apparaît donc pas sur la figure 2.

L'acide nitreux \mathrm{HNO}_2(\mathrm{aq}) est au nombre d'oxydation +\mathrm{III}.

D'après le couple acido-basique \mathrm{HNO}_2/\mathrm{NO}_2^-, de \mathrm{p}K_a = 3{,}3, la forme acide \mathrm{HNO}_2 ne pourrait prédominer que pour :

Examinons les couples redox faisant intervenir \mathrm{HNO}_2 dans ce domaine acide, avec leurs potentiels standard à \mathrm{pH} = 0 :

Le potentiel standard du couple où \mathrm{HNO}_2 joue le rôle d'oxydant (E^\circ_1 = 1{,}00\text{ V}) est supérieur à celui du couple où il joue le rôle de réducteur (E^\circ_2 = 0{,}94\text{ V}) :

L'acide nitreux \mathrm{HNO}_2 est donc instable thermodynamiquement : il se dismute spontanément selon la réaction :

Ne possédant aucun domaine de prédominance thermodynamiquement stable, \mathrm{HNO}_2 n'apparaît pas dans le diagramme potentiel-\mathrm{pH}.

D'après les questions précédentes, l'acide nitrique \mathrm{HNO}_3 est totalement dissocié et l'acide nitreux \mathrm{HNO}_2 est dismuté. Les trois espèces azotées susceptibles d'apparaître dans le diagramme sont donc :

• l'ion nitrate \mathrm{NO}_3^-(\mathrm{aq}) ;
• l'ion nitrite \mathrm{NO}_2^-(\mathrm{aq}) ;
• le monoxyde d'azote \mathrm{NO}(\mathrm{g}).

Déterminons le nombre d'oxydation de l'azote dans chacune de ces espèces (le nombre d'oxydation de l'oxygène étant conventionnellement pris égal à -\text{II}) :

Dans un diagramme potentiel-pH, l'axe des ordonnées classe les espèces par potentiel d'oxydoréduction croissant : les espèces associées aux degrés d'oxydation les plus élevés prédominent (ou sont stables) aux potentiels les plus hauts.

• Le degré d'oxydation le plus élevé (+\text{V}) correspond au domaine situé le plus haut en potentiel : le domaine 2 est attribué à l'ion nitrate \mathrm{NO}_3^-(\mathrm{aq}).
• Le degré d'oxydation le plus faible (+\text{II}) correspond au domaine situé aux potentiels les plus bas : le domaine 1 est attribué au monoxyde d'azote \mathrm{NO}(\mathrm{g}).
• Le degré d'oxydation intermédiaire (+\text{III}) correspond à la zone de potentiel intermédiaire, stable uniquement pour \mathrm{pH} > \mathrm{pH}_A : le domaine 3 est attribué à l'ion nitrite \mathrm{NO}_2^-(\mathrm{aq}).

1. Frontière séparant les domaines 2 et 3 (\mathrm{NO_3^-} / \mathrm{NO_2^-})

L'ion nitrate \mathrm{NO_3^-} (domaine 2) et l'ion nitrite \mathrm{NO_2^-} (domaine 3) constituent le couple redox \mathrm{NO_3^-}/\mathrm{NO_2^-}, dont la demi-équation électronique s'écrit :

La formule de Nernst donne l'expression du potentiel d'électrode :

À la frontière, selon la convention de tracé, les espèces en solution ont la même concentration c_0 = 0{,}1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, soit [\mathrm{NO_3^-}] = [\mathrm{NO_2^-}] = c_0. Il vient :

Avec la valeur E^\circ(\mathrm{NO_3^-}/\mathrm{NO_2^-}) = 0{,}84\text{ V} :

2. Frontière séparant les domaines 1 et 3 (\mathrm{NO_2^-} / \mathrm{NO})

L'ion nitrite \mathrm{NO_2^-} (domaine 3) et le monoxyde d'azote \mathrm{NO} (domaine 1) sont reliés par le couple \mathrm{NO_2^-}/\mathrm{NO(g)}, de demi-équation :

D'après la formule de Nernst :

D'après les conventions de tracé adoptées, à la frontière [\mathrm{NO_2^-}] = c_0 = 0{,}1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} et P_{\mathrm{NO}} = P^\circ = 1\text{ bar}. On a donc :

D'où l'équation de la frontière :

D'après les résultats de la question Q5, les équations des frontières séparant d'une part les domaines 2 (\mathrm{NO}_3^-) et 3 (\mathrm{NO}_2^-), et d'autre part les domaines 1 (\mathrm{NO}) et 3 (\mathrm{NO}_2^-), s'écrivent :

Au point A, ces deux potentiels sont égaux :

d'où :

On en déduit l'ordonnée E_A en réinjectant \mathrm{pH}_A dans l'une des deux équations :

L'espèce associée au domaine 3 est l'ion nitrite \mathrm{NO}_2^-(\mathrm{aq}), d'étage d'oxydation +\mathrm{III} (question Q4).

D'après les résultats des questions Q5 et Q6, pour \mathrm{pH} < \mathrm{pH}_A = 5{,}0, la droite frontière E_{1/3}(\mathrm{pH}) se situe au-dessus de la droite E_{2/3}(\mathrm{pH}) :

L'ion nitrite \mathrm{NO}_2^-(\mathrm{aq}) est donc simultanément un meilleur oxydant que le couple \mathrm{NO}_3^-/\mathrm{NO}_2^- et un meilleur réducteur que le couple \mathrm{NO}_2^-/\mathrm{NO}. Il ne possède donc plus de domaine de prédominance et réagit spontanément sur lui-même selon les demi-équations d'oxydoréduction :

En sommant ces deux demi-équations, l'équation-bilan de la réaction s'écrit :

Cette réaction, au cours de laquelle une espèce à un nombre d'oxydation intermédiaire (+\mathrm{III}) se transforme simultanément en une espèce plus oxydée (\mathrm{NO}_3^-, au degré +\mathrm{V}) et une espèce plus réduite (\mathrm{NO}, au degré +\mathrm{II}), est une dismutation.

Un acide classique non oxydant (dont l'oxydant est l'ion \mathrm{H}^+ via le couple \mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2(\mathrm{g})) présente un potentiel E(\mathrm{H}^+/\mathrm{H}_2) = -0{,}06\,\mathrm{pH} \le 0\text{ V}. Or, le couple de l'argent vérifie :

L'argent ne peut donc pas être oxydé par les ions \mathrm{H}^+ seuls : il doit être attaqué par un acide oxydant, à savoir l'acide nitrique \mathrm{HNO}_3, totalement dissocié en solution aqueuse sous forme d'ions \mathrm{H}^+ et \mathrm{NO}_3^-.

Domaine de pH d'attaque spontanée Pour \mathrm{pH} < \mathrm{pH}_A = 5{,}0, l'oxydant prédominant associé à l'acide nitrique est le nitrate \mathrm{NO}_3^-, réduit en monoxyde d'azote \mathrm{NO(g)} selon la demi-équation électronique :

Le potentiel de ce couple s'écrit, à T = 298\text{ K} :

Avec la convention de tracé de l'énoncé ([\mathrm{NO}_3^-] = c_0 = 0{,}1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} et P_{\mathrm{NO}} = P_0 = 1\text{ bar}) :

De même, pour le couple \mathrm{Ag}^+/Ag(\mathrm{s}) :

L'attaque est spontanée sous la convention de tracé si et seulement si E(\mathrm{NO}_3^-/\mathrm{NO}) > E(\mathrm{Ag}^+/\mathrm{Ag}), soit :

Remarque : Dans les conditions standard (a = 1 pour tous les solutés et gaz), la condition s'écrirait E^\circ(\mathrm{NO}_3^-/\mathrm{NO}) - 0{,}08\,\mathrm{pH} > E^\circ(\mathrm{Ag}^+/\mathrm{Ag}), soit 0{,}96 - 0{,}08\,\mathrm{pH} > 0{,}80, ce qui conduit à \mathrm{pH} < 2{,}0.

L'argent est donc attaqué spontanément par l'acide nitrique pour :

Équation bilan de la réaction En combinant les demi-équations d'oxydation de l'argent et de réduction des nitrates :

On obtient l'équation bilan :

Constante d'équilibre Le nombre d'électrons échangés est n = 3. La constante d'équilibre K^\circ est reliée aux potentiels standard par :

Application numérique :

D'où :

1. Schéma du dispositif expérimental

Pour dissoudre l'argent métallique de la gaine, il faut réaliser son oxydation : le fil de Wollaston doit être relié à la borne positive du générateur (anode). L'électrode inattaquable de platine est reliée à la borne négative (cathode).

2. Réactions aux électrodes

• À l'anode (fil de Wollaston, pôle +) : oxydation de la gaine d'argent

  \mathrm{Ag(s)} \longrightarrow \mathrm{Ag^+(aq)} + \mathrm{e^-}

• À la cathode (fil de platine, pôle -) : réduction des protons en milieu acide

  2\,\mathrm{H^+(aq)} + 2\,\mathrm{e^-} \longrightarrow \mathrm{H_2(g)}

  (ou éventuellement réduction des ions nitrate ou des ions \mathrm{Ag^+} formés).

3. Intérêt du procédé

L'électrolyse présente plusieurs avantages majeurs par rapport à l'attaque chimique spontanée :

• Contrôle cinétique précis : d'après la loi de Faraday, la masse d'argent dissoute est directement proportionnelle à la charge Q = I \Delta t ayant traversé le circuit :

  m_{\mathrm{Ag}} = \frac{M_{\mathrm{Ag}} \, I \, \Delta t}{\mathcal{F}}

  ce qui permet de maîtriser précisément l'épaisseur ou la longueur de fil dénudée ;

• Arrêt immédiat : la réaction s'interrompt instantanément dès l'ouverture du circuit, évitant le risque de sur-attaque spontanée ;
• Reproductibilité : elle assure une fabrication plus fiable et reproductible de la sonde à l'échelle micrométrique.

Le filament est modélisé par un cylindre homogène de section constante S = \pi R^2 et de longueur totale \ell = 2L (le filament s'étendant de x = -L à x = L).

À la température ambiante T_0, sa résistivité électrique est uniforme et égale à \rho_0. La résistance électrique R_0 s'exprime selon la loi de Pouillet :

Application numérique : Avec les données :

• \rho_0 = 1{,}9 \times 10^{-7}\ \Omega\cdot\mathrm{m},
• L = 100\ \mu\mathrm{m} = 1{,}0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m},
• R = 2{,}5\ \mu\mathrm{m} = 2{,}5 \times 10^{-6}\ \mathrm{m}, d'où S = \pi R^2 \approx 1{,}96 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}^2,

on obtient :

En conservant deux chiffres significatifs :

La pointe étant alimentée par un courant d'intensité I_0, le filament de platine et les fils de Wollaston sont traversés par le même courant. La tension mesurée aux bornes de l'ensemble s'écrit donc :

D'après la question Q10, la résistance du filament vaut R_0 \approx 1{,}9\ \Omega, tandis que la résistance des fils de Wollaston est R_{\mathrm{W}} = 1{,}5 \times 10^{-3}\ \Omega. On constate que :

La résistance des fils de Wollaston est inférieure à 0{,}1\ \% de celle du filament. La chute de tension ohmique dans les fils d'argent est donc négligeable devant celle aux bornes du filament :

La tension mesurée aux bornes de la pointe est ainsi sensiblement égale à celle aux bornes du filament.

D'après l'approximation admise par l'énoncé et l'expression de la résistance R_0 = \dfrac{2\rho_0 L}{S} établie en Q10, la résistance électrique du filament soumis à un échauffement \theta(x) s'écrit :

D'après la question Q11, la tension aux bornes de la pointe se confond avec celle aux bornes du filament. La pointe étant alimentée par un courant continu d'intensité I_0 constante, la loi d'Ohm donne :

On en déduit les tensions respectives hors contact (U_{\mathrm{hc}}) et en contact (U_{\mathrm{ec}}) :

La variation de tension lors de la mise en contact avec l'échantillon vaut alors :

Par linéarité de l'opérateur moyenne spatiale, \langle\theta_{\mathrm{ec}}\rangle - \langle\theta_{\mathrm{hc}}\rangle = \langle\theta_{\mathrm{ec}} - \theta_{\mathrm{hc}}\rangle = \langle\Delta\theta\rangle. On obtient finalement :

Comme a, R_0 et I_0 sont constants, la variation de tension \Delta U_{\mathrm{DC}} est bien proportionnelle à l'échauffement moyen différentiel \langle\Delta\theta\rangle.

Considérons le système fermé constitué par une tranche de filament comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite constante S et de masse :

Entre les instants t et t+\mathrm{d}t, le filament étant une phase condensée indilatable et incompressible (C_v \approx C_p), la variation d'énergie interne de cette tranche s'écrit :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche fixe :

• Transferts conductifs : l'écoulement de chaleur étant unidimensionnel selon l'axe Ox et les échanges latéraux (convection avec l'air et rayonnement) étant négligés, la chaleur nette reçue par conduction à travers les sections en x et x+\mathrm{d}x est :

  \delta Q_{\text{cond}} = \left[\Phi(x,t) - \Phi(x+\mathrm{d}x,t)\right]\mathrm{d}t = -\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t,

  où le flux thermique traversant une section d'aire S orientée selon \vec{u}_x est donné par la loi de Fourier :

  \Phi(x,t) = \vec{j}(x,t)\cdot\vec{u}_x \, S = -\lambda S \frac{\partial T}{\partial x}(x,t).

  La conductivité thermique \lambda étant supposée uniforme, il vient :

  \delta Q_{\text{cond}} = \lambda S \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}(x,t)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

• Effet Joule : la puissance thermique linéique générée étant notée p_{\mathrm{J,lin}}, l'énergie électrique dissipée par effet Joule dans la tranche s'écrit :

  \delta W_J = p_{\mathrm{J,lin}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t.

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U et en simplifiant par \mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient bien l'équation de la diffusion thermique :

Considérons une tranche élémentaire de filament comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite S.

En négligeant la variation de résistivité avec la température, la résistivité électrique est uniforme et égale à \rho_0. La résistance électrique élémentaire \mathrm{d}R de ce tronçon de longueur \mathrm{d}x s'écrit :

Traversé par le courant continu d'intensité I_0, ce tronçon dissipe par effet Joule une puissance élémentaire :

La puissance thermique linéique p_{\mathrm{J,lin}} = \frac{\mathrm{d}P_{\mathrm{J}}}{\mathrm{d}x} générée par effet Joule s'en déduit directement :

En régime permanent hors contact, la température est indépendante du temps :

Comme la température ambiante T_0 est constante, l'échauffement \theta_{\mathrm{hc}}(x) = T_{\mathrm{hc}}(x) - T_0 vérifie :

L'équation de diffusion thermique obtenue à la question Q13 s'écrit alors :

En injectant l'expression de la puissance thermique linéique p_{\mathrm{J,lin}} = \frac{\rho_0 I_0^2}{S} déterminée à la question Q14, on obtient :

soit :

avec J = \dfrac{\rho_0}{\lambda S^2} I_0^2.

D'après la question Q15, l'échauffement \theta_{\mathrm{hc}}(x) vérifie en régime permanent l'équation différentielle :

Par intégration successive par rapport à x, il vient :

où A et B sont deux constantes d'intégration.
Les conditions aux limites imposées par les fils de Wollaston se comportant comme des thermostats à la température T_0 s'écrivent :

En appliquant ces conditions :

En effectuant la demi-différence et la demi-somme de ces deux équations, on obtient directement :

L'échauffement hors contact s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q16, l'échauffement hors contact s'écrit :

Ce profil présente les caractéristiques suivantes :

• c'est un arc de parabole à concavité tournée vers le bas (\frac{\mathrm{d}^2\theta_{\mathrm{hc}}}{\mathrm{d}x^2} = -J < 0) ;
• la fonction est paire, symétrique par rapport à l'axe x = 0 ;
• l'échauffement s'annule aux extrémités en contact avec les fils de Wollaston : \theta_{\mathrm{hc}}(-L) = \theta_{\mathrm{hc}}(L) = 0 ;

• il atteint un maximum au centre du filament en x = 0 avec une tangente horizontale (\frac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{hc}}}{\mathrm{d}x}(0) = 0) :

  \theta_{\mathrm{max}} = \theta_{\mathrm{hc}}(0) = \frac{J L^2}{2}

Par définition, la valeur moyenne de l'échauffement \theta_{\mathrm{hc}}(x) sur l'intervalle [-L, L] est :

D'après la question Q16, le profil d'échauffement est une fonction paire :

On en déduit :

En remplaçant J = \dfrac{\rho_0}{\lambda S^2} I_0^2 et S = \pi R^2, on obtient l'expression littérale :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• \rho_0 = 1{,}9 \times 10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m},
• \lambda = 38\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1},
• L = 100\ \mu\text{m} = 1{,}00 \times 10^{-4}\text{ m},
• R = 2{,}5\ \mu\text{m} = 2{,}5 \times 10^{-6}\text{ m},
• I_0 = 50\text{ mA} = 5{,}0 \times 10^{-2}\text{ A}.

Le calcul donne :

En conservant deux chiffres significatifs :

Compte tenu de la géométrie de l'échantillon (demi-espace z \le 0) et de l'isothermie de la demi-boule de contact à la température T_1, le champ de température ne dépend que de la distance radiale r au centre du contact : T = T(r).

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique dans l'échantillon s'écrit :

Le flux thermique \Phi traversant une demi-sphère de rayon r \ge b (de surface S(r) = 2\pi r^2, orientée vers l'extérieur selon \vec{u}_r) vaut :

En régime permanent et en l'absence de sources thermiques dans le matériau pour r > b, le flux thermique se conserve à travers toute surface fermée, donc \Phi est indépendant de r. On sépare les variables :

On intègre cette relation entre la surface de contact r = b, où T(b) = T_1, et l'infini r \to \infty, où T(\infty) = T_0 :

Il vient ainsi :

Par définition de la conductance thermique G_{\mathrm{e}} assurant le transfert entre la demi-boule à température T_1 et l'infini à température T_0, on a \Phi = G_{\mathrm{e}} (T_1 - T_0), ce qui donne immédiatement :

En régime permanent, le flux thermique \Phi issu de la pointe traverse successivement deux milieux sans accumulation d'énergie :

• l'interface pointe-échantillon, caractérisée par la conductance de contact G_{\mathrm{c}} entre la pointe à la température T(0) et la demi-boule à la température T_1 :

  \Phi = G_{\mathrm{c}}\,(T(0) - T_1) \iff T(0) - T_1 = \frac{\Phi}{G_{\mathrm{c}}}

• l'échantillon, entre la demi-boule à la température T_1 et l'infini à la température T_0, caractérisé par la conductance thermique G_{\mathrm{e}} :

  \Phi = G_{\mathrm{e}}\,(T_1 - T_0) \iff T_1 - T_0 = \frac{\Phi}{G_{\mathrm{e}}}

En sommant ces deux chutes de température, on élimine la température intermédiaire T_1 :

Par définition, l'échauffement de la pointe en x = 0 est \theta_{\mathrm{ec}}(0) = T(0) - T_0. On en déduit :

Le flux thermique \Phi est donc bien proportionnel à l'échauffement \theta_{\mathrm{ec}}(0).

En utilisant l'expression établie à la question Q19, G_{\mathrm{e}} = 2\pi\lambda_{\mathrm{e}}b, la conductance globale G s'exprime sous la forme :

soit :

1. Signe de \Phi :

Le texte précise que le filament évacue de l'énergie vers l'échantillon, et \Phi désigne le flux thermique transmis à ce dernier (avec \Phi = G\,\theta_{\text{ec}}(0) et \theta_{\text{ec}}(0) > 0). Par convention de comptage vers l'échantillon, on a donc :

2. Signes de j_x(0^-) et j_x(0^+) :

L'axe Ox est orienté de la gauche (x = -L) vers la droite (x = L). Le contact ponctuel en x = 0 constitue un puits thermique pour les deux parties du filament :

• Pour x < 0, la chaleur convergeant vers le point de contact en x = 0 se propage dans le sens des x croissants, soit dans le sens de \vec{u}_x. Le vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath}(0^-) est donc orienté selon +\vec{u}_x, d'où :

  \boxed{j_x(0^-) > 0}

• Pour x > 0, la chaleur convergeant vers le point de contact en x = 0 se propage dans le sens des x décroissants, soit dans le sens opposé à \vec{u}_x. Le vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath}(0^+) est donc orienté selon -\vec{u}_x, d'où :

  \boxed{j_x(0^+) < 0}

On peut également retrouver ce résultat par un bilan thermique sur une tranche infinitésimale entourant x = 0 de section S. Le flux extrait vers l'échantillon étant \Phi, et provenant à parts égales des parties gauche et droite, le flux surfacique arrivant depuis la gauche est S\,j_x(0^-) = +\frac{\Phi}{2} > 0 et le flux surfacique arrivant depuis la droite est -S\,j_x(0^+) = +\frac{\Phi}{2} > 0, ce qui confirme immédiatement les signes obtenus.

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle appliquée au filament de section S et de conductivité thermique \lambda, la projection du vecteur densité de flux thermique s'écrit, pour tout x \in {]0, L[} :

puisque \theta_{\mathrm{ec}}(x) = T(x) - T_0 avec T_0 constante. En tendant vers l'abscisse x = 0 par valeurs supérieures, on a donc :

D'après le résultat de la question Q21, la moitié du flux thermique \Phi évacué vers l'échantillon provient de la branche droite du filament, ce qui se traduit par :

En utilisant la relation établie à la question Q20 reliant le flux évacué à l'échauffement au point de contact, \Phi = G\,\theta_{\mathrm{ec}}(0), il vient :

On en déduit l'expression demandée :

D'après les questions Q13 et Q15, sur l'intervalle ]0, L[, l'échauffement en régime permanent vérifie :

Par intégration successive par rapport à x, la forme générale de l'échauffement s'écrit :

où C et D sont deux constantes d'intégration.

Déterminons ces constantes à l'aide des conditions aux limites :

• En x = L, le fil est en contact avec le thermostat à la température T_0, d'où :

  \theta_{\mathrm{ec}}(L) = 0 \iff -\frac{J}{2}L^2 + C\,L + D = 0 \iff D = \frac{J L^2}{2} - C\,L

• En x = 0^+, la valeur de l'échauffement est \theta_{\mathrm{ec}}(0) = D et sa dérivée vaut :

  \frac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{ec}}}{\mathrm{d}x}(0^+) = C

  D'après la relation établie à la question Q22 :

  \frac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{ec}}}{\mathrm{d}x}(0^+) = \frac{G}{2\lambda S}\,\theta_{\mathrm{ec}}(0) \iff C = \frac{G}{2\lambda S}\,D

On pose le paramètre sans dimension :

La relation entre dérivée et valeur au centre s'écrit alors C\,L = u\,D. En injectant cette égalité dans la condition en x = L :

On en déduit l'expression de la constante C :

En substituant C et D dans l'expression de \theta_{\mathrm{ec}}(x), on obtient finalement, pour tout x \in ]0, L] :

Par symétrie du filament et des conditions aux limites en x = \pm L, et compte tenu de l'évacuation de flux à parts égales vers l'échantillon en x = 0, le profil de température est nécessairement une fonction paire :

D'après le résultat de la question précédente, pour x \in [0, L] :

Ses caractéristiques sur [0, L] sont les suivantes :

• En x = 0 : \theta_{\mathrm{ec}}(0) = \dfrac{J L^2}{2(1+u)} = \dfrac{\theta_{\mathrm{hc}}(0)}{1+u} < \theta_{\mathrm{hc}}(0).
• En x = L : \theta_{\mathrm{ec}}(L) = \dfrac{J}{2}\left(-L^2 + \dfrac{u}{1+u}L^2 + \dfrac{L^2}{1+u}\right) = 0.

• La dérivée s'écrit pour x \in ]0, L[ :

  \frac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{ec}}}{\mathrm{d}x}(x) = \frac{J}{2}\left(-2x + \frac{u}{1+u}L\right).

  En particulier, en x = 0^+ :

  \frac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{ec}}}{\mathrm{d}x}(0^+) = \frac{J L u}{2(1+u)} > 0.

  Par parité, \dfrac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{ec}}}{\mathrm{d}x}(0^-) = -\dfrac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{ec}}}{\mathrm{d}x}(0^+) < 0 : le profil présente un point anguleux (creux local) en x = 0.

• La dérivée s'annule en un abscisse x_m situé dans le filament :

  x_m = \frac{u}{2(1+u)} L \in \left]0, \frac{L}{2}\right[,

  où \theta_{\mathrm{ec}} atteint un maximum local :

  \theta_{\mathrm{max}} = \theta_{\mathrm{ec}}(x_m) = \frac{J L^2}{2(1+u)}\left(1 + \frac{u^2}{4(1+u)}\right) > \theta_{\mathrm{ec}}(0).

Le profil \theta_{\mathrm{ec}}(x) présente ainsi deux maxima symétriques en \pm x_m, un creux anguleux en x = 0 et s'annule en \pm L.

D'après les résultats des questions Q16 et Q23, les profils d'échauffement hors contact et en contact s'écrivent, pour x \in [0, L] :

En effectuant la différence \Delta\theta(x) = \theta_{\mathrm{ec}}(x) - \theta_{\mathrm{hc}}(x), les termes quadratiques en -x^2 s'annulent :

On obtient ainsi :

Le dispositif présentant une symétrie par rapport au plan x = 0, les profils de température \theta_{\mathrm{hc}}(x) et \theta_{\mathrm{ec}}(x) sont pairs sur [-L, L]. Il en résulte que la différence \Delta\theta(x) = \theta_{\mathrm{ec}}(x) - \theta_{\mathrm{hc}}(x) est également une fonction paire. La valeur moyenne sur [-L, L] se réduit donc à la moyenne sur [0, L] :

En utilisant l'expression établie à la question Q25 pour x \in [0, L] :

on calcule l'intégrale :

On en déduit :

soit :

D'après la question Q18, la valeur moyenne de l'échauffement hors contact vaut :

Puisque J > 0 et u > 0, on a |\langle\Delta\theta\rangle| = \frac{JL^2}{4}\frac{u}{1+u}, d'où :

soit finalement :

D'après la question Q20, la conductance thermique globale G modélisant le transfert pointe-échantillon correspond à l'association en série de deux résistances thermiques : la résistance thermique de contact R_{\mathrm{c}} = 1/G_{\mathrm{c}} et la résistance thermique d'épanouissement dans le matériau R_{\mathrm{e}} = 1/G_{\mathrm{e}} = 1/(2\pi\lambda_{\mathrm{e}}b) :

Pour des matériaux très bons conducteurs thermiques tels que le tantale ou le titane (\lambda_{\mathrm{e}} \gg \lambda), la conductance d'épanouissement devient très grande devant la conductance de contact (G_{\mathrm{e}} \gg G_{\mathrm{c}}, soit R_{\mathrm{e}} \ll R_{\mathrm{c}}). Il s'ensuit que :

La conductance thermique globale sature et devient indépendante de la conductivité \lambda_{\mathrm{e}} du matériau.

Par conséquent, le paramètre sans dimension u = \dfrac{GL}{2\lambda S} (établi en Q23) atteint une valeur limite :

ce qui entraîne, d'après le résultat de la question Q26, la saturation de la variation relative d'échauffement moyen (associée à la variation relative de puissance dissipée) vers un plateau :

Le transfert thermique est alors limité par la résistance thermique de contact à l'interface pointe-échantillon (résistance de constriction) : la sonde perd sa sensibilité aux variations de \lambda_{\mathrm{e}} pour les forts conducteurs.

D'après les résultats des questions Q20, Q23 et Q26, la grandeur portée en ordonnée sur la figure 5 s'exprime sous la forme :

1. Détermination de la conductance de contact G_{\mathrm{c}} Pour les matériaux très conducteurs (\lambda_{\mathrm{e}} \to \infty), G_{\mathrm{e}} = 2\pi\lambda_{\mathrm{e}}b \gg G_{\mathrm{c}}, de sorte que G \to G_{\mathrm{c}} et u \to u_{\max} = \frac{G_{\mathrm{c}} L}{2\lambda S}. La valeur limite du rapport est alors :

La lecture du plateau asymptotique sur la figure 5 (points du tantale Ta et du titane Ti) donne :

En retenant Y_{\max} \approx 0{,}35, on obtient :

Avec S = \pi R^2 = \pi (2{,}5 \times 10^{-6})^2 \approx 1{,}96 \times 10^{-11}\text{ m}^2, \lambda = 38\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et L = 100\ \mu\text{m} = 10^{-4}\text{ m} :

(une valeur comprise entre 1{,}2 \times 10^{-5}\text{ W}\cdot\text{K}^{-1} et 1{,}4 \times 10^{-5}\text{ W}\cdot\text{K}^{-1} est tout à fait acceptable compte tenu de l'incertitude de lecture).

2. Détermination du rayon de contact b La conductance de contact et la conductance d'épanouissement sont égales (G_{\mathrm{e}} = G_{\mathrm{c}}) pour une conductivité \lambda_{\mathrm{e},1/2} telle que :

Dans ce cas, G = G_{\mathrm{c}}/2, soit u = u_{\max}/2 \approx 0{,}44, ce qui correspond à une ordonnée :

Sur la figure 5, la courbe continue passe par Y \approx 0{,}23 pour une conductivité thermique :

On en déduit l'ordre de grandeur du rayon de contact :

D'après la question Q14, en négligeant les variations de la résistivité \rho_0 avec la température, la puissance linéique dissipée par effet Joule dans une tranche de filament de section S parcourue par un courant instantané i(t) s'écrit :

Avec i(t) = I_0 \cos(\omega t), on a :

En utilisant l'identité trigonométrique \cos^2(\omega t) = \dfrac{1 + \cos(2\omega t)}{2}, on obtient :

Cette puissance thermique linéique est donc bien la somme :

• d'une contribution constante (indépendante du temps) : p_{\mathrm{DC}} = \dfrac{\rho_0 I_0^2}{2S} ;
• d'une contribution oscillante à la pulsation 2\omega : p_{\mathrm{AC}}(t) = \dfrac{\rho_0 I_0^2}{2S} \cos(2\omega t).

D'après la question Q13, l'équation de la diffusion thermique s'écrit :

En y injectant l'expression de p_{\mathrm{J,lin}}(t), on obtient :

Comme T(x,t) = T_0 + \theta(x,t) avec T_0 constante, l'échauffement \theta(x,t) vérifie exactement la même équation aux dérivées partielles.

Puisque T_0 est constant, on a \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial \theta}{\partial t} et \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}. L'échauffement \theta(x,t) vérifie d'après la question Q29 :

avec les conditions aux limites fixes et homogènes \theta(-L, t) = \theta(L, t) = 0.

Cette équation aux dérivées partielles est linéaire à coefficients constants. En régime établi (après extinction des régimes transitoires d'équilibration thermique), la réponse du système à une sollicitation somme d'une composante continue et d'une composante harmonique de pulsation 2\omega est, par le théorème de superposition, la somme :

• d'une composante stationnaire \theta_{\mathrm{DC}}(x), indépendante du temps ;
• d'une composante harmonique de même pulsation 2\omega, d'amplitude spatiale \theta_{\mathrm{AC}}(x) et de phase \phi(x).

On peut donc bien écrire :

La composante continue \theta_{\mathrm{DC}}(x) correspond à la moyenne temporelle de \theta(x,t). En moyennant l'équation de la diffusion sur une période, elle vérifie l'équation stationnaire :

En partie B (question Q15), l'échauffement hors contact en courant continu d'intensité I_0 vérifiait :

Le terme source volumique moyen en régime sinusoïdal vaut exactement la moitié de celui en régime continu de même amplitude I_0. Par linéarité de l'équation différentielle et des conditions aux limites, on en déduit immédiatement :

D'après la question Q30, l'échauffement instantané en tout point du filament s'écrit :

où la phase \phi est indépendante de x.

Par linéarité de la moyenne spatiale \langle \cdot \rangle, la valeur moyenne instantanée de l'échauffement sur l'ensemble du filament [-L, L] vaut :

D'après le modèle introduit avant la question Q12, la résistance du filament est donnée par :

Sachant que la résistance à température ambiante est R_0 = \dfrac{2\rho_0 L}{S} (établie en Q10), on obtient :

D'après la question Q11, la tension mesurée aux bornes de la pointe est égale à celle aux bornes du filament. En utilisant la loi d'Ohm et l'expression de R_{\mathrm{p}}(t) établie à la question Q31 :

À l'aide de l'identité trigonométrique :

avec p = 2\omega t + \phi et q = \omega t, il vient :

La tension s'écrit donc comme la somme d'une composante fondamentale à la pulsation \omega et d'une harmonique de rang 3 à la pulsation 3\omega :

La composante à la pulsation 3\omega est de la forme u_{3\omega}(t) = U_{3\omega}\cos(3\omega t + \varphi_{3\omega}), d'où :

Le courant étant choisi comme référence de phase (i(t) = I_0 \cos(\omega t)), le déphasage \varphi_{3\omega} de cette harmonique par rapport au courant est directement :

D'après la question Q29, la température T(x,t) vérifie dans le filament :

Puisque T_0 est uniforme et constante, \theta(x,t) = T(x,t) - T_0 vérifie les mêmes dérivées que T(x,t). En divisant par \lambda S et en utilisant la définition de J = \frac{\rho_0 I_0^2}{\lambda S^2} (établie à la question Q16), l'équation devient :

En régime sinusoïdal établi, l'échauffement total est la superposition d'une composante stationnaire \theta_{\mathrm{DC}}(x) et d'une réponse sinusoïdale à la pulsation 2\omega :

Le terme d'excitation à la pulsation 2\omega s'écrit sous forme complexe \frac{J}{2}\mathrm{e}^{2j\omega t}. Par linéarité de l'équation de la diffusion, la composante complexe harmonique vérifie :

En simplifiant par le facteur temporel \mathrm{e}^{2j\omega t} \neq 0 et en posant \underline{m}^2 = 2j\omega \frac{\mu c}{\lambda}, on obtient :

soit finalement :

L'équation différentielle établie à la question Q33 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre :

Une solution particulière évidente est une constante réelle \underline{\theta}_{\mathrm{p}} telle que :

L'équation caractéristique associée à l'équation homogène s'écrit r^2 - \underline{m}^2 = 0, soit r = \pm \underline{m}. La forme générale de la solution s'écrit donc :

où C_1 et C_2 sont deux constantes complexes d'intégration.

Les extrémités x = -L et x = L étant en contact avec les fils de Wollaston qui se comportent comme des thermostats à la température ambiante T_0, l'échauffement total y est nul à tout instant, ce qui impose pour l'oscillation alternative :

Ces deux conditions aux limites fournissent le système :

Par soustraction membre à membre :

Comme \underline{m}L \neq 0 pour \omega > 0, il vient C_1 = C_2 (ce qui traduit également la parité spatiale de l'échauffement par symétrie du problème).

En réinjectant dans l'une des équations :

On en déduit finalement l'expression de l'échauffement alternatif le long de la pointe :

Par définition, la valeur moyenne spatiale sur [-L, L] s'écrit :

D'après la question Q34, l'échauffement complexe s'exprime sous la forme :

Cette fonction étant paire par rapport à x, l'intégrale se réduit à :

On calcule l'intégrale du terme dépendant de x :

On en déduit :

D'après la question Q35, l'échauffement moyen complexe le long du filament s'écrit :

À basse fréquence (\omega \to 0), la quantité \underline{m}L = L\sqrt{2\mathrm{j}\omega\frac{\mu c}{\lambda}} tend vers 0. Posons X = \underline{m}L.

En utilisant le développement limité fourni par l'énoncé au voisinage de X = 0 :

on obtient pour le terme entre parenthèses :

En injectant ce développement dans l'expression de \langle\underline{\theta}_{\mathrm{AC}}\rangle, il vient :

Cette grandeur étant réelle et positive, l'amplitude de l'échauffement alternatif moyen en basse fréquence vaut :

D'après la relation établie à la question Q32, U_{3\omega} = \frac{1}{2} a R_0 I_0 \langle\theta_{\mathrm{AC}}\rangle. On en déduit l'expression de la limite à basse fréquence :

D'après la question Q36, la limite basse fréquence de l'harmonique à la pulsation 3\omega s'écrit :

Rappelons les expressions de la résistance R_0 (question Q10) et de la constante J (question Q16) :

En injectant ces grandeurs dans l'expression de U_{3\omega,\mathrm{BF}}, on obtient :

La section droite étant S = \pi R^2, on a S^3 = \pi^3 R^6, d'où :

On en déduit l'expression du rayon R :