Modèle scalaire de la lumière et cohérence : 112 questions de concours corrigées

Les rayons interférant en un point de l'écran ont la même amplitude lumineuse et on note E₀ l'éclairement sur l'écran dû à un seul rayon. Établir la formule de Fresnel donnant l'éclairement E…

On considère alors le cas général d'une onde électromagnétique de pulsation ω et de phase φ(r) - ω t. Justifier que grad φ(r) est localement orthogonal aux surfaces d'ondes.

Établir l'expression de l'intensité lumineuse I(θ) résultant de l'interférence des deux rayons. On rappelle que l'intensité I vaut 2 fois la moyenne temporelle de l'amplitude résultante en M.

Rappeler les conditions pratiques à respecter pour pouvoir obtenir des interférences lumineuses à partir de deux faisceaux.

Établir la formule de Fresnel reliant l'éclairement E à la différence de marche δ sous incidence normale, dans le cas de la superposition de deux ondes de même amplitude. On notera E₀ l'éclairement…

A quelle condition sur la distance D peut-on obtenir des interférences ? Proposer un ordre de grandeur.

Pour certaines sources bichromatiques les deux radiations émises sont de même intensité ; c'est le cas des lampes à vapeur de sodium, étudiées notamment par Michelson dans les conditions décrites en…

Montrer que l'amplitude de s_tot,N s'écrit sous la forme : S_0,N = S₀ | (sin (N/2(1/vₘ - 1/c)α λ_u))/(sin (1/2(1/vₘ - 1/c)α λ_u)) |.

Exprimer le temps de cohérence τ_c de la lumière émise par la lampe, en fonction de ses caractéristiques spectrales. L'estimer numériquement.

En utilisant notamment le théorème de Malus, montrer que δ(M), la différence de marche des deux rayons au point M, est égale à la distance P₁ H (figure B). Montrer que cette différence de marche…

Cette question a pour but de rappeler certaines conditions d'observation des interférences lumineuses. Deux sources lumineuses ponctuelles S₁ et S₂ émettent deux ondes électromagnétiques…

Cette question a pour but de rappeler certaines conditions d'observation des interférences lumineuses. Deux sources lumineuses ponctuelles S₁ et S₂ émettent deux ondes électromagnétiques…

Évaluer la différence de marche δ entre les 2 rayons renvoyés dans la direction symétrique θ. Faire clairement apparaître δ sur un schéma reproduisant la figure 11. En déduire l'expression de Δφ(M)…

Établir l'expression de l'intensité lumineuse I(θ) résultant de l'interférence des deux rayons. On rappelle que l'intensité I vaut 2 fois la moyenne temporelle de l'amplitude résultante en M.

Rappeler l'énoncé du théorème de Malus (ou de Malus et Dupin). En déduire l'expression de la différence de marche δ_A = (AM₁P) - (AM₂P) en fonction de la géométrie du dispositif et d'une coordonnée…

L'éclairement E est défini comme la moyenne temporelle du carré du champ électrique. Montrer que dans la zone d'interférences : E(M) = 2E₀ (1 + cos ((k₁ - k₂) · OM)) avec E₀ = E₀²/2.

Montrer que les franges brillantes sont des droites d'équations y_p = pλ₀/2sin α, avec p un entier relatif. Déterminer l'expression de l'interfrange Δ y et faire l'application numérique.

Pour émettre les ondes porteuses électromagnétiques, on utilise des réseaux d'antennes. Ces antennes sont réparties périodiquement dans l'espace (figure 7) émettant des ondes cohérentes de longueur…

En utilisant la relation liant la largeur spectrale Δν (en Hertz) à la durée du train d'onde τ_c (en seconde) d'une source lumineuse : τ_cΔν ∼ 1, proposer un ordre de grandeur de la durée τ_c des…

Exprimer les amplitudes complexes des deux ondes qui interfèrent dans la direction -u_y. En déduire l'expression de l'éclairement E_y récupéré dans la direction -u_y en fonction de E₀ et φ.

Afin d'établir la formule de Fresnel, il faut classiquement moyenner cette intensité sur le temps. Sur quelle durée typique cette intégration doit-elle être réalisée ? Expliquer alors pourquoi les…

Exprimer l'intensité I en un point de coordonnées (x, y, z) dans le champ d'interférence en fonction des grandeurs utiles parmi I₀, λ₀, α, x, y et z. Décrire la figure d'interférence observée.

On considère d'abord le cas où l'onde est composée de N harmoniques successives de q = n à q = n+N-1, d'amplitude et de phase identique. Montrer que dans le cas N ≫ 1, la puissance instantanée I(t)…

En supposant l'angle de déflexion suffisamment faible pour considérer un retour inverse de deux rayons parallèles comme l'illustre la figure 11, donner une expression approchée du retard de phase φ…

Dans le cas où la source est rigoureusement monochromatique, de longueur d'onde λ₀, exprimer l'intensité I(δ) en fonction de I₀, λ₀ et δ. Définir et calculer le facteur de contraste C des franges.

Dans le cas où la source est rigoureusement monochromatique, de longueur d'onde λ₀, exprimer l'intensité I(δ) en fonction de I₀, λ₀ et δ. Définir et calculer le facteur de contraste C des franges.

Quel est le déplacement Δ N dans un modèle sans entraînement ?

Dans quel domaine du spectre électromagnétique la raie du nickel est-elle située ?

Quel est l'élément optique analogue à une "impulsion π" ?

Montrer que l'analyse des deux images de la figure 4 prouve bien la détection d'un sylphe.

Où ces rayons interfèrent-ils ?

Où ces rayons interfèrent-ils ?

Un laser émet une lumière quasi-monochromatique. Définir le terme quasi-monochromatique.

Justifier que les deux rayons émergents sont associés à des ondes cohérentes et que dans ce cas ω₁ = ω₂ = ω.

Représenter l'allure d'une surface d'onde après la traversée de l'échantillon.

Exprimer φ₁ et φ₂ en fonction de e, n' et λ. En écrivant la transmittance sous la forme t₂(x) = 1 & pour x < -b et x > b e⁻iφ' & pour -b < x < b exprimer la constante φ' en fonction de e, n' et λ.

Dans quelles conditions physiques peut-on écrire t₂(x) sous la forme t₂(x)=1-iφ' pour -b<x<b ? Dans toute la suite on supposera ces conditions vérifiées.

Quel est l'ordre d'interférence p correspondant ?

On donne φ = 41° 48' N, λ₀ = 0,500 et Ω_T = 7,29· 10⁻⁵ rad⁻¹. Calculer Δ p.

Donner ΔΦ_s en fonction de Ω et de l'aire totale Sₜₒₜ de la boucle qui compte Nₜ tours de fibre.

On note I₀ l'intensité du rayon lumineux incident sur la séparatrice. En supposant une séparatrice idéale avec des coefficients de réflexion et de transmission en intensité égaux à 50 %, donner sans…

La séparatrice étant une lame semi-transparente qui laisse passer 50% de l'éclairement incident et réfléchit 50%. Quel est l'éclairement obtenu en sortie de l'interféromètre (dans la direction -u_y)…

Estimer et commenter l'ordre de grandeur de la longueur L du train d'onde pour cette émission. En comparant 1/Γ à T₀, justifier le calcul effectué.

Définir et exprimer le contraste C des franges d'interférences en fonction du coefficient de réflexion r.

Préciser un avantage à avoir un laser possédant une très grande finesse vis-à-vis des applications en interférométrie.

Sachant qu'il est possible de détecter une variation de l'angle θ de 10⁻⁵ rad au mieux, déterminer la valeur numérique de la plus petite variation δ d de déflexion mesurable pour le micro-levier…

Indiquer la différence de marche δ entre deux rayons situés dans chacun des deux faisceaux, au niveau d'un plan orthogonal à l'axe optique en sortie du prisme. Conclure quant à l'intérêt de ce…

Exprimer la différence de temps de parcours Δ t = t₂ - t₁ de la longueur L par la lumière dans les deux tubes. En déduire la différence de phase Δ φ = φ₂ - φ₁ acquise du fait de la propagation dans…

En déduire les expressions de Δ c et cₘ. Est-il possible, dans l'expérience de Fizeau, de distinguer le modèle relativiste du modèle d'entraînement partiel de Fresnel ?

En déduire la longueur d'onde correspondant à la plus petite fréquence d'interférences constructives F₁.

Déterminer l'expression de l'intensité à la sortie de l'interféromètre de Michelson en fonction de p, en notant I₀ sa valeur maximale.

On place devant l'entrée de l'interféromètre de Michelson un polariseur dont l'axe forme un angle de π/4 avec le plan Π. Quel est alors l'état de polarisation de l'onde à la sortie de…

À l'aide des courbes de la figure 2, justifier la couleur caractéristiques des sylphes. Justifier également leur observation difficile depuis la surface de la Terre.

Représenter la courbe I(P) en fonction de δ(P). En observant la photo 5, que peut-on dire de I₁ et I₂ ?

On admet que la différence de marche en un point P du champ d'interférences s'écrit : δ(P) = D(cos (i₂) - cos (i₁)) - 2Dn(cos (r₂) - cos (r₁)). Exprimer la condition permettant d'observer des…

Les rayons incidents d'angles d'incidence i₁ = 50,13° et i₂ = 67,98° donnent pour une radiation rouge (λ = 700 nm, n = 1,330) des rayons émergents parallèles. Quel diamètre de goutte permettra…

Représenter la courbe I(P) en fonction de δ(P). En observant la photo 5, que peut-on dire de I₁ et I₂ ?

On admet que la différence de marche en un point P du champ d'interférences s'écrit : δ(P) = D(cos (i₂) - cos (i₁)) - 2 D n (cos (r₂) - cos (r₁)). Exprimer la condition permettant d'observer des…

Les rayons incidents d'angles d'incidence i₁ = 50,13° et i₂ = 67,98° donnent pour une radiation rouge (λ = 700 nm, n = 1,330) des rayons émergents parallèles. Quel diamètre de goutte permettra…

Justifier que les deux rayons émergents sont associés à des ondes cohérentes, et que dans ce cas ω₁ = ω₂ = ω.

En déduire les valeurs de l'angle θ pour lesquelles on observe une intensité maximale. Montrer que l'on peut déduire des mesures de l'angle θ la valeur du paramètre de maille a.

Représenter γ sur la sphère de rayon k = |k| dans l'espace à trois dimensions de coordonnées cartésiennes (kₓ, k_y, k_z). Exprimer et calculer en fonction de θ l'aire S_γ de la portion de sphère…

Exprimer la différence de phase δφ(x, z) entre les deux faisceaux de l'interféromètre en faisant apparaître une intégrale sur δ n(r, z) le long du chemin optique.

Les sources A et B sont-elles cohérentes entre elles ? Calculer δ_B = (BM₁P) - (BM₂P) en fonction de δ_A, θ et b.

On suppose qu'une particule en mouvement avec le fluide passe à travers la zone d'interférences avec une vitesse v_y selon u_y. On mesure l'intensité lumineuse diffusée par la particule au cours du…

La concentration en particules d'ensemencement dans le fluide doit être précisément définie. Quels problèmes poseraient une concentration trop faible ou une concentration trop élevée ?

Expliquer comment le défilement de ces franges permet de déterminer le sens de parcours d'une particule d'ensemencement à travers la zone d'interférences.

En utilisant les résultats obtenus dans la partie III.A, donner l'expression de ω₁ et ω₂ en fonction de ω et Ω.

Expliquer pourquoi l'amplitude scalaire au point M au niveau de la surface photosensible de la photodiode s'écrit comme la somme des deux amplitudes scalaires : sₜₒₜ(t) = s₁(M photodiode,t) + s₂(M…

On suppose que cette lentille possède les propriétés des lentilles minces utilisées dans les conditions de Gauss, que F' est son foyer principal image et O est son centre optique. On considère le…

En utilisant les figures 5 et 6, préciser dans quel domaine sonore ce « clic » est émis. Évaluer l'ordre de grandeur de sa largeur spectrale à mi-hauteur. En déduire le temps de cohérence τ_c de la…

A partir d'une lecture de la figure 6, estimer une valeur numérique raisonnable pour la pulsation ω₀ du laser. Relier les largeurs Δω et δω aux temps T et τ_c, puis calculer leurs valeurs numériques…

On suppose la lumière monochromatique de longueur d'onde dans le vide λ₀. On note Ωₙ = Ω_T sin φ la composante du vecteur Ω_T sur la direction de la normale au plan ABCD orientée vers le ciel…

Dans l'expérience de Sagnac, un décalage des franges (donc une variation Δ p de l'ordre d'interférence) est observé par rapport à la situation où le plateau est immobile. Quelle est la difficulté de…

a) Partant d'un interféromètre au repos (ΔΦ_s = 0), la mesure de la variation de I produite par une rotation permet-elle de discriminer le sens de la rotation ? Argumenter. b) On définit la…

Donner l'expression de l'intensité I(t) enregistrée par le détecteur en fonction de I₀, ΔΦ_s, Φ_eff, fₘ et t, puis montrer qu'elle peut se mettre sous la forme suivante : I(t) = I₀/2[1+cos (ΔΦ_s)cos…

La condition demandée en Q32 étant satisfaite, on donne la valeur de u obtenue aux bornes de C : u = -1/2 K_p K I₀ s₀ J₁(Φ_eff) sin (ΔΦ_s). Application numérique : fₘ = 30 kHz, Φ_eff = 1,8 rad, s₀ =…

Exprimer en la justifiant la différence de phase φ = φ_y - φₓ entre les deux ondes qui interfèrent en sortie de l'interféromètre en fonction de nₓ, n_y, Lₓ, L_y et λ.

Le temps d'intégration (ou temps de réponse) des détecteurs d'éclairement est pris égal à T= 10⁻⁴ s. Justifier que l'on puisse, dans ces conditions, utiliser l'expression de l'éclairement établi à…

Exprimer à nouveau les déphasages φ₁ et φ₂. Développer puis linéariser l'expression de l'intensité lumineuse sur la photodiode à un instant donné. Pour rappel, on considère désormais que D = d.

On considère deux rayons issus d'une même source ponctuelle à l'infini dans la direction θ et confondus avec les axes optiques des télescopes. À l'aide d'un schéma, exprimer la différence de marche…

Déterminer l'intensité totale de I_gal(x) résultante, en faisant apparaître la fonction sinus cardinal définie en annexe. En déduire l'expression du contraste de la figure d'interférence obtenue en…

Proposer une orientation pour le déplaceur polarisant BD₁ qui correspond à ce choix. On précisera soigneusement à cet effet les orientations des vecteurs eₓ, e_y, e_A_1 et e_B_1 sur un ou plusieurs…

Montrer que dans le plan complexe (C₁, C₂) associé au contraste complexe C, le déphasage φ est obtenu par la mesure d'un angle θ à préciser.

Montrer que la position temporelle des pics de puissance se décale si les N phases φ_q sont en progression arithmétique, les amplitudes A_q restant identiques.

D'autres sources, comme celles émettant la raie H_α de l'hydrogène, peuvent être écrites comme bichromatiques mais les intensités I₁ et I₂ < I₁ émises aux longueurs d'onde λ₁ et λ₂ sont différentes…

Quel est le rôle du circuit à circulation d'eau qui entoure le tube central ? Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l'unité de la graduation donnée en abscisse ? Quelle est, à votre avis…

Dans le cadre du modèle d'entraînement partiel, montrer que la longueur minimale des tubes nécessaire au succès de l'expérience est : L > Lₘin = Δ Nₘin (λ₀ c₀)/(2v(n² - 1)) Faire et commenter…

Justifier l'expression de s_p.

Montrer que l'amplitude de s_tot,N est maximale pour les fréquences F_q telles que : F_q = c/λ_u 2γ²/(1 + K²/2) q où q est un entier naturel non nul.

En déduire la valeur de N. Commenter, en sachant que la longueur totale de l'ondulateur SASE1 du XFEL européen est de 175 m.

Déduire de l'interférogramme de la figure 6b une estimation de la longueur de cohérence de la source, puis de la largeur spectrale Δλ de la source. On rappelle la relation entre le temps de…

Déduire de l'interférogramme de la figure 7b une estimation de la longueur de cohérence de la source, puis de la largeur spectrale Δλ de la source. On rappelle la relation entre le temps de…

Dans toute cette question, on considère une situation où les polarisations des faisceaux ne sont pas parfaitement contrôlées, tandis que les phases φ₁, φ₂ et φ₃ sont toujours fixées. Citer un effet…

En admettant que le temps de cohérence d'une source polychromatique correspond au temps caractéristique de ses variations d'intensité, expliquer pourquoi il est très difficile de mettre en évidence…

La source est en réalité quasi-monochromatique à profil spectral "rectangulaire" de largeur Δλ autour de λ₀, avec Δλ ≪ λ₀. Ce profil spectral, en fonction de la fréquence d'émission, est représenté…

Initialement on a a(t = 0) = (1, 0). À t = 0 on soumet l'atome à une "impulsion π/2" de durée τ. Exprimer la fonction d'onde Ψ(r, t) à l'instant t = τ, et donner l'évolution de la fonction d'onde…

Montrer que l'épaisseur e(r) de la lentille à la distance r de l'axe doit vérifier n e(r) + √(r² + ( nR/(n - 1) - e(r) )²) = nR + R/(n - 1).

Exprimer le rapport e(r)/R lorsque r ≪ R. Montrer qu'alors le profil de la lentille asphérique est pratiquement confondu avec celui de la lentille demi-boule.

Montrer que |N(τ)| est maximum pour τ = 0. Par analogie avec l'optique, justifier qualitativement que |N(τ)| tend vers 0 en un temps caractéristique t_coh ∼ 1/Δω, où Δω est la dispersion des…

a) En supposant que les faisceaux sont gaussiens, donner le rayon typique minimal w_min des faisceaux au niveau du point de focalisation. Ce rayon typique correspond à la résolution spatiale de…

Montrer que les franges défilent à une vitesse v_franges dont on donnera l'expression. Préciser dans quel sens ces franges défilent.

Par linéarité de la transformée de Fourier, déterminer l'expression de l'amplitude complexe S₁(X) de l'onde dans le plan image de l'objectif. On écrira S₁(X) en fonction de α, n', e et λ sur les…

Justifier le fait qu'il soit plus pertinent de comparer les carrés des champs que leurs amplitudes. En faisant les hypothèses simplificatrices nécessaires sur la forme de l'impulsion estimer l'ordre…

a) Montrer que ΔΦₜ = ΔΦ_s - 2Φ₀ sin (π fₘ τ_r) sin (2π fₘ(t-τ_r/2)). b) On note f_p = c/2nL la fréquence propre de la fibre. Montrer que pour des valeurs de fₘ bien choisies par rapport à f_p, ΔΦₜ…

Exprimer la probabilité correspondante, et tracer sa variation en fonction de τ. Pourquoi parle-t-on d'interférence de transitions à deux photons ? Exprimer l'intervalle entre deux maximums de…

Dans ce cas, donner une estimation de la durée de l'impulsion du faisceau d'harmoniques.

Expliquer pourquoi ce changement de répartition spatiale des électrons permet de résoudre le problème qui a été introduit en début de cette partie.

L'expression de l'écart-type Δ n trouvée pour une source thermique à la question 28 suppose un rayonnement monochromatique. On peut montrer que pour une superposition de Nₘ modes de fréquences…

Comment doit-on choisir τ_l pour sonder les états métastables ? Quelle est la conséquence sur la largeur spectrale du laser ? En déduire la résolution spectrale de l'expérience.

La photodiode est sensible à l'intensité lumineuse I_l(t) = |sₜₒₜ|²(t) et a un temps de réponse de 10 ps. Expliquer pourquoi le signal observé u(t) en sortie de la photodiode est proportionnel à 1 +…

Le faisceau d'un laser Ti : Saphir est focalisé par un objectif de microscope sur un échantillon comportant des fibres de collagène. En s'aidant du document 4, expliquer comment, en récupérant une…