Feuille d'entraînement : Modèle scalaire de la lumière et cohérence

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique U PSI 2022, Q52

   D'après les résultats de la question Q50, pour chaque oscillateur n :

   \lambda_n = -\frac{\kappa_n}{2m\omega_0} \quad \text{et} \quad \lambda'_n = -\frac{\kappa_n}{2m\omega_n}

   Les raideurs \kappa_n, la masse m et les pulsations propres \omega_0, \omega_n étant positives, le produit de couplage vérifie pour tout n \in \{1,\dots,N\} :

   \lambda_n \lambda'_n = \frac{\kappa_n^2}{4m^2\omega_0\omega_n} > 0

   L'inégalité triangulaire appliquée à l'expression de la fonction de mémoire donne :

   |N(\tau)| = \left| \sum_{n=1}^N \lambda_n \lambda'_n \, e^{-i(\omega_n - \omega_0)\tau} \right| \le \sum_{n=1}^N |\lambda_n \lambda'_n| \, |e^{-i(\omega_n - \omega_0)\tau}| = \sum_{n=1}^N \lambda_n \lambda'_n

   Or, pour \tau = 0, toutes les exponentielles de phase sont égales à 1 :

   N(0) = \sum_{n=1}^N \lambda_n \lambda'_n = |N(0)|

   On en déduit que pour tout \tau \in \mathbb{R} :

   \boxed{|N(\tau)| \le N(0)}

   La fonction |N(\tau)| atteint donc son maximum global en \tau = 0.

   Analogie avec l'optique et temps caractéristique t_{\mathrm{coh}} :

   La fonction N(\tau) représente la superposition de N composantes oscillantes de pulsations respectives \omega_n - \omega_0 réparties sur une bande spectrale de largeur \Delta\omega autour d'une valeur moyenne.

   • À \tau = 0, toutes les composantes sont exactement en phase : les interférences sont purement constructives, ce qui correspond au maximum de l'enveloppe.

   • Lorsque \tau croît, le déphasage relatif entre deux composantes extrêmes de l'ensemble vaut :

     \Delta\phi(\tau) \sim \Delta\omega \, \tau

     Dès que \Delta\phi(\tau) \gtrsim 1 (ou 2\pi), les phases (\omega_n - \omega_0)\tau se répartissent uniformément sur le cercle trigonométrique. Les termes de la somme se compensent mutuellement : il y a interférence destructive globale (brouillage de phase).

   Par analogie directe avec le train d'ondes d'une source lumineuse quasi-monochromatique de largeur spectrale \Delta\omega, l'enveloppe |N(\tau)| s'annule (ou tend vers 0 par moyennage) au-delà d'un temps de cohérence :

   \boxed{t_{\mathrm{coh}} \sim \frac{1}{\Delta\omega}}

   Résultat

   $$|N(\tau )|\le N(0)$$

   $$t_{\mathrm{coh}}\sim \frac{1}{\Delta \omega }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique PSI 2021, Q39

   D'après le dispositif expérimental de la figure 12 :

   • Le faisceau 1 est le faisceau de référence : il est simplement réfléchi par la séparatrice et le miroir sans traverser le milieu acoustique. Il conserve donc la pulsation initiale de la source laser :

     \omega_1 = \omega

   • Le faisceau 2 traverse le cristal et subit l'interaction acousto-optique décrite dans la partie III.A. Lors de cette interaction, l'absorption d'un phonon d'énergie \hbar\Omega par un photon d'énergie \hbar\omega donne naissance à un photon de pulsation \omega' telle que (d'après le bilan d'énergie établi à la question Q31) :

     \omega_2 = \omega' = \omega + \Omega

   On a donc :

   \boxed{\omega_1 = \omega \quad \text{et} \quad \omega_2 = \omega + \Omega}

   Résultat

   $${\omega }_1=\omega \text{et}{\omega }_2=\omega +\Omega$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2021, Q40

   L'énoncé précise que l'amplitude scalaire s(\mathrm{M}, t) décrivant l'onde électromagnétique vérifie l'équation de d'Alembert dans le vide :

   \Delta s - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} = 0

   Cette équation aux dérivées partielles est linéaire et homogène, ce qui découle directement de la linéarité des équations de Maxwell dans le vide (et plus généralement dans les milieux diélectriques linéaires considérés ici).

   En vertu du principe de superposition, toute combinaison linéaire de solutions de cette équation est également solution. Par conséquent, au point \mathrm{M} de la surface photosensible où se recombinent simultanément les deux faisceaux lumineux issus des deux bras de l'interféromètre, l'amplitude scalaire totale est la somme directe des amplitudes scalaires de chaque faisceau :

   \boxed{s_{\text{tot}}(t) = s_1(\mathrm{M} \in \text{photodiode}, t) + s_2(\mathrm{M} \in \text{photodiode}, t)}

   Résultat

   $$s_{\text{tot}}(t)=s_1(\mathrm{M}\in \text{photodiode},t)+s_2(\mathrm{M}\in \text{photodiode},t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2021, Q41

   D'après les questions Q39 et Q40, les deux ondes lumineuses arrivant sur la photodiode (où les phases spatiales sont nulles par hypothèse de l'énoncé) ont pour amplitudes :

   s_1(t) = s_0 \cos(\omega t) \quad \text{et} \quad s_2(t) = s_0 \cos((\omega + \Omega)t).

   L'intensité lumineuse instantanée I_l(t) = s_{\text{tot}}(t)^2 = [s_1(t) + s_2(t)]^2 s'écrit :

   \begin{aligned} I_l(t) &= s_0^2 \left[ \cos(\omega t) + \cos((\omega + \Omega)t) \right]^2 \\ &= s_0^2 \left[ \cos^2(\omega t) + \cos^2((\omega + \Omega)t) + 2\cos(\omega t)\cos((\omega + \Omega)t) \right]. \end{aligned}

   En linéarisant les termes trigonométriques :

   \begin{aligned} \cos^2(\omega t) &= \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}, \\ \cos^2((\omega + \Omega)t) &= \frac{1 + \cos(2(\omega + \Omega)t)}{2}, \\ 2\cos(\omega t)\cos((\omega + \Omega)t) &= \cos(\Omega t) + \cos((2\omega + \Omega)t). \end{aligned}

   Il vient ainsi :

   I_l(t) = s_0^2 \left[ 1 + \cos(\Omega t) + \frac{1}{2}\cos(2\omega t) + \frac{1}{2}\cos(2(\omega+\Omega)t) + \cos((2\omega+\Omega)t) \right].

   Évaluons les différentes échelles de temps caractéristiques en jeu :

   • La période optique associée à \lambda = 600\text{ nm} :

     T_{\text{opt}} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\lambda}{c} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3{,}00 \times 10^8} = 2{,}0 \times 10^{-15}\text{ s} = 2\text{ fs}.
   • Le temps de réponse de la photodiode : \tau = 10\text{ ps} = 1{,}0 \times 10^{-11}\text{ s}.

   • La période acoustique pour une fréquence typique F \approx 200\text{ MHz} (question Q32) :

     T_{\text{ac}} = \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{1}{F} = \frac{1}{2{,}00 \times 10^8} = 5{,}0 \times 10^{-9}\text{ s} = 5\text{ ns}.

   On constate que ces grandeurs vérifient la double inégalité :

   T_{\text{opt}} \ll \tau \ll T_{\text{ac}}.

   Par conséquent :

   • Comme \tau \gg T_{\text{opt}}, la photodiode ne peut pas suivre les oscillations ultra-rapides aux fréquences optiques (2\omega, 2(\omega+\Omega), 2\omega+\Omega \sim 10^{15}\text{ Hz}). Ces termes oscillants ont une moyenne temporelle nulle sur la durée d'intégration \tau du détecteur :

     \langle\cos(2\omega t)\rangle_\tau = 0, \quad \langle\cos(2(\omega+\Omega)t)\rangle_\tau = 0, \quad \langle\cos((2\omega+\Omega)t)\rangle_\tau = 0.
   • En revanche, comme \tau \ll T_{\text{ac}}, le terme \cos(\Omega t) varie très lentement à l'échelle de \tau : la photodiode est suffisamment rapide pour suivre fidèlement cette modulation.

   Le signal électrique u(t) en sortie de la photodiode est donc proportionnel à la moyenne temporelle de l'intensité sur son temps de réponse \tau :

   \boxed{u(t) \propto \langle I_l(t) \rangle_\tau = s_0^2 \left( 1 + \cos(\Omega t) \right)}

   Le signal u(t) oscille ainsi à la pulsation acoustique \Omega. La mesure de la fréquence d'oscillation F = \frac{\Omega}{2\pi} du signal électrique (par exemple à l'aide d'un oscilloscope ou d'un fréquencemètre) permet d'accéder directement à la valeur de la pulsation \Omega de l'onde acoustique.

   Résultat

   $$u(t)\propto ⟨I_l(t){⟩}_{\tau }=s_0^2\left(1+\cos (\Omega t)\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question