Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MPI 2026

On modélise le nageur par son centre de masse M de masse m, en mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On munit l'espace d'un repère orthonormé (O, \vec{u}_x, \vec{u}_z) où l'axe (Ox) est horizontal au niveau de l'eau, orienté dans le sens de la nage, et l'axe (Oz) est vertical ascendant.

À l'instant initial t = 0, les conditions initiales s'écrivent :

En négligeant la résistance de l'air, le système n'est soumis qu'à son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z. La deuxième loi de Newton donne :

Par intégrations successives compte tenu des conditions initiales, on obtient :

L'entrée dans l'eau au point E a lieu à l'instant t_1 > 0 vérifiant z(t_1) = 0, soit :

Le discriminant de cette équation du second degré en t_1 est :

La racine physiquement acceptable devant être strictement positive, on obtient :

La distance horizontale L_1 parcourue jusqu'à l'entrée dans l'eau s'en déduit par L_1 = x(t_1) = v_0 \cos\alpha \, t_1 :

Le nageur se déplaçant plus vite dans l'air que dans l'eau, la trajectoire idéale est celle qui maximise la distance franchie dans l'air, c'est-à-dire le maximum de L_1(\alpha).

D'après la figure 3 (gauche) :

• La portée maximale vaut :

  \boxed{L_1 \approx 3{,}6\text{ m}}

• L'angle de départ optimal correspondant est :

  \alpha \approx 0{,}61\text{ rad} \quad \text{soit} \quad \alpha \approx 0{,}61 \times \frac{180}{\pi} \approx \boxed{35^\circ}

D'après la figure 3 (droite), pour \alpha \approx 0{,}61\text{ rad}, la durée du plongeon est estimée graphiquement à :

Vérification par le calcul :

D'après la question Q1, l'expression de la durée du plongeon est :

Avec v_0 = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, H_0 = 1{,}3\text{ m}, g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \alpha = 35^\circ (\sin 35^\circ \approx 0{,}574) :

La valeur calculée est en parfait accord avec l'estimation graphique.

On étudie le plongeur assimilable au point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. En négligeant les frottements de l'air, le nageur est uniquement soumis à son poids \vec{P} = m\vec{g}, qui dérive de l'énergie potentielle de pesanteur :

en prenant l'origine des altitudes au niveau de la surface de l'eau (z = 0).

Le système étant conservatif, son énergie mécanique \mathcal{E}_m se conserve entre l'instant de décollage (z = H_0, vitesse v_0) et l'instant d'entrée dans l'eau au point E (z = 0, vitesse v_E) :

En simplifiant par la masse m, on obtient :

Cette expression ne dépend que de la norme initiale v_0, du champ de pesanteur g et de la hauteur de chute H_0 : l'angle de départ \alpha n'a aucune influence sur la norme de la vitesse d'entrée dans l'eau v_E.

Application numérique : Avec v_0 = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et H_0 = 1{,}3\text{ m},

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Le repère d'étude étant muni des axes habituels (Ox) horizontal orienté vers la droite et (Oz) vertical ascendant, les composantes de la vitesse du centre de masse lors de la chute libre s'écrivent :

À l'instant d'entrée dans l'eau t_1, le nageur a parcouru la distance horizontale L_1, d'où t_1 = \frac{L_1}{v_0 \cos\alpha}. Les composantes de la vitesse \vec{v}_E au point E sont donc :

Le mouvement étant descendant à cet instant, v_{Ez} < 0. L'angle \beta étant défini comme un angle absolu sous l'horizontale (figure 2), on a :

On en déduit l'expression de \beta :

Application numérique : D'après les résultats de la question Q2, \alpha \approx 35^\circ \approx 0{,}61\text{ rad} et L_1 \approx 3{,}6\text{ m}, avec v_0 = 5{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Discussion du compromis sur l'angle \beta :

• Si \beta \to \frac{\pi}{2} (entrée quasi-verticale) : la composante horizontale de la vitesse v_{Ex} devient très faible, ce qui pénalise la progression vers l'avant. De plus, le nageur s'enfonce trop profondément dans le bassin, d'où une perte de temps pour remonter vers la surface.
• Si \beta \to 0 (entrée quasi-horizontale) : le nageur fait un « plat ». La grande surface corporelle frappant l'eau induit un choc violent à l'impact, douloureux, générateur d'importantes turbulences et causant une forte décélération immédiate qui brise l'élan du plongeon.

1. Estimation de la force moyenne et du travail mécanique

• À partir de l'étude 2 (figure 5) : Le dispositif « MAD system » enregistre la force propulsive à chaque coup de bras. Les pics de force atteignent une valeur maximale d'environ F_{\max} \approx 200\text{ N}. Les pics étant approximativement triangulaires et séparés de courts intervalles, la force moyenne exercée par le nageur au cours de l'avancement peut être estimée à :

  \overline{F} \approx \frac{1}{2} F_{\max} \approx 100\text{ N}

  Le travail mécanique développé pour parcourir une distance d = 100\text{ m} est alors :

  W_{\text{méc}} = \overline{F} \times d \approx 100 \times 100 = 1{,}0 \times 10^4\text{ J} = 10\text{ kJ}

• Recoupement avec l'étude 3 (figure 6) : Sur un cycle de bras (durée de traction \Delta t_{\text{cycle}} \approx 0{,}7\text{ s}), la force hydrodynamique moyenne exercée sur la main et l'avant-bras est de l'ordre de F_{\text{bras}} \approx 60\text{ à }80\text{ N}, pour une vitesse de déplacement de la main par rapport à l'eau de v_{\text{main}} \approx 2{,}5\text{ à }2{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. La puissance moyenne fournie par les bras est donc :

  \overline{\mathcal{P}}_{\text{méc}} \approx \overline{F \cdot v} \approx 70 \times 2{,}7 \approx 190\text{ W}

  En sprint sur 100\text{ m}, à une vitesse moyenne de nage v \approx 2{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (temps de course d'environ \Delta t \approx 50\text{ s}), l'énergie mécanique requise vaut :

  W_{\text{méc}} = \overline{\mathcal{P}}_{\text{méc}} \times \Delta t \approx 190 \times 50 \approx 9{,}5 \times 10^3\text{ J} \approx 10\text{ kJ}

  Ce résultat est tout à fait cohérent avec l'estimation précédente.

2. Énergie dépensée par le nageur

Le muscle humain possède un rendement mécanique limité (de l'ordre de \eta \approx 10\,\%\text{ à }20\,\% en natation, une grande partie de l'énergie étant dissipée sous forme thermique). L'énergie métabolique totale dépensée par l'athlète est donc :

3. Comparaison avec la barre chocolatée

L'apport énergétique de la barre chocolatée vaut :

En comparant les deux grandeurs :

Même si l'on ne considère que le travail mécanique direct (W_{\text{méc}} \approx 10\text{ kJ} \approx 2{,}4\text{ kcal}), le ratio est d'à peine 1\,\%.

L'énergie dépensée lors d'un 100\text{ m} de nage libre en sprint ne représente qu'une fraction très faible (moins de 10\,\%) de l'apport énergétique d'une seule barre chocolatée.

D'après les observations expérimentales fournies :

• À l'électrode (A), il y a formation de dihydrogène gazeux \mathrm{H_{2(g)}} et d'ions hydroxyde \mathrm{HO^-_{(aq)}} à partir de l'eau du solvant. Le couple oxydant/réducteur mis en jeu est donc :

  \mathrm{H_2O_{(l)} / H_{2(g)}}

  La demi-équation électronique associée s'écrit (en milieu basique/neutre) :

  2\,\mathrm{H_2O_{(l)}} + 2\,\mathrm{e^-} = \mathrm{H_{2(g)}} + 2\,\mathrm{HO^-_{(aq)}}

• À l'électrode (B), il y a dégagement de dichlore gazeux \mathrm{Cl_{2(g)}} par consommation des ions chlorure \mathrm{Cl^-_{(aq)}} présents dans la solution. Le couple oxydant/réducteur correspondant est :

  \mathrm{Cl_{2(g)} / Cl^-_{(aq)}}

  La demi-équation électronique associée s'écrit :

  2\,\mathrm{Cl^-_{(aq)}} = \mathrm{Cl_{2(g)}} + 2\,\mathrm{e^-}

En sommant les deux demi-équations de façon à éliminer les électrons échangés (n = 2\text{ e}^-), on obtient l'équation-bilan de l'électrolyse :

D'après l'équation de la réaction établie à la question Q6, on écrit les deux demi-équations électroniques :

• Pour le couple \mathrm{Cl_{2(g)} / Cl^-_{(aq)}} :

  2\,\mathrm{Cl^-_{(aq)}} = \mathrm{Cl_{2(g)}} + 2\,\mathrm{e}^-

  Les ions chlorure perdent des électrons (le nombre d'oxydation du chlore augmente de -\mathrm{I} dans \mathrm{Cl^-} à 0 dans \mathrm{Cl_2}) : il s'agit d'une oxydation.

• Pour le couple \mathrm{H_2O_{(l)} / H_{2(g)}} :

  2\,\mathrm{H_2O_{(l)}} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H_{2(g)}} + 2\,\mathrm{HO^-_{(aq)}}

  La molécule d'eau capte des électrons (le nombre d'oxydation de l'hydrogène diminue de +\mathrm{I} dans \mathrm{H_2O} à 0 dans \mathrm{H_2}) : il s'agit d'une réduction.

Par conséquent :

D'après les demi-équations électroniques identifiées à la question Q6 :

• À l'électrode (A) : l'eau subit un gain d'électrons selon

  2\,\mathrm{H_2O_{(l)}} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H_{2(g)}} + 2\,\mathrm{HO^-_{(aq)}}

  Il s'agit donc d'une réduction (l'électrode (A) est la cathode).

• À l'électrode (B) : les ions chlorure subissent une perte d'électrons selon

  2\,\mathrm{Cl^-_{(aq)}} = \mathrm{Cl_{2(g)}} + 2\,\mathrm{e}^-

  Il s'agit donc d'une oxydation (l'électrode (B) est l'anode).

Sens de circulation des porteurs de charge et du courant dans le circuit extérieur :

• Les électrons sont générés à l'anode (B) par l'oxydation, traversent le circuit électrique extérieur (fils et générateur) depuis l'électrode (B) vers l'électrode (A), où ils sont consommés par la réduction.
• Par convention, le sens positif du courant électrique i est opposé au sens de déplacement des électrons : dans les fils, il circule donc de l'électrode (A) vers le générateur G, puis du générateur G vers l'électrode (B). L'électrode (B) est reliée au pôle positif (+) du générateur, et l'électrode (A) au pôle négatif (-).

D'après les données de l'énoncé, les potentiels standard d'oxydoréduction des deux couples mis en jeu sont :

Sur une échelle des potentiels standard :

• le couple \mathrm{Cl_{2(g)} / Cl^-_{(aq)}} se situe à un potentiel bien supérieur à celui du couple \mathrm{H_2O / H_{2(g)}} ;
• le dichlore \mathrm{Cl_2} est donc un oxydant nettement plus fort que l'eau \mathrm{H_2O}, et le dihydrogène \mathrm{H_2} est un réducteur bien plus fort que les ions chlorure \mathrm{Cl^-}.

La réaction spontanée (selon la règle du gamma) correspondrait à la réaction entre \mathrm{Cl_2} et \mathrm{H_2}.

Pour la réaction de l'étape 1, l'oxydant engagé (\mathrm{H_2O}) a un potentiel standard inférieur à celui du réducteur engagé (\mathrm{Cl^-}), ce qui conduit à une force électromotrice standard négative :

C'est précisément la raison pour laquelle un apport d'énergie sous forme de travail électrique (générateur imposant une tension) est indispensable pour forcer cette transformation : il s'agit d'une électrolyse.

La transformation de l'étape 2 est une dismutation du dichlore en milieu basique :

Elle met en jeu les deux demi-réactions d'oxydoréduction suivantes :

Pour l'équation-bilan telle qu'elle est écrite, le nombre d'électrons échangés est donc n = 1.

À l'équilibre chimique, les potentiels de Nernst des deux couples sont égaux :

En égalant ces deux expressions, il vient :

On en déduit l'expression littérale de la constante d'équilibre :

Application numérique : Avec \mathcal{F} = 96\,485\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T = 298{,}15\text{ K} (soit \frac{R T \ln 10}{\mathcal{F}} \simeq 0{,}059\text{ V}) :

Pendant la durée \Delta t = 1\text{ h} = 3\,600\text{ s}, le générateur maintient une intensité continue I = 20\text{ A}. La charge électrique totale transférée s'écrit :

La quantité de matière d'électrons échangés lors de l'étape 1 est donc donnée par :

Application numérique :

D'après les demi-équations électroniques de l'étape 1 :

l'avancement de cette étape produit :

L'équation-bilan de l'étape 2 s'écrit :

Les réactifs \mathrm{Cl}_2 et \mathrm{HO}^- sont introduits exactement dans les proportions stœchiométriques (1\text{ mol} de \mathrm{Cl}_2 pour 2\text{ mol} de \mathrm{HO}^-). Cette transformation étant quantitative (K^\circ \gg 10^4), la quantité d'ions hypochlorite formés est égale à la quantité de dichlore consommée :

Application numérique :

À l'anode, la demi-équation électronique d'oxydation des ions chlorure s'écrit :

La quantité de matière d'ions chlorure consommée lors de l'étape 1 est donc égale à la quantité de matière d'électrons échangés :

La dissolution du chlorure de sodium solide apporte un ion chlorure par formule unité (\mathrm{NaCl_{(s)}} \rightarrow \mathrm{Na^+_{(aq)}} + \mathrm{Cl^-_{(aq)}}), d'où :

La masse de chlorure de sodium nécessaire à une heure de fonctionnement sans régénération vaut :

Avec I = 20\text{ A}, \Delta t = 3600\text{ s}, F = 96\,485\text{ C}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\mathrm{NaCl}} = 23{,}0 + 35{,}5 = 58{,}5\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} :

Calculons à présent la masse totale de chlorure de sodium contenue dans le bassin olympique. Le volume d'eau du bassin vaut :

Avec une concentration massique en sel C_m = 5\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}, la masse de \mathrm{NaCl} dissoute dans le bassin est :

Comme m_{\mathrm{NaCl}} \ll m_{\text{dispo}} (la masse consommée en une heure représente seulement environ 2 \times 10^{-6} du stock disponible), la réserve de sel dans le bassin est largement suffisante pour assurer le traitement sur une très longue durée, même en l'absence de régénération.

La relation entre le \mathrm{pH} et les concentrations des espèces du couple acide hypochloreux / ion hypochlorite s'écrit :

On en déduit l'expression du rapport de concentrations :

À la valeur mesurée \mathrm{pH} = 8{,}0, avec \mathrm{p}K_a = 7{,}5 :

L'espèce basique \mathrm{ClO}^-_{(\mathrm{aq})} prédomine donc sur l'acide hypochloreux.

L'acide sulfurique \mathrm{H_2SO_4} est un acide fort dans l'eau. Il se dissocie totalement selon :

Les ions oxonium apportés réagissent de façon quasi-totale avec la base conjuguée \mathrm{ClO}^-_{(\mathrm{aq})} :

Cette réaction consomme les ions hypochlorite et forme de l'acide hypochloreux : le rapport \frac{[\mathrm{ClO}^-_{(\mathrm{aq})}]}{[\mathrm{HClO}_{(\mathrm{aq})}]} diminue.

Puisque la fonction logarithme est strictement croissante, la relation \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log\left(\frac{[\mathrm{ClO}^-]}{[\mathrm{HClO}]}\right) montre que la diminution de ce rapport entraîne nécessairement une baisse du \mathrm{pH}, permettant de ramener celui-ci dans la plage réglementaire visée [7{,}2 \,;\, 7{,}6].

Un expanseur de faisceau transforme un faisceau incident constitué de rayons parallèles à l'axe optique (objet à l'infini) en un faisceau émergent également constitué de rayons parallèles à l'axe optique (image à l'infini). Il s'agit donc d'un système afocal.

Pour un doublet de lentilles minces (\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2), cette condition impose que le foyer image principal de la première lentille coïncide avec le foyer objet principal de la seconde :

Les deux lentilles étant convergentes, les distances focales images vérifient f'_1 > 0 et f'_2 > 0. Les rayons marginaux incidents, situés à la distance \frac{d_0}{2} de l'axe optique, émergent de \mathcal{L}_1 en passant par le foyer F'_1 \equiv F_2, puis sont réfractés par la lentille \mathcal{L}_2 parallèlement à l'axe optique à la distance \frac{d'_0}{2}.

Par application du théorème de Thalès aux triangles formés entre les lentilles et le foyer intermédiaire commun :

Pour satisfaire la condition d'élargissement \tau > 1, la distance focale de la seconde lentille doit être strictement supérieure à celle de la première :

Le point focal commun F'_1 \equiv F_2 est donc situé entre les deux lentilles et plus proche de \mathcal{L}_1 que de \mathcal{L}_2.

Considérons le rayon marginal du faisceau incident, parallèle à l'axe optique et situé à la distance de l'axe :

Après réfraction par la lentille convergente \mathcal{L}_1, ce rayon passe par le foyer image F'_1 en faisant un angle \theta avec l'axe optique. Dans le triangle rectangle formé par le centre optique O_1, le foyer F'_1 et le point d'impact sur la lentille \mathcal{L}_1, on a :

Le système étant afocal, le foyer image F'_1 est confondu avec le foyer objet F_2 de la seconde lentille \mathcal{L}_2. Le rayon se propage donc depuis F_2 jusqu'à \mathcal{L}_2 sous le même angle \theta par rapport à l'axe optique.

En sortie de \mathcal{L}_2, le rayon émerge parallèlement à l'axe optique à une distance y_2 = \dfrac{d'_0}{2}. Dans le triangle rectangle formé par O_2, F_2 et le point d'émergence sur \mathcal{L}_2, on a :

En égalant les deux expressions de \tan\theta, il vient :

Le taux d'expansion du faisceau s'écrit donc :

Pour constituer un expanseur de faisceau, le doublet constitué de la lentille divergente \mathcal{L}_3 (centre O, distance focale image f'_3 < 0) et de la lentille convergente \mathcal{L}_1 (centre O_1, distance focale image f'_1 > 0) doit être un système afocal :

Puisque \mathcal{L}_3 est divergente, son foyer image principal F'_3 est situé dans l'espace objet (à gauche de O) à la distance |f'_3| = -f'_3. Le foyer objet F_1 de la lentille convergente \mathcal{L}_1 est situé à la distance f'_1 à gauche de O_1. La condition de coïncidence implique pour l'encombrement D = OO_1 :

Comme D > 0, on a nécessairement f'_1 > |f'_3|, ce qui garantit un taux d'expansion \tau' = f'_1 / |f'_3| > 1.

Les rayons incidents parallèles à l'axe optique frappent \mathcal{L}_3 et émergent en divergeant comme s'ils provenaient de son foyer image F'_3. Comme F'_3 est confondu avec le foyer objet F_1 de \mathcal{L}_1, ces rayons divergents émergent de la lentille convergente \mathcal{L}_1 parallèlement à l'axe optique, avec un diamètre élargi d'_0 > d_0.

Le système étant afocal, le foyer principal image F'_3 de la lentille divergente \mathcal{L}_3 coïncide avec le foyer principal objet F_1 de la lentille convergente \mathcal{L}_1.

Considérons un rayon incident parallèle à l'axe optique, à la demi-largeur y_3 = \frac{d_0}{2} au niveau de la lentille \mathcal{L}_3 de centre optique O_3 :

• après réfraction par \mathcal{L}_3, ce rayon semble provenir du foyer image F'_3 et fait avec l'axe optique un angle \theta (dans les conditions de Gauss) vérifiant :

  \tan\theta \simeq \theta = \frac{y_3}{\overline{F'_3 O_3}} = \frac{d_0 / 2}{|f'_3|} = -\frac{d_0 / 2}{f'_3}

  puisque \mathcal{L}_3 est une lentille divergente (f'_3 < 0, soit \overline{O_3 F'_3} = f'_3 < 0) ;

• ce même rayon atteint la lentille \mathcal{L}_1 de centre optique O_1 à une ordonnée y_1 = \frac{d'_0}{2}. Comme il est issu (virtuellement) de F_1 = F'_3, il émerge de \mathcal{L}_1 parallèlement à l'axe optique. Dans le triangle rectangle de sommet F_1, on a :

  \tan\theta \simeq \theta = \frac{y_1}{\overline{F_1 O_1}} = \frac{d'_0 / 2}{f'_1}

  car \overline{F_1 O_1} = f'_1 > 0 pour une lentille convergente.

En égalant les deux expressions de \theta (théorème de Thalès appliqué au sommet commun F'_3 \equiv F_1) :

On en déduit l'expression du taux d'expansion \tau' :

1. Expanseur de faisceau képlérien

D'après les questions Q14 et Q15, le système afocal est constitué des lentilles convergentes \mathcal{L}_1 et \mathcal{L}_2 dont l'encombrement et le taux d'expansion s'écrivent :

En exprimant f'_2 = \tau f'_1, on obtient :

2. Expanseur de faisceau galiléen

D'après les questions Q16 et Q17, le système afocal est formé de la lentille divergente \mathcal{L}_3 (f'_3 < 0) et de la lentille convergente \mathcal{L}_1 (f'_1 > 0). L'encombrement et le taux d'expansion vérifient :

En exprimant |f'_3| = \dfrac{f'_1}{\tau}, on en déduit :

3. Comparaison de l'encombrement

Pour une même distance focale f'_1 > 0 et un taux d'expansion identique \tau > 1 :

C'est donc l'expanseur galiléen qui présente l'encombrement le plus faible.

Le prisme cubique présente une section carrée d'arête a, inclinée de 45^\circ par rapport à l'axe optique horizontal.

1. Faisceau incident supérieur (y > 0) :

• Il frappe la face supérieure gauche avec un angle d'incidence i_1 = 45^\circ par rapport à la normale (inclinée de 45^\circ vers le bas).

• D'après la loi de Snell-Descartes, l'angle de réfraction r_1 vérifie :

  n_{\text{air}} \sin i_1 = n_v \sin r_1 \implies \sin r_1 = \frac{\sin 45^\circ}{n_v} = \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}47 \quad (r_1 \approx 28{,}1^\circ < 45^\circ)

  Le rayon est donc dévié vers l'intérieur (vers le bas) et atteint la face inférieure droite.

• La face inférieure droite est rigoureusement parallèle à la face supérieure gauche. L'angle d'incidence sur ce second dioptre vaut donc i_2 = r_1.

• À la sortie dans l'air, l'angle de réfraction r_2 vérifie :

  n_v \sin i_2 = n_{\text{air}} \sin r_2 \implies \sin r_2 = n_v \sin r_1 = \sin 45^\circ \implies r_2 = 45^\circ

  Le rayon ressort donc parallèle à sa direction incidente, c'est-à-dire horizontalement, mais ayant subi une translation vers le bas.

2. Faisceau incident inférieur (y < 0) : Par symétrie par rapport à l'axe optique, la moitié inférieure du faisceau pénètre par la face inférieure gauche et ressort par la face supérieure droite (qui lui est parallèle). Elle ressort donc également parallèle à l'axe optique horizontal, décalée vers le haut.

3. Rayon sur l'axe optique (y = 0) : Ce rayon arrive exactement sur l'arête d'entrée du prisme :

• la partie infinitésimale supérieure du rayon est réfractée par la face supérieure gauche et constitue la limite inférieure du faisceau dévié vers le bas ;
• la partie infinitésimale inférieure est réfractée par la face inférieure gauche et constitue la limite supérieure du faisceau dévié vers le haut.

Le prisme opère ainsi un dédoublement spatial du faisceau initial de diamètre d'_0 en deux faisceaux disjoints et parallèles.

Le faisceau incident, centré sur l'axe optique, a un diamètre d'_0. L'arête sommitale du prisme cubique divise ce faisceau symétriquement en deux demi-faisceaux de largeur incidente :

Chacune des deux moitiés du faisceau traverse un dioptre plan d'entrée puis un dioptre plan de sortie qui lui est parallèle (le prisme cubique agit pour chaque demi-faisceau comme une lame à faces parallèles).

Tous les rayons incidents étant parallèles entre eux et ayant le même angle d'incidence sur la face d'entrée, ils subissent exactement la même translation latérale lors de la traversée de la lame à faces parallèles. La distance transverse séparant deux rayons quelconques est donc rigoureusement conservée.

Par conséquent, le diamètre (ou largeur transversale) d_f de chacun des faisceaux en sortie du dispositif est égal à :

Considérons deux rayons incidents issus d'un même front d'onde plan perpendiculaire à l'axe optique en amont du prisme, symétriques par rapport à l'axe optique (l'un dans le faisceau supérieur, l'autre dans le faisceau inférieur) :

• Le prisme présente une symétrie plane par rapport au plan horizontal contenant l'axe optique. Les deux rayons symétriques parcourent donc des trajectoires géométriquement et optiquement identiques (mêmes longueurs traversées dans le verre et dans l'air, sous les mêmes angles d'incidence et de réfraction).
• De plus, chaque demi-faisceau traverse deux faces opposées et parallèles du prisme cubique (comportement d'une lame à faces parallèles). Tous les rayons d'un même faisceau parcourent la même épaisseur de verre, ce qui préserve la planéité des surfaces d'onde perpendiculaires à l'axe optique.

Entre un plan d'onde incident orthogonal à l'axe optique et un plan d'onde émergent orthogonal à l'axe optique, les chemins optiques suivis par les rayons des deux faisceaux sont donc strictement égaux. La différence de marche \delta est ainsi nulle :

Intérêt de ce dispositif dans la démarche : Pour réaliser des mesures par vélocimétrie laser à franges, l'énoncé indique que les deux faisceaux doivent être :

• Cohérents : la différence de marche étant rigoureusement nulle (\delta = 0 \ll L_c, où L_c est la longueur de cohérence du laser), les deux faisceaux sont en phase et possèdent une cohérence mutuelle parfaite.
• De même intensité : par symétrie du diviseur, la puissance du faisceau laser incident est divisée équitablement en deux faisceaux d'égale énergie et de même section transverse, ce qui garantit un contraste d'interférence maximal (\mathcal{V} = 1).
• Plans : les rayons ressortent parallèles à l'axe optique après avoir traversé des dioptres plans parallèles, produisant des ondes planes bien collimatées prêtes à être recombinées.

Dans le milieu d'indice n \simeq 1, la norme commune des vecteurs d'onde associés à la longueur d'onde \lambda_0 est :

D'après la figure 12, les deux ondes planes se propagent vers les x croissants avec un angle d'inclinaison \pm \alpha par rapport à l'axe horizontal (Ox) dans le plan (xOy). Les vecteurs d'onde s'écrivent :

Pour un point M repéré par \vec{OM} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y + z\,\vec{u}_z, le déphasage de l'onde 1 par rapport à l'onde 2 est :

Les deux ondes étant scalaires, monochromatiques, mutuellement cohérentes et de même intensité I_0, la formule de Fresnel donne l'intensité résultante I(M) :

Soit, sous forme condensée :

Description de la figure d'interférence :

• L'intensité est strictement indépendante de x et de z : les surfaces d'égale intensité sont des plans parallèles au plan (xOz) (plans orthogonaux à l'axe (Oy)).
• Dans le plan d'observation (xOy), on observe une alternance de franges rectilignes brillantes et sombres, parallèles à l'axe (Ox) (axe de propagation moyen).
• L'intensité varie sinusoïdalement entre I_{\min} = 0 et I_{\max} = 4I_0, assurant un contraste maximal (V = 1).

L'interfrange i est la distance séparant deux franges consécutives de même nature, c'est-à-dire deux franges brillantes consécutives (maxima d'intensité) ou deux franges sombres consécutives (minima d'intensité).

D'après le résultat de la question Q22, l'intensité lumineuse dans le champ d'interférence s'écrit :

Les maxima d'intensité (franges brillantes) sont obtenus lorsque l'argument de la fonction cosinus est un multiple entier de 2\pi :

ce qui donne la position des franges brillantes selon l'axe (Oy) :

L'interfrange i est donc donné par :

Une particule d'ensemencement entraînée par le fluide à la vitesse \vec{V} = V\vec{u}_y traverse les franges d'interférence orientées parallèlement à l'axe (Ox). Elle passe d'une frange brillante à la suivante en parcourant une distance égale à l'interfrange i pendant une durée correspondant à la période du signal T = 1/f. On en déduit :

En utilisant l'expression de l'interfrange établie à la question Q23 (i = \frac{\lambda_0}{2\sin\alpha}), il vient :

Application numérique : Avec \lambda_0 = 514\text{ nm} = 514 \times 10^{-9}\text{ m}, f = 1{,}200\text{ MHz} = 1{,}200 \times 10^6\text{ Hz} et \alpha = 6{,}00^\circ :

Estimation de l'incertitude-type : La grandeur V s'écrit sous la forme d'un produit et quotient de grandeurs indépendantes V = \frac{1}{2} \cdot \lambda_0 \cdot f \cdot (\sin\alpha)^{-1}. D'après le formulaire fourni en fin d'énoncé généralisé à trois grandeurs, l'incertitude-type relative vérifie :

Par différentiation de \sin\alpha, on a u(\sin\alpha) = \cos\alpha \, u(\alpha), où u(\alpha) doit impérativement être exprimée en radians :

Calculons les incertitudes relatives :

On obtient :

L'incertitude-type absolue sur la vitesse vaut alors :

Finalement :

Les deux faisceaux lumineux sont assimilés à deux cylindres d'ondes planes de même diamètre transverse d_f, se propageant dans des directions symétriques par rapport à l'axe (Ox) et inclinées d'un angle \pm \alpha par rapport à celui-ci.

Dans le plan (xOy), l'intersection de ces deux faisceaux délimite une zone d'interférence en forme de losange centré en O. La dimension \Delta repérée sur la figure 12 correspond à la hauteur totale de cette zone d'interférence le long de l'axe (Oy) (axe selon lequel s'effectue l'écoulement de l'eau).

Considérons l'un des faisceaux :

• la direction de propagation et les bords du faisceau sont inclinés d'un angle \alpha par rapport à l'axe horizontal (Ox) ;
• la normale aux bords du faisceau est donc inclinée de l'angle \alpha par rapport à la verticale (Oy) ;
• l'épaisseur transverse du faisceau est d_f, ce qui correspond à la projection orthogonale de la dimension verticale \Delta sur la normale au faisceau.

Dans le triangle rectangle reliant la largeur géométrique d_f et la dimension \Delta le long de l'axe (Oy), on a immédiatement :

Par symétrie par rapport à (Ox), les deux faisceaux découpent exactement le même segment de longueur \Delta sur l'axe (Oy). On en déduit :

Pour qu'une particule suivant l'écoulement le long de l'axe (Oy) produise au moins une alternance complète d'extinction et d'éclairement (permettant ainsi de définir une période temporelle et une fréquence de clignotement f), l'étendue spatiale \Delta du champ d'interférence selon (Oy) doit être au moins égale à l'interfrange i :

D'après le résultat de la question Q25, \Delta = \dfrac{d_f}{\cos\alpha}, et d'après la question Q23, i = \dfrac{\lambda_0}{2\sin\alpha}. La condition s'écrit donc :

La valeur minimale du diamètre d_f est donc :

Application numérique : Avec \lambda_0 = 514\text{ nm} = 514 \times 10^{-9}\text{ m} et \alpha = 6{,}00^\circ :

Soit :

Conclusion quant à l'utilisation du laser argon : Le tableau 1 indique un diamètre de faisceau d_f = 0{,}65\text{ mm} = 650\,\mu\text{m}. On constate ainsi que :

Le nombre de franges d'interférence présentes dans le volume de mesure est donné par :

La particule traverse donc un nombre très élevé de franges (N \gg 1), générant ainsi un train d'impulsions lumineuses comportant plus de 200 oscillations. Cela permet une détermination spectrale très nette et précise de la fréquence f par traitement du signal, et donc une mesure fiable de la vitesse d'écoulement V. Le laser argon est donc parfaitement adapté à la vélocimétrie laser à franges.

On étudie le plongeur assimilé à un point matériel de masse m et de volume V = \dfrac{m}{\rho_h} dans le référentiel lié au bassin, supposé galiléen pendant la durée du mouvement.

Le mouvement étant vertical descendant, on choisit un axe (Oz) vertical orienté vers le bas, de vecteur unitaire \vec{u}_z. Le vecteur vitesse du plongeur s'écrit alors :

Une fois entièrement immergé dans l'eau, le plongeur est soumis à trois forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = m g\,\vec{u}_z ;

• la poussée d'Archimède exercée par l'eau au repos (de masse volumique \rho) :

  \vec{P}_A = -\rho V \vec{g} = -\rho \frac{m}{\rho_h} g\,\vec{u}_z

• la force de frottement fluide quadratique :

  \vec{f} = -k v \vec{v} = -k v^2\,\vec{u}_z

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au plongeur :

En projetant sur l'axe vertical descendant (Oz) :

En divisant par la masse m, on obtient l'équation différentielle vérifiée par la norme de la vitesse v :

D'après la question Q27, l'équation différentielle régissant la norme de la vitesse du plongeur s'écrit :

La vitesse limite v_{\text{lim}} correspond au régime asymptotique où l'accélération s'annule, soit \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0. Il vient :

L'énoncé précisant qu'après expiration \rho_h > \rho, le second membre est strictement positif. Les constantes k, m et g étant positives, il existe une unique solution réelle positive pour la vitesse :

Stabilité du régime limite :

• si v > v_{\text{lim}}, \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} < 0, la vitesse décroît ;
• si v < v_{\text{lim}}, \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} > 0, la vitesse croît.

Le plongeur tend donc asymptotiquement vers cette vitesse limite lorsque le temps devient grand.

Évaluation numérique : La valeur de la surface frontale S intervenant dans k = \frac{1}{2}\rho C_x S n'étant pas explicitée numériquement dans les données, on lit la valeur asymptotique de la vitesse sur la figure 15. Pour le modèle de référence à vitesse élevée (cylindre d'élancement L/D \simeq 5 avec C_x = 0{,}35, tableau 2), la courbe théorique atteint un palier dès t \ge 4\text{ s} :

D'après la question Q27, la norme de la vitesse du plongeur vérifie l'équation différentielle :

Par identification avec \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -Av^2 + B, on obtient immédiatement :

Puisque \rho_h > \rho, la constante B est strictement positive, tout comme A = \frac{k}{m} > 0.

Déterminons à présent les constantes k_1, \tau et k_2. Lorsque t \to +\infty, le terme exponentiel tend vers zéro car \tau > 0 :

Or, en régime permanent, \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0, d'où -A v_{\lim}^2 + B = 0, soit v_{\lim} = \sqrt{\frac{B}{A}}. On en déduit :

Pour trouver le temps caractéristique \tau, réinjectons v(t) dans l'équation différentielle. En posant u(t) = \exp\left(-\frac{2t}{\tau} + k_2\right), on a v(t) = k_1 \frac{1+u}{1-u} :

L'égalité est vérifiée à tout instant si et seulement si :

Enfin, la condition initiale à t = 0 s'écrit v(0) = v_0 :

Comme le plongeur entre dans l'eau à une vitesse v_0 supérieure à la vitesse limite (v_0 > v_{\lim} = k_1), le rapport est strictement positif (et strictement inférieur à 1), ce qui donne :

1. Principe de la méthode d'Euler

La méthode d'Euler explicite est une méthode d'intégration numérique d'ordre 1 permettant de résoudre de manière approchée une équation différentielle du premier ordre de la forme :

L'intervalle d'étude [t_0, t_f] est discrétisé en N-1 sous-intervalles de largeur constante (le pas d'intégration) :

En chaque instant t_i, la dérivée est approchée par le taux d'accroissement (ou par un développement de Taylor à l'ordre 1) :

ce qui conduit à la relation de récurrence :

Géométriquement, la courbe intégrale est approchée par une ligne polygonale formée des segments de tangentes successifs sur chaque intervalle [t_i, t_{i+1}].

2. Complétion de l'extrait de code

D'après l'équation différentielle établie en Q27 et réécrite sous la forme \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -Av^2 + B en Q29, la fonction F1(v) renvoie le second membre calculé pour la vitesse v.

Les deux lignes à compléter s'écrivent :

• Ligne 6 :

  return -A * v**2 + B

• Ligne 14 :

  valeurs_v.append(valeurs_v[i] + h * F(valeurs_v[i]))

1. Choix du coefficient de traînée

D'après le tableau 2, pour un plongeur assimilable à un cylindre de rapport L/D \approx 5 et à vitesse élevée (v > 2{,}5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), le coefficient de traînée adapté est C_x = 0{,}35 (ou éventuellement la valeur pour une sphère C_x = 0{,}47).

2. Position du plongeur à l'issue du temps de réaction

Pendant son temps de réaction t_r \approx 1\text{ s}, le plongeur ne peut pas modifier sa posture : il poursuit une trajectoire rectiligne verticale, bras tendus vers le bas.

D'après la figure 15 (graphe de droite, z(t)) :

• pour C_x = 0{,}35, à t = 1{,}0\text{ s}, le centre de masse se trouve à une altitude z(1\text{ s}) \approx -4{,}0\text{ m} ;
• pour C_x = 0{,}47, z(1\text{ s}) \approx -3{,}5\text{ m}.

Les mains étant tendues à d = 1\text{ m} en avant du centre de masse selon la direction de chute, l'extrémité supérieure du corps (les doigts) atteint une profondeur sous la surface libre :

3. Vitesse et manœ uvre d'évitement

D'après le graphe de gauche de la figure 15, la vitesse du plongeur à t = 1\text{ s} a chuté de v_0 \approx 14\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (50\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}) à seulement :

Le plongeur a dissipé plus de 95\,\% de son énergie cinétique initiale par frottement visqueux. Dès lors que le temps de réaction est écoulé, il peut écarter les bras et cambrer le corps pour infléchir sa trajectoire et remonter vers la surface.

Considérons une couche plane d'épiderme d'épaisseur e_e, de conductivité thermique \lambda_e et de section S, repérée selon l'axe (Ox) entre x = 0 et x = e_e.

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique s'écrit :

En régime stationnaire et sans source volumique de chaleur, la conservation de l'énergie impose \operatorname{div} \vec{j}_{\text{th}} = 0, soit \frac{\mathrm{d}j_{\text{th}}}{\mathrm{d}x} = 0. Le flux thermique traversant la surface S :

est donc uniforme et indépendant de x. En intégrant entre la face interne à la température T_1 = T(0) et la face externe à la température T_2 = T(e_e) :

Par analogie formelle avec la loi d'Ohm (U = R\,I), la résistance thermique de l'épiderme est définie par :

L'épiderme, le derme et la graisse sous-cutanée forment trois couches planes successives traversées par le même flux thermique \Phi en régime permanent. Leurs résistances thermiques s'additionnent en série :

Application numérique :

• Surface corporelle du nageur (m = 75\text{ kg} et H = 175\text{ cm}) :

  S = 0{,}007184 \times 75^{0{,}425} \times 175^{0{,}725} \approx 1{,}90\text{ m}^2

• Données du tableau 3 (e_e = 0{,}08\text{ mm}, e_d = 2{,}0\text{ mm}, e_g = 10{,}0\text{ mm}) :

  \begin{aligned} \frac{e_e}{\lambda_e} &= \frac{0{,}08 \times 10^{-3}}{0{,}24} \approx 3{,}33 \times 10^{-4}\text{ m}^2\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1} \\ \frac{e_d}{\lambda_d} &= \frac{2{,}0 \times 10^{-3}}{0{,}45} \approx 4{,}44 \times 10^{-3}\text{ m}^2\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1} \\ \frac{e_g}{\lambda_g} &= \frac{10{,}0 \times 10^{-3}}{0{,}19} \approx 5{,}26 \times 10^{-2}\text{ m}^2\cdot\text{K}\cdot\text{W}^{-1} \end{aligned}

• Résistance thermique totale de la peau :

  R_{\text{peau}} = \frac{3{,}33 \times 10^{-4} + 4{,}44 \times 10^{-3} + 5{,}26 \times 10^{-2}}{1{,}90} \approx \frac{5{,}74 \times 10^{-2}}{1{,}90} \approx 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}

Le flux thermique conducto-convectif sortant de la paroi externe de surface S vers l'eau s'exprime par intégration de la densité de flux donnée par la loi de Newton :

Par analogie avec la loi d'Ohm, la résistance thermique conducto-convective R_{\text{cc}} est définie par la relation :

On en déduit immédiatement :

D'après la question Q32, la surface corporelle vaut S \approx 1{,}90\text{ m}^2 (valeur non arrondie : S = 1{,}899\text{ m}^2). Avec le coefficient d'échange fourni pour l'eau en mouvement, h = 455{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} :

Le flux radiatif s'écrit d'après l'énoncé :

En posant T_{\text{paroi}} = T_0 + \Delta T, avec \Delta T \ll T_0, on effectue un développement limité au premier ordre :

Par conséquent :

Le flux radiatif devient alors approximativement linéaire en \Delta T :

Par analogie avec la définition de la résistance thermique \Phi_{\text{rad}} = \frac{T_{\text{paroi}} - T_0}{R_{\text{rad}}} = \frac{\Delta T}{R_{\text{rad}}}, on identifie :

Application numérique :

• \varepsilon = 0{,}9 ;
• \sigma = 5{,}7 \times 10^{-8}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4} ;
• S \approx 1{,}90\text{ m}^2 (calculée à la question Q32) ;
• T_0 = 16^\circ\text{C} = 289{,}15\text{ K}.

Soit, avec deux chiffres significatifs :

Le transfert thermique s'effectue depuis le corps du nageur à la température T jusqu'à l'eau à la température T_0 à travers plusieurs étages :

• la peau (graisse, derme, épiderme), modélisée par la résistance thermique R_{\text{peau}} ;
• la combinaison en néoprène, modélisée par la résistance thermique R_{\text{combi}} ;
• l'interface entre la paroi extérieure de la combinaison et l'eau, où le transfert s'effectue simultanément par conduction-convection (R_{\text{cc}}) et par rayonnement (R_{\text{rad}}).

Le flux thermique traverse successivement la peau puis la combinaison, ces deux éléments étant donc en série. Au niveau de la paroi externe, le flux se sépare en une composante conducto-convective et une composante radiative soumises au même écart de température T_{\text{paroi}} - T_0 : les résistances R_{\text{cc}} et R_{\text{rad}} sont donc associées en parallèle.

La résistance équivalente de l'association parallèle à l'interface eau/combinaison est :

La résistance thermique totale entre le corps du nageur et l'eau s'écrit alors :

Par analogie thermoélectrique (analogie avec la loi d'Ohm I = \frac{\Delta U}{R}), le flux thermique total s'exprime par :

D'après les données de l'énoncé et le tableau 4, la combinaison en néoprène soufflée à l'argon présente une épaisseur e = 4{,}0\text{ mm} et une conductivité thermique \lambda_{\text{argon}} = 0{,}04887\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}. En géométrie plane pour une surface S \approx 1{,}90\text{ m}^2, sa résistance thermique s'écrit :

Numériquement :

Comparons les ordres de grandeur des différentes résistances obtenues :

• R_{\text{peau}} \approx 3{,}0 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} (d'après la question Q32) ;
• R_{\text{combi}} \approx 4{,}3 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} ;
• R_{\text{cc}} \approx 1{,}2 \times 10^{-3}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} (d'après la question Q33) ;
• R_{\text{rad}} \approx 1{,}1 \times 10^{-1}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} (d'après la question Q34).

1. Branche en parallèle (rayonnement et convection) : On constate que :

Dans une association en parallèle de deux résistances, la résistance équivalente est dominée par la plus faible :

La branche radiative se comporte donc comme un quasi-circuit ouvert : le transfert radiatif est totalement négligeable devant le transfert conducto-convectif avec l'eau.

2. Branche en série : On observe de plus que la résistance conducto-convective avec l'eau est très faible devant la résistance conductive interne globale :

L'échange thermique externe dans l'eau en mouvement étant extrêmement efficace (h élevé), la résistance limitante au transfert thermique est presque exclusivement due aux couches isolantes (tissus adipeux et combinaison).

En conservant R_{\text{cc}} pour une précision optimale :

(Si l'on néglige également R_{\text{cc}}, on trouve R_{\text{tot}} \approx R_{\text{peau}} + R_{\text{combi}} \approx 7{,}3 \times 10^{-2}\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}).

Considérons le système fermé constitué par le corps du nageur, de masse m, de capacité thermique massique c, à la température interne uniforme T(t).

En l'absence de changement d'état et sous l'hypothèse d'une dilatation thermique négligeable, la variation d'énergie interne du nageur pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t s'écrit :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique au système sous forme de bilan de puissance :

où :

• \mathcal{P}_h est la puissance thermique métabolique libérée au sein de l'organisme au cours de l'effort ;
• \Phi_{\text{tot}} est le flux thermique total évacué vers l'eau extérieure à T_0.

D'après le résultat de la question Q35, sous l'hypothèse d'une évolution suffisamment lente (approximation du régime quasi-stationnaire dans la paroi corporelle et la combinaison), le flux s'exprime par :

Le bilan thermique devient alors :

Soit, en réorganisant les termes :

On identifie directement la forme demandée \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \dfrac{T}{\tau} = \xi avec :