Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2020

1. Évaporation de l'eau :

• L'évaporation de l'eau liquide en vapeur est une transition de phase endothermique : l'enthalpie massique de vaporisation est positive (\Delta h_{\text{vap}} > 0).
• Si l'air circulant dans la grotte n'est pas saturé en humidité (taux d'humidité relative strictement inférieur à 100\,\%, soit une pression partielle d'eau P_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}} inférieure à la pression de vapeur saturante P_{\text{sat}}(T)), l'eau présente sur les parois ou le sol s'évapore spontanément.
• Pour fournir la chaleur latente requise, l'eau prélève de l'énergie thermique sous forme de transfert thermique à l'air environnant et aux parois de la grotte, ce qui provoque une diminution de leur température.

2. Détente de l'air dans les crevasses :

• L'air s'engouffre dans des crevasses ou conduits étroits sous l'effet d'une différence de pression (vent, tirage thermique).
• La traversée étant rapide à travers un milieu rocheux massif, les transferts thermiques avec les parois peuvent être négligés à l'échelle du temps d'écoulement : on modélise l'écoulement par une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait (modèle de l'air diatomique de rapport des capacités thermiques \gamma \approx 1{,}4).

• La loi de Laplace s'écrit alors :

  T \, P^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = \text{cte} \quad \implies \quad T = T_0 \left(\frac{P}{P_0}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}
• Comme \gamma > 1, l'exposant \frac{\gamma - 1}{\gamma} est strictement positif. Lors de la détente, la pression diminue (P < P_0), ce qui entraîne nécessairement un abaissement de la température (T < T_0).

Le fluide frigorigène décrit un cycle thermodynamique au contact de trois sources thermiques et sans apport de travail mécanique (W = 0). Les grandeurs Q_1, Q_2 et Q_3 sont les transferts thermiques algébriques reçus par le fluide :

• Source froide à T_3 : Le but de la machine étant de refroidir l'enceinte, celle-ci doit céder de la chaleur au fluide. Le fluide reçoit donc de la chaleur de la source froide :

  Q_3 > 0

• Source chaude à T_1 : En l'absence de travail mécanique (W = 0), l'énergie nécessaire pour faire fonctionner le cycle est apportée sous forme thermique par le système de chauffage (le brûleur). Le fluide reçoit donc de l'énergie de la source chaude :

  Q_1 > 0

• Source tiède à T_2 : D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle complet :

  \Delta U = W + Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0

  Comme W = 0, il vient :

  Q_2 = -(Q_1 + Q_3)

  Puisque Q_1 > 0 et Q_3 > 0, on en déduit nécessairement :

  Q_2 < 0

  Le fluide évacue donc de la chaleur vers l'atmosphère ambiante (la salle).

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle complet (pour lequel \Delta U = 0) en l'absence de travail mécanique reçu (W = 0) :

Compte tenu des signes établis à la question Q2 (Q_1 > 0, Q_2 < 0 et Q_3 > 0), on en déduit :

Comme la machine extrait de la chaleur de l'enceinte froide (Q_3 > 0), il vient immédiatement :

Commentaire : La source tiède (l'air de la salle) reçoit l'intégralité de l'énergie thermique apportée au fluide. Elle doit donc évacuer à la fois le transfert thermique Q_1 fourni par le brûleur (source d'énergie nécessaire au fonctionnement de la machine) et le transfert thermique Q_3 extrait de l'enceinte à refroidir. Par conséquent, un réfrigérateur à absorption réchauffe nécessairement la pièce dans laquelle il est installé.

Pour une machine thermique, le coefficient de performance (\mathrm{COP}) est défini comme le rapport entre l'énergie utilement transférée et l'énergie coûteuse qu'il faut fournir au système :

Dans le cas de ce réfrigérateur à absorption :

• Effet utile : extraire de l'énergie thermique de la source froide (l'enceinte à refroidir), ce qui correspond au transfert thermique reçu par le fluide frigorigène depuis cette source, soit Q_3 > 0 ;
• Coût énergétique : l'énergie motrice apportée au système pour faire fonctionner la machine sans apport de travail mécanique (W = 0), qui est ici le transfert thermique fourni par la source chaude (le brûleur), soit Q_1 > 0.

Comme Q_1 et Q_3 sont tous deux strictement positifs d'après la question Q2, l'expression littérale du coefficient de performance est :

Considérons le fluide décrivant un cycle fermé au contact des trois thermostats.

1. Premier principe de la thermodynamique : L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle est nulle. En l'absence de travail mécanique (W = 0) :

2. Second principe de la thermodynamique : L'entropie S étant également une fonction d'état, on a sur un cycle :

où l'entropie échangée s'écrit S_e = \dfrac{Q_1}{T_1} + \dfrac{Q_2}{T_2} + \dfrac{Q_3}{T_3} et l'entropie créée vérifie S_c \geqslant 0 (avec égalité pour un cycle réversible). Il en résulte l'inégalité de Clausius :

3. Élimination de Q_2 et encadrement du COP : En remplaçant Q_2 par -(Q_1 + Q_3), l'inégalité devient :

Comme T_1 > T_2 > T_3, les facteurs (T_2 - T_3) et (T_1 - T_2) sont strictement positifs. De plus, Q_1 > 0 d'après Q2. En divisant par Q_1 > 0 et par \dfrac{T_2 - T_3}{T_2 T_3} > 0, le sens de l'inégalité est conservé :

Comme \mathrm{COP} = \dfrac{Q_3}{Q_1} (d'après la question Q4), on en déduit :

avec :

D'après le résultat de la question Q5, le coefficient de performance maximal s'écrit :

Lorsque la température T_1 du système de chauffage devient très grande devant T_2 (T_1 \to +\infty), le rapport \frac{T_2}{T_1} tend vers zéro. On en déduit immédiatement la limite :

Interprétation physique :
Une machine tritherme réversible peut être modélisée comme le couplage interne sans travail extérieur entre :

• un moteur thermique de Carnot fonctionnant entre la source chaude (T_1) et la source tiède (T_2), dont le rendement est \eta_C = 1 - \dfrac{T_2}{T_1} ;
• une machine frigorifique ditherme réversible de Carnot fonctionnant entre la source froide (T_3) et la source tiède (T_2), dont le coefficient de performance vaut \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \dfrac{T_3}{T_2 - T_3}.

Le coefficient global s'écrit comme le produit : \mathrm{COP}_{\max} = \eta_C \times \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}.

Lorsque T_1 \to +\infty, le rendement du moteur de Carnot tend vers sa valeur théorique maximale : \eta_C \to 1. L'intégralité du transfert thermique Q_1 fourni à très haute température devient équivalente à un travail mécanique noble. La machine à absorption se comporte alors idéalement comme un réfrigérateur ditherme réversible (à compression mécanique) opérant entre la source froide à T_3 et l'ambiance à T_2.

Par rapport à une machine à compression de vapeur, le réfrigérateur à absorption présente plusieurs avantages déterminants découlant de son principe de fonctionnement tritherme :

• Absence de compresseur mécanique (absence de pièces mobiles) : le système ne comportant pas de moteur ni de piston de compression, son fonctionnement est totalement silencieux et exempt de vibrations. L'absence d'usure mécanique confère à ces machines une grande robustesse, une longue durée de vie et une maintenance quasi inexistante.
• Nature de l'énergie motrice : la machine ne nécessite aucun travail mécanique (W = 0) ni apport d'électricité. Elle fonctionne directement à partir d'une source de chaleur primaire (brûleur à gaz ou à pétrole, capteurs solaires thermiques ou valorisation d'une source de chaleur résiduelle/fatale industrielle). Cela la rend idéale pour une utilisation en site isolé (camping-cars, bateaux, refuges).