Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 TSI 2020 (page 2/4 : Partie II)

On choisit pour système le fluide frigorigène R134a au cours d'un cycle de fonctionnement, en adoptant la convention thermodynamique habituelle où tout transfert reçu par le système est compté positivement.

Le fluide échange de l'énergie avec trois éléments extérieurs schématisés sur la figure 2 :

• avec le compresseur : un transfert mécanique (travail) W. Le compresseur apporte de l'énergie mécanique au fluide pour élever sa pression, d'où :

  \boxed{W > 0}

• avec la source froide à la température T_f (au niveau de l'évaporateur) : un transfert thermique Q_f. Le fluide extrait de la chaleur à la source froide pour la refroidir, d'où :

  \boxed{Q_f > 0}

• avec la source chaude à la température T_c (au niveau du condenseur) : un transfert thermique Q_c. Le fluide évacue de la chaleur vers le milieu extérieur (source chaude), d'où :

  \boxed{Q_c < 0}

Le condenseur est un échangeur thermique dont le rôle est d'assurer le refroidissement puis la liquéfaction totale (condensation) du fluide frigorigène à haute pression, en évacuant de la chaleur vers l'extérieur :

• le fluide y entre à l'état de vapeur surchauffée issue du compresseur et en ressort à l'état liquide (éventuellement sous-refroidi) ;
• au cours de cette transformation exothermique, le fluide cède un transfert thermique Q_c < 0.

Le condenseur doit donc être mis en contact thermique avec la source chaude (T_c) (l'atmosphère ambiante ou l'air de la pièce dans le cas d'un réfrigérateur domestique), qui reçoit cette chaleur cédée par le fluide.

Le rôle de l'évaporateur est d'assurer le changement d'état du fluide frigorigène du mélange liquide-vapeur vers l'état de vapeur (vapeur saturante sèche ou surchauffée) à basse pression et basse température.

Cette vaporisation étant un processus endothermique, le fluide prélève de l'énergie sous forme de transfert thermique (Q_f > 0) au milieu extérieur. L'évaporateur doit donc être mis en contact thermique avec la source froide (T_f), c'est-à-dire l'enceinte que l'on souhaite refroidir ou maintenir à basse température.

Le coefficient de performance (\mathrm{COP}) d'une machine frigorifique est défini par le rapport entre l'effet thermique utile obtenu (transfert thermique Q_f prélevé à la source froide) et le coût énergétique nécessaire pour faire fonctionner la machine (travail mécanique W fourni par le compresseur au fluide) :

Pour la machine de Carnot fonctionnant de manière réversible entre les deux thermostats aux températures T_f (source froide) et T_c (source chaude) avec T_c > T_f, les deux principes de la thermodynamique s'écrivent sur un cycle :

En injectant l'expression de Q_c dans le premier principe :

On en déduit l'expression du coefficient de performance de Carnot :

Considérons le système fermé \Sigma^* constitué :

• du fluide contenu dans le volume de contrôle (l'organe traversé) à l'instant t ;
• de la masse élémentaire \delta m de fluide qui s'apprête à entrer par la section d'entrée e pendant la durée \mathrm{d}t.

À l'instant t+\mathrm{d}t, par conservation de la masse en écoulement stationnaire, cette même masse \delta m est sortie par la section de sortie s, et le volume de contrôle est occupé par une masse identique de fluide.

Puisque les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligées, l'énergie totale du système se réduit à son énergie interne U. La variation d'énergie interne du système fermé \Sigma^* s'écrit :

où u_e et u_s sont les énergies internes massiques respectives à l'entrée et à la sortie. Le régime étant stationnaire, l'état du fluide dans le volume de contrôle ne dépend pas du temps : U_{\text{vc}}(t+\mathrm{d}t) = U_{\text{vc}}(t). Ainsi :

D'après le premier principe appliqué à ce système fermé entre t et t+\mathrm{d}t :

Le travail mécanique \delta W reçu par le fluide se décompose en :

• le travail indiqué \delta W_i = w_i\,\delta m échangé avec les parties mobiles ;
• le travail des forces de pression extérieures à l'entrée (force motrice) : \delta W_{p,e} = + P_e\,v_e\,\delta m ;
• le travail des forces de pression extérieures à la sortie (force résistante) : \delta W_{p,s} = - P_s\,v_s\,\delta m ;

où v_e et v_s sont les volumes massiques respectifs du fluide. Le transfert thermique reçu s'écrit \delta Q = q\,\delta m.

On en déduit :

En introduisant l'enthalpie massique h = u + P v, on obtient, pour un kilogramme de fluide frigorifique (\delta m = 1\text{ kg}) :

On applique le premier principe de la thermodynamique en écoulement stationnaire (établi à la question Q12) à un kilogramme de fluide traversant le détendeur D entre l'entrée (état 3) et la sortie (état 4) :

Or, d'après les données de l'énoncé :

• le détendeur ne comporte aucune partie mobile, il n'y a donc aucun travail indiqué échangé :

  w_i = 0

• le détendeur est calorifugé, il n'y a donc aucun transfert thermique avec l'extérieur :

  q = 0

On en déduit immédiatement :

L'enthalpie massique est conservée : le fluide subit donc une détente isenthalpique (détente de type Joule-Thomson) au sein du détendeur.

Le diagramme enthalpique (h, \ln P), dit « diagramme des frigoristes », fait apparaître la courbe de saturation en forme de cloche dont le sommet correspond au point critique :

• la branche de gauche constitue la courbe d'ébullition (titre en vapeur x = 0) ;
• la branche de droite constitue la courbe de rosée (titre en vapeur x = 1).

La vaporisation d'un fluide étant endothermique, l'enthalpie massique h augmente à pression fixée lors du passage de l'état liquide à l'état vapeur. On en déduit la répartition des trois domaines à reporter sur la figure A du document réponse :

1. Liquide (liquide sous-refroidi) : situé à gauche de la courbe d'ébullition (faibles enthalpies h) ;
2. Vapeur humide (ou mélange liquide-vapeur) : situé sous la cloche de saturation, entre la courbe d'ébullition et la courbe de rosée (0 < x < 1) ;
3. Vapeur sèche (ou vapeur surchauffée) : situé à droite de la courbe de rosée (fortes enthalpies h).

Le fluide entre dans le compresseur à l'état 1 (vapeur à basse pression). Les transformations successives sont :

• 1 \to 2 : compression amenant le fluide à haute pression (vers le haut) ;
• 2 \to 3 : condensation isobare à haute pression avec évacuation de chaleur (diminution d'enthalpie, vers la gauche) ;
• 3 \to 4 : détente isenthalpique ramenant le fluide à basse pression (vers le bas) ;
• 4 \to 1 : vaporisation isobare à basse pression avec apport de chaleur (augmentation d'enthalpie, vers la droite).

Le cycle est donc parcouru dans le sens trigonométrique (ou sens antihoraire).

Pour le cycle considéré, le premier principe en régime stationnaire appliqué à un cycle complet (l'état final étant identique à l'état initial, \Delta h_{\text{cycle}} = 0) donne :

La machine étant un récepteur de travail mécanique (fourni par le compresseur, soit w_{i,\text{cycle}} > 0), la quantité de chaleur massique nette reçue sur le cycle est :

La quantité de chaleur nette est bien négative, c'est-à-dire globalement fournie à l'extérieur.

Dans le diagramme des frigoristes (h, P), tout cycle parcouru dans le sens trigonométrique correspond à un cycle récepteur où la compression (qui élève la pression) se produit à des enthalpies massiques plus élevées que la détente, ce qui impose un travail indiqué net reçu strictement positif (w_{i,\text{cycle}} > 0). En vertu du premier principe (\Delta h_{\text{cycle}} = 0), on a nécessairement q_{\text{cycle}} < 0. Il en est donc bien ainsi sur tout cycle.

À l'intérieur de la courbe de saturation, le fluide frigorigène (corps pur) est sous forme d'un équilibre diphasique liquide-vapeur. D'après la règle des phases de Gibbs, la variance d'un corps pur sous deux phases vaut :

Ainsi, la pression d'équilibre ne dépend que de la température :

Par conséquent, à température T fixée, la pression P est rigoureusement constante.

L'ordonnée du diagramme des frigoristes représentant la pression P (en échelle logarithmique), une transformation isotherme sous la cloche de saturation s'effectue à pression constante :

Pour un fluide assimilé à un gaz parfait, la deuxième loi de Joule énonce que l'enthalpie massique ne dépend que de la température :

Par conséquent, lors d'une évolution isotherme (T = \text{cste}), l'enthalpie massique reste constante :

Dans le diagramme des frigoristes, où l'enthalpie massique h est portée en abscisse et la pression P en ordonnée, l'équation h = \text{cste} est celle d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées :

Le fluide circule dans le sens trigonométrique sur le cycle (question Q15) :

• État 2 (case en haut à droite) : sortie du compresseur / entrée du condenseur. Le fluide subit une compression isentropique qui augmente sa pression (de P_1 \approx 2\text{ bar} à P_2 \approx 10\text{ bar}) et son enthalpie massique. Le point 2 est le sommet supérieur droit du cycle, dans le domaine de la vapeur surchauffée.
• État 3 (case en haut à gauche) : sortie du condenseur / entrée du détendeur. Le fluide subit un refroidissement puis une liquéfaction isobare à la haute pression P_2 = P_3 \approx 10\text{ bar}. Le point 3 se situe à l'extrémité gauche du palier isobare supérieur, sur la courbe d'ébullition (liquide saturé, x_3 = 0).
• État 4 (case en bas à gauche) : sortie du détendeur / entrée de l'évaporateur. Le fluide subit une détente isenthalpique (h_4 = h_3, question Q13) qui se traduit par un segment vertical descendant jusqu'à la basse pression P_4 = P_1 \approx 2\text{ bar}. Le point 4 se situe dans le domaine du mélange liquide-vapeur.

Sur la figure A du document réponse, on inscrit donc :

En suivant le parcours du fluide le long du cycle 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1 défini à la question précédente (Q18) et d'après les hypothèses de l'énoncé, on complète les cases du document réponse pour chacune des quatre transformations :

• Transformation 1 \to 2 :

  • Organe traversé : Compresseur
  • Nature de la transformation : Compression adiabatique réversible (ou isentropique)

• Transformation 2 \to 3 :

  • Organe traversé : Condenseur
  • Nature de la transformation : Refroidissement et condensation isobare

• Transformation 3 \to 4 :

  • Organe traversé : Détendeur
  • Nature de la transformation : Détente isenthalpique

• Transformation 4 \to 1 :

  • Organe traversé : Évaporateur
  • Nature de la transformation : Vaporisation isobare (et isotherme)

La lecture directe sur le cycle frigorifique tracé sur la figure A donne :

• État 1 (entrée du compresseur) :

  • Pression basse : P_1 \approx 2{,}7\text{ bar} (graduation située entre 2{,}00 et 3{,}00\text{ bar}).
  • Enthalpie massique : h_1 \approx 405\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
  • Température : le point 1 est situé en sortie d'évaporateur dans la zone de vapeur sèche légèrement surchauffée, à l'intersection avec l'isotherme T_1 \approx 6\text{ }^\circ\text{C} (la saturation à cette pression étant à T_{\text{sat}} \approx -2\text{ }^\circ\text{C}).
  • Titre en vapeur : x_1 = 1 (vapeur sèche / surchauffée).

• État 2 (sortie du compresseur / entrée du condenseur) :

  • Pression haute : P_2 \approx 13\text{ bar} (palier isobare haut).
  • Enthalpie massique : h_2 \approx 435\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
  • Température : dans la zone de vapeur surchauffée, interpolation entre les isothermes 60\text{ }^\circ\text{C} et 70\text{ }^\circ\text{C}, soit T_2 \approx 63\text{ }^\circ\text{C}.
  • Titre en vapeur : x_2 = 1 (vapeur surchauffée).

• État 3 (sortie du condenseur / entrée du détendeur) :

  • Pression haute : P_3 = P_2 \approx 13\text{ bar}.
  • Enthalpie massique : h_3 \approx 270\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
  • Température : liquide saturé sur la courbe d'ébullition à 13\text{ bar}, correspondant au palier de changement d'état à T_3 \approx 50\text{ }^\circ\text{C}.
  • Titre en vapeur : x_3 = 0 (liquide saturé).

• État 4 (sortie du détendeur / entrée de l'évaporateur) :

  • Pression basse : P_4 = P_1 \approx 2{,}7\text{ bar}.
  • Enthalpie massique : détente isenthalpique, donc h_4 = h_3 \approx 270\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
  • Température : mélange diphasique à la pression de saturation P_{\text{sat}} = 2{,}7\text{ bar}, soit T_4 \approx -2\text{ }^\circ\text{C}.
  • Titre en vapeur : interpolation entre les courbes isotitres x = 0{,}30 et x = 0{,}40, ce qui donne x_4 \approx 0{,}37.

On complète ainsi le tableau du document réponse :

D'après l'énoncé, la compression est adiabatique, soit q = 0. En négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle massiques, le premier principe en régime stationnaire établi à la question Q12 s'écrit pour le fluide traversant le compresseur :

L'expression littérale du travail massique indiqué reçu par le fluide dans le compresseur est donc :

D'après le tableau complété à la question Q20, on a :

• h_1 \approx 405\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_2 \approx 435\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit :

Appliquons le premier principe en régime stationnaire pour un écoulement à une entrée et une sortie (établi à la question Q12) au fluide traversant l'évaporateur, entre l'état d'entrée 4 et l'état de sortie 1 :

L'évaporateur étant un échangeur thermique sans parties mobiles, le travail indiqué massique est nul : w_{i,\text{EV}} = 0. On en déduit l'expression du transfert thermique massique reçu :

La détente dans le détendeur étant isenthalpique (question Q13), on a h_4 = h_3, soit également q_f = h_1 - h_3.

D'après les valeurs relevées à la question Q20 :

On obtient :

La puissance frigorifique P_f correspond au flux thermique reçu par le fluide frigorigène lors de sa traversée de l'évaporateur, c'est-à-dire à la puissance thermique prélevée à la source froide.

En régime d'écoulement permanent au débit massique D_m, elle s'exprime directement à partir du transfert thermique massique q_f établi à la question Q22 :

Avec D_m = 0{,}2\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} et q_f \approx 135\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} :

D'après la définition établie en Q11 et le bilan massique en régime permanent :

Avec les valeurs obtenues en Q21 et Q22 (q_f \approx 135\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et w_{ic} \approx 30\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) :

Pour la machine de Carnot fonctionnant de manière réversible entre les températures de changement d'état du fluide (source froide à la température d'évaporation T_f = T_4 \approx -2\text{ }^\circ\text{C} = 271\text{ K} et source chaude à la température de condensation T_c = T_3 \approx 50\text{ }^\circ\text{C} = 323\text{ K}) :

On observe bien que \mathrm{COP} < \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}, conformément au théorème de Carnot issu du second principe.

Cette différence s'explique principalement par :

• la détente dans le détendeur, qui est une détente isenthalpique par laminage fortement irréversible (sans travail récupéré), au lieu d'une détente isentropique réversible motrice ;
• la désurchauffe du fluide en sortie de compresseur (de T_2 \approx 63\text{ }^\circ\text{C} à 50\text{ }^\circ\text{C}) et la légère surchauffe en sortie d'évaporateur, qui impliquent des transferts thermiques sous des écarts de température finis, s'écartant ainsi du cycle ditherme idéal de Carnot à deux isothermes.

La puissance frigorifique s'exprime par :

L'état de sortie d'évaporateur (point 1) et le débit massique D_m restant constants, ainsi que le caractère isenthalpique de la détente (h'_4 = h'_3), la nouvelle puissance frigorifique P'_f = 1{,}05\,P_f conduit à :

Avec h_3 \approx 270\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et q_f = h_1 - h_3 \approx 135\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après les questions Q20 et Q22) :

Placement du point 3' : La condensation étant isobare, le point 3' se situe à la même pression P_3 \approx 13\text{ bar}, reporté vers la gauche à l'abscisse h'_3 \approx 263\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, dans le domaine du liquide sous-refroidi.

Détermination de T'_3 et du sous-refroidissement \Delta T : Par lecture sur le diagramme enthalpique à la pression P = 13\text{ bar} et pour h'_3 \approx 263\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, on se situe à mi-chemin entre les isothermes 40\,^\circ\text{C} et 50\,^\circ\text{C} :

Le sous-refroidissement \Delta T représente l'écart entre la température de saturation au condenseur T_3 et la température finale du liquide sous-refroidi T'_3 :