Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2021 (page 3/3 : Partie III (questions 35 à 46))

Le cycle de Rankine à vapeur saturée se décompose en quatre étapes :

• Point 1 (sortie du condenseur) : L'eau est à l'état de liquide saturant (x_1 = 0) à la température T_f = 300\text{ K} \approx 27\text{ }^\circ\text{C} (courbe isotherme 30\text{ }^\circ\text{C}). Le point 1 se situe sur la courbe d'ébullition (titre en vapeur x = 0) à la pression de vapeur saturante P_1 = P_{\text{sat}}(T_f) \approx 0{,}04\text{ bar}. Sur la figure A, il correspond au point marqué à l'enthalpie :

  h_1 \approx 111\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Étape 1 \to 2 (pompe d'alimentation) : L'eau liquide (fluide quasi-incompressible) subit une compression adiabatique réversible de P_1 jusqu'à la pression de chaudière P_2 = 128\text{ bar}. La température reste quasi-constante (T \approx 300\text{ K}), l'enthalpie massique varie de façon négligeable (\mathrm{d}h = v\,\mathrm{d}P \ll q_c). Le segment 1 \to 2 est donc un segment vertical (quasi-isenthalpique) orienté vers le haut, aboutissant au point 2 situé à P = 128\text{ bar} et h_2 \approx 111\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
• Point 2 (entrée de la chaudière) : Situé dans le domaine du liquide sous-refroidi à P_2 = 128\text{ bar} et T_2 = 300\text{ K}.
• Étape 2 \to 3 (chaudière) : La transformation est isobare (P = 128\text{ bar}). Elle comprend l'échauffement du liquide de T_2 jusqu'à la température de saturation T_c = 603\text{ K} = 330\text{ }^\circ\text{C}, puis la vaporisation totale jusqu'à la dernière goutte de liquide. Sur le diagramme, c'est un segment horizontal orienté vers la droite le long de l'isobare P = 128\text{ bar}, jusqu'à la courbe de rosée (x = 1).

• Point 3 (sortie de la chaudière / entrée de la turbine) : Vapeur saturante sèche (x_3 = 1) à P_3 = 128\text{ bar} et T_c = 603\text{ K}. Sur la figure A, il est repéré à l'enthalpie :

  h_3 \approx 2648\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Étape 3 \to 4 (turbine à vapeur) : La vapeur subit une détente adiabatique et réversible, donc isentropique (s = \text{cte}). Sur le diagramme, on suit la courbe isentrope issue du point 3 (environ s \approx 5{,}7\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) qui s'incline vers le bas et la gauche pour pénétrer dans le domaine diphasique, jusqu'à atteindre l'isobare de basse pression P_4 = P_1.

• Point 4 (sortie de la turbine / entrée du condenseur) : Mélange diphasique (vapeur humide) sous la pression P_1 et à la température T_f. Sur la figure A, il correspond au point marqué à l'intersection de l'isentrope issue de 3 et de l'isobare P_1, d'enthalpie :

  h_4 \approx 1592\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• Étape 4 \to 1 (condenseur) : Liquéfaction totale de la vapeur à pression constante P_1 (et donc isotherme T_f). C'est un segment horizontal orienté vers la gauche, reliant le point 4 au point 1.

Le tracé à reporter sur le document réponse est le suivant :

Considérons le fluide en écoulement stationnaire à travers la chaudière entre l'état 2 (entrée) et l'état 3 (sortie).

En négligeant les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur, et en constatant l'absence de pièces mobiles dans la chaudière (travail utile transvasé nul, w_{u, 2\to 3} = 0), le premier principe de la thermodynamique en système ouvert s'écrit :

soit :

D'après le diagramme \log(P) = f(h) de la figure A (question Q35) :

• en sortie de chaudière (vapeur saturante à P = 128\text{ bar}) : h_3 = 2648\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• en entrée de chaudière : le liquide étant quasi-incompressible et le travail de la pompe étant négligé (|w_p| \ll |w_t|), l'état 2 se confond pratiquement avec l'état 1 en enthalpie, d'où h_2 \approx h_1 = 111\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On effectue l'application numérique :

Le fluide est en écoulement stationnaire à travers la turbine (transformation 3 \to 4). En négligeant les variations d'énergie cinétique macroscopique et d'énergie potentielle de pesanteur, le premier principe de la thermodynamique en système ouvert s'écrit :

où w_t est le travail massique reçu par le fluide et q_t le transfert thermique massique reçu.

La détente dans la turbine étant supposée adiabatique, on a q_t = 0. Il en résulte :

D'après les relevés effectués sur le diagramme de la figure A (question Q35) :

• h_3 = 2648\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_4 = 1592\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On obtient ainsi :

Pour un écoulement stationnaire sans variation d'énergie cinétique ni d'énergie potentielle, le premier principe appliqué au fluide traversant la pompe s'écrit :

La compression étant modélisée comme adiabatique (q_p = 0), on a :

D'autre part, la transformation étant réversible et adiabatique (isentropique, ds = 0), la relation fondamentale de la thermodynamique dh = T\,\mathrm{d}s + v\,\mathrm{d}P se réduit à :

L'eau liquide étant considérée comme une phase condensée indilatable et incompressible de volume massique v_L = \frac{1}{\rho_L} \approx 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}, on intègre directement :

La pression en sortie de condenseur P_1 est la pression de vapeur saturante de l'eau à T_f = 300\text{ K}, soit P_1 \approx 0{,}035\text{ bar} \ll P_2 = 128\text{ bar}. On a donc :

D'après la question Q37, le travail massique échangé dans la turbine vaut |w_t| \approx 1056\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. On en déduit le rapport :

L'hypothèse formulée par l'énoncé est donc parfaitement légitime.

1. Nature de la transformation 4 \to 1 : Dans le condenseur, le fluide subit une liquéfaction (ou condensation liquide) totale à pression et température constantes :

• elle est isobare, à la faible pression de condensation P_1 = P_{\text{sat}}(T_f) imposée par l'échangeur thermique ;
• pour un corps pur en équilibre diphasique liquide-vapeur sous pression constante, elle est également isotherme, à la température de la source froide T = T_f = 300\text{ K} ;
• il s'agit d'une transformation exothermique au cours de laquelle le fluide cède un transfert thermique massique q_f = h_1 - h_4 < 0 à la source froide.

2. Intérêt de cette étape :

• Intérêt thermodynamique : D'après le second principe (énoncé de Thomson/Kelvin-Planck), un système décrivant un cycle moteur doit nécessairement échanger de la chaleur avec au moins deux sources thermiques ; l'évacuation de chaleur vers la source froide est indispensable pour refermer le cycle.
• Intérêt technologique et énergétique : En condensant totalement la vapeur en liquide, le volume massique du fluide diminue considérablement (v_L \ll v_V, d'un facteur d'environ 10^4). La compression 1 \to 2 peut ainsi être réalisée par une pompe hydraulique pour liquides incompressibles, nécessitant un travail de pompage négligeable (|w_p| \ll |w_t|, justifié à la question Q38), au lieu d'un compresseur de gaz qui consommerait une fraction majeure du travail produit par la turbine.

Au point 4, le fluide se trouve sous forme d'un mélange diphasique liquide-vapeur à la température T_f. Par définition de la fraction massique (ou titre) en vapeur x_{v4}, l'enthalpie massique du mélange s'écrit :

où h_L(T_f) et h_V(T_f) sont respectivement les enthalpies massiques du liquide saturant et de la vapeur saturante sèche à la température T_f.

D'après la description du cycle au point 1, le fluide est à l'état de liquide saturant à la température T_f, donc :

Par ailleurs, l'enthalpie massique de vaporisation à la température T_f est par définition :

Il vient ainsi :

soit finalement :

Application numérique D'après les valeurs indiquées sur le diagramme de la figure A :

• h_1 = 111\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_4 = 1592\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

Sur la courbe de rosée (x = 1) à la température T_f \approx 30^\circ\text{C} (pression de saturation P_1 \approx 0{,}04\text{ bar}), on lit l'enthalpie de la vapeur saturante :

d'où :

On en déduit :

1. Étape 1 \to 2 (pompe) : L'énoncé précise que la transformation subie dans la pompe est adiabatique et réversible, c'est-à-dire isentropique :

2. Étape 2 \to 3 (chaudière) : L'eau liquide sous pression (P = 128\text{ bar}) est à la température T_2 = T_f = 300\text{ K}. Elle subit deux évolutions successives à la pression de chaudière :

• un échauffement de l'eau liquide de T_f à la température d'ébullition sous 128 bar, soit T_c :

  \Delta S_{\text{liq}} = m\,c_{\mathrm{eau}} \ln\left(\frac{T_c}{T_f}\right)

• une vaporisation totale à la température de saturation T_c, d'enthalpie massique de changement d'état \Delta h_v(T_c) :

  \Delta S_{\text{vap}} = m\,\frac{\Delta h_v(T_c)}{T_c}

L'entropie étant une fonction d'état, on a par additivité :

3. Étape 3 \to 4 (turbine) : La détente dans la turbine est modélisée comme adiabatique et réversible, donc isentropique :

4. Étape 4 \to 1 (condenseur) : Au point 4, le mélange diphasique se trouve à la température T_f avec une fraction massique de vapeur x_{v4}, soit une entropie massique :

Au point 1, l'eau est à l'état de liquide saturant à la température T_f, d'entropie massique s_1 = s_L(T_f). La variation d'entropie au cours de cette condensation totale à la température constante T_f vaut :

L'entropie étant une fonction d'état, la variation totale d'entropie du fluide sur un cycle complet est nulle :

En injectant les expressions obtenues à la question Q41 :

La masse m étant non nulle, on simplifie pour obtenir :

D'où l'expression de la fraction massique de vapeur au point 4 :

Le fluide s'écoule en régime stationnaire avec un débit massique D_{m1} = 1{,}0\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

La puissance mécanique algébrique \mathcal{P}_{t,\text{fluide}} reçue par le fluide traversant la turbine s'écrit :

D'après la question Q37, le travail massique échangé au niveau de la turbine vaut w_t = -1056\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. On a donc :

Au sens strict de l'intitulé (« puissance mécanique reçue par la turbine » de la part du fluide détendu), la turbine reçoit cette puissance pour la transmettre à son arbre :

Numériquement :

Commentaires sur le résultat :

• Sens des transferts : Le fluide cède de l'énergie mécanique à la turbine (\mathcal{P}_{t,\text{fluide}} < 0). La turbine est motrice et peut ainsi entraîner un alternateur pour produire de l'électricité.
• Ordre de grandeur : Une puissance mécanique de l'ordre de 1\text{ MW} est tout à fait typique pour une installation de cogénération semi-industrielle ou agricole regroupée valorisant le biogaz d'un grand méthaniseur.

Le condenseur est un échangeur thermique fonctionnant en écoulement stationnaire et supposé parfaitement calorifugé vis-à-vis du milieu extérieur. Il n'échange aucun travail mécanique utile avec l'extérieur.

Le premier principe pour un système ouvert appliqué à l'ensemble du condenseur en régime stationnaire s'écrit :

En décomposant sur les deux écoulements (le fluide de la machine et l'eau du réseau domestique) :

où P_d est la puissance thermique reçue par l'eau de chauffage domestique, et D_{m1} le débit massique d'eau circulant dans le cycle de la centrale.

On en déduit l'expression de la puissance thermique reçue par l'eau de chauffage :

D'après les valeurs d'enthalpie massique déterminées sur le diagramme de la question Q35 :

• h_1 = 111\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_4 = 1592\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• D_{m1} = 1,0\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}

L'application numérique donne :

(ou 1,48\text{ MW} avec trois chiffres significatifs).

Le fluide de chauffage domestique est de l'eau liquide restant en phase condensée entre T_{e} = T_d(x=0) = 5{,}0\ ^\circ\mathrm{C} et T_{s} = T_d(x=L) = 60\ ^\circ\mathrm{C}.

En régime stationnaire et en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, le premier principe appliqué à ce circuit (qui n'échange aucun travail utile avec l'extérieur) s'écrit :

Pour une phase liquide considérée comme incompressible et indilatable soumise à un échauffement isobare :

On en déduit l'expression du débit massique D_d :

En utilisant la valeur de P_d = 1{,}481 \times 10^3\text{ kW} obtenue à la question Q44, c_{\mathrm{eau}} = 4{,}18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et \Delta T = 60 - 5{,}0 = 55\text{ K} :

Dans une installation de cogénération, les grandeurs valorisées (utiles) sont :

• la puissance mécanique fournie par la turbine : \mathcal{P}_t = -P_t = -D_{m1}\,w_t ;
• la puissance thermique transférée à l'eau de chauffage domestique : P_d = D_{m1}\,(h_4 - h_1).

La puissance payante (dépensée) est la puissance thermique fournie au fluide dans la chaudière :

L'efficacité énergétique de cogénération s'écrit donc :

Or, d'après les questions précédentes :

Comme h_2 \approx h_1 (la compression dans la pompe étant quasi isenthalpique), la somme du travail extrait et de la chaleur récupérée est égale à la chaleur fournie :

On en déduit l'expression littérale :

L'application numérique donne :

Commentaire :

• Sans valorisation de la chaleur au condenseur, le rendement de la centrale se limitait à la conversion en énergie mécanique :

  r = \frac{-w_t}{q_c} = \frac{1056}{2537} \approx 41{,}6\,\%

  Le reste de l'énergie (58{,}4\,\%) était alors rejeté sans profit dans la source froide extérieure.

• Grâce à la cogénération, l'énergie thermique usuellement « perdue » au condenseur est valorisée pour le chauffage domestique. Dans le cadre de ce modèle idéal sans pertes vers l'extérieur (condenseur parfaitement calorifugé, pas de pertes thermiques le long des conduites), la totalité de l'énergie injectée dans la chaudière est valorisée, d'où une efficacité théorique de 100\,\%.
• En pratique, compte tenu des pertes thermiques parasites, des frottements mécaniques et de la consommation de la pompe, l'efficacité d'une centrale de cogénération réelle reste comprise entre 80\,\% et 90\,\%, ce qui représente un gain énergétique et environnemental considérable.