Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2023 (page 2/4 : Parties III et IV)

Comparaison des deux cycles :

• Températures d'échange :

  • Pour le cycle de Carnot, les échanges s'effectuent sans gradient thermique avec les sources, soit aux températures T_{\mathrm{ch}} et T_{\mathrm{fr}}.

  • Pour le cycle endoréversible, le fluide échange à des températures internes T_1 et T_2 telles que :

    \boxed{T_{\mathrm{ch}} > T_1 > T_2 > T_{\mathrm{fr}}}

    Ces écarts de température finis, T_{\mathrm{ch}} - T_1 > 0 et T_2 - T_{\mathrm{fr}} > 0, sont indispensables pour permettre des transferts thermiques conductifs à débit non nul dans le sens naturel (du chaud vers le froid).

• Travail échangé par cycle : Le travail mécanique net produit par le fluide sur un cycle correspond à l'opposé de l'aire intérieure du cycle dans le plan (T, S), soit pour une variation d'entropie donnée \Delta S = S_{\max} - S_{\min} :

  \begin{aligned} |W_{\mathrm{Carnot}}| &= (T_{\mathrm{ch}} - T_{\mathrm{fr}})\,\Delta S \\ |W_{\mathrm{endo}}| &= (T_1 - T_2)\,\Delta S < |W_{\mathrm{Carnot}}| \end{aligned}

  Le travail produit par cycle est donc strictement inférieur pour le cycle endoréversible.

• Rendement thermodynamique : Le cycle intérieur étant réversible, son rendement est donné par :

  \eta_{\mathrm{endo}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}

  Comme T_2 > T_{\mathrm{fr}} et T_1 < T_{\mathrm{ch}}, on a \frac{T_2}{T_1} > \frac{T_{\mathrm{fr}}}{T_{\mathrm{ch}}}, d'où :

  \boxed{\eta_{\mathrm{endo}} < \eta_{\mathrm{C}} = 1 - \frac{T_{\mathrm{fr}}}{T_{\mathrm{ch}}}}
• Puissance développée : Le cycle de Carnot requiert des temps de contact thermique infinis (\Delta T \to 0), ce qui conduit à une puissance moyenne délivrée nulle (\mathcal{P}_{\mathrm{Carnot}} = 0). En revanche, les écarts de température finis du cycle endoréversible permettent des échanges thermiques en temps fini, et donc une puissance utile non nulle (\mathcal{P}_{\mathrm{endo}} > 0).

D'après la loi phénoménologique de conduction (analogue à la loi de Fourier ou à la loi d'Ohm thermique), le flux thermique q entre deux milieux à températures T_{\mathrm{a}} et T_{\mathrm{b}} séparés par une conductance thermique K s'écrit q = K(T_{\mathrm{a}} - T_{\mathrm{b}}), le flux étant orienté de T_{\mathrm{a}} vers T_{\mathrm{b}}.

Flux thermiques instantanés :

• Lors du contact avec la source chaude (durée t_1), la flèche du flux q_{\mathrm{ch}}(t) est orientée du réservoir chaud à la température T_{\mathrm{ch}} vers la substance active à la température T_1. Comme T_{\mathrm{ch}} > T_1, ce flux entrant s'écrit :

  q_{\mathrm{ch}}(t) = K(T_{\mathrm{ch}} - T_1) \quad (\text{pour } t \in [0, t_1])

  et q_{\mathrm{ch}}(t) = 0 le reste du cycle.

• Lors du contact avec la source froide (durée t_2), la flèche du flux q_{\mathrm{fr}}(t) est orientée de la substance active à la température T_2 vers le réservoir froid à la température T_{\mathrm{fr}}. Comme T_2 > T_{\mathrm{fr}}, ce flux sortant s'écrit :

  q_{\mathrm{fr}}(t) = K(T_2 - T_{\mathrm{fr}}) \quad (\text{pour } t \in [t_1, t_1 + t_2])

  et q_{\mathrm{fr}}(t) = 0 le reste du cycle.

Chaleurs échangées sur un cycle : Les températures étant constantes au cours des isothermes du cycle intérieur, les flux thermiques sont constants durant leurs phases de contact respectives. Par intégration temporelle sur la durée d'un cycle, on obtient :

D'où les expressions demandées :

Le cycle étant endoréversible, toutes les irréversibilités ont lieu lors des transferts thermiques à travers la conductance K entre la substance et les réservoirs. Le cycle subi par la substance active entre T_1 et T_2 est donc internement réversible, ce qui implique une entropie créée nulle au sein du fluide :

L'entropie étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est nulle : \Delta S = 0. Durant ce cycle, la substance reçoit la chaleur Q_{\text{ch}} à la température uniforme T_1, puis cède la chaleur Q_{\text{fr}} à la température uniforme T_2 (les deux autres étapes étant isentropiques). Le bilan entropique s'écrit :

soit :

D'après la question Q14, les quantités de chaleur échangées sur le cycle s'expriment par :

En injectant ces expressions dans l'égalité de Clausius réversible, il vient :

On en déduit l'expression du rapport des durées de contact :

D'après la question Q15, la réversibilité du cycle intérieur impose :

Le travail fourni sur un cycle s'écrit donc :

En injectant l'expression de Q_{\mathrm{ch}} = K(T_{\mathrm{ch}} - T_1)t_1 obtenue à la question Q14 :

La durée du cycle est t_p = t_1 + t_2 = t_1\left(1 + \frac{t_2}{t_1}\right). En utilisant l'expression du rapport des durées trouvée à la question Q15 :

on obtient :

La puissance moyenne produite sur un cycle \mathcal{P} = \frac{W}{t_p} s'exprime alors par :

Par comparaison directe avec la relation (2) de l'énoncé :

on identifie sans ambiguïté les indices :

ainsi que l'expression de la puissance :

Le rendement du cycle de Carnot fonctionnant entre les deux réservoirs de température T_{\mathrm{ch}} et T_{\mathrm{fr}} s'écrit :

Pour le cycle endoréversible, le rendement s'exprime à partir du travail fourni et de la chaleur reçue de la source chaude :

D'après la question Q15, la réversibilité du cycle intérieur impose \dfrac{Q_{\mathrm{fr}}}{Q_{\mathrm{ch}}} = \dfrac{T_2}{T_1}, d'où :

On en déduit l'expression du rendement relatif :

Le rendement de Carnot s'exprime par :

Dans le cadre de la récupération de chaleur fatale, l'écart de température entre les sources est faible devant la température absolue de la source chaude (\Delta T_{\text{res}} \ll T_{\text{ch}}, par exemple \Delta T_{\text{res}} \approx 30\text{ K} pour T_{\text{ch}} \approx 330\text{ K}). Il en résulte immédiatement :

1. Simplification du rendement relatif maximal \eta_{\text{rel}}^{\max} :

D'après l'équation (4) de l'énoncé :

À l'ordre 0 en \eta_{\text{c}}, on a \sqrt{1 - \eta_{\text{c}}} \approx 1. Le terme entre crochets devient :

On obtient ainsi la simplification :

2. Simplification de la puissance maximale \mathcal{P}_{\max} :

Développons la fonction f(\eta_{\text{c}}) au voisinage de \eta_{\text{c}} = 0. À l'ordre 2 pour le numérateur :

Le numérateur de f(\eta_{\text{c}}) s'écrit alors :

Le dénominateur de f(\eta_{\text{c}}) s'écrit au premier ordre :

Il vient donc :

En reportant cette approximation dans l'équation (3), la puissance maximale devient :

D'après les approximations établies à la question Q18 dans le cadre d'un faible écart de température (\eta_{\mathrm{c}} \ll 1) :

En reportant cette relation dans l'expression simplifiée de la puissance maximale obtenue à la question Q18 :

On obtient ainsi :

Justification de l'allure de la courbe (figure 2) et ordonnée du graphique :

• Pour \Delta T_{\mathrm{res}}, T_{\mathrm{ch}} et K fixés, \mathcal{P}_{\max} est une fonction polynomiale du second degré en \eta_{\mathrm{rel}}^{\max}, de coefficient dominant négatif. La courbe représentative est donc un arc de parabole tourné vers le bas.
• La puissance s'annule en \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} = 0 et \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} = 1.

• Le sommet de la parabole est atteint en \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} = 0{,}5 (point B), où le facteur \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} (1 - \eta_{\mathrm{rel}}^{\max}) vaut 0{,}25. La puissance maximale absolue vaut alors :

  \mathcal{P}_{\max}^{\mathrm{opt}} = \frac{K (\Delta T_{\mathrm{res}})^2}{16 T_{\mathrm{ch}}}

• L'ordonnée du graphique variant de 0 à 1 avec un maximum égal à 1 atteint précisément en \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} = 0{,}5, l'ordonnée correspond à la puissance maximale normalisée :

  \boxed{\frac{\mathcal{P}_{\max}}{\mathcal{P}_{\max}^{\mathrm{opt}}} = 4 \, \eta_{\mathrm{rel}}^{\max} \left(1 - \eta_{\mathrm{rel}}^{\max}\right)}

1. Tracé des cycles dans le plan (T, S) :

D'après le résultat de la question Q18 pour un faible écart de température (\eta_{\text{c}} \ll 1), le rendement relatif maximal s'identifie à :

Par symétrie des écarts de température lors de la maximisation (T_{\text{ch}} - T_1 \approx T_2 - T_{\text{fr}}), on a :

• Point A (\eta_{\text{rel}}^{\max} \approx 0{,}25) : \Delta T_{\text{adia}} \approx \frac{1}{4} \Delta T_{\text{res}} (cycle étroit en température, centré entre T_{\text{ch}} et T_{\text{fr}}) ;
• Point B (\eta_{\text{rel}}^{\max} = 0{,}50) : \Delta T_{\text{adia}} = \frac{1}{2} \Delta T_{\text{res}} (cycle de hauteur intermédiaire) ;
• Point C (\eta_{\text{rel}}^{\max} \approx 0{,}75) : \Delta T_{\text{adia}} \approx \frac{3}{4} \Delta T_{\text{res}} (cycle de grande hauteur, T_1 proche de T_{\text{ch}} et T_2 proche de T_{\text{fr}}).

2. Même puissance pour les cycles A et C :

La puissance moyenne produite s'écrit \mathcal{P} = \frac{W}{t_p}.

• Pour le cycle A : l'écart interne \Delta T_{\text{adia}} est faible, donc le travail mécanique W obtenu par cycle (l'aire du cycle dans le plan (T, S)) est petit. En revanche, les écarts de température avec les sources (T_{\text{ch}} - T_1) et (T_2 - T_{\text{fr}}) sont grands, ce qui assure des flux thermiques instantanés q très élevés et donc des transferts thermiques rapides : la période t_p est courte (fonctionnement rapide).
• Pour le cycle C : l'écart interne \Delta T_{\text{adia}} est important, fournissant un travail mécanique W par cycle élevé. Mais les écarts avec les thermostats sont très réduits, d'où des transferts thermiques très lents et une période t_p longue (fonctionnement lent).

Le rapport \frac{W}{t_p} prend ainsi la même valeur pour ces deux régimes de fonctionnement.

3. Point de fonctionnement le plus intéressant :

À puissance produite \mathcal{P} identique, le flux de chaleur consommé à la source chaude vaut :

Le rendement du point C étant environ trois fois supérieur à celui du point A (\eta_{\text{rel}}^{\text{C}} \approx 0{,}75 contre \eta_{\text{rel}}^{\text{A}} \approx 0{,}25), le cycle C nécessite de prélever trois fois moins d'énergie thermique pour fournir la même puissance utile :

L'enthalpie libre massique est définie par :

La masse volumique \rho étant supposée constante, la différentielle totale de g s'écrit :

D'après l'équation (5) de l'énoncé, la variation infinitésimale d'énergie interne massique est :

En substituant cette relation dans l'expression de \mathrm{d}g, les termes en \mathrm{d}s et en \mathrm{d}M s'annulent :

On obtient ainsi :

D'après la question Q21, la différentielle totale de l'enthalpie libre massique s'écrit :

Puisque g est une fonction d'état de classe \mathcal{C}^2 des variables indépendantes (T, H), les dérivées partielles premières s'identifient terme à terme :

en rappelant que la masse volumique \rho est supposée constante.

En appliquant le théorème de Schwarz sur l'égalité des dérivées partielles secondes croisées :

L'égalité \frac{\partial^2 g}{\partial H \partial T} = \frac{\partial^2 g}{\partial T \partial H} conduit à la relation de Maxwell magnétique :

Si l'aimantation M dépend de la température T, sa dérivée partielle n'est pas identiquement nulle : \left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)_H \neq 0.

Par conséquent, on a nécessairement :

ce qui démontre que l'entropie massique s dépend de l'excitation magnétique H.

Le modèle proposé pour le matériau magnétocalorique s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport à la température T à excitation magnétique H fixée, on obtient :

D'après la relation de Maxwell établie à la question Q22 :

La variation d'entropie massique associée à une variation isotherme du champ magnétique s'obtient par intégration :

Pour un champ \mu_0 H variant de 0 à B_0 = 1\text{ T}, l'expression littérale de la variation d'entropie massique est :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• C_2 = 0{,}03\text{ T}\cdot\text{K}^{-1} ;
• B_0 = 1\text{ T} ;
• \rho = 7{,}9\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 7{,}9 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}.

Considérons l'entropie massique s comme fonction des variables d'état (T, H). Sa différentielle totale s'écrit :

D'après la définition de la capacité thermique massique à excitation constante, on a :

D'après la relation de Maxwell établie à la question Q22 et le modèle d'aimantation linéaire en température \mu_0 M(H, T) = C_1\mu_0 H + C_2(35 - T) :

En introduisant le champ d'induction \mu_0 H, la différentielle s'écrit :

D'après le deuxième principe de la thermodynamique, pour une transformation adiabatique (\delta q = 0) et réversible (s_{\text{créée}} = 0), l'entropie est constante :

On en déduit la relation différentielle :

En intégrant entre l'état initial (T_i, champ nul) et l'état final (T_f = T_i + \Delta T_{\mathrm{adia}}, champ \mu_0 H = B_0 = 1\text{ T}), avec c_H constante :

D'où l'expression exacte de l'écart de température :

Puisque le paramètre sans dimension \varepsilon = \frac{C_2 B_0}{c_H \rho \mu_0} \ll 1, on effectue un développement limité au premier ordre (\mathrm{e}^\varepsilon - 1 \approx \varepsilon) :

Application numérique : Avec T_i = 25^\circ\text{C} = 298\text{ K}, B_0 = 1\text{ T}, C_2 = 0{,}03\text{ T}\cdot\text{K}^{-1}, \rho = 7{,}9 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, c_H = 3{,}0 \times 10^2\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} :

Ce résultat est bien en accord avec l'ordre de grandeur de 2\text{ K} mentionné à la question suivante.

D'après les résultats de la partie III (questions Q17 et Q18), le rendement relatif du cycle endoréversible par rapport au rendement de Carnot s'écrit pour de faibles écarts de température :

Pour que le fonctionnement du thermogénérateur soit proche de celui du cycle de Carnot, il faut que ce rendement relatif soit proche de 1, c'est-à-dire :

Or, l'effet magnétocalorique du Gadolinium limite l'échauffement ou le refroidissement adiabatique réversible à une valeur modeste :

Par conséquent :

• Si l'écart de température entre les sources est important (par exemple \Delta T_{\mathrm{res}} = 30\text{ K} ou 75\text{ K}, comme dans le tableau 1), le rendement relatif devient très faible (\eta_{\mathrm{rel}} \sim 0{,}03 \text{ à } 0{,}07 \ll 1). Les irréversibilités de transfert thermique entre les sources et le matériau sont alors prépondérantes.
• Si au contraire la chaleur à récupérer présente un très faible écart de température avec la source froide (\Delta T_{\mathrm{res}} de l'ordre de quelques kelvins, proche de \Delta T_{\mathrm{adia}}), le rapport \frac{\Delta T_{\mathrm{adia}}}{\Delta T_{\mathrm{res}}} s'approche de l'unité, rendant le fonctionnement quasi réversible et très proche du cycle de Carnot.