X ENS Physique PSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

• L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Autour des thermogénérateurs magnétiques

Notations, formulaire et données numériques.

• Constante universelle des gaz parfaits : R = 8, 3 J ⋅ mol^(− 1) ⋅ K^(− 1)
• Masse molaire de l'air : M = 29 g.mol^(− 1)
• Capacité thermique massique à pression constante de l'air, considéré comme gaz parfait diatomique : c_p = 1, 0 × 10^3 J.kg^(− 1).K^(− 1)
• Perméabilité magnétique du vide : μ_0 = 4π × 10^(− 7)H.m^(− 1)
• Capacité thermique à excitation magnétique constante du Gadolinium : c_H(Gd) = 3, 0 × 10^(− 1) J ⋅ g^(− 1) ⋅ K^(− 1)
• Masse volumique du Gadolinium : ρ(Gd) = 7, 9 g.cm^(− 3)
• Conductivité thermique du Gadolinium : k_(Gd) = 10 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1)
• Conductivité thermique du Cuivre : k_(Cu) = 3, 0 × 10^2 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1)
• Conductivité thermique de l'air : k_(air) = 2, 0 × 10^(− 2) W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1)
• Quelques données numériques : 1, 1^(3, 5) ≈ 1, 4; 1, 1^(− 3, 5) ≈ 0, 7; ln(1, 4) ≈ 0, 3; ln(0, 7) ≈ − 0, 3

I Contexte de la chaleur perdue et machine thermique

1. Rappeler l'expression du premier principe et du deuxième principe de la thermodynamique. Que deviennent ces expressions sur un cycle thermodynamique?
2. En considérant un système thermodynamique quelconque, noté S, en contact avec deux thermostats aux températures T_(ch) et T_(fr) avec T_(ch) > T_(fr), établir les différents régimes de fonctionnement d'une machine thermique idéale. On s'appuiera sur une représentation graphique, appelée diagramme de Raveau, donnant la chaleur échangée Q_C entre le système S et la source T_(ch), en fonction de la chaleur échangée Q_F entre le système S et la source T_(fr).
3. Rappeler le nom et la définition des transformations associées à un cycle de Carnot subi par le système S en contact avec les deux thermostats précédents. On représentera les étapes du cycle dans le plan ( T, S ) en faisant apparaitre clairement les températures des thermostats.
4. Dans le cas d'un système subissant un cycle de Carnot, réaliser un bilan d'énergie et un bilan d'entropie, et en déduire l'expression du rendement η en fonctionnement moteur en fonction de T_(ch) et T_(fr).
5. À partir des données du tableau 1, justifier pourquoi l'ADEME classe les gisements par écart de température par rapport à la température de la source froide et en déduire en Wh l'énergie que l'on pourrait récupérer par an et par gisement.

II Machine de Carnot opérée avec un gaz parfait

III Compromis puissance/efficacité : thermodynamique à temps fini

Figure 1 - (figure de gauche) Description schématique d'un générateur thermomagnétique en prenant en compte un modèle d'échange avec les réservoirs. Les interrupteurs thermiques représentent le fait que la substance active du système est alternativement en contact avec le côté chaud à T_1 et le côté froid à T_2; (figure de droite) Représentation graphique du cycle thermodynamique endoréversible dans un diagramme (T, S).

13. Dans un diagramme ( T, S ), en faisant apparaître les températures des réservoirs, tracer un cycle de Carnot et un cycle endoréversible, puis les comparer.
14. À partir de la conductance thermique K, déterminer l'expression des flux thermiques (instantanés) échangés avec la source chaude et la source froide, respectivement q_(ch)(t) et q_(fr)(t), le sens du transfert étant indiqué sur la figure 1. En considérant que, lors d'un cycle, la substance active du système est en contact thermique avec le réservoir ≪ chaud ≫ durant la durée t_1 et avec le réservoir ≪ froid ≫ durant la durée t_2, en déduire les chaleurs échangées Q_(ch) et Q_(fr) sur un cycle thermodynamique.
15. En appliquant le deuxième principe de la thermodynamique au cycle endoréversible, en déduire une relation entre le rapport (t_1)/(t_2) et les différentes températures introduites en figure 1 .
16. La période du cycle, notée t_p, se décompose en deux durées correspondant aux durées de chaque échange thermique, telle que t_p = t_1 + t_2, les deux transformations isentropiques étant considérées comme instantanées. On définit la puissance produite par le système P par l'expression :

Figure 2 - Graphique illustrant le compromis puissance-efficacité.

IV Substance active du système : matériau magnétocalorique

Figure 3 - Caractéristiques μ_0 M(T) en fonction de μ_0 H(T) d'un matériau magnétocalorique, la légende indique la température en ^∘C du matériau.

21. Exprimer la différentielle totale de l'enthalpie libre massique d g en fonction des variations infinitésimales de la température dT et de l'excitation magnétique dH.
22. À partir de l'égalité (∂^2 g)/(∂H∂T) = (∂^2 g)/(∂T∂H) et des propriétés de la différentielle totale de g, montrer que si M dépend de T alors s dépend de H.

v Étude des forces magnétiques

• Étape 1 : le matériau est en contact avec la source froide et se refroidit, ce qui induit une augmentation de l'aimantation;
• Étape 2 : lorsque les forces magnétiques (attraction du matériau magnétocalorique par l'aimant) deviennent prépondérantes sur la force de rappel du ressort, l'équilibre mécanique qui prévalait jusqu'ici est rompu. À cette étape, le matériau est donc en mouvement rapide vers la source chaude;
• Étape 3 : le matériau est en contact avec la source chaude et se réchauffe, ce qui induit une diminution de l'aimantation;
• Étape 4 : lorsque les forces magnétiques deviennent faibles devant celle du ressort, l'équilibre mécanique est rompu. À cette étape le matériau est en mouvement rapide vers la source froide.

Figure 4 - Structure du thermogénérateur magnétique dans une position quelconque.

Figure 5 - Différentes étapes du cycle - Les étapes 2, 3 et 4 sont à compléter en reproduisant la figure sur la copie.

vi Étude mécanique du thermogénérateur

Figure 6 - Représentation graphique de la force du ressort F_(ressort) et de l'opposé de la force magnétique − F_(mag) appliquées sur le matériau magnétocalorique, en projection sur l'axe Oy de la figure 4.

37. En reproduisant sur la copie la figure 7 , tracer sur ce graphique force-déplacement le cycle mécanique (trajectoire, sens) emprunté par le matériau magnétocalorique. On fera apparaître sur le cycle mécanique les différentes étapes du cycle thermodynamique associé (1, 2, 3, 4).
38. Réaliser un bilan des forces sur le matériau magnétocalorique et appliquer le principe fondamental de la dynamique. On note m_(MC), la masse du matériau magnétocalorique, k la constante de raideur du ressort et e_0 la position où la force du ressort est nulle. On rappelle l'existence d'une force de contact F_(contact)(e_(air)) telle que ∀e_(air) ∈ ]0, d[, on a F_(contact)(e_(air)) = 0, puis F_(contact)(e_(air) = 0) ≥ 0 et F_(contact)(e_(air) = d) ≤ 0.
39. Écrire la condition d'équilibre mécanique lorsque le matériau est dans l'étape 1 du cycle. Expliquer pourquoi la force de contact tend vers 0 quand la température diminue.

Figure 7 - Graphique force-déplacement à reproduire et à compléter.

42. Que peut-on dire de T_(ch) et T_(fr) par rapport à la température au point A, notée T_A, et au point B , notée T_B, afin que le système soit en oscillation auto-entretenue entre la source froide et la source chaude?

VII Étude thermique du thermogénérateur

Figure 8 - Modèle thermique unidimensionnel du thermogénérateur.

• de 0 à ατ_d, le transistor est fermé;
• de ατ_d à τ_d le transistor est ouvert.

Figure 9 - Schéma électrique de l'alimentation de la résistance associée à la source chaude.

Figure 10 - Extrait de la documentation technique du dissipateur.

43. Déterminer la puissance produite par la résistance et en déduire une relation entre P_R, α et E.
44. Rappeler l'équation de la diffusion thermique en régime dépendant du temps dans le cas d'un modèle unidimensionnel dans les matériaux de la figure 8. Définir les conditions aux limites à l'interface avec le dissipateur, avec la résistance chauffante et à l'interface entre les différents matériaux. Les phénomènes de convection dans la couche d'air située entre les abscisses x_1 et x_2 sont négligés.
45. En déduire les températures T(x_1) et T(x_3) en régime permanent.
46. En relation avec l'analyse de stabilité de la partie précédente, en déduire un encadrement de la puissance P_R permettant les oscillations auto-entretenues du matériau magnétocalorique en fonction de T_A et T_B.
47. En se plaçant à une température T_(amb) égale à 10^∘C, déterminer un encadrement du rapport cyclique α pour lequel on obtient une oscillation de la structure magnétocalorique (on donnera un encadrement de α par des valeurs numériques avec un seul chiffre significatif).

VIII Capteur de position pour l'étude du système

Figure 11 - Schéma de principe du capteur de position proposé.

48. Dans un système formé de deux électrodes planes parallèles de surface S et de distance e_(air), donner la relation entre le champ électrique (sens, direction, valeur) et la charge portée par les armatures.
49. En déduire la capacité C du système entre les deux électrodes.
50. Réaliser un schéma électrique équivalent de la structure proposée en figure 11, en faisant intervenir la notation C_A pour le condensateur du bas et C_B pour le condensateur du haut. Indiquer les expressions de C_A et C_B en fonction de e_(air). On rappelle que e_(air) est une quantité physique pouvant varier dans le temps.
51. À partir de l'équation liant une charge q(t) au courant i(t), et de la relation de comportement d'un condensateur, en déduire la relation entre la tension du condensateur v(t) et le courant i(t) dans le cas général où la capacité du condensateur, notée C(t), dépend du temps.
52. Déterminer deux équations différentielles ordinaires reliant i_1 et i_2 à v_1, v_2, C_A(t) et C_B(t).