Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2023 (page 4/4 : Parties VII et VIII)

Le circuit d'alimentation de la résistance chauffante R est constitué d'un générateur de tension continue E et d'un interrupteur (transistor) commandé périodiquement à la période \tau_{\mathrm{d}} avec un rapport cyclique \alpha.

Déterminons la puissance instantanée p_R(t) dissipée par effet Joule dans la résistance au cours d'une période :

• pour t \in [0, \alpha \tau_{\mathrm{d}}[, le transistor est fermé (conducteur parfait), la tension aux bornes de la résistance est u_R(t) = E. La puissance instantanée dissipée s'écrit :

  p_R(t) = \frac{E^2}{R}

• pour t \in [\alpha \tau_{\mathrm{d}}, \tau_{\mathrm{d}}[, le transistor est ouvert (bloqué), l'intensité traversant le circuit est nulle (i(t) = 0). La puissance instantanée dissipée est donc :

  p_R(t) = 0

Puisque la période de découpage \tau_{\mathrm{d}} est négligeable devant les temps de réponse thermique du système, la puissance thermique injectée dans la source chaude correspond à la puissance moyenne \mathcal{P}_R sur une période de découpage :

On obtient ainsi la relation demandée :

Avec E = 10\text{ V} et R \approx 100\ \Omega, on remarque numériquement que \frac{E^2}{R} = 1{,}0\text{ W}, de sorte que :

1. Équation de la diffusion thermique

Considérons un milieu homogène et isotrope sans source de chaleur interne volumique, modélisé selon l'axe (Ox) vertical ascendant (figure 8). L'application du premier principe de la thermodynamique à une tranche de matière d'épaisseur \mathrm{d}x et de section S, combinée à la loi de Fourier j_{\mathrm{th}}(x, t) = -k_i \frac{\partial T}{\partial x}, conduit à :

où D_i = \frac{k_i}{c_i} est le coefficient de diffusivité thermique du milieu i \in \{\text{Cu}, \text{air}, \text{MC}\} et c_i la capacité thermique volumique (en \mathrm{J\cdot m^{-3}\cdot K^{-1}}).

2. Conditions aux limites aux interfaces internes (x = x_1, x_2, x_3)

En l'absence de résistance thermique de contact et de source volumique ou surfacique à ces interfaces, et compte tenu de l'absence de convection dans la couche d'air :

• Continuité de la température : pour tout j \in \{1, 2, 3\},

  T(x_j^-, t) = T(x_j^+, t)

• Continuité de la densité de flux thermique conductif :

  -k(x_j^-) \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x_j^-} = -k(x_j^+) \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x_j^+}

  soit explicitement :

  \begin{aligned} \text{en } x_1 : \quad & k_{\mathrm{Cu}} \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x_1^-} = k_{\mathrm{air}} \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x_1^+} \\ \text{en } x_2 : \quad & k_{\mathrm{air}} \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x_2^-} = k_{\mathrm{MC}} \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x_2^+} \\ \text{en } x_3 : \quad & k_{\mathrm{MC}} \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x_3^-} = k_{\mathrm{Cu}} \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x_3^+} \end{aligned}

3. Condition à la limite avec la source chaude (x = x_4)

La résistance chauffante est infiniment fine et produit une puissance moyenne \mathcal{P}_{\mathrm{R}}. La face supérieure étant thermiquement isolée, la totalité de cette puissance est injectée dans le thermogénérateur vers les x décroissants (dans le sens opposé au vecteur unitaire \vec{u}_x). Le flux thermique surfacique entrant au niveau de la section S s'écrit donc :

soit :

4. Condition à la limite avec le dissipateur (x = 0)

Le dissipateur thermique, placé en x = 0, évacue la chaleur vers l'air ambiant à la température T_{\mathrm{amb}}. La modélisation par une résistance thermique R_{\mathrm{th}} relie le flux thermique total quittant le dispositif en x = 0 (dirigé vers les x négatifs, d'intensité \Phi = k_{\mathrm{Cu}} S \left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_0) à l'écart de température :

ce qui donne la relation aux limites :

En régime permanent stationnaire, la dérivée temporelle est nulle (\partial T / \partial t = 0). Dans chacun des milieux (cuivre, air, gadolinium), en l'absence de terme source volumique, l'équation de la diffusion s'écrit :

Le profil de température T(x) est donc une fonction affine dans chaque couche, et la densité de flux thermique j_{\mathrm{th}} = -k_i \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} est constante.

La résistance chauffante située en x_4 injecte une puissance thermique moyenne \mathcal{P}_{\mathrm{R}}. Celle-ci n'ayant d'autre issue que de traverser l'ensemble de la structure vers le dissipateur situé en x = 0, le flux thermique total dirigé selon les x décroissants est conservé et vaut :

Introduisons les résistances thermiques de conduction des différentes tranches de section droite S :

Par continuité du flux et de la température aux interfaces :

• Entre l'air ambiant à T_{\mathrm{amb}} et l'abscisse x=0, le dissipateur impose :

  T(0) - T_{\mathrm{amb}} = R_{\mathrm{th}} \mathcal{P}_{\mathrm{R}}

• Dans la couche inférieure de cuivre, entre x=0 et x_1 :

  T(x_1) - T(0) = R_{\mathrm{th, Cu}} \mathcal{P}_{\mathrm{R}} = \frac{e_{\mathrm{Cu}}}{k_{\mathrm{Cu}} S} \mathcal{P}_{\mathrm{R}}

• Dans la couche d'air, entre x_1 et x_2 :

  T(x_2) - T(x_1) = R_{\mathrm{th, air}} \mathcal{P}_{\mathrm{R}} = \frac{e_{\mathrm{air}}}{k_{\mathrm{air}} S} \mathcal{P}_{\mathrm{R}}

• Dans le matériau magnétocalorique, entre x_2 et x_3 :

  T(x_3) - T(x_2) = R_{\mathrm{th, MC}} \mathcal{P}_{\mathrm{R}} = \frac{e_{\mathrm{MC}}}{k_{\mathrm{Gd}} S} \mathcal{P}_{\mathrm{R}}

On en déduit l'expression de la température à l'abscisse x_1 :

Puis l'expression de la température à l'abscisse x_3 :

D'après l'étude mécanique de la partie précédente (question Q42), le thermogénérateur fonctionne en régime d'oscillations auto-entretenues si et seulement si :

• au contact de la source froide, le matériau peut descendre en dessous de la température T_A pour que la force magnétique redevienne suffisante et provoque le décollement vers le haut :

  T_{\mathrm{fr}} < T_A

• au contact de la source chaude, le matériau peut dépasser la température T_B pour que la diminution de l'aimantation permette au ressort de rappeler le matériau vers le bas :

  T_{\mathrm{ch}} > T_B

Dans la configuration thermique unidimensionnelle étudiée, la température de la surface froide sur laquelle vient s'appuyer le matériau est T(x_1), tandis que la température de la surface chaude est T(x_3). On a donc :

D'après les résultats de la question Q45, ces températures s'écrivent en régime permanent :

où l'on a posé les résistances thermiques équivalentes :

Les conditions sur les températures se traduisent directement sur la puissance moyenne \mathcal{P}_{\mathrm{R}} :

On en déduit l'encadrement de la puissance \mathcal{P}_{\mathrm{R}} nécessaire au maintien des oscillations :

D'après la question Q43, la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans la résistance s'écrit :

Avec E = 10\text{ V} et R = 100\ \Omega, la puissance électrique maximale disponible vaut :

Le rapport cyclique \alpha s'identifie donc numériquement à la puissance \mathcal{P}_{\mathrm{R}} exprimée en watts.

D'après la condition établie à la question Q46, l'oscillation auto-entretenue nécessite :

1. Lecture des températures T_A et T_B sur la figure 6 :

• Le point A correspond au décollement du matériau magnétocalorique au niveau de la source froide (e_{\mathrm{air}} = d = 0{,}6\text{ mm}) : il se situe à l'intersection de la droite élastique du ressort et de la courbe -F_{\mathrm{mag}} tracée pour T = 20^\circ\text{C}, d'où T_A = 20^\circ\text{C}.
• Le point B correspond au décollement du matériau au contact de la source chaude (e_{\mathrm{air}} = 0) : il se situe à l'intersection de la droite du ressort et de la courbe -F_{\mathrm{mag}} pour T = 40^\circ\text{C}, d'où T_B = 40^\circ\text{C}.

2. Évaluation des résistances thermiques :

• Sur la figure 10, en l'absence de convection forcée (v = 0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), l'ordonnée à l'origine donne la résistance thermique du dissipateur :

  R_{\mathrm{th}} = 20\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}

• D'après les calculs de la question Q45 :

  \begin{aligned} R_{\mathrm{th, Cu}} &= \frac{e_{\mathrm{Cu}}}{k_{\mathrm{Cu}} S} = \frac{1{,}0 \times 10^{-3}}{3{,}0 \times 10^2 \times 1{,}0 \times 10^{-4}} \approx 0{,}033\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \ll R_{\mathrm{th}} \\ R_{\mathrm{th, MC}} &= \frac{e_{\mathrm{MC}}}{k_{\mathrm{Gd}} S} = \frac{0{,}6 \times 10^{-3}}{10 \times 1{,}0 \times 10^{-4}} = 0{,}6\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \\ R_{\mathrm{th, air}} &= \frac{e_{\mathrm{air}}}{k_{\mathrm{air}} S} = \frac{0{,}6 \times 10^{-3}}{2{,}0 \times 10^{-2} \times 1{,}0 \times 10^{-4}} = 300\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \end{aligned}

• On en déduit :

  \begin{aligned} R_{\mathrm{th},1} &= R_{\mathrm{th}} + R_{\mathrm{th, Cu}} \approx 20\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \\ R_{\mathrm{th},3} &= R_{\mathrm{th}} + R_{\mathrm{th, Cu}} + R_{\mathrm{th, air}} + R_{\mathrm{th, MC}} \approx 20 + 300 + 0{,}6 \approx 320\text{ K}\cdot\text{W}^{-1} \end{aligned}

3. Calcul des bornes de puissance et du rapport cyclique : Pour T_{\mathrm{amb}} = 10^\circ\text{C} :

Puisque \alpha = \mathcal{P}_{\mathrm{R}} / (1\text{ W}), on obtient directement l'encadrement avec un chiffre significatif :

Soit un condensateur plan constitué de deux électrodes métalliques planes parallèles de surface S, séparées par une distance e_{\mathrm{air}} d'air (de permittivité diélectrique assimilée à celle du vide \varepsilon_0). L'écartement étant très petit devant les dimensions transverses (\sqrt{S} \sim 1\text{ cm} \gg e_{\mathrm{air}}), les effets de bord sont négligés.

Par influence totale, l'une des armatures porte une charge uniforme +Q (densité surfacique \sigma = Q/S > 0) et l'autre porte la charge opposée -Q (densité surfacique -\sigma).

Le champ électrostatique \vec{E} régnant entre les deux armatures est uniforme et présente les caractéristiques suivantes :

• Direction : perpendiculaire aux faces planes des électrodes ;
• Sens : dirigé de l'armature chargée positivement (au potentiel le plus élevé) vers l'armature chargée négativement (au potentiel le plus faible) ;

• Valeur (norme) :

  E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}

En introduisant le vecteur unitaire \vec{u}_{+\to -} orthogonal aux armatures et orienté de l'armature positive vers l'armature négative, la relation vectorielle s'écrit :

La différence de potentiel U = V_+ - V_- entre l'armature portant la charge +Q et celle portant la charge -Q s'obtient par circulation du champ électrostatique \vec{E}.

Le champ étant uniforme et colinéaire à la normale aux armatures (d'après le résultat de la question Q48), on a :

Par définition, la capacité C du condensateur relie la charge Q à la tension à ses bornes selon Q = C U. On en déduit immédiatement :

D'après la figure 11 et le texte de l'énoncé :

• La plaque inférieure (reliée à la masse, de potentiel nul) et la plaque intermédiaire (au potentiel v_1) forment le condensateur du bas, noté C_A. La distance entre ces deux armatures vaut d - e_{\mathrm{air}}.
• La plaque intermédiaire (au potentiel v_1) et la plaque supérieure (au potentiel v_2) forment le condensateur du haut, noté C_B. La distance entre ces deux armatures vaut e_{\mathrm{air}}.

En appliquant le résultat obtenu à la question Q49 (C = \frac{\varepsilon_0 S}{e}), les capacités des deux condensateurs s'expriment en fonction de l'épaisseur d'air variable e_{\mathrm{air}}(t) par :

Sur le plan électrique, la structure équivalente est formée de deux condensateurs en série entre la masse (0\text{ V}) et la borne au potentiel v_2, le point milieu étant au potentiel v_1 et recevant le courant i_1, tandis que le nœud supérieur est au potentiel v_2 et reçoit le courant i_2 :

En convention récepteur, le courant i(t) entrant par l'armature portant la charge q(t) est relié à cette charge par le bilan de charge :

La relation constitutive d'un condensateur de capacité instantanée C(t) soumis à la tension v(t) à ses bornes s'écrit :

Dans le cas général où la capacité C(t) dépend du temps du fait de la déformation mécanique du condensateur, la dérivée temporelle de la charge s'obtient à l'aide de la règle de dérivation d'un produit :

D'où la relation cherchée :

D'après la figure 11 et la modélisation de la question 50 :

• la plaque inférieure (source froide) est reliée à la masse de référence de potentiel (V_{\text{bas}} = 0) ;
• la plaque médiane (matériau magnétocalorique) est au potentiel V_{\text{milieu}} = v_1(t) ;
• la plaque supérieure (source chaude) est au potentiel V_{\text{haut}} = v_2(t).

Les tensions aux bornes des condensateurs C_A et C_B, orientées en convention récepteur par rapport aux courants descendants, sont :

Appliquons la relation de comportement établie à la question 51 (i = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(C\,u)}{\mathrm{d}t}) à chaque branche :

1. Pour l'électrode supérieure (C_B) :

Le courant i_2(t) alimente l'armature supérieure du condensateur C_B, qui porte la charge q_B(t) = C_B(t)\left(v_2(t) - v_1(t)\right) :

En développant la dérivée du produit :

2. Pour l'électrode médiane (C_A et C_B) :

La charge totale portée par la plaque centrale est la somme des charges sur ses deux faces :

Par conservation de la charge sur cette armature, le courant i_1(t) s'écrit :

soit encore :

En développant, on obtient la deuxième équation différentielle :

D'après la question Q52, les équations différentielles régissant les courants s'écrivent :

En sommant ces deux relations, le terme i_2(t) s'élimine de la seconde équation, ce qui fournit immédiatement l'expression de i_1(t) + i_2(t).

Le système d'équations reliant les grandeurs mesurées s'écrit donc sous forme condensée :

L'armature inférieure (source froide) est reliée à la masse, ce qui fixe son potentiel à zéro : v_{\mathrm{bas}} = 0. Les potentiels des armatures centrale et supérieure sont respectivement v_1 et v_2.

1. Mesures de tension :

• Mesure de v_1 : on utilise une sonde de tension simple (asymétrique, référencée à la masse) ou la voie 1 d'un oscilloscope, dont la pointe de touche est connectée à l'électrode centrale et la pince de masse est reliée à l'armature inférieure (masse du circuit).
• Mesure de v_2 - v_1 : les deux potentiels v_1 et v_2 étant tous deux non nuls par rapport à la masse, on utilise une sonde de tension différentielle dont l'entrée non inverseuse (+) est reliée à l'armature supérieure et l'entrée inverseuse (-) est reliée à l'armature centrale. (Alternativement, on peut mesurer séparément v_1 et v_2 sur deux voies d'un oscilloscope et effectuer la soustraction mathématique v_2 - v_1).

2. Mesures de courant :

• Mesure de i_2 : on insère une sonde de courant (pince ampèremétrique ou ampèremètre en série) sur le fil alimentant l'armature supérieure, orientée dans le sens de la flèche i_2 vers l'électrode du haut.

• Mesure de i_1 + i_2 : deux dispositions sont envisageables :

  • Méthode directe par la masse (la plus simple) : d'après les bilans de charge établis à la question Q53, le courant total traversant le condensateur C_A vers la masse est i_{C_A} = i_1 + i_2. Il suffit donc de placer une sonde de courant sur la liaison reliant l'armature inférieure à la masse, orientée de l'électrode vers la masse.
  • Méthode par couplage : faire passer simultanément les deux fils conducteurs transportant i_1 et i_2 (dans le même sens) au travers de la même sonde de courant ou pince ampèremétrique, qui mesure alors directement la somme algébrique i_1 + i_2 par le théorème d'Ampère.

Les tensions imposées sont constantes au cours du temps :

Leurs dérivées temporelles sont donc nulles :

D'après les expressions établies à la question Q53, les grandeurs de courant mesurées s'écrivent :

Les capacités C_A et C_B dépendent du temps par l'intermédiaire de l'épaisseur d'air e_{\mathrm{air}}(t) (question Q50) :

On en déduit l'expression des courants mesurés i_2 et i_1 + i_2 :

On peut également exprimer le courant i_1(t) traversant la sonde de la plaque centrale :

L'utilisation de tensions d'excitation continues (v_1 = E, v_2 = 2E) présente plusieurs inconvénients majeurs pour déterminer la position e_{\mathrm{air}} de la plaque :

1. Impossibilité d'une mesure statique (signal nul à l'arrêt) : Les courants sont strictement proportionnels à la vitesse v = \frac{\mathrm{d}e_{\mathrm{air}}}{\mathrm{d}t}. Lorsque le matériau est immobile (v = 0), les courants i_1 et i_2 s'annulent identiquement, quelle que soit la position e_{\mathrm{air}}. Il est donc impossible de mesurer une position statique, notamment lors des étapes 1 et 3 du cycle où le matériau magnétocalorique reste en contact prolongé avec la source froide (e_{\mathrm{air}} = d) ou chaude (e_{\mathrm{air}} = 0).

2. Difficulté d'extraction de la position : Pour remonter à e_{\mathrm{air}}(t), deux approches sont envisageables, toutes deux très problématiques :

   • Par intégration temporelle de la vitesse : e_{\mathrm{air}}(t) = e_{\mathrm{air}}(0) + \int_0^t v(t')\,\mathrm{d}t'. Tout offset continu ou bruit de mesure est intégré, entraînant une dérive temporelle cumulative et nécessitant la connaissance précise de la condition initiale e_{\mathrm{air}}(0).

   • Par le rapport des courants mesurés :

     \frac{(i_1 + i_2)(t)}{-i_2(t)} = \left(\frac{e_{\mathrm{air}}}{d - e_{\mathrm{air}}}\right)^2

     Ce rapport élimine v, mais devient indéterminé (forme 0/0) dès que v \to 0, ce qui le rend extrêmement bruité et inexploitable à faible vitesse.

3. Ordre de grandeur très faible des courants (sensibilité au bruit) : Avec S = 1\text{ cm}^2 = 10^{-4}\text{ m}^2, e_{\mathrm{air}} \sim 0{,}5\text{ mm} et E = 10\text{ V} :

   \frac{\varepsilon_0 S E}{e_{\mathrm{air}}^2} \sim \frac{8{,}85 \times 10^{-12} \times 10^{-4} \times 10}{(5 \times 10^{-4})^2} \approx 3{,}5 \times 10^{-8}\text{ A}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}

   Pour des vitesses typiques de quelques centimètres par seconde, les courants mesurés sont de l'ordre du nanoampère (voire du picoampère). De tels signaux continus sont très difficiles à distinguer des courants de fuite, des dérives thermiques et du bruit basse fréquence en 1/f.

Les tensions imposées sont harmoniques et de même pulsation \omega :

La tension aux bornes du condensateur supérieur C_B vaut donc :

Leurs dérivées temporelles sont données par :

Les capacités variables et leurs dérivées temporelles s'écrivent, avec v = \frac{\mathrm{d}e_{\text{air}}}{\mathrm{d}t} (d'après les questions 50 et 55) :

D'après le système de la question 53, les courants mesurés i_2(t) et (i_1 + i_2)(t) sont :

soit :

De même, pour le courant de somme :

soit :

La comparaison entre l'alimentation continue (v_1 = E, v_2 = 2E) et l'alimentation sinusoïdale (v_1 = E\cos(\omega t), v_2 = 2E\cos(\omega t)) met en évidence les points suivants :

1. Avantages de la méthode sinusoïdale

• Mesure de la position à l'arrêt (v = 0) : En régime continu, le courant s'annule dès que la vitesse s'annule (i \propto v), rendant impossible la détermination de la position lorsque le matériau est au repos (notamment lors des contacts en e_{\text{air}} = 0 et e_{\text{air}} = d). En régime sinusoïdal, le terme en quadrature (en \sin(\omega t)) subsiste même à vitesse nulle : son amplitude dépend directement de e_{\text{air}}, ce qui permet une mesure statique directe de la position.

• Séparation simultanée de la position et de la vitesse : D'après les expressions établies à la question 57, les composantes du courant associées à la position et à la vitesse sont en quadrature de phase :

  i(t) \propto \underbrace{\frac{\omega}{e_{\text{air}}}\sin(\omega t)}_{\text{terme de position}} + \underbrace{\frac{v}{e_{\text{air}}^2}\cos(\omega t)}_{\text{terme de vitesse}}

  Une détection synchrone (démodulation à deux phases) permet d'isoler indépendamment la position et la vitesse sans avoir recours à une intégration temporelle dérivante.

• Rapport signal sur bruit et réjection des dérives : En choisissant une pulsation d'excitation \omega élevée, le courant mesuré est de niveau plus important (\propto \omega) et se situe dans un domaine fréquentiel affranchi du bruit basse fréquence en 1/f et des dérives continues d'offset d'amplification.

2. Inconvénients de la méthode sinusoïdale

• Complexité de l'électronique de conditionnement : Elle nécessite un générateur de signaux alternatifs stables en fréquence et en amplitude, ainsi qu'une chaîne de détection synchrone (multiplieurs analogiques et filtres passe-bas).
• Sensibilité aux capacités parasites : À fréquence élevée, les capacités réparties (câblage, connexions) introduisent des impédances parasites en dérivation pouvant perturber la mesure des faibles capacités du capteur.

D'après la question Q57, le courant mesuré (par exemple i_2(t)) s'écrit sous la forme :

Ce signal est modulé en amplitude sur deux voies en quadrature à la pulsation \omega :

• une composante en quadrature (en \sin(\omega t)), d'amplitude A(t) = \dfrac{\varepsilon_0 S E \omega}{e_{\text{air}}(t)}, qui renseigne directement sur la position e_{\text{air}}(t) ;
• une composante en phase (en \cos(\omega t)), d'amplitude B(t) = \dfrac{\varepsilon_0 S E v(t)}{e_{\text{air}}(t)^2}, qui renseigne sur la vitesse v(t).

1. Schéma bloc du traitement analogique (détection synchrone bi-phase)

2. Détail des opérations électroniques et calcul des signaux

1. Conversion courant-tension : Le courant i_2(t) est converti en une tension u_2(t) = -R_0 i_2(t) au moyen d'un amplificateur opérationnel monté en amplificateur de transimpédance.

2. Multiplication et détection synchrone :

   • Voie de position : multiplication par une référence en quadrature V_{\text{ref, s}}(t) = V_0 \sin(\omega t) via un multiplieur analogique de constante k_m :

     \begin{aligned} w_p(t) &= k_m u_2(t) V_0 \sin(\omega t) \\ &= k_m R_0 V_0 \left[ A(t)\sin^2(\omega t) + B(t)\cos(\omega t)\sin(\omega t) \right] \\ &= \frac{1}{2} k_m R_0 V_0 A(t) \left[ 1 - \cos(2\omega t) \right] + \frac{1}{2} k_m R_0 V_0 B(t) \sin(2\omega t) \end{aligned}

   • Voie de vitesse : multiplication par la référence en phase V_{\text{ref, c}}(t) = V_0 \cos(\omega t) (obtenue directement à partir du générateur délivrant v_1) :

     \begin{aligned} w_v(t) &= k_m u_2(t) V_0 \cos(\omega t) \\ &= \frac{1}{2} k_m R_0 V_0 B(t) \left[ 1 + \cos(2\omega t) \right] + \frac{1}{2} k_m R_0 V_0 A(t) \sin(2\omega t) \end{aligned}

3. Filtrage passe-bas : Chaque voie traverse un filtre passe-bas (actif, d'ordre 2 de type Butterworth ou Sallen-Key) de fréquence de coupure f_c. En choisissant :

   f_{\text{méc}} \ll f_c \ll 2 f_0 = \frac{\omega}{\pi}

   où f_{\text{méc}} est le spectre des oscillations mécaniques de la plaque (quelques hertz à dizaines de hertz) et f_0 = \omega/(2\pi) la fréquence porteuse (typiquement supérieure à 10\text{ kHz}), les termes oscillants à pulsation 2\omega sont totalement éliminés, tandis que les amplitudes lentes A(t) et B(t) sont transmises sans atténuation ni déphasage. On obtient en sortie :

   \begin{aligned} u_p(t) &= \frac{1}{2} k_m R_0 V_0 \varepsilon_0 S E \frac{\omega}{e_{\text{air}}(t)} = \frac{K_p}{e_{\text{air}}(t)} \\ u_v(t) &= \frac{1}{2} k_m R_0 V_0 \varepsilon_0 S E \frac{v(t)}{e_{\text{air}}(t)^2} = K_v \frac{v(t)}{e_{\text{air}}(t)^2} \quad \text{avec } K_v = \frac{K_p}{\omega} \end{aligned}

3. Traitement numérique

Après conversion analogique-numérique (CAN), les grandeurs mécaniques sont directement reconstruites :