Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2023 (page 3/4 : Parties V et VI)

D'après la description des quatre phases de fonctionnement du thermogénérateur :

• Étape 1 (rappel) : Le matériau est en contact avec la source froide (e_{\text{air}} = d). Il cède de la chaleur à la source froide (\Downarrow). En se refroidissant, son aimantation et donc la force d'attraction magnétique augmentent.

• Étape 2 (mouvement ascendant) : L'attraction magnétique devient supérieure à la force de rappel du ressort. Le matériau décolle et effectue une transition rapide vers la source chaude.

  • Position : intermédiaire dans l'entrefer (0 < e_{\text{air}} < d).
  • Résultante des forces : non nulle, dirigée vers le haut (\uparrow) car F_{\text{mag}} > F_{\text{ressort}}.
  • Flux thermique : aucun échange thermique (phase adiabatique dans l'air isolant).

• Étape 3 (échauffement) : Le matériau est en contact direct avec la source chaude (e_{\text{air}} = 0).

  • Position : en haut, plaqué contre les aimants et la source chaude.
  • Résultante des forces : le matériau est maintenu au contact (la force de réaction compense l'attraction).
  • Flux thermique : la source chaude cède de la chaleur au matériau, le flux thermique est dirigé vers le bas (de la source chaude vers le matériau, \Downarrow). En se réchauffant, son aimantation diminue.

• Étape 4 (mouvement descendant) : L'aimantation ayant fortement chuté, la force d'attraction magnétique devient inférieure à la force de rappel du ressort. L'équilibre mécanique est rompu et le matériau retourne rapidement vers la source froide.

  • Position : intermédiaire dans l'entrefer (0 < e_{\text{air}} < d).
  • Résultante des forces : non nulle, dirigée vers le bas (\downarrow) car F_{\text{ressort}} > F_{\text{mag}}.
  • Flux thermique : aucun échange thermique (phase adiabatique).

On reproduit ci-dessous la figure complétée pour les quatre étapes :

Le dispositif ne comporte aucun courant libre (aucun enroulement ni courant de conduction ne traverse une surface s'appuyant sur \mathcal{C}). Le théorème d'Ampère appliqué au champ d'excitation magnétique \vec{H} s'écrit donc :

En choisissant d'orienter le contour fermé \mathcal{C} dans le sens de circulation des lignes de champ magnétique, le champ \vec{H} est supposé uniforme et tangent au contour au sein de chaque milieu homogène :

• dans la culasse de fer doux, sur une longueur l_{\text{fer}} : H_{\text{fer}} \, l_{\text{fer}} ;
• dans les deux aimants permanents, chacun d'épaisseur e_{\mathrm{m}} : 2 \, H_{\mathrm{m}} \, e_{\mathrm{m}} ;
• dans les deux couches d'air (entrefers), chacune d'épaisseur e_{\text{air}} : 2 \, H_{\text{air}} \, e_{\text{air}} ;
• dans le matériau magnétocalorique, sur une longueur l_{\text{MC}} : H_{\text{MC}} \, l_{\text{MC}}.

La somme de ces contributions donne directement :

Exprimons l'excitation magnétique H dans chaque région du circuit en fonction de l'induction locale B :

• Dans l'air (\mu_{r,\mathrm{air}} = 1) :

  B_{\mathrm{air}} = \mu_0 H_{\mathrm{air}} \implies H_{\mathrm{air}} = \frac{B_{\mathrm{air}}}{\mu_0}

• Dans le fer :

  B_{\mathrm{fer}} = \mu_0 \mu_r H_{\mathrm{fer}} \implies H_{\mathrm{fer}} = \frac{B_{\mathrm{fer}}}{\mu_0 \mu_r}

• Dans les deux aimants :

  B_{\mathrm{m}} = \mu_0 (H_{\mathrm{m}} + M_{\mathrm{m}}) \implies H_{\mathrm{m}} = \frac{B_{\mathrm{m}}}{\mu_0} - M_{\mathrm{m}}

• Dans le matériau magnétocalorique (MC) :

  \begin{aligned} B_{\mathrm{MC}} &= \mu_0 (H_{\mathrm{MC}} + M_{\mathrm{MC}}) \\ &= \mu_0 H_{\mathrm{MC}} + C_1 \mu_0 H_{\mathrm{MC}} + C_2(35 - T) \\ &= \mu_0(1 + C_1) H_{\mathrm{MC}} + C_2(35 - T) \end{aligned}

  d'où :

  H_{\mathrm{MC}} = \frac{B_{\mathrm{MC}}}{\mu_0(1 + C_1)} - \frac{C_2(35 - T)}{\mu_0(1 + C_1)}

D'après la conservation du flux magnétique (équation (6)), les inductions dans les différents éléments s'expriment en fonction de B_{\mathrm{air}} par :

D'après le théorème d'Ampère établi à la question Q27 sur le contour \mathcal{C} :

En y injectant les expressions de H et de B :

En regroupant les termes proportionnels à B_{\mathrm{air}} :

On obtient bien l'expression demandée :

avec les paramètres géométriques :

D'après les résultats de la question Q28, les coefficients géométriques s'écrivent :

Compte tenu des rapports de section donnés par l'énoncé :

on obtient immédiatement :

Dans l'approximation où le fer a une perméabilité relative infinie (\mu_r \to \infty), le terme \dfrac{a_5}{\mu_0 \mu_r} tend vers zéro (la réluctance de la culasse en fer est négligeable).

En multipliant le numérateur et le dénominateur de l'expression de B_{\text{air}} par \mu_0, il vient :

En simplifiant par 2 au numérateur et au dénominateur :

Par conservation du flux magnétique (équation (6) de l'énoncé), le champ d'induction appliqué dans le matériau magnétocalorique vaut :

Le champ magnétique B_{\text{MC}} (et par suite l'excitation H_{\text{MC}}) dépend explicitement de la position du barreau par l'intermédiaire de l'épaisseur d'entrefer e_{\text{air}} :

• Lorsque le matériau est collé à la source chaude (e_{\text{air}} = 0), l'entrefer est minimal, la réluctance du circuit est minimale et le champ magnétique B_{\text{MC}} est maximal.
• Lorsque le matériau est en contact avec la source froide (e_{\text{air}} = d), le dénominateur augmente, ce qui réduit le champ magnétique appliqué dans le matériau.

La position e_{\text{air}} du matériau contrôle donc directement la réluctance de l'entrefer et par conséquent la valeur du champ magnétique appliqué au matériau (l'autre paramètre de contrôle étant sa température T).

Dans un milieu magnétique linéaire, isotrope et sans aimantation rémanente, la relation constitutive s'écrit :

La densité volumique d'énergie magnétique associée est donc :

1. Énergie magnétique dans l'air : Pour l'air, \mu = \mu_0 \mu_{r,\mathrm{air}} = \mu_0. D'après l'énoncé et la géométrie de la figure 4, l'air est réparti en deux zones d'épaisseur e_{\mathrm{air}} et de section droite S_{\mathrm{air}}, soit un volume total :

Le champ B_{\mathrm{air}} étant uniforme dans ces entrefers, l'énergie magnétique emmagasinée dans l'air vaut :

2. Énergie magnétique dans le fer : Le fer est de perméabilité \mu = \mu_0 \mu_r. Le volume de la portion de fer parcourue par le flux est \mathcal{V}_{\mathrm{fer}} = S_{\mathrm{fer}} l_{\mathrm{fer}}. L'énergie magnétique dans le fer s'écrit :

D'après la conservation du flux magnétique (équation 6) :

On obtient ainsi :

En utilisant la donnée géométrique S_{\mathrm{fer}} = S_{\mathrm{air}} :

Dans le cadre de l'approximation \mu_r \to \infty retenue dans le problème, cette contribution est négligeable :

D'après l'énoncé, la relation constitutive de l'aimant permanent s'écrit :

avec une aimantation \mu_0 M_{\mathrm{m}} constante. L'excitation magnétique dans l'aimant s'exprime donc sous la forme affine :

La densité volumique d'énergie magnétique w_{\mathrm{m}} stockée dans l'aimant s'obtient en intégrant de 0 à B_{\mathrm{m}} :

Comme précisé dans le préambule de la question 30 et sur la figure 4, le circuit magnétique comporte deux aimants identiques, chacun ayant pour section S_{\mathrm{m}} et pour épaisseur e_{\mathrm{m}}. Le volume total occupé par les aimants est donc :

Le champ étant uniforme au sein de chaque aimant, l'énergie magnétique totale dans les aimants est :

La relation constitutive du matériau magnétocalorique s'écrit :

En introduisant le modèle proposé \mu_0 M_{\mathrm{MC}} = C_1 \mu_0 H_{\mathrm{MC}} + C_2(35 - T), on a :

d'où l'expression de l'excitation magnétique :

La densité volumique d'énergie magnétique s'obtient par intégration :

Le champ étant supposé uniforme dans le matériau de section S_{\mathrm{MC}} et de longueur l_{\mathrm{MC}}, le volume correspondant est \mathcal{V}_{\mathrm{MC}} = S_{\mathrm{MC}} l_{\mathrm{MC}}. L'énergie magnétique totale s'écrit alors :

D'après l'énoncé, les sections vérifient :

La conservation du flux du champ magnétique (relation (6)) impose alors :

Énergie magnétique dans les aimants : En substituant ces relations dans l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{m}} obtenue à la question Q31 :

Énergie magnétique dans le matériau magnétocalorique : En substituant S_{\mathrm{MC}} = \frac{S_{\mathrm{air}}}{2} et B_{\mathrm{MC}} = 2 B_{\mathrm{air}} dans l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{MC}} obtenue à la question Q32 :

L'énergie magnétique totale du système s'écrit comme la somme des énergies associées à chaque milieu :

D'après les questions Q30 et Q33, et en prenant la limite \mu_r \to \infty (\mathcal{E}_{\mathrm{fer}} = 0) :

En sommant ces trois contributions, l'énergie magnétique totale se met sous la forme :

Posons pour simplifier l'écriture :

L'expression de B_{\mathrm{air}} obtenue à la question Q29 se réécrit simplement :

En injectant cette relation dans l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{mag}}, on obtient :

L'énergie magnétique du système prend donc bien la forme demandée :

avec :

et :

L'énergie magnétique \mathcal{E}_{\mathrm{mag}} est une fonction d'état des deux variables indépendantes T et e_{\mathrm{air}}. Sa différentielle totale s'écrit :

Par identification avec le bilan d'énergie magnétique donné par l'équation (9) :

on obtient directement :

En utilisant l'expression de l'énergie magnétique issue de l'équation (8) :

où les grandeurs C_3 et C_4 sont indépendantes de e_{\mathrm{air}}, on dérive à température T fixée :

Il en résulte l'expression de la force magnétique :

Discussion de la direction et du sens :

• Direction : la force est dirigée selon l'axe vertical (Oy), qui est la direction normale aux entrefers et la direction du déplacement du matériau magnétocalorique.
• Sens : par construction, les constantes C_3 et C_4 sont strictement positives, ce qui implique F_{\mathrm{mag}} < 0. Comme l'axe vertical (Oy) représenté sur la figure 4 est orienté vers le bas (de la source chaude vers la source froide), la force \vec{F}_{\mathrm{mag}} = F_{\mathrm{mag}}\,\vec{u}_y est orientée vers le haut, c'est-à-dire vers la source chaude constituée par les aimants permanents.

Cette force correspond physiquement à l'attraction magnétique exercée par les aimants sur le matériau magnétocalorique ferromagnétique.

Sur le plan physique, la force d'attraction magnétique exercée sur le matériau dépend directement de l'aimantation M_{\mathrm{MC}} de celui-ci. Or, le matériau magnétocalorique (ici le gadolinium) voit son aimantation décroître fortement lorsque sa température augmente :

L'agitation thermique désordonne progressivement les moments magnétiques microscopiques (à l'approche de la température de Curie), ce qui affaiblit l'aimantation du bloc et par conséquent la force d'attraction magnétique exercée par le circuit d'aimants.

D'après l'étude menée aux questions Q34 et Q35, la force magnétique s'écrit :

où :

• C_4 = e_{\mathrm{m}} + \dfrac{l_{\mathrm{MC}}}{1 + C_1} ne dépend que de grandeurs géométriques et magnétiques constantes, il est donc indépendant de la température ;

• le coefficient C_3 est donné par :

  C_3(T) = \frac{S_{\mathrm{air}}}{\mu_0} \left[ e_{\mathrm{m}}\mu_0 M_{\mathrm{m}} + \frac{l_{\mathrm{MC}} C_2(35 - T)}{2(1 + C_1)} \right]^2

C'est donc le coefficient C_3 qui varie en fonction de la température :

Le cycle mécanique suivi par le matériau magnétocalorique (MC) se décompose en quatre étapes :

• Étape 1 (e_{\text{air}} = d = 0{,}6\text{ mm}, contact source froide) : Le matériau immobile se refroidit de T_{\text{ch}} à T_{\text{fr}}. Son aimantation augmente, ce qui accroît la force d'attraction magnétique -F_{\text{mag}}. Sur le graphe, cela se traduit par un segment vertical ascendant à e_{\text{air}} = d, partant de la courbe chaude (40\,{^\circ}\text{C}) pour atteindre le point \text{A} sur la courbe froide (20\,{^\circ}\text{C}).
• Étape 2 (transition vers la source chaude) : Au point \text{A}, l'attraction magnétique l'emporte sur le rappel du ressort. Le matériau transite rapidement (mouvement adiabatique/isotherme à T \approx T_{\text{fr}} = 20\,{^\circ}\text{C}) de e_{\text{air}} = d à e_{\text{air}} = 0. Sur le graphe, la trajectoire suit la courbe supérieure de droite à gauche, de \text{A} jusqu'à la source chaude (e_{\text{air}} = 0).
• Étape 3 (e_{\text{air}} = 0, contact source chaude) : Le matériau immobile se réchauffe de T_{\text{fr}} à T_{\text{ch}}. L'aimantation diminue, donc la force -F_{\text{mag}} décroît. Cela correspond à un segment vertical descendant à e_{\text{air}} = 0, jusqu'au point \text{B} situé sur la caractéristique chaude (40\,{^\circ}\text{C}).
• Étape 4 (transition vers la source froide) : Au point \text{B}, la force magnétique est devenue inférieure au rappel du ressort. Le matériau retourne rapidement vers la source froide à T \approx T_{\text{ch}} = 40\,{^\circ}\text{C}. Sur le graphe, la trajectoire suit la courbe inférieure de gauche à droite, de \text{B} (e_{\text{air}} = 0) jusqu'à e_{\text{air}} = d.

Le cycle est représenté ci-dessous :

On étudie le matériau magnétocalorique de masse m_{\mathrm{MC}}, assimilé à un point matériel ou solide en translation selon l'axe vertical Oy orienté vers le bas (figure 4). On se place dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

La position du matériau est repérée par l'épaisseur de la couche d'air e_{\mathrm{air}}(t), de sorte que le vecteur position s'écrit \vec{r} = e_{\mathrm{air}}(t)\,\vec{u}_y et son accélération vaut :

Bilan des forces appliquées au matériau :

• La force magnétique exercée par le circuit magnétique (aimants et fer doux), attractive vers la source chaude (vers le haut, -\vec{u}_y) :

  \vec{F}_{\mathrm{mag}} = F_{\mathrm{mag}}\,\vec{u}_y = -\frac{C_3(T)}{(e_{\mathrm{air}} + C_4)^2}\,\vec{u}_y \quad \text{avec } F_{\mathrm{mag}} < 0

• La force de rappel du ressort, de raideur k, nulle pour e_{\mathrm{air}} = e_0 avec e_0 > d. Pour tout e_{\mathrm{air}} \in [0, d], le ressort tend à ramener le matériau vers e_0, donc tire vers le bas (+\vec{u}_y) :

  \vec{F}_{\mathrm{ressort}} = F_{\mathrm{ressort}}\,\vec{u}_y = k(e_0 - e_{\mathrm{air}})\,\vec{u}_y \quad \text{avec } F_{\mathrm{ressort}} > 0

• La force de contact (ou de réaction des butées) \vec{F}_{\mathrm{contact}} = F_{\mathrm{contact}}\,\vec{u}_y, qui empêche le matériau de sortir de l'intervalle [0, d] :

  F_{\mathrm{contact}}(e_{\mathrm{air}}) = \begin{cases} \ge 0 & \text{en } e_{\mathrm{air}} = 0 \text{ (la source chaude repousse vers le bas)} \\ 0 & \text{pour } e_{\mathrm{air}} \in ]0, d[ \text{ (aucun contact)} \\ \le 0 & \text{en } e_{\mathrm{air}} = d \text{ (la source froide repousse vers le haut)} \end{cases}
• Le poids \vec{P} = m_{\mathrm{MC}}\vec{g} : avec un volume \mathcal{V}_{\mathrm{MC}} = S_{\mathrm{MC}} e_{\mathrm{MC}} = 1\text{ cm}^2 \times 0{,}06\text{ cm} = 0{,}06\text{ cm}^3 et \rho = 7{,}9\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}, la masse est m_{\mathrm{MC}} \approx 0{,}47\text{ g}, soit un poids P \approx 4{,}7\times 10^{-3}\text{ N}. Ce poids est tout à fait négligeable devant les forces magnétiques et de rappel élastique en jeu (de l'ordre de plusieurs newtons d'après la figure 6).

Principe fondamental de la dynamique :

En projection sur l'axe Oy, on obtient l'équation du mouvement :

avec F_{\mathrm{mag}}(e_{\mathrm{air}}, T) = -\dfrac{C_3(T)}{(e_{\mathrm{air}} + C_4)^2}.

Lors de l'étape 1, le matériau magnétocalorique est immobile et maintenu au contact de la source froide, située en e_{\text{air}} = d.

L'accélération étant nulle (\ddot{e}_{\text{air}} = 0), le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe Oy (établi à la question 38) s'écrit :

avec F_{\text{ressort}}(d) = k(e_0 - d) > 0 et F_{\text{mag}}(T, d) = -\dfrac{C_3(T)}{(d + C_4)^2} < 0.

On en déduit l'expression de la force de contact exercée par la source froide :

Comme le ressort pousse le matériau vers le bas (F_{\text{ressort}} > 0), la source froide exerce une force de réaction dirigée vers le haut, en accord avec la convention F_{\text{contact}}(d) \le 0.

Évolution avec la température :

• Durant l'étape 1, le matériau cède de la chaleur à la source froide : sa température T décroît.
• Lorsque la température diminue, le gadolinium s'éloigne de son point de Curie (T_{\text{C}} \approx 20\text{--}25\,^{\circ}\text{C}), ce qui entraîne une augmentation de son aimantation et donc une augmentation du coefficient C_3(T) (vu à la question 36).
• L'intensité de la force d'attraction magnétique vers la source chaude, |F_{\text{mag}}| = -F_{\text{mag}}, augmente donc au cours du refroidissement.

• L'intensité de la force de contact, donnée par :

  |F_{\text{contact}}| = k(e_0 - d) - \big(-F_{\text{mag}}(T, d)\big),

  diminue au fur et à mesure que la force magnétique compense la force de rappel du ressort. Elle tend ainsi vers 0 jusqu'à s'annuler au point A lorsque -F_{\text{mag}} = F_{\text{ressort}}, ce qui amorce le décollement vers la source chaude (étape 2).

Dès que le contact avec la source froide est rompu (e_{\mathrm{air}} < d), la force de contact s'annule : F_{\mathrm{contact}} = 0. Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe Oy (orienté vers le bas) s'écrit :

avec :

Au point A, le système est à la limite du décollement à la température T_A, de sorte que F_{\mathrm{tot}}(d) = 0. En posant \tilde{e}_{\mathrm{air}} = e_{\mathrm{air}} - d, le développement de Taylor à l'ordre 1 de la force totale au voisinage de e_{\mathrm{air}} = d donne :

L'équation différentielle régissant l'écart \tilde{e}_{\mathrm{air}} devient :

L'équation caractéristique associée s'écrit :

Pour que l'équilibre soit instable, il faut que l'équation caractéristique admette une racine réelle strictement positive (r > 0), conduisant à une divergence exponentielle de la perturbation :

En explicitant la dérivée :

La condition d'instabilité est donc :

Vérification sur la figure 6 :

Sur la figure 6 sont représentées les grandeurs -F_{\mathrm{mag}}(e_{\mathrm{air}}) et F_{\mathrm{ressort}}(e_{\mathrm{air}}). La condition d'instabilité se réécrit :

En valeurs absolues des pentes (les deux fonctions étant strictement décroissantes) :

La pente de la courbe -F_{\mathrm{mag}} doit être algébriquement plus négative que la droite F_{\mathrm{ressort}} au point A.

• Graphiquement, pour e_{\mathrm{air}} < d (à gauche du point A), la courbe de -F_{\mathrm{mag}} (courbe bleue à 20^\circ\mathrm{C}) se situe au-dessus de la droite F_{\mathrm{ressort}}.
• On a donc -F_{\mathrm{mag}} > F_{\mathrm{ressort}}, soit F_{\mathrm{tot}} = F_{\mathrm{mag}} + F_{\mathrm{ressort}} < 0 : la force résultante est dirigée vers le haut (-\vec{u}_y), entraînant une accélération vers la source chaude (e_{\mathrm{air}} = 0).

La condition d'instabilité est donc parfaitement respectée sur la figure 6.

Sur la plage ]0, d[, la force de contact est nulle (F_{\text{contact}} = 0). D'après l'équation du mouvement établie à la question Q38, la résultante des forces projetée sur l'axe Oy (orienté vers le bas) s'écrit :

Une position d'équilibre e_{\text{eq}} \in ]0, d[ vérifie donc F_{\text{tot}}(e_{\text{eq}}) = 0, soit graphiquement l'intersection de la droite F_{\text{ressort}} avec la courbe -F_{\text{mag}}.

1. Existence des points d'équilibre selon la température D'après la figure 6 :

• Pour T \le T_A \approx 20^\circ\text{C} : la courbe -F_{\text{mag}} est strictement au-dessus de F_{\text{ressort}} sur tout l'intervalle ]0, d[. Il n'y a aucun point d'équilibre dans ]0, d[.
• Pour T \ge T_B \approx 40^\circ\text{C} : la courbe -F_{\text{mag}} est strictement en dessous de F_{\text{ressort}} sur tout l'intervalle ]0, d[. Il n'y a aucun point d'équilibre dans ]0, d[.
• Pour une température intermédiaire T \in ]T_A, T_B[ (telle que T = 30^\circ\text{C}) : les deux courbes se coupent en un unique point e_{\text{eq}} \in ]0, d[.

2. Stabilité du point d'équilibre pour T \in ]T_A, T_B[ Pour cette température intermédiaire, analysons le comportement au voisinage de e_{\text{eq}} :

• Si le matériau est écarté vers la source chaude (e_{\text{air}} < e_{\text{eq}}) : la courbe -F_{\text{mag}} est située au-dessus de F_{\text{ressort}}, ce qui signifie que |F_{\text{mag}}| > F_{\text{ressort}}. La force totale est dirigée vers le haut (F_{\text{tot}} < 0) et amplifie l'écart en attirant le matériau vers e_{\text{air}} = 0.
• Si le matériau est écarté vers la source froide (e_{\text{air}} > e_{\text{eq}}) : la droite F_{\text{ressort}} est au-dessus de -F_{\text{mag}}, d'où F_{\text{ressort}} > |F_{\text{mag}}|. La force totale est dirigée vers le bas (F_{\text{tot}} > 0) et tire le matériau vers e_{\text{air}} = d.

Algébriquement, la pente de -F_{\text{mag}} étant plus négative que celle de F_{\text{ressort}} (qui vaut -k), on a :

Le point d'équilibre e_{\text{eq}} est donc strictement instable.

3. Comportement bistable du système Puisqu'aucun équilibre stable n'existe dans l'intervalle ouvert ]0, d[, le matériau ne peut s'immobiliser qu'en butée sur l'une des deux sources grâce à l'intervention des forces de contact :

1. En e_{\text{air}} = 0 (contact source chaude) : la force magnétique prédomine sur le ressort et est équilibrée par la réaction normale de butée F_{\text{contact}}(0) \ge 0. Cet état est mécaniquement stable.
2. En e_{\text{air}} = d (contact source froide) : la force de rappel du ressort prédomine sur la force magnétique et est équilibrée par la réaction normale de butée F_{\text{contact}}(d) \le 0. Cet état est également mécaniquement stable.

Le fonctionnement en oscillation auto-entretenue repose sur l'alternance de deux phases de contact thermique conduisant chacune à une rupture d'équilibre mécanique :

• Décollement de la source froide (point A) : En position basse (e_{\mathrm{air}} = d), le matériau est en contact avec la source froide et se refroidit. Son aimantation augmente, ce qui accroît l'attraction magnétique -F_{\mathrm{mag}}. Le décollement a lieu lorsque la force de contact s'annule, c'est-à-dire dès que le matériau atteint la température T_A définie par -F_{\mathrm{mag}}(T_A, d) = F_{\mathrm{ressort}}(d). Pour que le transfert thermique spontané permette au matériau d'atteindre la température T_A en un temps fini, il est indispensable que la température du thermostat froid soit strictement inférieure à T_A :

  T_{\mathrm{fr}} < T_A

• Décollement de la source chaude (point B) : En position haute (e_{\mathrm{air}} = 0), le matériau est en contact avec la source chaude et s'échauffe. Son aimantation diminue, affaiblissant la force magnétique. Le ressort parvient à arracher le matériau dès que sa température atteint T_B, définie par -F_{\mathrm{mag}}(T_B, 0) = F_{\mathrm{ressort}}(0). Pour que le transfert thermique permette d'atteindre T_B en une durée finie, la température du thermostat chaud doit être strictement supérieure à T_B :

  T_{\mathrm{ch}} > T_B

D'après la figure 6, l'attraction à entrefer nul (e_{\mathrm{air}} = 0) étant bien plus intense qu'à entrefer maximal (e_{\mathrm{air}} = d), il faut chauffer davantage pour décoller de la source chaude que pour décoller de la source froide, d'où T_A < T_B.

Les températures des sources doivent donc vérifier l'encadrement :