Réflexion, réfraction et fibres optiques : 181 questions de concours corrigées

En utilisant un schéma d'Euler explicite, écrire les trois relations de récurrence permettant de calculer xₙ₊₁, zₙ₊₁ et aₙ₊₁ en fonction de xₙ, zₙ, aₙ, dx et A.

Écrire une requête SQL renvoyant les profondeurs, températures et salinités dans la région 1 à la date du 17 avril 2025.

Rappeler, sur la base d'un schéma, les lois de Snell-Descartes dans le cas d'un dioptre séparant deux milieux transparents, homogènes et isotropes, d'indices optiques respectifs n₁ et n₂.

Justifier qu'il existe un angle limite θ_lim d'incidence, au delà duquel on observe une réflexion totale. Calculer θ_lim pour n₁ = 1,52 et n₂ = 1,33.

Montrer que l'angle d'entrée dans la fibre θ_in vérifie une inégalité θ_in < θ_c pour que le rayon lumineux se propage dans la fibre optique sans atténuation. On définit l'ouverture numérique ON =…

Nous supposons que les composantes tangentielles à l'interface des vecteurs d'onde k_ix, k_rx et kₜₓ sont égales. On notera kₓ cette valeur. Définir le plan d'incidence et rappeler la première loi…

Montrer qu'il existe un angle d'incidence limite, noté i_ℓ, et donner son expression en fonction des célérités des deux milieux.

L'indice optique du phosphure de gallium GaP est n_GaP = 3,32. Calculer la longueur d'onde λ du laser dans le phosphure de gallium en fonction de λ₀.

Rappeler les lois de Snell-Descartes. La réponse devra être accompagnée d'un schéma.

Préciser dans quelle situation le terme situé sous la racine carrée est négatif. Quelle est alors la trajectoire du rayon lumineux ?

Montrer qu'il existe un rayon transmis si et seulement si l'angle θ_i est inférieur à une valeur critique, notée θ_c. On montrera soigneusement que θ_c = arcsin (c₁/c₂).

Écrire une fonction Python `dichotomie` qui prend en argument la fonction dérivée du profil de célérité `dmunk`, les bornes de l'intervalle de profondeur `borne_debut` et `borne_fin`, et la…

En traduisant l'hypothèse que l'onde dans le milieu (2) reste une onde plane, établir que les angles θ₁ et θ₂ sont liés par la relation suivante : (sin θ₂)/c₂ = (sin θ₁)/c₁ 4

Établir que l'équation différentielle vérifiée par la fonction Z = Z(x) prend la forme suivante : ((n(Z))²)/A² = 1 + ( dZ/dx )² 5 où A est une constante que l'on exprimera en fonction des paramètres…

La déviation est l'angle dont il faut tourner le rayon incident pour l'amener sur le rayon émergent ; afin d'avoir une valeur positive, on considère ici son opposé, l'angle orienté Δ (figure 7)…

La déviation est l'angle dont il faut tourner le rayon incident pour l'amener sur le rayon émergent ; afin d'avoir une valeur positive, on considère ici son opposé, l'angle orienté Δ (figure 7)…

Montrer que Δ(x) passe par un extremum lorsque x a pour valeur : xₘ = sin (iₘ) = √((4 - n²)/3). Donnée : d/duArcsin(u) = 1/(√(1-u²)).

En déduire que k_r, y et k_t, y sont nuls et que l θ_r=-θ_i (sin θ_i)/c₁=(sin θₜ)/c₂ . Quelles lois retrouve-t-on ?

On note i l'inclinaison du rayon par rapport à l'axe z. Exprimer sin i en fonction de kₓ, ω et c(z). Quel est l'analogue de ce résultat en optique géométrique ?

Montrer que l'angle d'incidence i_1,max vérifie l'équation suivante : sin i_1,max = √((4 - n²)/3).

Dans le cas où l'onde incidente arrive sur l'interface avec un angle i₁ > i_ℓ, exprimer k_r en fonction de ω, sin i₁, cos i₁, c_p1. Montrer que k_tz se met sous la forme -j/δ, où on précisera la…

Préciser le paramètre de l'expérience qui est sensible à la température et à la composition chimique.

De quelles lois d'optique géométrique ces relations sont-elles l'analogue ?

Proposer une interprétation géométrique de α.

Quel angle représente a0 ?

Écrire une fonction `angle_critique` avec en argument d'entrée les deux célérités `c1` et `c2` et renvoyant l'angle critique.

Préciser la condition `CONDITION_1`.

Écrire une requête SQL renvoyant le nombre de mesures faites dans la région 2 en été.

Écrire une fonction `munk` qui prend en argument la profondeur z et renvoie la célérité à cette profondeur.

Quelle valeur donner à la tolérance dans l'appel effectué de la fonction `dichotomie` ?

Quelles instructions permettent de retourner la profondeur de la célérité minimum et la valeur de cette dernière ?

Rappeler les lois de Snell-Descartes relatives à la réfraction, au moyen d'un schéma faisant apparaître les grandeurs utiles.

À l'aide des lois de Snell-Descartes, exprimer les angles i₂, i₃ et i₄ en fonction de i₁ et n.

Rappeler l'intervalle de longueur d'onde constituant le spectre visible.

Que devient cette expression dans le cas d'un prisme cale, pour lequel B ≪ 1 ?

On conserve désormais la valeur du diamètre de la Lune valant 3 500 km. Déterminer la distance Terre-Lune à partir des mesures d'Aristarque de Samos.

Rappeler les lois de Descartes de la réfraction et donner la relation entre l'angle d'incidence i et l'angle de réfraction r.

Justifier à l'aide de la figure 8 qu'on observe une accumulation de lumière dans la direction Δₘ = Δ(xₘ).

Calculer xₘ et Δₘ (en degrés) dans le cas de l'eau, pour le violet (λ = 400 nm, n = 1,343) et le rouge (λ = 700 nm, n = 1,330).

Quel avantage présente le disdromètre optique par rapport au disdromètre à impact ?

Rappeler les lois de Descartes de la réfraction et donner la relation entre l'angle d'incidence i et l'angle de réfraction r.

Calculer xₘ et Δₘ (en degrés) dans le cas de l'eau, pour le violet (λ = 400 nm, n = 1,343) et le rouge (λ = 700 nm, n = 1,330).

Exprimer la longueur ℓ de la fibre ainsi que l'angle θ en fonction du pas p et du rayon R du cylindre.

Montrer que l'on a, dans le cas de l'hélium où n = 1 + ε avec ε ≪ 1 : (δ n)/(n-1) = (δ ρ)/ρ

Exprimer le rapport (d z)/( d x) en fonction de θ.

Une turbine est toujours associée à une fibre optique à l'extrémité ainsi qu'à des jets d'eau. Quel est l'intérêt de ces dispositifs additionnels pour le patient ou pour le dentiste ?

Analyser la relation (5) dans le cas où n₁ = n₂, puis celui où v_1,N = 1.

Situer la photographie de la figure 2 dans la chronologie de la figure 1b.

Situer la photographie de la figure 9 dans la chronologie de la figure 8b.

Situer la photographie de la figure 9 dans la chronologie de la figure 8b.

Pourquoi l'atmosphère terrestre réfracte-t-elle les rayons lumineux qui la traversent ?

Évaluer numériquement l'angle de réfraction β de la lumière dans le film de la bulle. La lumière pénètre-t-elle toujours dans la goutte ? En déduire l'angle d'émergence des rayons après leur…

Faire un schéma montrant que l'angle de transmission d'un dioptre correspond à l'angle d'incidence du dioptre suivant.

Montrer que la quantité A(z) = (sin (θ(z)))/(c(z)) est indépendante de z et donner sa valeur en fonction de θ₀ et c₀.

Quel est le lien géométrique entre sin (θ(z)), dz et dx ?

En déduire une équation différentielle faisant intervenir (dz/dx)², n et la constante sin θ₀.

Montrer qu'en introduisant une fonction x α(x), l'équation qui pilote la trajectoire des rayons sonores peut se mettre sous la forme du système différentiel suivant : (dz(x))/dx &= α(x) (dα(x))/dx…

Compléter la fonction `rayon_Euler` qui prend en argument les bornes du domaine de définition `x0` et `xf`, le pas `dx`, les conditions initiales `z0` (profondeur d'émission), `a0` et la constante…

Expliquer brièvement, en 2 ou 3 phrases maximum, comment choisir le pas `dx`. Proposer alors une valeur numérique pour cette variable dans le cas d'un canal SOFAR. On pourra s'aider de la figure 3.

Écrire une fonction `conditions_limites` traduisant le changement de direction du rayon aux limites qui prend en argument la profondeur du dernier dioptre franchi, `z_I`, l'épaisseur de couche `h`…

Donner une fonction `calculer_celerite` qui prend en argument la profondeur `z`, la hauteur de chaque couche `h` et la variable `direction` et qui renvoie deux nombres flottants, la célérité `c1`…

Écrire une fonction `refraction` qui prend en argument les coordonnées `x_I`, `z_I` du point I, l'angle d'incidence `theta1`, les célérités des couches `c1` et `c2` et la hauteur de couche `h` et la…

Écrire une fonction `reflexion_totale` qui prend en argument les coordonnées `x_I`, `z_I` du point I, l'angle d'incidence `theta1` et la hauteur de couche `hauteur_couche` et qui renvoie l'angle…

Écrire la ou les lignes du BLOC2 permettant de mettre à jour les listes `valeurs_x` et `valeurs_z` et d'actualiser la variable `z` en fonction de `direction`. On n'oubliera pas de vérifier si l'on…

En un court paragraphe (5 lignes maximum), expliquer par analogie l'origine de l'effet SOFAR. À partir du profil de Munk, déterminer autour de quelles profondeurs les ondes seront guidées.

L'antenne du satellite émet, latéralement, en direction de la surface terrestre, un faisceau d'onde délimité par les angles θ_min = 20° et θₘₐₓ = 50°, comme le représente la figure (6). Calculer la…

Dessiner, pour comparaison, l'allure de la trajectoire d'un rayon pour le modèle de fluide uniforme étudié plus haut.

Commenter la relation (4).

Indiquer à quelle condition, portant sur l'épaisseur e des couches, cette étude entre dans le cadre de l'acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition satisfaite.

Écrire la relation permettant de déterminer θₙ, pour tout n accessible par le rayon considéré, connaissant θ₁.

Indiquer à quelle condition, portant sur la pulsation ω et la fonction c = c(z), cette étude entre dans le cadre de l'acoustique géométrique. Dans la suite, nous supposerons cette condition…

Indiquer quelle analogie peut suggérer l'équation (7) (ou les trajectoires qui la représentent).

Indiquer quel est l'analogue de cette situation en optique.

Le phénomène de réflexion totale peut se décrire par une analogie optique, en assimilant le faisceau de neutrons de vitesse v₀ à un rayon lumineux, et la paroi à un milieu transparent d'indice n <…

Montrer que la vitesse de phase peut s'écrire c = c₀/(n(h)) où n(h), fonction de h sans dimension, joue le rôle d'indice de réfraction. Exprimer n(h) en fonction de h et h₀.

Déterminer l'expression de l'indice de réfraction n(x) pour x [0 ; h₀/β] en fonction de x, β et h₀.

Montrer que pour tout x [0 ; h₀/β], l'angle θ(x) vérifie l'égalité : sin (θ(x)) = sin (θ₀) √(1 - β x/h₀).

Expliciter une relation de récurrence entre yₙ₊₁ et yₙ faisant intervenir notamment le pas p et la fonction f, puis compléter les lignes 13 et 22 du programme Python du document réponse 7 en…

La figure 2 représente les lentilles plan convexe et plan concave, taillées dans un verre d'indice optique n > 1 et plongées dans l'air d'indice optique n_air = 1. Recopier la figure et tracer…

Exprimer les angles de déviation D₁, D₂ et D₃ à chaque interface en fonction de i₁, i₂, i₃ et i₄ (en tenant compte de l'orientation de ces angles).

En déduire que l'angle de déviation totale D peut s'exprimer : D = 4 arcsin ((sin i₁)/n) - 2 i₁ - π.

En déduire l'expression du maximum Dₘₐₓ en fonction de n.

Comment évolue le maximum Dₘₐₓ lorsque la longueur d'onde λ augmente ? Justifier votre raisonnement.

En considérant toujours des gouttelettes d'eau sphériques en suspension dans l'air, expliquer l'origine de ces différents arcs-en-ciel.

Représenter la dépendance en longueur d'onde du coefficient de réflexion du miroir dichroïque à associer à ce filtre pour observer la fluorescence de l'ATTO565TM. On précisera sur ce graphique les…

Reproduire le schéma de la figure 11 et le compléter avec les faisceaux se propageant à l'intérieur du prisme et émergeant de celui-ci. Établir la relation entre l'angle que fait le rayon émergent…

Compléter le schéma réalisé à la question (32) en représentant les faisceaux émergents pour deux longueurs d'onde du spectre visible λ₁ et λ₂ avec λ₁ < λ₂.

Calculer la différence entre les angles des faisceaux de sortie correspondant aux longueurs d'onde λ₁ et λ₂. On donnera les valeurs des angles avec trois chiffres significatifs. On prendra B = 3°…

Déterminer l'expression de la distance Δ x entre les images des deux molécules fluorescentes sur la surface sensible de la caméra et l'évaluer numériquement.

Conclure quant à l'intérêt de ce dispositif pour obtenir deux images non superposées mais séparées d'un pixel.

Déterminer l'expression de l'ouverture numérique minimale d'un objectif pour obtenir un phénomène de réflexion totale à sa sortie.

En pratique, on utilise un objectif d'ouverture numérique ON = 1,50. Quelle est la valeur numérique de l'angle maximal d'un rayon émergeant de cet objectif ?

En déduire la façon dont varie la direction de propagation des vagues lorsqu'elles approchent du bord de mer, en supposant une variation continue de la profondeur.

Montrer que Δ(x) passe par un extremum lorsque x a pour valeur : xₘ = sin (iₘ) = √((4 - n²)/3). Donnée : d/du Arcsin(u) = 1/(√(1 - u²)).

Montrer que le maximum sₘₐₓ du signal s(t) est proportionnel au diamètre D de la goutte détectée : sₘₐₓ = K' D.

Justifier à l'aide de la figure 8 qu'on observe une accumulation de lumière dans la direction Δₘ = Δ(xₘ).

Montrer que la distance d séparant les bras (1) et (2) de l'interféromètre est donnée par : d = e (sin 2θ_i)/(√(n_v² - sin ² θ_i))

Supposons que l'onde se propage le long de la surface de la couche de hauteur h et atteigne le récepteur directement. Déterminer la durée du trajet T_D(x) de cette onde, appelée onde D ou onde…

Si l'onde est réfléchie à l'interface entre les deux milieux 1 et 2, déterminer la durée du trajet T_R(x) de cette onde, appelée onde R ou onde réfléchie. Déterminer les valeurs asymptotiques de…

Qualitativement, que se passe-t-il si la couche 2 est une zone de basse vitesse, c'est-à-dire si c₂ < c₁ < c₃ ? Quels sont les rayons qui existent ? En déduire alors la (ou les) limite(s)…

D'après la question 32, quelle grandeur faisant intervenir θ et c est conservée au cours du trajet des ondes acoustiques ?

À l'aide de la grandeur conservée déterminée précédemment, en notant θ₀ l'angle d'incidence à la surface (z=0), montrer que tan ² θ(z)=((sin ² θ₀)/(n²(z)))/(1-((sin θ₀)/(n(z)))²).

En déduire l'équation différentielle de la trajectoire ((d z)/( d x))²=((n(z))/(sin θ₀))²-1.

Par quelle équation simple peut-on décrire l'évolution de la vitesse de propagation du son c(z) dans l'océan avec la profondeur, pour des profondeurs inférieures à 1000 m ? Donner une évaluation…

Reprendre la même démarche pour des profondeurs supérieures à 1000 m.

En déduire les valeurs numériques des rayons de courbure R₁ et R₂ pour cette incidence. Conclure sur l'orientation de l'émetteur.

Établir la relation entre v_1,T et v_2,T. En déduire celle entre v_1,N et v_2,N.

Reproduire le schéma et le compléter afin d'expliquer son fonctionnement : on y indiquera d₀', d₀'' et D. En justifiant rapidement sa réponse, donner la valeur de d₀''. Pourquoi parle-t-on de…

a) La lentille constitue-t-elle un système rigoureusement stigmatique ? b) Si on considère une lentille mince (e faible devant R) et des rayons paraxiaux, peut-on dire que le système est…

On suppose que cette lentille possède les propriétés des lentilles minces utilisées dans les conditions de Gauss, que F' est son foyer principal image et O est son centre optique. On considère le…

Pourquoi l'atmosphère terrestre réfracte-t-elle les rayons lumineux qui la traversent ?

Exprimer l'écart de déviation δ θ_d correspondant à deux rayons incidents passant au même point M₀ (et donc caractérisés par le même Z₀) mais possédant des longueurs d'ondes qui diffèrent de δλ.

Pourquoi l'atmosphère terrestre réfracte-t-elle les rayons lumineux qui la traversent ?

Exprimer l'écart de déviation δθ_d correspondant à deux rayons incidents passant au même point M₀ (et donc caractérisés par le même Z₀) mais possédant des longueurs d'ondes qui diffèrent de δλ.

Exprimer l'écart de déviation δθ_d correspondant à deux rayons incidents passant au même point M₀ (et donc caractérisés par le même Z₀) mais possédant des longueurs d'ondes qui diffèrent de δλ.

On a tracé figure 7 deux trajets possibles d'une onde électromagnétique harmonique traversant l'ionosphère et soumis à la variation de l'indice optique (le tracé pointillé correspond à la ligne…

Reproduire la figure 11 et poursuivre le tracé des trois rayons afin d'expliquer la division du faisceau par le prisme cubique. On prêtera une attention particulière au rayon sur l'axe optique qui…

Exprimer le diamètre d_f de chacun des faisceaux obtenus après division.

Calculer, littéralement puis numériquement, le rayon de courbure R minimal à partir duquel toute la lumière incidente reste confinée dans le cœur et traverse la fibre sans atténuation.

Calculer, littéralement puis numériquement, le rayon de courbure R minimal à partir duquel toute la lumière incidente reste confinée dans le cœur et traverse la fibre sans atténuation.

En déduire l'équation qui pilote la trajectoire des rayons sonores : (d² z)/dx² = 1/2sin ²θ₀ d/dz(n²)

Exprimer la longueur L₂ en fonction des célérités c₁ et c₂, de l'angle θ₁ et de la hauteur d'une couche h. Distinguer les cas de la réfraction et de la réflexion totale.

Écrire une fonction `trajet_rayon` qui prend en argument : - `x_emission`, l'abscisse du point d'émission ; - `y_emission`, l'ordonnée du point d'émission ; - `angle_emission`, l'angle d'émission du…

Calculer la dérivée, au sens mathématique, de la fonction c par rapport à la profondeur z et écrire une fonction `dmunk` qui prend en argument la profondeur et retourne la valeur de la dérivée dc/dz…

On suppose que la vitesse du son croît indéfiniment lorsque z diminue. Montrer que le rayon ne peut descendre en dessous d'une altitude z_min, et écrire la relation entre c(z_min), ω et kₓ.

On suppose que le rayon se réfléchit lorsqu'il atteint la surface du Soleil. Dessiner alors l'allure de la trajectoire d'un rayon partant d'un point quelconque de la surface du Soleil.

À quelle condition deux ondes, caractérisées par leurs pulsations ω et ω', et leurs nombres d'onde horizontaux kₓ et k'ₓ, correspondent-elles à des rayons identiques ?

Représenter, sur la base d'une argumentation, l'allure de la trajectoire du rayon acoustique de vecteur d'onde k₁ = k(O). On envisagera le cas où Tₙ₊₁ > Tₙ et celui où Tₙ₊₁ < Tₙ (pour tout n). Le…

Établir que l'équation cartésienne de la trajectoire peut s'écrire sous la forme suivante : W(X) = B(θ₀)X² + C(θ₀)X où X = α x et W = α Z 7 On donnera l'expression de chacune des constantes B(θ₀) (B…

Étudier la famille de fonctions W = W(X) afin de caractériser le réseau de trajectoires, dans le cas où θ₀ ]0, π/2]. Représenter l'allure de quelques trajectoires.

Nous supposons que la source sonore placée à l'origine du repère R(O, z, x) émet des rayons acoustiques, simultanément dans toutes les directions. Avec l'appui des tracés effectués en réponse à la…

Un sonar (sound navigation and ranging) est un dispositif acoustique permettant de localiser (distance et situation) des objets réflecteurs. Un sonar dit actif émet (mode émission) des rayons…

Sans effectuer de calcul, représenter l'allure des rayons acoustiques émis par un sous-marin (bruit) situé à une profondeur z' = 500 m. On supposera que le sous-marin émet dans toutes les directions.

Préciser quel avantage procure à un sous-marin de se placer à la profondeur z' = 500 m.

Montrer que la position y(x) de la trajectoire de l'onde réfractée passant par le point M₀ de coordonnées (0, 0) s'obtient à partir de la résolution d'une relation de la forme dy/dx(x) = f(x) où…

Compléter soigneusement le document réponse 8 de sorte à y faire apparaître quelques courbes équiphases correspondant à la crête d'une vague pour divers instants. Commenter l'évolution de ces…

Lorsque l'observateur O situé au niveau du sol regarde l'arc-en-ciel, aperçoit-t-il l'anneau rouge situé au-dessus ou en-dessous de l'anneau violet ? Justifier votre raisonnement.

En raisonnant sur la façon dont chaque dispositif disperse les différentes longueurs d'onde contenues dans le faisceau incident, expliquer quel élément dispersif sera plus avantageux en terme de…

La distance d qui sépare à vol d'oiseau le Pic du Midi de Bigorre de la chaîne des Alpes françaises est-elle de l'ordre de 500, 1000 ou 1500 km ? Sans prendre en compte l'altitude du Pic du Midi de…

En utilisant les mesures d'Aristarque de Samos, déterminer le rapport entre le diamètre lunaire et le diamètre terrestre. On pourra s'aider d'un schéma. En déduire la valeur du diamètre lunaire…

Que représentent les lignes pointillées orthogonales aux vecteurs d'ondes sur la figure 4 ? Montrer que la condition de continuité des profils de vague à l'interface impose d'une part des amplitudes…

Compléter sur la figure A du document réponse le trajet de ce rayon lumineux lors de son passage à travers la lentille. On notera i l'angle incident sur le dioptre verre-air et t l'angle réfracté…

On note A' la position de l'intersection du rayon incident avec l'axe optique après son passage au travers de la lentille. Montrer que la distance algébrique CA' vérifie CA' = R cos i + (R sin…

Sur un schéma faisant apparaître les rayons incidents, parallèles, le rideau de pluie et l'œil de l'observateur, tracer les rayons émergents rouge et bleu dans la direction Δₘ. L'observateur…

Sur un schéma faisant apparaître les rayons incidents, parallèles, le rideau de pluie et l'œil de l'observateur, tracer les rayons émergents rouge et bleu dans la direction Δₘ. L'observateur…

Afin d'avoir une propagation non atténuée dans la fibre, l'onde doit vérifier une condition supplémentaire : il faut que k_y Δ y soit un multiple de 2π, où k_y est la projection transverse (selon…

L'existence de plusieurs « modes » de propagation dans une fibre optique peut être à l'origine d'une limitation du débit d'information dans celle-ci. Soit une fibre de longueur ℓ ≫ r telle que r >…

Un réflecteur parabolique présente une particularité : tous les rayons incidents selon la direction -e_z rencontrent son axe (Sz), après réflexion sur sa surface, en un même point F qui définit le…

La normale au cône de Mach définit la direction de l'onde ré-émise. Déterminer l'angle θ_c entre le front d'onde de Mach et l'interface. On exprimera sin θ_c en fonction des célérités c_p1 et c_p2…

Quand un rayon sismique issu de la source arrive à l'interface entre les deux milieux avec un angle d'incidence égal à l'incidence limite i_ℓ, expliquer le comportement du rayon sismique. Peut-il…

L'obtention des durées de trajets précédentes permettent de cartographier la géologie souterraine. Pour les trois ondes précédentes (D, R, H), tracer sur un même graphique les différents temps…

La figure 11 représente un sismogramme issu d'une campagne de mesures dans la vallée du Connecticut (Massachusetts, USA), où les explosions générant les ondes sismiques sont contrôlées (à la…

Dessiner l'allure des trajets des rayons émis quasi verticalement en z=0 en supposant que c est une fonction croissante de z.

Quelle est la valeur de l'angle maximal avec lequel le rayon doit être émis en surface pour qu'il atteigne le fond de la fosse des Mariannes.

Proposer, en le justifiant, un majorant raisonnable pour la valeur de l'angle d'incidence de l'émetteur par rapport à la verticale.

En utilisant l'équation (5), exprimer, dans la base (eₓ, e_y), le vecteur unitaire v_r(x) en fonction de n, f et de la fonction g définie par la relation : g(x) = (-1/n +…

En utilisant de nouveau l'équation (5), exprimer le vecteur v_s(x) en fonction de v_r, e_y, n et de la fonction g. En déduire finalement que : v_s(x) = -nf'(x)g(x)eₓ + √(1-n²+(1+ng(x))²)e_y

Représenter sur un schéma les points d'émission E et de réception R du signal radio correspondant à cette transmission. Montrer qu'elle n'est possible que si la distance d = ER vérifie d < dₘₐₓ et…

À la limite de non recouvrement des faisceaux, déterminer la relation entre b, d₀' et n_p sous la forme b = (d₀')/2 [ (g(n_p))/(g(n_p) - 1) ] où g est une fonction de n_p que l'on explicitera, sans…

a) Écrire la loi de la réfraction en B. b) Montrer que la distance OF' peut se mettre sous la forme : OF' = e - R[1 - cos (i)] + (Rsin (i))/(tan (r - i))

En tenant compte des ordres de grandeur du problème, précisément Z ≪ R_T et Z₀ ≪ R_T, exprimer √(r²/r₀²-1) en fonction de u = Z - Z₀. Exprimer dn en fonction de dρₐ puis dρₐ en fonction de H_c…

Déduire des expressions obtenues à la question précédente que l'angle de déviation totale, d'un rayon monochromatique passant en M₀, s'écrit : θ_d(Z₀, λ) ≈ Θ(Z₀)ε_λ où Θ(Z₀) est une fonction de Z₀…

À l'aide des deux schémas de la figure 5, déterminer quelques points du spectre de la lumière reçue par la Lune en N permettant de représenter la courbe correspondante sur la feuille réponse…

En tenant compte des ordres de grandeur du problème, précisément Z ≪ R_T et Z₀ ≪ R_T, exprimer √(r²/r₀² - 1) en fonction de u = Z - Z₀. Exprimer dn en fonction de dρₐ puis dρₐ en fonction de H_c…

Déduire des expressions obtenues à la question précédente que l'angle de déviation totale, d'un rayon monochromatique passant en M₀, s'écrit : θ_d(Z₀, λ) ≈ Θ(Z₀)ε_λ où Θ(Z₀) est une fonction de Z₀…

À l'aide des deux schémas de la figure 12, déterminer quelques points du spectre de la lumière reçue par la Lune en N permettant de représenter la courbe correspondante sur la feuille réponse…

En tenant compte des ordres de grandeur du problème, précisément Z ≪ R_T et Z₀ ≪ R_T, exprimer √(r²/r₀²-1) en fonction de u = Z - Z₀. Exprimer dn en fonction de dρₐ puis dρₐ en fonction de H_c…

À l'aide des deux schémas de la figure 12, déterminer quelques points du spectre de la lumière reçue par la Lune en N permettant de représenter la courbe correspondante sur la feuille réponse…

Déterminer la relation entre i₁ et i₂. Exprimer i₁ en fonction de x et R. Exprimer β_r en fonction de i₁ et n, puis en fonction de x, R et n. Exprimer β en fonction de i₁ et β_r puis de x, R et n…

Établir, qu'au premier ordre relativement à l'écart δ Y, ce dernier est lié à h selon la relation suivante : δ Y = H/Y × h (24) Comparer les distances apparentes entre chacun des deux pieds…

Dans le cadre de cette approximation, déterminer la solution Z = Z(x) de l'équation différentielle (5).

Nous supposons qu'un émetteur acoustique très directionnel est placé à l'origine du repère R(O, z, x). Sa direction d'émission est fixée par l'angle θ₀ (θ₀ ≠ 0 [π]). Les tracés effectués en réponse…

Le sonar, situé sous un bateau de pêche, permet de localiser les bancs de poissons. Le profil de célérité représenté sur la figure (4) permet-il aux rayons acoustiques émis de se propager au-delà du…

Reproduire la figure 14 et tracer les rayons entrant dans l'objectif permettant d'avoir cette configuration du faisceau laser en sortie de l'objectif. Comment placer une lentille en amont de…

On va généraliser la méthode précédente à une situation où plusieurs couches, deux en tout, surplombent un demi-espace, telles que c₁ < c₂ < c₃ et de hauteurs respectives h₁ et h₂. Quels sont les…

Montrer que, pour des profondeurs inférieures ou supérieures à 1000 m, les rayons acoustiques ont une forme simple que l'on précisera. Déterminer l'expression des rayons de courbure R₁ et R₂ dans…

Nous définissons le contraste C par le rapport : C = (φ₂ - φ₁)/(φ₂ + φ₁) (11) Exprimer ce contraste en fonction de l'écart Δ et du rayon a_P de la tache lumineuse, en se plaçant dans la limite |Δ| ≪…

L'angle sous lequel le rayon terrestre est vu depuis N est d'environ θ_T ≈ 57' tandis que celui sous lequel le rayon solaire est vu depuis la Terre vaut environ θ_S ≈ 16'. L'atmosphère terrestre…

L'angle sous lequel le rayon terrestre est vu depuis N est d'environ θ_T ≈ 57' tandis que celui sous lequel le rayon solaire est vu depuis la Terre vaut environ θ_S ≈ 16'. L'atmosphère terrestre…

Déduire des expressions obtenues à la question précédente que l'angle de déviation totale, d'un rayon monochromatique passant en M₀, s'écrit : θ_d(Z₀, λ) ≈ Θ(Z₀)ε_λ où Θ(Z₀) est une fonction de Z₀…

L'angle sous lequel le rayon terrestre est vu depuis N est d'environ θ_T ≈ 57' tandis que celui sous lequel le rayon solaire est vu depuis la Terre vaut environ θ_S ≈ 16'. L'atmosphère terrestre…