Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2020

Fréquence du fondamental f_1 :

Sur l'axe des fréquences de la figure 3, l'intervalle entre 0 et 5\text{ kHz} est divisé en 5 graduations principales, soit 1\text{ kHz} par division. Le pic 1 est situé entre 1\text{ kHz} et 2\text{ kHz}, à environ :

Remarque : On observe que le pic 2 est situé à une fréquence f_2 \approx 3{,}4\text{ kHz} \approx 2f_1, ce qui confirme qu'il s'agit bien du deuxième harmonique.

Amplitude a_2 du pic 2 :

L'échelle verticale représente un niveau en décibels d'amplitude, défini par :

Le pic 1 est au sommet de l'échelle à 0\text{ dB}, ce qui signifie que l'amplitude de référence est prise égale à celle du fondamental : a_{\text{ref}} = a_1 = 100\text{ mV}.

Chaque graduation verticale correspond à 10\text{ dB}. Le pic 2 culmine à 3 divisions sous la ligne 0\text{ dB}, soit au niveau :

On en déduit :

Avec la donnée 10^{0{,}5} \approx 3{,}16 et a_1 = 100\text{ mV} :

D'après l'énoncé, le signal est modélisé par la seule présence des pics 1 et 2, tout autre contenu spectral étant négligé. La fréquence maximale contenue dans le signal est donc celle du second harmonique :

D'après le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon, pour éviter tout phénomène de repliement de spectre (ou repliement spectral), la fréquence d'échantillonnage f_e doit être au moins égale au double de la fréquence maximale du spectre :

La plus petite valeur de f_e respectant cette condition est donc :

Par ailleurs, la résolution spectrale \delta f est liée à la durée d'acquisition T_a par la relation donnée dans l'énoncé :

Pour une résolution spectrale souhaitée de \delta f = 100\text{ Hz}, on obtient :

D'après l'énoncé, le sonogramme est constitué d'une succession de spectres calculés sur des tranches temporelles de durée T_a comprises entre n T_a et (n+1)T_a. La durée d'acquisition de chaque tranche étant T_a, la résolution spectrale vaut :

Elle dépend donc exclusivement de la durée de la fenêtre élémentaire T_a, et non de la durée totale de l'enregistrement \tau.

Un pixel (ou rectangle élémentaire du sonogramme) a pour dimensions temporelle \Delta t = T_a et fréquentielle \Delta f = \delta f = \frac{1}{T_a}.

Sur la durée totale \tau, le nombre de tranches temporelles vaut :

Sur la plage de fréquence [0, f_M], le nombre de canaux fréquentiels vaut :

Le nombre total de pixels N_p composant le sonogramme est donc le produit :

On constate que la durée T_a se simplifie :

Application numérique : Pour f_M = 3{,}5\text{ kHz} = 3{,}5 \times 10^3\text{ Hz} et \tau = 500\text{ ms} = 0{,}500\text{ s} :

1. Condition sur \tau_d :

Le sonogramme est élaboré en découpant le signal en tranches temporelles successives de durée T_a. Pour pouvoir suivre l'évolution temporelle de la fréquence du fondamental, la durée caractéristique de variation \tau_d doit être très grande devant la durée d'une fenêtre d'acquisition élémentaire T_a :

De manière équivalente, la variation de fréquence du fondamental sur une fenêtre temporelle T_a, soit \Delta f'_1 \approx f_1 \frac{T_a}{\tau_d}, doit rester inférieure ou de l'ordre de la résolution spectrale \delta f = \frac{1}{T_a}, ce qui conduit à \tau_d \gg f_1 T_a^2. Avec T_a = 10\text{ ms} et f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz}, cela donne \tau_d \gg 170\text{ ms}.

2. Évolution des fréquences et tracé du sonogramme :

Le son s_b(t) possède deux composantes harmoniques :

• Le fondamental :

  f_1'(t) = f_1 \left(1 - \frac{t}{\tau_d}\right)

  En t = 0, f_1'(0) = f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz}. En t = 0{,}5\,\tau_d, f_1'(0{,}5\,\tau_d) = 0{,}5\,f_1 \approx 0{,}85\text{ kHz}.

• Le second harmonique (de rang 2), de fréquence double de celle du fondamental :

  f_2'(t) = 2 f_1'(t) = 2 f_1 \left(1 - \frac{t}{\tau_d}\right)

  En t = 0, f_2'(0) = 2 f_1 \approx 3{,}4\text{ kHz}. En t = 0{,}5\,\tau_d, f_2'(0{,}5\,\tau_d) = f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz}.

1. Durée approximative du chant du quetzal :

L'axe des abscisses de la figure 5 comporte 5 subdivisions entre 0 et 100\text{ ms}, soit un pas de graduation de 20\text{ ms}.

Le signal sonore émis par le quetzal débute vers t_{\text{début}} \approx 60\text{ à }70\text{ ms} et s'éteint vers t_{\text{fin}} \approx 200\text{ à }210\text{ ms}. La durée approximative du chant est donc :

Compte tenu de la précision de lecture (de l'ordre de \pm 10\text{ ms}), on retient :

2. Fréquences à la date t = 140\text{ ms} :

À l'abscisse t = 140\text{ ms}, on observe trois composantes harmoniques distinctes réparties verticalement :

• Fondamental (i = 1) : la branche de plus basse fréquence se situe juste au niveau de la graduation 1\text{ kHz} :

  \boxed{f_{q, 1} \approx 1{,}0\text{ kHz}} \quad (\text{valeurs admises entre } 0{,}9\text{ et } 1{,}1\text{ kHz})

• Deuxième harmonique (i = 2) : la branche intermédiaire se situe un peu en dessous de 2\text{ kHz} :

  \boxed{f_{q, 2} \approx 1{,}9\text{ à }2{,}0\text{ kHz}} \quad (\text{valeurs admises entre } 1{,}8\text{ et } 2{,}1\text{ kHz})

• Troisième harmonique (i = 3) : la branche supérieure se situe entre 2{,}6 et 2{,}8\text{ kHz} :

  \boxed{f_{q, 3} \approx 2{,}7\text{ kHz}} \quad (\text{valeurs admises entre } 2{,}5\text{ et } 2{,}9\text{ kHz})

La propagation de l'onde incidente le long du trajet rectiligne reliant S à S_n est modélisée comme unidimensionnelle, linéaire, non dispersive et sans atténuation d'amplitude. Le signal émis en S à la date t est \Psi(S, t) = s(t).

Le temps de propagation sur la distance d_n = SS_n à la célérité c_s vaut :

L'onde incidente arrivant au point S_n à la date t a donc été émise en S à la date t - \tau_n, d'où :

Lors de l'interaction avec l'arête S_n, le signal diffracté dans la direction S_n S s'écrit en S_n :

L'onde retour \Psi' effectue ensuite le trajet en sens inverse de S_n à S. Selon les mêmes hypothèses de propagation unidimensionnelle sans atténuation, elle subit à nouveau le retard \tau_n = d_n / c_s :

En remplaçant l'argument temporel, on obtient finalement pour l'onde reçue en S :

D'après le résultat de la question Q6, l'onde retour reçue au point d'émission S après diffraction sur l'arête S_n subit un retard de propagation \tau_n correspondant à l'aller-retour sur la distance d_n à la célérité c_s :

Pour la composante harmonique considérée, le signal émis en S s'écrit :

La composante harmonique correspondante de l'onde retour en S s'obtient donc en appliquant ce retard :

Par identification avec l'expression générale sous la forme d'un cosinus de phase \phi'_n(t), on en déduit la phase de cette onde retour à l'instant t :

D'après la question Q7, la phase en S à l'instant t de la composante harmonique de pulsation \omega renvoyée par l'arête S_n s'écrit :

De même, pour l'onde renvoyée par l'arête suivante S_{n+1} située à la distance d_{n+1}, la phase en S s'écrit :

Par définition donnée par l'énoncé, la différence de phase entre ces deux ondes reçues en S est :

Les ondes de pulsation \omega = 2\pi \nu issues des marches consécutives S_n et S_{n+1} se superposent constructivement en S si et seulement si leur différence de phase \Delta\phi'_n est un multiple entier de 2\pi :

En utilisant l'expression du déphasage obtenue à la question Q8 :

On en déduit l'ensemble des fréquences discrètes audibles :

soit :

Soit un repère orthonormé (S, \boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_z) centré en S, où l'axe (Sx) est horizontal dans le plan de symétrie de l'escalier et (Sz) vertical ascendant.

Le pied de l'escalier S_0 est situé à la distance a de S, donc S_0 = (a, 0). Les marches ayant pour hauteur et pour profondeur b, les coordonnées de l'arête S_n de la n-ième marche (n \in \{0, \dots, N\}) sont données par :

La distance d_n = SS_n vaut donc :

Calculons l'expression exacte de la quantité d_{n+1}^2 - d_n^2 :

On obtient ainsi :

D'après le résultat de la question Q9, la fréquence fondamentale associée à deux marches consécutives S_n et S_{n+1} s'écrit :

En remarquant que d_{n+1}^2 - d_n^2 = (d_{n+1} - d_n)(d_{n+1} + d_n), et en utilisant l'approximation fournie d_{n+1} + d_n \simeq 2d_n (car a \gg b), il vient :

Par conséquent :

On identifie ainsi l'expression sous la forme demandée \nu_1 \simeq \dfrac{c_s}{2ab} g(n) d_n avec :

1. Détermination de la distance d_N

La figure 7 trace l'évolution en fonction de d_n pour les N = 91 marches de l'escalier. Le point d'abscisse maximale sur la courbe correspond au sommet de l'escalier (n = N). Une lecture graphique sur l'axe des abscisses donne immédiatement :

2. Dates d'arrivée t_1 et t_N

Le clap étant émis en S à t = 0, l'onde sonore se propage vers les marches à la célérité c_s \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, y est diffractée, puis revient vers S. Le temps de propagation aller-retour pour la marche n s'écrit :

Pour la première marche (n=1), avec d_1 \approx a = 20\text{ m} (car b \ll a) :

Pour la dernière marche (n=N), avec d_N \approx 50\text{ m} :

3. Durée de l'écho

La durée totale pendant laquelle l'écho est perçu en S est :

D'après la question Q10, la fréquence fondamentale de l'onde sonore diffractée s'écrit sous la forme approchée :

Calculons préalablement le préfacteur constant avec c_s \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, a = 20\text{ m} et b = 26{,}3\text{ cm} = 0{,}263\text{ m} :

1. Fréquence au début de l'écho \nu_1(t_1) :

Le début de l'écho correspond à la diffraction par la première marche, soit pour une distance d_1 \approx a = 20\text{ m}. Sur la figure 7, pour d_n = 20\text{ m}, on lit :

On en déduit :

2. Fréquence à la fin de l'écho \nu_1(t_N) :

La fin de l'écho correspond au sommet de l'escalier, pour lequel la distance vaut d_N \approx 50\text{ m} (déterminée à la question Q11). Sur la figure 7, pour d_N = 50\text{ m}, on lit :

On en déduit :

L'écho perçu en S ne dure que pendant l'intervalle de temps mis par l'onde pour revenir des différentes marches de l'escalier, soit entre les dates déterminées à la question 11 :

Pour t < t_1 et t > t_N, le sonogramme ne comporte aucune composante liée à l'écho de l'escalier.

D'après les questions 9 et 12, les fréquences entendues vérifient \nu_m(t) = m\,\nu_1(t) avec :

Le sonogramme simplifié de l'écho comporte le fondamental (m=1) et les trois harmoniques qui le suivent (m=2, 3, 4). Les fréquences aux bornes t_1 et t_N valent donc :

Puisque le temps d'arrivée est relié linéairement à la distance parcourue par t = 2d_n/c_s, la variation temporelle des fréquences \nu_m(t) \propto g(n)d_n reproduit fidèlement la courbe de la figure 7 : les fréquences décroissent d'abord rapidement entre 118\text{ ms} et environ 180\text{ ms}, puis s'infléchissent plus doucement jusqu'à t_N (courbure tournée vers le haut).

1. Comparaison des sonogrammes

• Durée : L'écho calculé a une durée totale \Delta t \approx 176\text{ ms}, très proche de la durée du cri du quetzal mesurée à la question Q5 (\tau_q \approx 140\text{ à }150\text{ ms}).
• Structure spectrale : Les deux signaux sont polyharmoniques, formés d'une fréquence fondamentale et d'harmoniques multiples.
• Dynamique fréquentielle : Dans les deux cas, les fréquences décroissent au cours du temps de manière monotone, produisant l'effet caractéristique d'un gazouillement descendant (« chirp » acoustique).

2. Écart fréquentiel

D'après la question Q5, le fondamental du jeune quetzal à t = 140\text{ ms} vaut f_{q,1} \approx 1{,}0\text{ kHz}, tandis que le fondamental de l'écho de la pyramide est compris entre 640\text{ Hz} et 475\text{ Hz} (question Q12).

L'écart relatif sur la fréquence fondamentale est de l'ordre de :

Cet écart correspond à près d'une octave (facteur 2). L'oreille humaine étant capable de discriminer des variations de hauteur inférieures à 1\,\%, l'écart fréquentiel n'est pas négligeable.

3. Influence de l'âge de l'oiseau

Un oiseau adulte possède des organes phonateurs (syrinx et voies aériennes associées) de dimensions géométriques plus grandes que celles d'un juvénile. Les longueurs caractéristiques des cavités résonantes et des membranes vibrantes étant plus grandes, les fréquences propres associées sont plus basses (plus graves).

La fréquence fondamentale émise par un quetzal adulte est donc plus basse que celle d'un jeune (< 1\text{ kHz}) et se rapproche nettement de la plage de fréquences de l'écho de la pyramide (475\text{ à }640\text{ Hz}).

D'après l'énoncé, la photographie de la figure 9 a été prise lors de la phase d'éclipse totale de Lune : l'ensemble du disque lunaire est entièrement immergé dans le cône d'ombre de la Terre (il reste néanmoins visible en raison de la lumière réfractée et diffusée par l'atmosphère terrestre).

Dans la chronologie définie sur la figure 8b :

• Le point 2 correspond au premier contact intérieur, c'est-à-dire au début de la totalité ;
• Le point 3 correspond au dernier contact intérieur, c'est-à-dire à la fin de la totalité.

Par conséquent, la photographie de la figure 9 se situe :

1. Angle caractéristique de diffraction \theta_d

Pour une onde plane de longueur d'onde \lambda diffractée par un obstacle circulaire de diamètre D_T = 2R_T, l'angle caractéristique du faisceau diffracté (demi-angle au sommet du cône de diffraction ou angle d'Airy) est donné par :

En choisissant pour le domaine visible \lambda \approx 500\text{ nm} = 5\times 10^{-7}\text{ m} et avec R_T \approx 6{,}37\times 10^6\text{ m} :

2. Taille caractéristique a_d dans le plan d'observation \mathscr{P}_e

Dans le plan \mathscr{P}_e, situé à la distance r_L = TL \approx 3{,}84\times 10^8\text{ m} de la Terre, l'étalement transverse induit par la diffraction vaut :

3. Éclairement du disque lunaire durant la totalité

Cette zone d'étalement de l'ordre de quelques dizaines de micromètres est infinitésimale devant le rayon de la Lune (R_L \approx 1{,}74\times 10^6\text{ m}) ainsi que devant les dimensions du cône d'ombre terrestre (plusieurs milliers de kilomètres).

Les effets de diffraction sont cantonnés à l'extrême limite géométrique de l'ombre : aucune intensité lumineuse significative n'est déviée vers le cœur du cône d'ombre où se trouve la Lune.

4. Autres sources possibles d'éclairage

En l'absence d'atmosphère terrestre, d'autres sources de lumière célestes pourraient résiduellement éclairer la Lune :

• la couronne solaire, dont l'étendue angulaire dépasse largement le disque solaire et qui n'est pas intégralement masquée par la Terre ;
• le fond stellaire (la lumière des étoiles et de la Voie Lactée) ;
• la lumière zodiacale (diffusion de la lumière solaire par les poussières interplanétaires) ;
• les autres planètes du Système solaire (notamment Vénus et Jupiter).

L'atmosphère est en équilibre mécanique dans le référentiel terrestre supposé galiléen. La loi fondamentale de la statique des fluides projetée sur l'axe vertical ascendant s'écrit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait de masse molaire M_a, l'équation d'état s'écrit :

La température T étant uniforme et stationnaire (atmosphère isotherme), la dérivation par rapport à Z conduit à :

En injectant cette relation dans l'équation de la statique des fluides, on obtient l'équation différentielle :

L'intégration entre l'altitude 0 et Z donne immédiatement la loi de nivellement barométrique :

avec :

Application numérique : Avec T = 20^\circ\text{C} = 293\text{ K}, M_a = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et g = 9{,}80\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Soit :

L'air étant modélisé par un gaz parfait, sa masse volumique au niveau de la mer s'écrit :

Avec P(0) = 1{,}0\times 10^5\text{ Pa}, M_a = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et T = 20 + 273{,}15 \approx 293\text{ K} :

D'après le profil établi à la question Q17, la masse volumique à l'altitude de l'Everest Z_E = 8\,848\text{ m} vaut :

Avec H_c \approx 8{,}6\text{ km} (obtenu en Q17), le rapport vaut \frac{Z_E}{H_c} \approx \frac{8{,}85}{8{,}57} \approx 1{,}03 \approx 1. En utilisant l'approximation fournie \exp(-1) \approx \frac{1}{3} :

Calculons la masse volumique réelle à partir des conditions mesurées au sommet (P_E = 321\text{ hPa} = 3{,}21\times 10^4\text{ Pa} et T_E = -23^\circ\text{ C} = 250\text{ K}) :

De même, la pression théorique prédite par le modèle isotherme est P_{\text{modèle}}(Z_E) \approx \frac{1\,000\text{ hPa}}{3} \approx 333\text{ hPa}, très proche de la valeur mesurée de 321\text{ hPa} (écart de moins de 4\,\%, et environ 11\,\% sur la masse volumique).

Cependant, le modèle isotherme n'est pas réaliste sur le plan thermique : la température réelle chute de 20^\circ\text{ C} au niveau de la mer à -23^\circ\text{ C} au sommet, soit un écart de plus de 40\text{ K}. L'atmosphère basse (troposphère) présente un gradient thermique vertical d'environ -6{,}5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}, lié aux mouvements convectifs, mieux décrit par un modèle d'atmosphère adiabatique ou polytropique.

L'onde se propage dans le vide selon la direction et le sens de l'axe (O, \boldsymbol{e}_x) avec la célérité c. Le vecteur d'onde s'écrit donc :

Le champ électrique est polarisé rectilignement selon \boldsymbol{e}_y, avec une phase nulle à l'origine (x=0, t=0) et une amplitude E_m > 0. Son expression réelle est donc :

D'après la structure d'une onde plane progressive monochromatique dans le vide (issue de l'équation de Maxwell-Faraday \boldsymbol{\nabla}\wedge\boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}), le champ magnétique est relié au champ électrique par :

Comme la base (\boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z) est orthonormée directe, on a \boldsymbol{e}_x \wedge \boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z. L'expression réelle du champ magnétique s'écrit ainsi :

avec pour relation entre les amplitudes :

À une date t fixée (par exemple t = 0), les champs \boldsymbol{E} et \boldsymbol{B} sont sinusoïdaux en fonction de la position x, en phase spatiale, orthogonaux entre eux et transverses (perpendiculaires à la direction de propagation \boldsymbol{e}_x). La période spatiale est la longueur d'onde dans le vide \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}.

Par définition, le vecteur de Poynting dans le vide s'écrit :

En utilisant les expressions des champs électrique et magnétique établies à la question Q19 :

avec \boldsymbol{e}_y \wedge \boldsymbol{e}_z = \boldsymbol{e}_x, on obtient directement :

L'intensité I_0 d'une onde électromagnétique correspond à la moyenne temporelle de la norme du vecteur de Poynting :

Comme la moyenne d'un cosinus au carré sur une période vaut \frac{1}{2}, il vient :

Application numérique : Avec les données du sujet :

• \mu_0 \approx 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1},
• c \approx 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},
• I_0 = 1\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2},

on calcule :

L'ordre de grandeur de l'amplitude du champ électrique est donc :

Considérons un volume mésoscopique \mathrm{d}V de gaz atmosphérique situé à l'abscisse x. Il contient un nombre \mathrm{d}N_a de molécules d'air, soit une quantité de matière :

où \mathscr{N}_A désigne la constante d'Avogadro.

La masse correspondante de ce volume d'air s'écrit en fonction de la masse molaire de l'air M_a :

Par définition de la masse volumique \rho_a(x) = \frac{\mathrm{d}m_a}{\mathrm{d}V} et de la densité volumique moléculaire \eta_a(x) = \frac{\mathrm{d}N_a}{\mathrm{d}V}, on obtient :

On en déduit l'expression de \eta_a(x) :

Considérons une tranche d'atmosphère comprise entre les plans d'abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite d'aire S orthogonale à l'axe (Ox) de propagation de l'onde. Le volume de cette tranche est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

Le nombre de molécules de gaz atmosphérique et le nombre de poussières contenus dans cette tranche s'écrivent respectivement :

Pendant la propagation, l'onde perd de la puissance par deux mécanismes indépendants :

• la puissance moyenne totale diffusée par les molécules de la tranche :

  \mathrm{d}\mathscr{P}_{\text{diff}} = \mathscr{P}_a\,\mathrm{d}N_a = k_a \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4 I(x)\,\eta_a(x)\,S\,\mathrm{d}x

• la puissance moyenne totale absorbée par les poussières de la tranche :

  \mathrm{d}\mathscr{P}_{\text{abs}} = \mathscr{P}_p\,\mathrm{d}N_p = k_p I(x)\,\eta_p(x)\,S\,\mathrm{d}x

En régime permanent, le bilan de puissance électromagnétique moyenne pour le système ouvert délimité par la tranche s'écrit :

avec \mathscr{P}_{\text{entrante}} = I(x)\,S et \mathscr{P}_{\text{sortante}} = I(x+\mathrm{d}x)\,S. En substituant :

En simplifiant par S, on obtient la relation liant I(x+\mathrm{d}x) à I(x) :

ce qui correspond sous forme différentielle à :

D'après le bilan effectué à la question Q22, l'intensité lumineuse I(x) satisfait l'équation différentielle :

En séparant les variables, il vient pour I(x) > 0 :

Par intégration entre \xi = 0 et \xi = x :

En prenant l'exponentielle de cette relation, on obtient bien la forme de la loi de Beer-Lambert :

avec pour expression de la densité optique :

La réfraction de la lumière par l'atmosphère s'explique par les points suivants :

• Inhomogénéité de la masse volumique : sous l'effet de la pesanteur, la masse volumique de l'air \rho_a(Z) décroît avec l'altitude Z, comme modélisé à la question Q17 par le profil \rho_a(Z) = \rho_a(0)\exp(-Z/H_c).

• Variation de l'indice optique : l'indice de réfraction de l'air dépend directement de la masse volumique locale selon la relation de Gladstone-Dale fournie par l'énoncé :

  n(Z) = 1 + \varepsilon_\lambda \frac{\rho_a(Z)}{\rho_a(0)}

  L'indice n(Z) décroît donc de façon continue lorsque l'altitude Z augmente.

• Déviation des rayons : l'atmosphère forme un milieu transparent inhomogène à gradient d'indice vertical (\boldsymbol{\nabla} n \neq \boldsymbol{0}, orienté vers le sol). D'après les lois de l'optique géométrique (ou le principe de Fermat), la trajectoire d'un rayon lumineux s'incurve continûment vers les régions où l'indice de réfraction est le plus élevé, c'est-à-dire vers le bas : c'est le phénomène de réfraction atmosphérique.

1. Expression de \sqrt{\frac{r^2}{r_0^2}-1} :

Par définition, r = R_T + Z et r_0 = R_T + Z_0. Avec u = Z - Z_0, on a :

Comme Z_0 \ll R_T et u \le Z \ll R_T, on a \frac{u}{R_T + Z_0} \simeq \frac{u}{R_T} \ll 1. Au premier ordre :

Il vient ainsi :

2. Expression de \mathrm{d}n en fonction de \mathrm{d}\rho_a :

La loi reliant l'indice de réfraction à la masse volumique est :

Pour une longueur d'onde fixée (\varepsilon_\lambda = \text{cte}), la différentiation donne directement :

3. Expression de \mathrm{d}\rho_a :

D'après le modèle d'atmosphère isotherme établi à la question Q17 :

En substituant Z = Z_0 + u, on factorise par la masse volumique au point le plus bas de la trajectoire M_0 :

Pour un rayon donné, Z_0 est constant. En différenciant par rapport à u, on obtient :

D'après les résultats de la question Q25, on a :

et

Les bornes d'intégration s'expriment en fonction de u = Z - Z_0 :

• lorsque n = 1 (milieu non réfractif, hors de l'atmosphère), Z \to +\infty donc u \to +\infty ;
• lorsque n = n_0 = n(Z_0) (au point d'approche minimale M_0), Z = Z_0 donc u = 0.

En injectant ces expressions dans la formule de la déviation totale et en utilisant le signe moins de \mathrm{d}n pour rétablir l'ordre croissant des bornes :

On effectue le changement de variable sans dimension v = \frac{u}{H_c}, d'où u = H_c v, \mathrm{d}u = H_c\,\mathrm{d}v et \sqrt{u} = \sqrt{H_c}\sqrt{v} :

On en déduit :

On identifie ainsi l'expression sous la forme \theta_d(Z_0, \lambda) \approx \Theta(Z_0)\varepsilon_\lambda avec :

La fonction \Theta(Z_0) est une fonction exponentielle strictement décroissante de l'altitude minimale Z_0. Or, pour qu'un rayon traverse l'atmosphère sans être occulté par la Terre solide, son altitude doit vérifier Z_0 \geqslant 0. La déviation est donc maximale pour le rayon rasant le sol terrestre :

D'après le résultat de la question Q26, l'angle de déviation totale s'écrit :

où la fonction \Theta(Z_0) = \sqrt{\dfrac{2\pi R_T}{H_c}}\exp\left(-\dfrac{Z_0}{H_c}\right) ne dépend que de la géométrie de la trajectoire (caractérisée par Z_0).

La dépendance chromatique intervient uniquement dans le terme \varepsilon_\lambda, donné par :

En différenciant \varepsilon_\lambda par rapport à \lambda :

Pour deux rayons incidents passant par le même point M_0 (même Z_0) et dont les longueurs d'onde diffèrent d'une petite variation \delta\lambda, la variation au premier ordre de l'angle de déviation \delta\theta_d s'obtient par différentiation :

On peut également exprimer cet écart en fonction de la déviation \theta_d(Z_0,\lambda) elle-même :

Considérons le plan contenant l'axe ST passant par le centre du Soleil S, le centre de la Terre T et le point N (centre du disque lunaire éclipsé).

1. Angle sous lequel le limbe terrestre est vu depuis N :

Pour un rayon passant à une altitude Z_0 \ll R_T au-dessus de la Terre, la distance à l'axe ST est r_0 = R_T + Z_0 \approx R_T. Pour que ce rayon atteigne le point N, son inclinaison finale vers l'axe ST doit valoir :

2. Inclinaison des rayons incidents :

Le Soleil étant une source étendue sous-tendant un demi-angle \theta_S \approx 16' depuis la Terre, les rayons incidents frappant le haut de l'atmosphère font un angle \alpha avec la direction de l'axe ST compris dans l'intervalle :

où \alpha > 0 correspond à un rayon convergeant initialement vers l'axe.

3. Déviation atmosphérique requise :

Après traversée de l'atmosphère, le rayon subit une déviation vers les zones plus denses (vers la Terre, donc vers l'axe ST) d'un angle \theta_d \ge 0. L'angle final du rayon par rapport à l'axe ST est donc :

Pour que le rayon atteigne le point N, il faut \theta_{\text{final}} = \theta_T, soit :

Selon le point d'émission sur le disque solaire, la déviation nécessaire est donc comprise entre :

Or, d'après les données de l'énoncé, la déviation atmosphérique maximale vaut \theta_{d,M} \approx 70' au ras du sol (Z_0 = 0) et varie continûment jusqu'à 0' à haute altitude :

Comme \theta_{d,\min} = 41' \le 70', il existe un intervalle d'altitudes Z_0 pour lesquelles la déviation est suffisante pour envoyer la lumière solaire en N :

D'après la loi de transfert radiatif établie à la question Q23, l'intensité spectrale reçue au point N s'écrit :

où I_\lambda(\lambda) est l'éclairement spectral solaire hors atmosphère (graphe de gauche) et \exp[-d_o(\lambda)] le facteur d'atténuation spectrale lié à la traversée atmosphérique (graphe de droite).

À l'aide des deux courbes de la figure 12, on relève plusieurs couples de valeurs dans le domaine du visible et du proche infrarouge :

On reporte ces points sur le repère fourni par le document réponse :

Conclusion sur la couleur de la Lune : Le spectre de la lumière transmise et réfractée vers le centre du cône d'ombre N est rigoureusement nul pour les courtes et moyennes longueurs d'onde (\lambda \lesssim 550\text{ nm}), qui correspondent au violet, au bleu et au vert : ces radiations sont quasi intégralement éliminées par la diffusion de Rayleigh (\mathscr{P}_a \propto \lambda^{-4}).

Seules les plus grandes longueurs d'onde du spectre visible (\lambda \gtrsim 600\text{ nm}), correspondant au rouge et au proche infrarouge, parviennent à traverser la basse atmosphère terrestre sans être totalement diffusées.