Feuille d'entraînement : Statique des fluides

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q17

   À l'équilibre, le principe fondamental de la statique appliqué à la tranche infinitésimale de milieu granulaire comprise entre z et z + \mathrm{d}z s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{P} + \mathrm{d}\vec{F}_{p,v} + \mathrm{d}\vec{T} = \vec{0}

   En utilisant les expressions obtenues précédemment :

   • le poids de la tranche (d'après la question Q7) :

     \mathrm{d}\vec{P} = \rho \phi S g\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

   • la résultante des forces de pression verticale (d'après la question Q8) :

     \mathrm{d}\vec{F}_{p,v} = - S \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z}\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

   • la résultante des forces de frottement de la paroi (d'après la question Q11) :

     \mathrm{d}\vec{T} = - \pi D f P_h(z)\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

   En injectant la loi de redirection des contraintes P_h(z) = k P_v(z), la force de frottement s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{T} = - \pi D k f P_v(z)\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_z

   En projetant le bilan des forces selon l'axe vertical ascendant/descendant \vec{e}_z et en divisant par \mathrm{d}z :

   - S \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z} - \pi D k f P_v(z) + \rho \phi S g = 0

   La section transversale étant un disque de diamètre D, on a S = \dfrac{\pi D^2}{4}, soit :

   \frac{\pi D}{S} = \frac{4}{D}

   En divisant toute l'équation par S, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z} + \frac{4 k f}{D} P_v = \rho \phi g

   Puis en divisant par \dfrac{4 k f}{D} :

   \frac{D}{4 k f} \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z} + P_v = \rho \phi g \frac{D}{4 k f}

   Cette équation est bien de la forme :

   \lambda \frac{\mathrm{d}P_v}{\mathrm{d}z} + P_v = P_\infty

   par identification :

   \boxed{\lambda = \frac{D}{4 k f}}

   et :

   \boxed{P_\infty = \rho \phi g \lambda}

   Résultat

   $$\lambda =\frac{D}{4kf}$$

   $$P_{\infty }=\rho \varphi g\lambda$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q27

   1. Expression du gradient de pression statique

   En l'absence d'onde sonore, le fluide possède une vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x uniforme et constante dans le temps, une masse volumique constante \rho_0, et une pression p_{\text{st}}(z). Toutes les dérivées spatio-temporelles du champ de vitesse s'annulent :

   \frac{\partial \vec{v}_0}{\partial t} = \vec{0}, \quad (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_0 = \vec{0}, \quad \Delta \vec{v}_0 = \vec{0}

   L'équation de Navier–Stokes se réduit alors à la relation fondamentale de la statique des fluides :

   \vec{0} = -\vec{\mathrm{grad}}\,p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g}

   Comme \vec{g} = -g \vec{u}_z et que p_{\text{st}} ne dépend que de la cote z, la projection sur l'axe vertical \vec{u}_z donne directement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}p_{\text{st}}}{\mathrm{d}z} = -\rho_0 g}

   (Compte tenu de la condition à la surface libre p_{\text{st}}(0) = p_0, on retrouve la loi hydrostatique p_{\text{st}}(z) = p_0 - \rho_0 g z).

   2. Forme simplifiée de l'équation de Navier–Stokes

   En présence de l'onde acoustique, on décompose les champs sous la forme :

   p = p_{\text{st}}(z) + p_1(\vec{r},t), \quad \rho = \rho_0 + \rho_1(\vec{r},t), \quad \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v}_1(\vec{r},t)

   où p_1, \rho_1 et \vec{v}_1 sont des perturbations acoustiques de petite amplitude (grandeurs du premier ordre).

   L'équation de Navier–Stokes devient :

   (\rho_0 + \rho_1)\left[ \frac{\partial \vec{v}_1}{\partial t} + \left((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}}\right)(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) \right] = -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} - \vec{\mathrm{grad}} p_1 + (\rho_0 + \rho_1)\vec{g} + \eta \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1)

   Procédons aux simplifications :

   • Équilibre de base : D'après le résultat précédent, -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g} = \vec{0}.

   • Terme de pesanteur perturbé : Le terme résiduel de gravité est \rho_1 \vec{g}. En ordre de grandeur, \|\rho_1 \vec{g}\| \sim \rho_1 g \sim \frac{p_1}{c_a^2} g, tandis que le gradient de pression acoustique est de norme \|\vec{\mathrm{grad}} p_1\| \sim k p_1 = \frac{\omega}{c_a} p_1. Le rapport de ces deux termes vaut :

     \frac{\|\rho_1 \vec{g}\|}{\|\vec{\mathrm{grad}} p_1\|} \sim \frac{g}{\omega c_a}

     Pour des ondes acoustiques dans l'eau (c_a \simeq 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), dès que f \ge 10\text{ Hz} (\omega \ge 60\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), on a \omega c_a \ge 9\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \gg g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}. La force de pesanteur sur les surdensités acoustiques est donc négligeable devant la force de pression : \rho_1 \vec{g} \ll \vec{\mathrm{grad}} p_1.

   • Linéarisation du terme d'inertie : Au premier ordre, \rho_0 + \rho_1 \simeq \rho_0. Puisque \vec{v}_0 est uniforme, le terme convectif s'écrit :

     ((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}})(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_1 + \mathcal{O}(v_1^2)
   • Terme visqueux : \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = \Delta \vec{v}_1.

   On aboutit ainsi à la forme simplifiée (linéarisée) de l'équation de Navier–Stokes pour l'onde acoustique (notée ici avec \underline{p} et \underline{\vec{v}} conformément à la suite de l'énoncé) :

   \boxed{\rho_0 \left[ \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} + (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\underline{\vec{v}} \right] = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p} + \eta \Delta \underline{\vec{v}}}

   Dans le cas particulier où l'eau est au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}, étudié dans la sous-partie II.1), celle-ci se réduit à :

   \rho_0 \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p} + \eta \Delta \underline{\vec{v}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{p}_{\text{st}}}{\mathrm{d}z}=-{\rho }_{0}g$$

   $${\rho }_0\left[\frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t}+({\vec{v}}_0\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\underline{\vec{v}}\right]=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}+\eta \Delta \underline{\vec{v}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 PC 2025, Q2

   Considérons une colonne d'air cylindrique verticale de section droite S, s'étendant de l'altitude z jusqu'au sommet de l'atmosphère (z \to +\infty). Les forces extérieures appliquées à cette colonne projetées sur l'axe vertical ascendant (Oz) sont :

   • la force de pression exercée par l'air sous-jacent en z : \vec{F}_P = P(z) S\,\vec{e}_z ;
   • la force de pression au sommet de l'atmosphère, où la pression est nulle : P(+\infty) = 0 ;
   • les forces de pression latérales qui s'exercent horizontalement et n'ont pas de composante verticale par symétrie ;

   • le poids de la colonne d'air :

     \vec{P}_{\text{poids}} = -\left(\int_z^{+\infty} \rho(z') g S\,\mathrm{d}z'\right) \vec{e}_z

   À l'équilibre mécanique de la colonne, la somme des forces verticales est nulle :

   P(z) S - \int_z^{+\infty} \rho(z') g S\,\mathrm{d}z' = 0

   En simplifiant par S, on obtient la relation intégrale :

   \boxed{P(z) = \int_z^{+\infty} \rho(z') g\,\mathrm{d}z'}

   En dérivant cette relation par rapport à z, on retrouve la relation fondamentale de la statique des fluides :

   \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\rho(z) g

   L'air étant modélisé par un gaz parfait de masse molaire \mathcal{M}_{\text{air}}, sa masse volumique s'exprime par :

   P(z) = \frac{\rho(z)}{\mathcal{M}_{\text{air}}}\mathcal{R}T(z) \implies \rho(z) = \frac{\mathcal{M}_{\text{air}}P(z)}{\mathcal{R}T(z)}

   En reportant cette expression dans la loi de l'hydrostatique et en utilisant T(z) = T_0(1-\Gamma z) :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} &= -\frac{\mathcal{M}_{\text{air}} g}{\mathcal{R} T_0(1 - \Gamma z)} P(z) \\ \frac{\mathrm{d}P}{P} &= -\frac{1}{1 - \Gamma z}\,\frac{\mathcal{M}_{\text{air}} g}{\mathcal{R} T_0}\,\mathrm{d}z \end{aligned}

   Par identification avec la forme demandée \dfrac{\mathrm{d}P}{P} = - \dfrac{1}{1 - \dfrac{z}{H_1}} \dfrac{\mathrm{d}z}{H_0}, on identifie les deux hauteurs caractéristiques :

   \boxed{H_0 = \frac{\mathcal{R}T_0}{\mathcal{M}_{\text{air}} g}} \quad \text{et} \quad \boxed{H_1 = \frac{1}{\Gamma}}

   Applications numériques :

   • Pour H_0, avec T_0 = 27^\circ\text{C} = 300\text{ K}, \mathcal{M}_{\text{air}} = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, \mathcal{R} = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} et g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

     H_0 = \frac{8,3 \times 300}{29\times 10^{-3} \times 9,8} = \frac{2490}{0,2842} \simeq 8{,}8\times 10^3\text{ m} = 8{,}8\text{ km}

   • Le gradient thermique \Gamma se déduit de la décroissance linéaire de la température dans la troposphère, où T(h) = T_0(1-\Gamma h) = T_h avec h = 14\text{ km} et T_h = -64^\circ\text{C} = 209\text{ K} :

     \Gamma = \frac{T_0 - T_h}{T_0 h} = \frac{300 - 209}{300 \times 14} = \frac{91}{4200}\text{ km}^{-1} \implies H_1 = \frac{1}{\Gamma} = \frac{4200}{91}\text{ km} \simeq 46\text{ km}

     (avec T_h \simeq 210\text{ K}, on obtient H_1 \simeq 47\text{ km}).

   \boxed{H_0 \simeq 8{,}8\text{ km}} \quad \text{et} \quad \boxed{H_1 \simeq 46\text{ km}}

   Résultat

   $$P(z)={\int }_z^{+\infty }\rho (z^{\prime })g\mathrm{d}{z}^{\prime }$$

   $$H_0=\frac{\mathcal{R}{T}_0}{{\mathcal{M}}_{\text{air}}g}$$

   $$H_1=\frac{1}{\Gamma }$$

   $$H_0\simeq 8,8\text{ km}$$

   $$H_1\simeq 46\text{ km}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 PC 2025, Q14

   On étudie la partie haute de la membrane du ballon dans le référentiel terrestre supposé galiléen. D'après l'énoncé, la masse de la membrane est négligée, de sorte que son poids est nul.

   À l'équilibre mécanique, la résultante des forces extérieures appliquées à cette calotte sphérique est donc nulle :

   \vec{F}_p + \vec{f} = \vec{0}

   En utilisant les expressions établies à la question précédente :

   • la résultante des forces de pression intérieure et extérieure s'écrit :

     \vec{F}_p = (P_i - P_e) \pi r^2\,\vec{e}_z

   • la résultante des forces de traction exercées par la partie basse le long du cercle \mathcal{C} vaut :

     \vec{f} = -2\pi R \xi \sin^2\theta\,\vec{e}_z

   Comme le cercle frontière a pour rayon r = R \sin\theta, on a r^2 = R^2 \sin^2\theta, d'où :

   \begin{aligned} (P_i - P_e) \pi R^2 \sin^2\theta - 2\pi R \xi \sin^2\theta &= 0 \end{aligned}

   Pour toute calotte non triviale (\theta \in ]0, \pi/2[), le facteur \pi R^2 \sin^2\theta est non nul. On peut donc simplifier :

   \begin{aligned} P_i - P_e &= \frac{2\xi}{R} \end{aligned}

   On obtient bien la loi de Jurin–Laplace :

   \boxed{P_i = P_e + \frac{2\xi}{R}}

   Résultat

   $$P_i=P_e+\frac{2\xi }{R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q4

   On applique la relation fondamentale de la statique des fluides dans le référentiel terrestre supposé galiléen, sous les hypothèses suivantes :

   • l'eau de mer est au repos ;
   • l'eau de mer est assimilée à un fluide incompressible et homogène de masse volumique constante \rho_1 = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
   • l'accélération de la pesanteur est constante : g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

   En orientant un axe vertical (Oz) descendant depuis la surface libre (z = 0) où règne la pression atmosphérique P^0 = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, la loi de l'hydrostatique s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = \rho_1 g

   Par intégration entre la surface (z = 0, P = P^0) et la profondeur z :

   P(z) = P^0 + \rho_1 g z

   D'après la question Q3, la profondeur retenue est de l'ordre de z = 1\,000\text{ m} (ou 900\text{ m}). Pour z = 1\,000\text{ m} :

   \begin{aligned} P &= 1{,}0 \times 10^5 + 1{,}0 \times 10^3 \times 9{,}8 \times 1\,000 \\ P &= 1{,}0 \times 10^5 + 98 \times 10^5 = 99 \times 10^5\text{ Pa} \approx 99\text{ bar} \end{aligned}

   (Pour z = 900\text{ m}, on trouve de même P \approx 89\text{ bar}).

   \boxed{P \approx 100\text{ bar} = 10\text{ MPa}}

   Résultat

   $$P\approx 100\text{ bar}=10\text{ MPa}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique 2 PC 2024, Q6

   L'équivalent volumique des forces de pression s'exerçant en un point M au sein d'un fluide s'écrit :

   \boxed{\vec{f}_p = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P}

   Pour établir l'équation locale de la statique des fluides :

   • Système : un élément mésoscopique de fluide de volume \mathrm{d}\tau centré en M, de masse \mathrm{d}m = \mu(M)\,\mathrm{d}\tau.
   • Référentiel : le référentiel lié à la planète Mars, supposé galiléen.

   • Bilan des forces appliquées à cet élément de volume :

     • résultante des forces de pression de contact : \mathrm{d}\vec{F}_p = \vec{f}_p\,\mathrm{d}\tau = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P\,\mathrm{d}\tau ;
     • force gravitationnelle (poids) : \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,\vec{g}(M) = \mu(M)\,\vec{g}(M)\,\mathrm{d}\tau.

   Le fluide étant à l'équilibre statique dans ce référentiel, la condition d'équilibre mécanique s'écrit :

   \begin{aligned} \sum \mathrm{d}\vec{F}_{\text{ext}} &= \vec{0} \\ \left(-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P + \mu\,\vec{g}\right)\mathrm{d}\tau &= \vec{0} \end{aligned}

   Cette relation étant vraie pour tout volume élémentaire \mathrm{d}\tau, on en déduit l'équation locale de la statique des fluides :

   \boxed{\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P = \mu\,\vec{g}}

   Résultat

   $${\vec{f}}_p=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{grad}}P=\mu \vec{g}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique 2 PC 2024, Q7

   D'après l'énoncé, le champ de pesanteur est radial et d'intensité uniforme :

   \vec{g}(M) = -g_0\,\vec{u}_r

   En coordonnées sphériques, la pression ne dépend que de la variable radiale r, d'où :

   \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P = \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}\,\vec{u}_r

   L'équation locale de la statique des fluides établie à la question Q6 s'écrit alors en projection sur \vec{u}_r :

   \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} = -\mu(r)\,g_0

   L'atmosphère étant assimilée à un gaz parfait de masse molaire M_a à température uniforme T_0, la loi des gaz parfaits donne :

   P(r) = \frac{\mu(r)}{M_a} R T_0 \implies \mu(r) = \frac{M_a}{R T_0}\,P(r)

   On en déduit l'équation différentielle linéaire du premier ordre régissant la pression :

   \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} + \frac{M_a g_0}{R T_0}\,P(r) = 0

   En posant la hauteur d'échelle H définie par :

   \boxed{H = \frac{R T_0}{M_a g_0}}

   l'équation devient \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r} + \dfrac{P}{H} = 0, dont la solution générale est :

   P(r) = C_0 \exp\left(-\frac{r}{H}\right)

   La constante d'intégration C_0 est déterminée par la condition limite au niveau du sol martien, soit en r = R_m :

   P(R_m) = P_0 = C_0 \exp\left(-\frac{R_m}{H}\right)

   On en déduit l'expression du préfacteur C_0 :

   \boxed{C_0 = P_0 \exp\left(\frac{R_m}{H}\right) = P_0 \exp\left(\frac{M_a g_0 R_m}{R T_0}\right)}

   ce qui conduit à la loi barométrique sous forme usuelle : P(r) = P_0 \exp\left(-\dfrac{r - R_m}{H}\right).

   Résultat

   $$H=\frac{R{T}_0}{M_a{g}_0}$$

   $$C_0=P_0\exp \left(\frac{R_m}{H}\right)=P_0\exp \left(\frac{M_a{g}_0{R}_m}{R{T}_0}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie PC 2024, Q1-Q5

   L'air étant assimilé à un gaz parfait de masse molaire M_{\text{air}}, une masse m occupant un volume V sous la pression P et à la température T vérifie :

   P V = n R T = \frac{m}{M_{\text{air}}} R T

   On en déduit la masse volumique de l'air :

   \mu(z) = \frac{m}{V} = \frac{P(z)\, M_{\text{air}}}{R\, T(z)}

   D'après la question Q4, la relation fondamentale de l'hydrostatique projetée sur l'axe vertical ascendant s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = -\mu(z)\, g = -\frac{M_{\text{air}} g}{R\, T(z)}\, P(z)

   En introduisant l'expression de la température T(z) = T_0 + a(z - z_0), on sépare les variables :

   \frac{\mathrm{d}P}{P} = -\frac{M_{\text{air}} g}{R} \frac{\mathrm{d}z}{T_0 + a(z - z_0)}

   On intègre cette relation différentielle entre l'altitude de référence z_0 (où P(z_0) = P_0) et l'altitude z :

   \begin{aligned} \int_{P_0}^{P(z)} \frac{\mathrm{d}P'}{P'} &= -\frac{M_{\text{air}} g}{R} \int_{z_0}^{z} \frac{\mathrm{d}z'}{T_0 + a(z' - z_0)} \\ \ln\left(\frac{P(z)}{P_0}\right) &= -\frac{M_{\text{air}} g}{a R} \left[ \ln\big(T_0 + a(z' - z_0)\big) \right]_{z_0}^z \\ \ln\left(\frac{P(z)}{P_0}\right) &= -\frac{M_{\text{air}} g}{a R} \ln\left( \frac{T_0 + a(z - z_0)}{T_0} \right) = -\frac{M_{\text{air}} g}{a R} \ln\left(1 + \frac{a}{T_0}(z - z_0)\right) \end{aligned}

   En appliquant la fonction exponentielle, on obtient :

   P(z) = P_0 \left( 1 + \frac{a}{T_0}(z - z_0) \right)^{-\frac{M_{\text{air}} g}{a R}}

   Cette expression est bien de la forme recherchée P(z) = P_0 \left(1 + b(z - z_0)\right)^\alpha, avec :

   \boxed{b = \frac{a}{T_0}} \quad \text{et} \quad \boxed{\alpha = -\frac{M_{\text{air}} g}{a R}}

   Résultat

   $$b=\frac{a}{T_0}$$

   $$\alpha =-\frac{M_{\text{air}}g}{aR}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique C PC 2024, Q31.b

   L'équation fondamentale de la statique des fluides sous forme locale s'écrit :

   -\overrightarrow{\operatorname{grad}} P(\vec{r}) + \vec{f}(\vec{r}) = \vec{0}

   En utilisant l'expression de la densité volumique de force établie à la question 31.a, \vec{f}(\vec{r}) = -k\,n(\vec{r})\,\vec{r}, on obtient directement :

   \boxed{\overrightarrow{\operatorname{grad}} P(\vec{r}) = -k\,n(\vec{r})\,\vec{r}}

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{grad}}P(\vec{r})=-kn(\vec{r})\vec{r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique C PC 2024, Q32

    Le système présente une symétrie sphérique (invariance par toute rotation autour de l'origine O) :

    • le potentiel extérieur U_{\text{ext}}(\vec{r}) = \frac{1}{2}kr^2 (et donc la force de rappel subie par chaque atome) est invariant par rotation autour de O ;
    • les forces d'interaction interatomiques ne dépendent que des distances relatives r_{ij} ;
    • en l'absence de toute direction privilégiée imposée de l'extérieur, l'état d'équilibre thermodynamique macroscopique adopte la symétrie des causes (principe de Curie).

    Par conséquent, tous les champs scalaires décrivant le fluide à l'équilibre ne dépendent que de la distance radiale r = \|\vec{r}\| et sont indépendants de la direction de \vec{r} (invariance par rapport aux angles sphériques \theta et \varphi) :

    \boxed{n(\vec{r}) = n(r), \quad P(\vec{r}) = P(r) \quad \text{et} \quad s(\vec{r}) = s(r)}

    Résultat

    $$n(\vec{r})=n(r),P(\vec{r})=P(r)\text{et}s(\vec{r})=s(r)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question