Feuille d'entraînement : Réflexion, réfraction et fibres optiques

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MP 2023, Q24

   Considérons le trajet d'un rayon lumineux dans le plan d'incidence passant par le centre O de la goutte sphérique (figure 7) :

   • Première réfraction à l'entrée (point A) : le rayon passe de l'air (indice n_{\text{air}} = 1) à l'eau (indice n) avec un angle d'incidence i et un angle de réfraction r. Le rayon est dévié vers la normale, dans le sens horaire, d'un angle :

     D_1 = i - r

   • Réflexion interne partielle (point B) : le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB = R (rayon de la sphère). L'angle d'incidence en B vaut donc également r. D'après les lois de Descartes pour la réflexion, l'angle réfléchi vaut r. La déviation géométrique subie par le rayon (dans le sens horaire) est :

     D_2 = \pi - 2r

   • Seconde réfraction à la sortie (point C) : le triangle OBC est de même isocèle en O (OB = OC = R), de sorte que l'angle d'incidence sur le dioptre de sortie vaut r. D'après la relation de Snell-Descartes, l'angle d'émergence dans l'air est à nouveau i. Le rayon s'éloigne de la normale, toujours dans le sens horaire, d'un angle :

     D_3 = i - r

   Les trois déviations s'opèrent toutes dans le même sens horaire. La déviation totale \Delta représentée sur la figure 7 correspond à la somme arithmétique de ces trois angles :

   \Delta = D_1 + D_2 + D_3 = (i - r) + (\pi - 2r) + (i - r)

   \boxed{\Delta = \pi - 4r + 2i}

   D'après la loi de Snell-Descartes établie en Q23 :

   \sin(i) = n \sin(r) \implies \sin(r) = \frac{\sin(i)}{n} = \frac{x}{n}

   Les angles i et r étant compris entre 0 et \pi/2, on a :

   i = \operatorname{Arcsin}(x) \quad \text{et} \quad r = \operatorname{Arcsin}\left(\frac{x}{n}\right)

   En injectant ces expressions dans la formule de \Delta, il vient :

   \boxed{\Delta(x) = \pi - 4\operatorname{Arcsin}\left(\frac{x}{n}\right) + 2\operatorname{Arcsin}(x)}

   Résultat

   $$\Delta =\pi -4r+2i$$

   $$\Delta (x)=\pi -4\mathrm{Arcsin}\left(\frac{x}{n}\right)+2\mathrm{Arcsin}(x)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q45

   Le paramètre de l'expérience principalement sensible à la température et à la composition chimique est l'indice optique (ou indice de réfraction) n du milieu fluide remplissant la cavité (ainsi que, au second ordre, la longueur de la cavité L sous l'effet de la dilatation thermique).

   • Sensibilité à la température : l'indice de réfraction d'un liquide diminue lorsque la température augmente (effet thermo-optique lié à la dilatation volumique du solvant, quantifié par le coefficient \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}T}).
   • Sensibilité à la composition chimique : l'indice optique d'une solution dépend directement de la nature et de la concentration des espèces chimiques ou biomolécules présentes en solution (effet réfractométrique).

   Comme la longueur d'onde d'un mode laser d'ordre m est fixée par la condition d'accord de phase :

   \lambda_m = \frac{2nL}{m}

   toute variation \Delta n (ou \Delta L) se traduit par un décalage spectral mesurable des pics d'émission laser :

   \boxed{\frac{\Delta \lambda_m}{\lambda_m} = \frac{\Delta n}{n} + \frac{\Delta L}{L}}

   Le suivi ultra-précis de la position spectrale des pics d'émission permet ainsi de sonder la température ou la composition chimique du milieu optofluidique.

   Résultat

   $$\frac{\Delta {\lambda }_m}{{\lambda }_m}=\frac{\Delta n}{n}+\frac{\Delta L}{L}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie MP 2026, Q35

   La lumière pénètre sous incidence normale sur la face d'entrée plane de la fibre ; d'après les lois de Snell-Descartes, les rayons ne subissent aucune réfraction et se propagent parallèlement entre eux, selon la direction normale à la face d'entrée.

   Plaçons l'origine O au centre de courbure de la fibre. La face d'entrée est située dans le plan méridien radial \theta = 0. Les rayons pénètrent dans le cœur à une distance r de l'axe de courbure, avec r \in [R, \, R+d], où R désigne le rayon de courbure de la face interne du cœur et d le diamètre du cœur.

   Chaque rayon se propage en ligne droite à distance constante r de l'axe passant par O et frappe l'interface extérieure cœur-gaine, de rayon R_{\text{ext}} = R + d, en un point M.

   Dans le triangle rectangle formé par le centre de courbure O, la projection orthogonale de M sur le plan radial d'entrée, et le point M :

   • l'hypoténuse est le rayon de l'interface extérieure : OM = R + d ;
   • le côté opposé à l'angle d'incidence i (angle entre le rayon lumineux et la normale locale radiale \vec{OM}) a pour longueur la distance r.

   On en déduit :

   \sin i(r) = \frac{r}{R + d}

   Le confinement sans atténuation exige une réflexion totale à l'interface cœur-gaine pour l'ensemble des rayons. La condition de réflexion totale s'écrit :

   \sin i \ge \sin i_{\text{lim}} = \frac{n_2}{n_1}

   La fonction sinus étant croissante sur [0, \, \pi/2], l'angle d'incidence est minimal pour le rayon le plus proche de l'intérieur de la courbure, c'est-à-dire pour r = R :

   \sin i_{\min} = \frac{R}{R + d}

   Pour que toute la lumière soit confinée, il faut et il suffit que ce rayon critique vérifie la condition de réflexion totale :

   \begin{aligned} \frac{R}{R + d} \ge \frac{n_2}{n_1} &\iff R\,n_1 \ge n_2(R + d) \\ &\iff R(n_1 - n_2) \ge n_2\,d \\ &\iff R \ge \frac{n_2}{n_1 - n_2}\,d \end{aligned}

   Après cette première réflexion, par symétrie de la surface cylindrique, les réflexions successives s'effectuent sous le même angle d'incidence et le rayon reste confiné. Le rayon de courbure minimal est donc :

   \boxed{R_{\min} = \frac{n_2}{n_1 - n_2}\,d}

   Application numérique :

   R_{\min} = \frac{1{,}45}{1{,}55 - 1{,}45} \times 50 \cdot 10^{-6}\text{ m} = \frac{1{,}45}{0{,}10} \times 50\,\mu\text{m} = 14{,}5 \times 50\,\mu\text{m} = 725\,\mu\text{m}

   Soit, avec deux chiffres significatifs :

   \boxed{R_{\min} = 0{,}73\text{ mm} = 7{,}3 \cdot 10^{-4}\text{ m}}

   Résultat

   $$R_{\min }=\frac{n_2}{n_1-n_2}d$$

   $$R_{\min }=0,73\text{ mm}=7,3\cdot 10^{-4}\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MP 2023, Q23

   Les lois de Snell-Descartes pour la réfraction à la traversée d'un dioptre séparant deux milieux d'indices respectifs n_1 et n_2 s'énoncent comme suit :

   1. Planéité : Le rayon réfracté est contenu dans le plan d'incidence, défini par le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence.

   2. Loi angulaire : Les angles d'incidence i_1 et de réfraction i_2, repérés par rapport à la normale au dioptre, vérifient la relation :

      n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)

   Dans le cas de l'entrée du rayon dans la goutte d'eau, la lumière se propage de l'air (d'indice n_{\text{air}} = 1) vers l'eau (d'indice n). En notant i l'angle d'incidence et r l'angle de réfraction, cette relation s'écrit :

   \boxed{\sin(i) = n \sin(r)}

   Résultat

   $$\sin (i)=n\sin (r)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MP 2023, Q25

   D'après la question Q24, l'expression de la déviation en fonction de x = \sin(i) s'écrit :

   \Delta(x) = \pi - 4\operatorname{Arcsin}\left(\frac{x}{n}\right) + 2\operatorname{Arcsin}(x).

   Pour x \in [0, 1[, la fonction \Delta est dérivable par rapport à x. En appliquant la dérivée d'une fonction composée avec la formule donnée \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\operatorname{Arcsin}(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}, on obtient :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\Delta}{\mathrm{d}x}(x) &= -4 \times \frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{n}\right)^2}} + 2 \times \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \\ &= -\frac{4}{\sqrt{n^2 - x^2}} + \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}. \end{aligned}

   L'angle \Delta(x) passe par un extremum lorsque sa dérivée s'annule, soit :

   \frac{\mathrm{d}\Delta}{\mathrm{d}x}(x_m) = 0 \iff \frac{2}{\sqrt{1 - x_m^2}} = \frac{4}{\sqrt{n^2 - x_m^2}} \iff \frac{1}{\sqrt{1 - x_m^2}} = \frac{2}{\sqrt{n^2 - x_m^2}}.

   Les grandeurs sous les racines étant strictement positives pour x \in [0, 1[ et n > 1, on élève au carré :

   \begin{aligned} \frac{1}{1 - x_m^2} = \frac{4}{n^2 - x_m^2} &\iff n^2 - x_m^2 = 4(1 - x_m^2) \\ &\iff n^2 - x_m^2 = 4 - 4x_m^2 \\ &\iff 3x_m^2 = 4 - n^2. \end{aligned}

   Comme i_m \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[, on a x_m = \sin(i_m) > 0, d'où :

   \boxed{x_m = \sin(i_m) = \sqrt{\frac{4 - n^2}{3}}}

   Résultat

   $$x_m=\sin (i_m)=\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique MP 2021, Q9

   a) Loi de la réfraction en B

   Au point B, la lumière passe du verre d'indice n à l'air d'indice n_{\text{air}} = 1. L'angle d'incidence par rapport à la normale (CB) est i et l'angle de réfraction est r.

   La loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit :

   \boxed{n\sin(i) = \sin(r)}

   b) Expression de la distance OF'

   D'après la figure 2, les points O, K et F' sont alignés sur l'axe optique orienté de gauche à droite. On peut donc décomposer la distance OF' :

   OF' = OK + KF'

   • Détermination de OK :

     Le rayon incident (AB) étant parallèle à l'axe optique, la normale (CB) coupe l'axe optique en C en formant l'angle \widehat{BCK} = i (angles alternes-internes).

     Dans le triangle CKB rectangle en K, avec CB = R :

     \begin{aligned} CK &= R \cos(i) \\ BK &= R \sin(i) \end{aligned}

     Le sommet S du dioptre sphérique est à la distance CS = R du centre de courbure C. On en déduit :

     KS = CS - CK = R - R \cos(i) = R[1 - \cos(i)]

     L'épaisseur au centre étant OS = e, on obtient :

     OK = OS - KS = e - R[1 - \cos(i)]

   • Détermination de KF' :

     Par rapport à la direction incidente horizontale, la normale (CB) fait un angle i, et le rayon émergent fait un angle r avec cette normale. L'angle de déviation du rayon émergent par rapport à la direction horizontale de l'axe optique est donc :

     \alpha = r - i

     Dans le triangle BKF' rectangle en K, l'angle en F' vaut \widehat{BF'K} = \alpha = r - i. On a donc :

     \tan(r - i) = \frac{BK}{KF'} \implies KF' = \frac{BK}{\tan(r - i)} = \frac{R \sin(i)}{\tan(r - i)}

   En sommant les deux contributions, on retrouve bien :

   \boxed{OF' = e - R[1 - \cos(i)] + \frac{R\sin(i)}{\tan(r - i)}}

   Résultat

   $$n\sin (i)=\sin (r)$$

   $$O{F}^{\prime }=e-R[1-\cos (i)]+\frac{R\sin (i)}{\tan (r-i)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique MP 2021, Q10

   a) Stigmatisme rigoureux

   Pour un faisceau incident parallèle à l'axe optique (objet ponctuel à l'infini sur l'axe), le système serait rigoureusement stigmatique si tous les rayons émergents convergeaient en un unique point F'.

   Or, d'après l'expression établie à la question Q9.b :

   OF' = e - R[1 - \cos(i)] + \frac{R\sin(i)}{\tan(r - i)}

   la distance OF' dépend explicitement de l'angle d'incidence i (et donc de la hauteur h = R\sin(i) du rayon incident). Des rayons incidents à différentes distances de l'axe ne coupent pas l'axe optique au même point (aberration de sphéricité).

   La lentille ne constitue donc pas un système rigoureusement stigmatique.

   b) Stigmatisme approché

   Considérons les deux approximations demandées :

   • Rayons paraxiaux : les rayons sont proches de l'axe et peu inclinés par rapport à celui-ci, ce qui implique i \ll 1 et r \ll 1. Aux petits angles :

     \begin{aligned} \sin(i) &\approx i \\ \cos(i) &\approx 1 \\ \sin(r) &\approx r \implies r \approx n\,i \quad \text{(d'après Snell-Descartes)} \\ \tan(r - i) &\approx r - i \approx (n - 1)\,i \end{aligned}
   • Lentille mince : l'épaisseur e est négligeable devant le rayon de courbure R (e \ll R).

   Dans ce cadre, le terme e - R[1 - \cos(i)] \approx e est négligeable devant \frac{R}{n-1}, et le quotient s'écrit :

   \frac{R\sin(i)}{\tan(r - i)} \approx \frac{R\,i}{(n - 1)\,i} = \frac{R}{n - 1}

   Cette position limite est indépendante de l'angle d'incidence i (et donc de la hauteur h) : tous les rayons émergents convergent, au premier ordre, vers un même point image F'.

   Le système est donc approximativement stigmatique dans les conditions de Gauss.

   c) Expression approchée de OF'

   En sommant les contributions approchées :

   \begin{aligned} OF' &\approx 0 + \frac{R}{n - 1} \end{aligned}

   \boxed{OF' \approx \frac{R}{n - 1}}

   Résultat

   $$O{F}^{\prime }\approx \frac{R}{n-1}$$

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8. Exercice 8CCINP Physique MP 2021, Q11

   a) Expression du chemin optique (OSF')

   Le rayon qui coïncide avec l'axe optique traverse la lentille en incidence normale ; il n'est donc pas dévié. Le trajet s'effectue dans le verre d'indice n sur le segment [OS] de longueur e, puis dans l'air d'indice n_{\text{air}} = 1 sur le segment [SF']. Par définition du chemin optique :

   (OSF') = n \cdot OS + 1 \cdot SF' = n\,e + SF'.

   La distance SF' s'exprime en fonction de la distance OF' et de l'épaisseur e :

   SF' = OF' - OS = OF' - e.

   D'où :

   (OSF') = n\,e + OF' - e = (n - 1)e + OF'.

   D'après la question Q10.c, dans les conditions de Gauss pour une lentille mince, la distance focale image vaut :

   OF' \approx \frac{R}{n - 1}.

   En identifiant la variable r mentionnée dans l'énoncé au rayon de courbure R de la face sphérique (coquille de casse r \equiv R), il vient :

   \boxed{(OSF') = (n - 1)e + \frac{R}{n - 1}}

   Remarque : si l'énoncé entend par r la distance algébrique ou géométrique SF' (ou OF'), l'expression exacte s'écrit directement :

   (OSF') = (n - 1)e + OF' = n\,e + SF'.

   b) Relation entre (ABF') et (OSF')

   Le faisceau incident est constitué de rayons parallèles à l'axe optique, ce qui correspond à une onde plane dont les surfaces d'onde sont des plans orthogonaux à l'axe optique. La face d'entrée de la lentille étant plane et orthogonale à l'axe, le plan (yOz) passant par O et A constitue lui-même une surface d'onde incidente.

   D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde sont les surfaces orthogonales aux rayons lumineux. Dans les conditions de Gauss, la lentille réalise un stigmatisme approché entre le point objet à l'infini sur l'axe et le foyer image F' (la surface d'onde émergente convergeant vers F' est une sphère centrée sur F'). Par conséquent, le chemin optique séparant une surface d'onde incidente du point image de convergence F' est indépendant du rayon lumineux suivi.

   Puisque A et O appartiennent à la même surface d'onde incidente et que les deux rayons convergent en F', on a l'égalité :

   \boxed{(ABF') = (OSF')}

   Résultat

   $$(OS{F}^{\prime })=(n-1)e+\frac{R}{n-1}$$

   $$(AB{F}^{\prime })=(OS{F}^{\prime })$$

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9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q1

   Sur la photographie de la figure 2, l'ensemble du disque lunaire est visible et présente une luminosité diffuse et atténuée, sans le contraste extrême (facteur supérieur à 10^4) qu'induirait la présence d'une fraction directement éclairée par le Soleil.

   Le disque lunaire est donc entièrement plongé dans le cône d'ombre de la Terre : la photographie a été prise durant la phase d'éclipse totale, c'est-à-dire :

   \boxed{\text{entre le premier contact intérieur (étape 2) et le dernier contact intérieur (étape 3).}}

   Remarque : Le gradient de luminosité visible sur le disque (la partie supérieure étant plus lumineuse) indique que la Lune ne se trouve pas exactement au centre N du cône d'ombre à cet instant, mais plus proche de sa périphérie supérieure.

   Résultat

   $$\text{entre le premier contact inteˊrieur (eˊtape 2) et le dernier contact inteˊrieur (eˊtape 3).}$$

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10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 1 MP 2020, Q10

    L'atmosphère terrestre constitue un milieu d'indice optique continûment variable (milieu inhomogène) :

    • sous l'effet de la pesanteur, la masse volumique de l'air \rho_a(Z) diminue avec l'altitude Z, comme modélisé dans la partie I.B (\rho_a(Z) = \rho_a(0)\,\mathrm{e}^{-Z/H_c}) ;

    • d'après la relation fournie par l'énoncé (loi de Gladstone-Dale), l'indice optique n(Z) dépend linéairement de la masse volumique du gaz :

      n(Z) = 1 + \varepsilon_\lambda\,\frac{\rho_a(Z)}{\rho_a(0)}

      L'indice optique décroît donc avec l'altitude, ce qui crée un gradient d'indice non nul dirigé vers le bas :

      \boldsymbol{\nabla}n = \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}Z}\,\boldsymbol{e}_Z \quad \text{avec} \quad \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}Z} < 0

    D'après le principe de Fermat ou les lois de Snell-Descartes appliquées à un empilement continu de couches d'air, les rayons lumineux s'incurvent vers les zones de plus fort indice de réfraction : les rayons traversant l'atmosphère subissent donc une réfraction continue qui courbe leur trajectoire vers la Terre.

    Indice, stratégie et pièges de cette question