Corrigé détaillé Mines Physique 1 PSI 2020

1. Fréquence du fondamental f_1

Sur la figure 3, l'axe des abscisses présente des graduations principales tous les 5\text{ kHz} subdivisées en cinq intervalles, soit 1\text{ kHz} par graduation élémentaire. Le sommet du pic 1 se situe entre 1\text{ kHz} et 2\text{ kHz}, plus précisément aux environs de :

2. Amplitude a_2 du pic 2

L'échelle verticale est graduée en décibels relatifs à l'amplitude du pic 1, puisque ce dernier culmine à 0\text{ dB}. Pour une grandeur d'amplitude (tension électrique), le niveau en décibels s'écrit :

Le sommet du pic 2 se lit à une ordonnée de :

On en déduit le rapport des amplitudes :

Avec a_1 = 100\text{ mV} = 10^2\text{ mV} et 10^{0,5} \approx 3,16 :

Le signal sonore s_a(t) ne comporte, d'après l'énoncé, que deux composantes spectrales : le fondamental à f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz} et le deuxième harmonique (pic 2) à f_2 = 2 f_1 \approx 3{,}4\text{ kHz}. La fréquence maximale contenue dans le signal est donc :

D'après le théorème de Shannon-Nyquist, pour éviter tout phénomène de repliement spectral (aliasing) lors de l'échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage f_e doit vérifier la condition :

La plus petite valeur de f_e respectant cette condition est donc :

La résolution spectrale \delta f étant l'inverse de la durée d'acquisition T_a, on a :

Pour \delta f = 100\text{ Hz} :

Pour construire le sonogramme, le signal total est découpé en tranches temporelles successives d'enregistrement élémentaire de durée T_a. D'après l'énoncé, la méthode d'analyse spectrale appliquée sur chaque tranche donne une résolution spectrale :

La résolution spectrale \delta f du sonogramme dépend donc de \boldsymbol{T_a} (la durée d'acquisition d'une tranche élémentaire) et non de \tau (la durée totale de l'enregistrement sonore).

Un rectangle élémentaire (pixel) du sonogramme a une largeur temporelle \Delta t = T_a et une hauteur fréquentielle \Delta f = \delta f = \frac{1}{T_a}.

• Le long de l'axe temporel, pour une durée totale \tau, le nombre de tranches est :

  N_t = \frac{\tau}{T_a}

• Le long de l'axe des fréquences, pour une gamme allant de 0 à f_M, le nombre d'intervalles fréquentiels est :

  N_f = \frac{f_M}{\delta f} = f_M T_a

Le nombre total de pixels N_p du sonogramme vaut donc :

On constate que ce nombre est remarquablement indépendant de la durée d'échantillonnage T_a.

Application numérique : Pour f_M = 3,5\text{ kHz} = 3,5 \times 10^3\text{ Hz} et \tau = 500\text{ ms} = 0,500\text{ s} :

1. Condition sur \tau_d :

Le sonogramme est élaboré en découpant le signal en tranches temporelles élémentaires successives de durée T_a. Pour que la fréquence puisse être considérée comme quasi-constante sur chaque tranche et que son évolution temporelle puisse être échantillonnée de manière continue sur plusieurs intervalles d'analyse, il faut que la durée caractéristique d'évolution \tau_d soit très supérieure à la durée d'une fenêtre temporelle :

2. Évolution des fréquences :

Le signal s_b(t) possède deux composantes harmoniques :

• Le fondamental :

  f'_1(t) = f_1 \left(1 - \frac{t}{\tau_d}\right)

  À t = 0, f'_1(0) = f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz}.
  À t = 0{,}5\,\tau_d, f'_1(0{,}5\,\tau_d) = \frac{f_1}{2} \approx 0{,}85\text{ kHz}.

• L'harmonique 2 :

  f'_2(t) = 2f'_1(t) = 2f_1 \left(1 - \frac{t}{\tau_d}\right)

  À t = 0, f'_2(0) = 2f_1 \approx 3{,}4\text{ kHz}.
  À t = 0{,}5\,\tau_d, f'_2(0{,}5\,\tau_d) = f_1 \approx 1{,}7\text{ kHz}.

3. Tracé du sonogramme simplifié :

Conformément à la convention de la figure 4a, chaque harmonique est représentée par une ligne reliant les points de coordonnées (t, f).

1. Durée approximative du chant du quetzal

Sur le sonogramme de la figure 5, le signal acoustique (taches sombres) présente :

• un début à la date t_{\text{début}} \approx 70\text{ ms} (entre 60 et 80\text{ ms}) ;
• une fin à la date t_{\text{fin}} \approx 220\text{ ms} (entre 210 et 230\text{ ms}).

La durée \tau_q du chant est donc :

2. Mesure des fréquences à la date t = 140\text{ ms}

En se plaçant à l'abscisse t = 140\text{ ms} (au tiers environ de l'intervalle entre 100 et 200\text{ ms}), on repère trois bandes d'énergie distinctes :

• La première bande, de plus basse fréquence, correspond au fondamental :

  \boxed{f_{q,1} \approx 0,95 \text{ à } 1,0\text{ kHz}}

• La deuxième bande correspond à l'harmonique de rang i=2 :

  \boxed{f_{q,2} \approx 1,9 \text{ à } 2,0\text{ kHz}}

• La troisième bande correspond à l'harmonique de rang i=3 :

  \boxed{f_{q,3} \approx 2,8 \text{ à } 2,9\text{ kHz}}

La propagation le long de l'axe (SS_n) est modélisée par une onde progressive unidimensionnelle, linéaire, non dispersive et sans atténuation, se propageant à la célérité c_s.

Le signal incident en un point M situé sur le segment [SS_n] vérifie :

En S_n, avec SS_n = d_n, l'expression de l'onde incidente s'écrit :

Lors de la diffraction sur l'arête S_n, l'onde retour est générée selon la loi :

Cette onde retour se propage dans la direction S_n S dans les mêmes conditions d'absence de dispersion et d'atténuation. Elle met une durée \tau_n = \frac{d_n}{c_s} pour parcourir la distance S_n S = d_n. On en déduit l'expression en S au temps t :

soit finalement :

À l'émission en S, la composante harmonique de pulsation \omega est donnée par :

D'après le résultat de la question 6, l'onde retour en S après diffraction en S_n s'exprime avec un retard correspondant au temps de parcours aller-retour \Delta t_n = \frac{2d_n}{c_s} :

En injectant l'expression de la composante harmonique :

La phase \phi'_n(t) de cette composante harmonique à l'instant t en S est l'argument du cosinus, soit :

D'après le résultat de la question Q7, la phase à l'instant t en S de l'onde retour diffractée par la marche S_n s'écrit :

De même, pour l'onde issue de la marche consécutive S_{n+1}, la phase en S au même instant vaut :

La différence de phase \Delta\phi'_n = \phi'_n(t) - \phi'_{n+1}(t) s'exprime donc par :

En introduisant la fréquence \nu = \frac{\omega}{2\pi} de la composante considérée, on peut également l'écrire sous la forme :

Les deux ondes retour diffractées par les marches S_n et S_{n+1} se superposent de manière totalement constructive en S si et seulement si leur différence de phase \Delta\phi'_n est un multiple entier de 2\pi :

D'après le résultat de la question Q8, le déphasage en S s'écrit :

La condition de superposition constructive devient donc :

On en déduit l'ensemble des fréquences audibles sélectionnées constructivement :

Dans le plan vertical contenant la ligne de plus grande pente de l'escalier, repérons la position de la source S à l'origine (0, 0). Le bas de la première marche S_0 est situé au sol à la distance a, soit en (a, 0).

Chaque marche ayant une profondeur b et une hauteur b, les coordonnées de l'arête S_n de la n-ième marche (n \in \{0, \dots, N\}) s'écrivent :

La distance d_n = SS_n est donc donnée par :

Calculons la différence des carrés :

Soit sous forme factorisée :

Par identité remarquable :

En utilisant l'approximation d_{n+1} + d_n \simeq 2d_n, il vient :

D'après la question Q9, la fréquence fondamentale entendue est :

On identifie ainsi l'expression sous la forme demandée \nu_1 \simeq \dfrac{c_s}{2ab} g(n) d_n avec :

1. Détermination de la distance d_N :

La figure 7 fournit les valeurs de g(n)d_n pour l'ensemble des marches n \in \{1, \dots, N\} avec N = 91. L'extrémité droite de la courbe correspond à la dernière marche (n = N). Par lecture graphique sur l'axe des abscisses, on lit :

2. Dates d'arrivée t_1 et t_N :

D'après la question Q6, l'onde retour diffractée par la marche n parvient en S après un trajet aller-retour de longueur 2d_n à la célérité c_s \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Pour la première marche (n = 1), comme b \ll a, on a d_1 \approx d_0 = a = 20\text{ m} (valeur également lue à l'extrémité gauche du tracé de la figure 7) :

Pour la dernière marche (n = N = 91) :

3. Durée de l'écho :

L'écho s'étend entre les dates t_1 et t_N. Sa durée totale est donc :

D'après la question Q10, la fréquence fondamentale associée à la diffraction par la n-ième marche s'écrit :

Calculons au préalable la constante préfactorielle avec c_s = 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, a = 20\text{ m} et b = 0,263\text{ m} :

• À la date t_1 (début de l'écho) :
  L'onde reçue provient des premières marches, soit d_n \approx d_0 = a = 20\text{ m}.
  Sur la figure 7, pour d_n = 20\text{ m}, on lit :

  [g(n)d_n]_{t_1} \approx 19,7\text{ m}

  On en déduit :

  \begin{aligned} \nu_1(t_1) &\approx 32,3 \times 19,7 \approx 636\text{ Hz} \end{aligned}

  Soit, avec deux chiffres significatifs :

  \boxed{\nu_1(t_1) \approx 6,4 \times 10^2\text{ Hz}}

• À la date t_N (fin de l'écho) :
  L'onde reçue provient de la dernière marche (n = N = 91), soit d_N \approx 50\text{ m} d'après la question Q11.
  Sur la figure 7, pour d_n = 50\text{ m}, on lit :

  [g(n)d_n]_{t_N} \approx 14,6\text{ m}

  On en déduit :

  \begin{aligned} \nu_1(t_N) &\approx 32,3 \times 14,6 \approx 472\text{ Hz} \end{aligned}

  Soit, avec deux chiffres significatifs :

  \boxed{\nu_1(t_N) \approx 4,7 \times 10^2\text{ Hz}}

D'après la question Q9, l'ensemble des fréquences constructives vérifie :

D'après les questions Q11 et Q12, le signal s'étend entre t_1 \approx 118\text{ ms} et t_N \approx 294\text{ ms}, avec les fréquences fondamentales :

On en déduit les fréquences aux bornes d'abscisses t_1 et t_N pour chaque harmonique :

Comme t = \frac{2d_n}{c_s}, la variable temporelle t est proportionnelle à la distance d_n. La dépendance de \nu_m(t) en fonction de t est donc identique à celle de g(n)d_n en fonction de d_n (figure 7 de l'énoncé), présentant une décroissance continue et légèrement convexe.

Voici le tracé correspondant à reproduire sur la feuille réponse :

1. Comparaison des deux sonogrammes :

• Allure temporelle : les deux signaux présentent une modulation de fréquence descendante (hauteur du son qui décroît au cours du temps, analogue à un chirp ou gazouillement).
• Durée : la durée de l'écho calculée à la question Q11 (\Delta t \approx 176\text{ ms}) est remarquablement proche de la durée du chant du jeune quetzal estimée à la question Q5 (\tau_q \approx 150\text{ ms}).
• Contenu spectral : les deux sons sont constitués d'une onde fondamentale accompagnée de plusieurs harmoniques d'ordres entiers supérieurs.

2. Écart fréquentiel : À la date t = 140\text{ ms}, la fréquence fondamentale mesurée pour le jeune quetzal (question Q5) est :

alors que le fondamental de l'écho de la pyramide évolue entre \nu_1(t_1) \approx 640\text{ Hz} et \nu_1(t_N) \approx 470\text{ Hz} (question Q12), soit environ 600\text{ Hz} à cet instant.

L'écart relatif entre ces deux fréquences fondamentales est de l'ordre de :

Cet écart fréquentiel n'est donc pas négligeable : pour l'oreille humaine, il correspond à un intervalle musical de presque une quinte.

3. Chant d'un oiseau adulte : Un oiseau adulte possède des dimensions anatomiques plus importantes qu'un juvénile ; en particulier, son appareil vocal (la syrinx) et ses cavités de résonance ont des tailles caractéristiques plus grandes. Comme pour tout résonateur acoustique, les fréquences propres sont inversement proportionnelles à ces dimensions caractéristiques.

Le chant d'un quetzal adulte est donc plus grave que celui d'un jeune individu (f_{q,1}^{\text{adulte}} < f_{q,1}^{\text{jeune}}). Sa fréquence fondamentale se rapproche ainsi de la gamme de fréquences de l'écho de la pyramide (470\text{ à }640\text{ Hz}) : l'écart fréquentiel se réduirait donc effectivement pour un oiseau adulte.