Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2023

1. Couleur caractéristique des sylphes : Le spectre d'émission d'un sylphe (figure 2, à gauche) présente ses raies d'émission les plus intenses dans le domaine visible pour des longueurs d'onde supérieures à 650\text{ nm}, avec notamment des pics marqués vers 660\text{ nm}, 700\text{ nm} et surtout autour de 760\text{ nm}. Ces longueurs d'onde appartenant à la partie rouge du spectre visible (620\text{ nm} - 780\text{ nm}), cela justifie la couleur rouge caractéristique des sylphes.

2. Difficulté d'observation depuis la surface de la Terre :

   • Absorption atmosphérique : La courbe de transmission de l'atmosphère (figure 2, à droite) révèle un creux d'absorption extrêmement marqué au voisinage de \lambda \approx 760\text{ nm}, où le coefficient de transmission s'effondre vers zéro (absorption due au dioxygène moléculaire atmosphérique). Ce creux coïncide précisément avec la bande d'émission la plus intense du spectre du sylphe : une fraction majeure de la lumière émise est ainsi interceptée et absorbée par l'atmosphère avant d'atteindre le sol.
   • Masquage par les nuages et brièveté : Se produisant entre 40 et 80\text{ km} d'altitude au-dessus des systèmes orageux, les sylphes sont masqués pour un observateur au sol par l'épaisse couche nuageuse des cumulonimbus. Enfin, leur durée d'émission très brève (quelques centaines de millisecondes au plus) rend la détection à l'œil nu particulièrement difficile.

1. Ordre de grandeur de la distance d

La France métropolitaine s'étend sur environ 1000\text{ km} du nord au sud et d'est en ouest. La chaîne pyrénéenne et la chaîne alpine étant toutes deux situées dans la moitié sud de la France, la distance à vol d'oiseau entre le Pic du Midi et les Alpes françaises est de l'ordre de :

2. Schéma et calcul de l'altitude h

En négligeant l'altitude du Pic du Midi, l'observateur se situe en un point P à la surface de la Terre de rayon R_T. La ligne d'horizon issue de P est la tangente à la sphère terrestre en ce point.

Soit A la position des Alpes à la surface terrestre, située à une distance d'arc d = R_T \theta. La verticale locale au-dessus des Alpes coupe la ligne d'horizon en un point H situé à l'altitude h au-dessus du sol (OH = R_T + h).

Le triangle OPH est rectangle en P. D'après le théorème de Pythagore :

Comme d \ll R_T, l'angle au centre \theta = d/R_T \ll 1\text{ rad}. On a donc :

L'équation se simplifie ainsi en :

Application numérique : avec d = 5 \times 10^5\text{ m} et R_T = 6{,}4 \times 10^6\text{ m},

3. Visibilité des sylphes et du Mont-Blanc

• Sylphes alpins : D'après le texte introductif, les sylphes se produisent à une altitude comprise entre 40\text{ km} et 80\text{ km}. Comme cette altitude est nettement supérieure à h \simeq 20\text{ km}, les sylphes se situent largement au-dessus de la ligne d'horizon géométrique : il est donc possible de les observer depuis le Pic du Midi sans réfraction atmosphérique.
• Mont-Blanc : Le sommet du Mont-Blanc culmine à une altitude z_{\text{MB}} \simeq 4{,}8\text{ km}. Cette altitude étant bien inférieure à h \simeq 20\text{ km}, le sommet est masqué par la courbure terrestre : il n'est pas possible de voir le Mont-Blanc par beau temps sans effet de réfraction.

L'identification d'un sylphe repose sur la comparaison des signaux reçus par les deux caméras de l'ISS :

• Filtrage à 761\text{ nm} et absorption troposphérique : Un éclair traditionnel prend naissance dans la basse troposphère (z \lesssim 10\text{--}15\text{ km}). Son rayonnement à 761\text{ nm} doit traverser la quasi-totalité de l'atmosphère pour atteindre l'ISS : il est donc fortement absorbé par le dioxygène \mathrm{O_2}. L'énoncé précise qu'un tel éclair sature la caméra visible à 836\text{ LSB}, mais ne produit que 30\text{ LSB} sur la caméra filtrée (rapport de l'ordre de 30).
• Émission d'un sylphe en haute altitude : À l'inverse, un sylphe se développe dans la mésosphère (z \in [40, 80]\text{ km}), région au-dessus de laquelle l'atmosphère est extrêmement raréfiée en \mathrm{O_2} (l'absorption vers l'espace est quasi nulle). De surcroît, le spectre d'émission du sylphe (figure 2 de l'énoncé) présente une raie particulièrement intense précisément vers 762\text{ nm} (premier système positif de \mathrm{N_2}).

• Analyse des images de la figure 4 :

  • Sur l'image visible (à droite), on distingue un éclair très étendu et saturé, à côté duquel un trait noir isole une structure secondaire plus diffuse et d'intensité modérée (de l'ordre de 200 à 400\text{ LSB}).
  • Sur l'image filtrée à 761\text{ nm} (à gauche), cette structure isolée ressort avec un contraste exceptionnel, atteignant des niveaux d'intensité très élevés (\sim 50\text{--}62\text{ LSB}, saturant l'échelle), alors qu'un éclair classique de cette intensité visible n'aurait produit qu'un signal résiduel inférieur à 10\text{--}15\text{ LSB}.

L'émission observée provient donc bien d'une décharge située au-dessus de la couche absorbante de dioxygène : il s'agit de la signature caractéristique d'un sylphe.

On formule les hypothèses suivantes :

• La Terre est modélisée par une distribution de masse à symétrie sphérique, de centre O, de rayon R_T et de masse totale M_T.
• On néglige la rotation propre de la Terre (terme axifuge) et l'influence des autres astres, de sorte que le champ de pesanteur se confond avec le champ gravitationnel.

Par symétrie sphérique de la distribution de masse, le champ gravitationnel \vec{G} en tout point repéré par ses coordonnées sphériques (r, \theta, \varphi) est purement radial et ne dépend que de la coordonnée radiale r :

Par analogie avec l'électrostatique (où \frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} est remplacé par -4\pi \mathcal{G} M_{\text{int}}), le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel à travers une sphère \mathcal{S} de rayon r \ge R_T centrée en O s'écrit :

Avec \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{u}_r, le flux s'exprime par :

La sphère \mathcal{S} contenant l'intégralité de la masse terrestre pour r \ge R_T, on a M_{\text{int}} = M_T. On en déduit :

À la surface de la Terre (r = R_T), l'intensité de la pesanteur vaut :

À l'altitude de l'ISS, la distance au centre de la Terre est r = R_T + h_{\text{ISS}}. L'intensité du champ gravitationnel s'écrit donc :

soit finalement :

On étudie la station spatiale internationale (\text{iss}), assimilée à un point matériel de masse m, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen sur la durée d'une révolution.

La seule force modélisée est la force gravitationnelle exercée par la Terre, de centre O :

Le mouvement étant circulaire de rayon r = R_T + h_{\text{iss}}, introduisons la base de Frenet (\vec{u}_t, \vec{u}_n), où \vec{u}_t est tangent à l'orbite orienté dans le sens du mouvement et \vec{u}_n est le vecteur unitaire normal orienté vers le centre de la trajectoire O. Dans cette base, l'accélération de l'iss s'écrit :

La force gravitationnelle étant purement attractive et dirigée vers le centre O, elle est colinéaire à la normale :

D'après la deuxième loi de Newton, m\vec{a} = \vec{F}, d'où :

La première composante donne immédiatement \frac{\mathrm{d}v_{\text{iss}}}{\mathrm{d}t} = 0, ce qui démontre que la norme de la vitesse v_{\text{iss}} est constante au cours du temps (le mouvement est circulaire uniforme).

À l'aide du résultat de la question Q4, G_{\text{iss}} = g_0 \left(1 + \frac{h_{\text{iss}}}{R_T}\right)^{-2} = g_0 \frac{R_T^2}{r^2}. La projection selon \vec{u}_n conduit à :

On peut également l'écrire sous la forme :

Application numérique : Avec g_0 = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, R_T = 6,4 \times 10^3\text{ km} = 6,4 \times 10^6\text{ m} et h_{\text{iss}} = 400\text{ km} = 0,4 \times 10^6\text{ m} (soit r = 6,8 \times 10^6\text{ m}) :

En respectant la consigne d'un unique chiffre significatif :

Sur une orbite circulaire de rayon r = R_T + h_{\text{iss}}, le mouvement de l'ISS s'effectue à la vitesse constante v_{\text{iss}}. La période de révolution T_{\text{iss}} correspond à la durée nécessaire pour parcourir le périmètre 2\pi r :

En utilisant l'expression de v_{\text{iss}} établie à la question précédente :

on obtient :

Élevons cette relation au carré :

Le rayon de l'orbite circulaire s'identifiant au demi-grand axe a = R_T + h_{\text{iss}}, on retrouve bien l'énoncé de la troisième loi de Kepler : le rapport du carré de la période de révolution au cube du demi-grand axe est une constante ne dépendant que de la masse du corps attracteur.

1. Possibilité d'enregistrer la totalité de l'évolution :

• D'après le préambule du sujet, un sylphe a une durée de vie typique de quelques centaines de millisecondes, soit \tau \sim 0{,}2\text{ s} à 0{,}3\text{ s}.
• Les axes de la figure 4 indiquent que le champ de vision des microcaméras au niveau de la zone observée est d'environ L \approx 20\text{ km}.

• L'ISS se déplaçant à la vitesse v_{\text{iss}} \simeq 8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q5), la durée pendant laquelle un point donné reste dans le champ de visée verticale est :

  \Delta t_{\text{champ}} = \frac{L}{v_{\text{iss}}} \simeq \frac{20\text{ km}}{8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}} \approx 2{,}5\text{ s} \approx 3\text{ s}

  Puisque \tau \ll \Delta t_{\text{champ}}, le sylphe a largement le temps d'apparaître et de s'éteindre complètement dans le champ de la caméra : l'enregistrement de la totalité de son évolution est tout à fait possible.

2. Précision des enregistrements :

• Précision spatiale et flou de bougé : pendant la durée de vie du sylphe (\tau \sim 0{,}2\text{ s}), l'ISS parcourt une distance :

  \Delta x = v_{\text{iss}} \times \tau \simeq 8\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} \times 0{,}2\text{ s} \approx 2\text{ km}

  Sur la figure 4, le champ de 20\text{ km} correspond à environ 40\text{ pixels} (entre les abscisses 10 et 50), ce qui donne une résolution pixel au sol de :

  \delta x_{\text{pix}} \approx \frac{20\text{ km}}{40\text{ pixels}} = 0{,}5\text{ km}\cdot\text{pixel}^{-1}

  Le déplacement de l'ISS pendant l'événement correspond donc à un glissement de l'ordre de :

  \frac{\Delta x}{\delta x_{\text{pix}}} \approx \frac{2\text{ km}}{0{,}5\text{ km}\cdot\text{pixel}^{-1}} \approx 4\text{ pixels}

  Ce déplacement entraîne un flou de mouvement non négligeable si l'exposition est intégrée sur toute la durée du phénomène. En revanche, pour des temps de pose usuels de caméras rapides (\Delta t_{\text{pose}} \lesssim 20\text{ ms}), le déplacement par trame n'est que de \sim 0{,}16\text{ km} < \delta x_{\text{pix}}, garantissant une bonne netteté image par image.

• Précision temporelle : à une cadence vidéo standard (par exemple 25 à 50 images par seconde), un phénomène de 200\text{ ms} est échantillonné sur 5 à 10 images, ce qui permet de suivre la dynamique globale mais reste insuffisant pour analyser la phase de déclenchement ultra-rapide (qui se produit sur quelques millisecondes).

Dans un référentiel galiléen (ou en négligeant les forces d'inertie), la loi fondamentale de la statique des fluides s'écrit sous forme vectorielle :

où \mu est la masse volumique du fluide et \vec{g} le champ de pesanteur (ici assimilé au seul champ gravitationnel terrestre).

En choisissant un axe vertical ascendant Oz d'origine au sol (z=0), le champ gravitationnel est dirigé vers le centre de la Terre : \vec{g}(z) = - g(z)\,\vec{e}_z. D'après le résultat établi à la question 4, le champ de pesanteur à l'altitude z s'exprime par :

La projection de la loi de la statique des fluides sur l'axe Oz donne alors :

L'atmosphère étant assimilée à un gaz parfait de masse molaire M, l'équation d'état s'écrit P = \dfrac{\mu}{M} R T, soit :

En introduisant la loi de température T(z) = T_0 \left(1 - \dfrac{z}{\ell}\right), il vient :

On obtient bien la forme demandée :

où la hauteur caractéristique de l'atmosphère isotherme au sol est :

Application numérique : Avec R = 8,3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, T_0 = 290\text{ K}, M = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et g_0 = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Avec un seul chiffre significatif demandé :

1. Justification des approximations sur les coefficients

Le paramètre sans dimension \epsilon vaut :

Au premier ordre en \epsilon, on a :

On retrouve bien les formes proposées :

2. Établissement de la loi de pression P(z)

Avec ces approximations, la fonction F(z) s'écrit :

D'après la question Q8, \frac{\mathrm{d}P}{P} = -\frac{F(z)}{H}\,\mathrm{d}z. En intégrant entre la surface (z = 0, où P(0) = P_0) et l'altitude z :

Calculons séparément les deux termes de l'intégrale :

• Premier terme :

  \int_0^z \frac{\mathrm{d}z'}{1 - z'/\ell} = \left[-\ell \ln(1 - z'/\ell)\right]_0^z = -\ell \ln\left(1 - \frac{z}{\ell}\right)

• Second terme, en posant u = z'/R_T (d'où \mathrm{d}z' = R_T\,\mathrm{d}u) :

  \begin{aligned} \int_0^z \epsilon\,\frac{2 + z'/R_T}{(1 + z'/R_T)^2}\,\mathrm{d}z' &= \epsilon R_T \int_0^{z/R_T} \frac{1 + (1+u)}{(1+u)^2}\,\mathrm{d}u \\ &= \ell \int_0^{z/R_T} \left(\frac{1}{1+u} + \frac{1}{(1+u)^2}\right)\mathrm{d}u \\ &= \ell \left[\ln(1+u) - \frac{1}{1+u}\right]_0^{z/R_T} \\ &= \ell \ln\left(1 + \frac{z}{R_T}\right) + \ell\left(1 - \frac{1}{1 + z/R_T}\right) \\ &= \ell \ln\left(1 + \frac{z}{R_T}\right) + \frac{\ell}{R_T}\frac{z}{1 + z/R_T} \end{aligned}

En sommant ces deux contributions :

Il vient ainsi :

En prenant l'exponentielle :

Par identification avec l'équation (1) de l'énoncé :

D'après les questions précédentes, on a R_T = 6{,}4 \times 10^3\text{ km}, \ell = 50\text{ km} et H \simeq 8{,}5\text{ km} (soit H \simeq 8\text{ km} avec un chiffre significatif).

Les grandeurs introduites à la question Q9 valent numériquement :

Pour toute altitude z du domaine de validité (0 \le z < \ell = 50\text{ km}) :

• Le terme géométrique vérifie \frac{z}{R_T} \le \frac{\ell}{R_T} \simeq 8 \times 10^{-3} \ll 1, donc 1 + \frac{z}{R_T} \simeq 1.

• L'argument de l'exponentielle vérifie \frac{z}{\chi\left(1 + z/R_T\right)} \le \frac{\ell}{\chi} = \frac{\ell^2}{H R_T} \simeq \frac{50}{1{,}1 \times 10^3} \simeq 0{,}045 \ll 1, ce qui permet d'approcher l'exponentielle par 1 :

  \exp\left[ -\frac{z}{\chi\left(1 + z/R_T\right)} \right] \simeq 1

En injectant ces approximations dans l'équation (1), on propose l'expression simplifiée suivante :

Interprétation physique :

Cette simplification revient à considérer le champ de pesanteur uniforme dans l'atmosphère :

En effet, avec g(z) = g_0, la loi de la statique des fluides et celle des gaz parfaits donnent :

Par intégration directe entre 0 et z avec P(0) = P_0 :

On retrouve rigoureusement l'expression simplifiée proposée.

La raison principale de l'échec du modèle au-delà de z \approx 20\text{ km} réside dans la loi d'évolution de la température adoptée :

• Dans la troposphère (de 0 à 10\text{--}15\text{ km} environ), la température décroît effectivement de manière quasi linéaire avec l'altitude selon un gradient thermique d'environ :

  \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\frac{T_0}{\ell} = -\frac{290}{50\times 10^3} \approx -5,8\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}

  ce qui modélise convenablement la réalité (gradient standard d'environ -6,5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}).

• En revanche, au-delà de la tropopause (z \gtrsim 12\text{--}20\text{ km} selon la latitude), on entre dans la stratosphère. Dans cette couche, sous l'effet de l'absorption du rayonnement ultraviolet solaire par l'ozone (\mathrm{O}_3), la température cesse de diminuer : elle devient d'abord isotherme puis croît avec l'altitude jusqu'à la stratopause située vers 50\text{ km} (où elle remonte jusqu'à environ 270\text{ K}).

Le profil de température décroissant T(z) imposé par le modèle est donc en contradiction totale avec la structure thermique réelle de la stratosphère, ce qui explique l'écart majeur visible sur la figure 5 pour z > 20\text{ km}.

La pression partielle en dioxygène à l'altitude z s'écrit :

1. Observation depuis la Terre :

• Au sol (z = 0), la pression partielle vaut P_{\mathrm{O}_2}(0) \simeq 0{,}2\text{ bar} = 2 \times 10^4\text{ Pa}.
• La lumière émise par un sylphe (situé entre 40 et 80\text{ km} d'altitude) doit traverser la totalité des basses couches atmosphériques pour atteindre un observateur au sol. Or, la quasi-totalité de la masse d'air (> 99\,\%) se concentre en dessous de 30\text{ km}.
• La bande d'absorption du dioxygène moléculaire \mathrm{O}_2 à \lambda \simeq 762\text{ nm} (bande A atmosphérique) est très intense : sur un tel trajet optique dense, le coefficient de transmission chute drastiquement (visible sur le creux très marqué à 762\text{ nm} de la figure 2, où la transmission s'effondre).
• L'observation depuis la Terre dans cette bande spectrale est donc considérablement atténuée, sans compter la présence fréquente de la couverture nuageuse orageuse masquant la vue directe.

2. Observation depuis l'ISS :

• L'ISS se déplace à une altitude h_{\mathrm{ISS}} \simeq 400\text{ km} et observe selon la verticale vers le bas.

• Entre le sommet du sylphe (environ 80\text{ km}) ou sa base (40\text{ km}) et l'ISS, la pression est extrêmement faible. D'après la courbe expérimentale de la figure 5, à z = 40\text{ km}, la pression vaut P \lesssim 0{,}3\text{ kPa} = 300\text{ Pa}, soit :

  P_{\mathrm{O}_2}(40\text{ km}) \lesssim 60\text{ Pa} \sim 3\times 10^{-4}\, P_{\mathrm{O}_2}(0)

  À z = 80\text{ km}, elle devient inférieure à 1\text{ Pa}.

• La quantité intégrée de dioxygène présente sur la ligne de visée entre le sylphe et l'ISS est donc négligeable (raréfaction extrême du gaz). L'absorption à 762\text{ nm} le long de ce trajet est quasi inexistante.