Corrigé détaillé Mines Physique 1 PC 2023 (page 2/2 : Parties II et III)

La force de Lorentz subie par un électron de charge q = -e et de vitesse \vec{v} sous l'action du champ électromagnétique (\vec{E}, \vec{B}) de l'onde s'écrit :

où \vec{F}_e = -e\vec{E} est la composante électrique et \vec{F}_m = -e(\vec{v}\wedge\vec{B}) est la composante magnétique.

Pour une onde électromagnétique plane progressive, l'équation de Maxwell-Faraday \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} impose :

où v_\varphi = \omega/k est la vitesse de phase de l'onde dans le milieu, de l'ordre de grandeur de c (ou supérieure à c dans un plasma). L'ordre de grandeur du champ magnétique est donc :

Le rapport des normes entre la force magnétique et la force électrique est alors majoré par :

L'énoncé stipule que les déplacements des électrons sont non relativistes, c'est-à-dire que v \ll c. On en déduit :

La contribution magnétique de la force de Lorentz est donc tout à fait négligeable devant sa contribution électrique.

1. Négligence de la contribution des ions au courant électrique
Sous l'action du champ électrique \vec{E}, l'accélération subie par une particule de charge q et de masse m est \vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}. La masse d'un ion (constitué au minimum d'un proton ou d'une molécule d'air ionisée, \mathrm{N}_2^+ ou \mathrm{O}_2^+) vérifie m_{\mathrm{ion}} \ge m_p \simeq 1\,800\, m_e. À charges comparables (|q| \sim e), l'accélération et donc la vitesse acquise par les ions sont plus de 10^3 fois plus faibles que celles des électrons :

Le courant électrique est donc très largement dominé par le mouvement des électrons.

2. Relation entre \underline{\vec{E}} et \underline{\vec{j}}
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron (de masse m_e, de charge q = -e, le poids et les chocs étant négligés conformément à l'énoncé) soumis à la seule force électrique s'écrit :

En représentation complexe avec une dépendance temporelle en \exp(i\omega t), la dérivation temporelle équivaut à la multiplication par i\omega :

La densité volumique de courant électronique s'en déduit par \underline{\vec{j}} = n q \underline{\vec{v}} = -n e \underline{\vec{v}} :

3. Conductivité complexe et puissance transférée
Par analogie avec la loi d'Ohm locale \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma}_{\mathrm{p}} \underline{\vec{E}} (ou \underline{\sigma}_{\mathrm{p}} \underline{\vec{E}}), on identifie la conductivité complexe du plasma non collisionnel :

La puissance volumique instantanée cédée par l'onde électromagnétique aux porteurs de charge est donnée par \mathcal{P}_V(t) = \vec{j}(t) \cdot \vec{E}(t). Sa moyenne temporelle s'exprime en régime harmonique par :

La conductivité \underline{\gamma}_{\mathrm{p}} étant un imaginaire pur, sa partie réelle est strictement nulle :

Commentaire physique : Le champ électrique et la densité de courant sont en quadrature de phase (\pi/2). En moyenne sur une période, il n'y a aucun transfert net d'énergie de l'onde vers le plasma (absence de dissipation par effet Joule, les chocs étant négligés). L'énergie est réversiblement échangée entre le champ électromagnétique et l'énergie cinétique macroscopique des électrons.

Le plasma est globalement neutre (\rho = 0) et l'onde est plane et transverse (\vec{E}_0 \cdot \vec{e}_z = 0), d'où :

Les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère s'écrivent :

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la formule fournie :

Or :

D'après l'équation du mouvement des électrons établie à la question Q14, m_e \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -e\vec{E}, d'où :

En combinant ces résultats, on obtient l'équation de propagation de type Klein-Gordon :

En introduisant la pulsation plasma \omega_{\mathrm{p}} définie par \omega_{\mathrm{p}}^2 = \frac{n e^2}{\varepsilon_0 m_e} (avec \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1) :

Pour l'onde plane progressive monochromatique proposée, \vec{E} = \vec{E}_0 \exp i(\omega t - kz), les dérivées spatiales et temporelles fournissent :

L'équation de propagation devient :

On en déduit la relation de dispersion :

D'après la question Q15, la relation de dispersion de l'onde dans le plasma s'écrit :

Deux régimes se distinguent selon la pulsation \omega = 2\pi f :

• Si \omega > \omega_{\mathrm{p}}, k^2 > 0 : le vecteur d'onde k est réel, l'onde est plane progressive et se propage sans atténuation dans le milieu.

• Si \omega < \omega_{\mathrm{p}}, k^2 < 0 : k est imaginaire pur. En choisissant la solution physiquement acceptable pour z > 0 (k = -i\kappa avec \kappa = \sqrt{\omega_{\mathrm{p}}^2 - \omega^2}/c > 0), le champ électrique s'écrit :

  \vec{E}(z,t) = \vec{E}_0 \, \mathrm{e}^{-\kappa z} \, \mathrm{e}^{i\omega t}

  Il s'agit d'une onde évanescente : l'onde ne se propage plus, son amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur de pénétration et l'onde incidente subit une réflexion totale.

La fréquence limite en dessous de laquelle l'onde ne peut plus se propager est donc la fréquence plasma f_{\mathrm{p}} :

Application numérique :

D'où la fréquence de coupure :

Avec un seul chiffre significatif :

1. Principe de détection par écho radar Le radar émet une onde à la fréquence f = 2{,}2\text{ MHz}. D'après la question Q16, la fréquence plasma d'un milieu de densité électronique n = 10^{11}\text{ m}^{-3} vaut f_{\mathrm{p}} \simeq 3\text{ MHz}. Comme f < f_{\mathrm{p}}, l'onde incidente ne peut pas se propager dans un tel plasma : elle est totalement réfléchie. Un écho radar reçu au sol à cette fréquence révèle donc directement la présence d'une zone où la densité électronique dépasse la densité critique :

2. Analyse de la carte

• Écho quasi-permanent entre 90\text{ km} et 100\text{ km} d'altitude : on observe une bande horizontale continue d'amplitude modérée à forte sur toute la durée de l'enregistrement (t \in [60\text{ s}, 110\text{ s}]). Elle correspond à la réflexion sur la basse ionosphère permanente (couche E), où la densité électronique naturelle est suffisante pour réfléchir l'onde de 2{,}2\text{ MHz}.
• Événement transitoire vers t \approx 85\text{ s} : on observe une brusque « descente » de la zone de réflexion sous la forme de deux structures verticales (ou colonnes) très intenses (amplitude supérieure à 518, voire 800\text{ unités arbitraires}), s'étendant depuis l'ionosphère (90\text{ km}) jusqu'à une altitude minimale d'environ 55\text{ à }60\text{ km}.

3. Commentaire et interprétation physique

• Localisation en altitude : la zone perturbée s'étend de 55\text{ km} à 90\text{ km}, ce qui coïncide remarquablement avec la région d'apparition des sylphes indiquée dans l'énoncé (40\text{ à }80\text{ km}, dans la mésosphère, sous l'ionosphère).
• Morphologie : la forme en colonnes descendantes reproduit fidèlement la structure filamentaire des sylphes visibles sur les photographies des figures 1 et 3.
• Nature du phénomène : cette mesure radar confirme de manière indépendante qu'un sylphe s'accompagne d'une ionisation transitoire intense de la mésosphère, avec une densité électronique locale atteignant ou dépassant 10^{11}\text{ m}^{-3}.

Considérons une tranche de fluide comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite \Sigma. Le volume de cette tranche est :

Le milieu ayant une densité volumique de molécules n_{\text{mo}}, le nombre de molécules dans cette tranche s'écrit :

Le milieu étant peu dense, le recouvrement entre molécules est négligeable. La surface efficace totale offerte par l'ensemble de ces molécules vaut donc :

D'après l'énoncé, la probabilité \mathrm{d}P pour qu'un électron subisse un choc lors de la traversée de cette tranche est le rapport de cette surface efficace totale à la section totale \Sigma :

Parmi les N(x) électrons qui atteignent l'abscisse x sans avoir subi de choc, le nombre moyen d'électrons subissant un choc entre x et x + \mathrm{d}x est :

Chaque choc retirant un électron de la population des électrons indemnes de tout choc, la variation élémentaire de N(x) s'écrit :

L'équation différentielle régissant l'évolution de N(x) est par conséquent :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale est de la forme :

À l'abscisse x = 0, aucun des N_0 électrons n'a encore subi de choc, ce qui donne la condition initiale N(0) = N_0, d'où A = N_0. On en déduit l'expression du nombre d'électrons atteignant l'abscisse x sans avoir subi de choc :

D'après la question Q18, le nombre d'électrons n'ayant subi aucun choc jusqu'à l'abscisse x s'écrit :

Le nombre d'électrons qui subissent leur premier choc dans l'intervalle [x, x + \mathrm{d}x] correspond à la diminution de cette population, soit :

La probabilité qu'un électron parcoure une distance comprise entre x et x + \mathrm{d}x avant son premier choc est donc :

On vérifie la normalisation de cette densité de probabilité :

Par définition, la distance moyenne parcourue avant le premier choc (libre parcours moyen) est la moyenne statistique :

En intégrant par parties, en posant u(x) = x et v'(x) = n_{\text{mo}} S_{\text{eff}} \exp(-n_{\text{mo}} S_{\text{eff}} x) d'où v(x) = -\exp(-n_{\text{mo}} S_{\text{eff}} x) :

On obtient bien :

Justification de l'ordre de grandeur de S_{\text{eff}}

Une molécule de diazote \mathrm{N}_2 possède une dimension caractéristique (rayon moléculaire ou van der Waals) de l'ordre de l'angström :

L'électron incident étant ponctuel à l'échelle moléculaire (r_e \ll r), la section efficace géométrique de collision s'approxime par l'aire de la section droite de la molécule :

L'ordre de grandeur donné par l'énoncé est donc tout à fait cohérent avec la taille atomique.

Calcul du libre parcours moyen \ell_{\text{pm}} à z_3 = 60\text{ km}

En assimilant l'air à un gaz parfait à l'altitude z_3, la pression P_3 et la température T_3 sont reliées à la densité volumique moléculaire n_{\text{mo}} par l'équation d'état :

D'après l'expression établie à la question précédente :

Avec les valeurs numériques fournies :

On obtient :

Avec un seul chiffre significatif :

Entre deux collisions successives, un électron initialement au repos est accéléré par la force électrostatique \vec{F} = -e\vec{E}. En supposant le mouvement aligné avec le champ, le travail fourni par le champ électrique sur une distance caractéristique égale au libre parcours moyen \ell_{\mathrm{pm}} s'écrit :

D'après le théorème de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique acquise par l'électron sur ce parcours vaut :

Exprimée en électron-volts, cette énergie s'écrit simplement :

En utilisant la valeur du libre parcours moyen obtenue à la question Q20 (\ell_{\mathrm{pm}} \simeq 2\times 10^{-2}\text{ m}) et l'intensité du champ électrique local (E \simeq 100\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}) :

On constate que :

L'énergie de masse au repos de l'électron vaut :

En effectuant l'application numérique avec les données du sujet :

L'énergie cinétique des électrons cosmiques considérés est :

On constate que l'énergie cinétique est supérieure à l'énergie de masse au repos (\mathcal{E}_c \approx 2\,\mathcal{E}_0). Le facteur de Lorentz vaut donc :

Comme \gamma est nettement supérieur à 1, ces électrons sont nécessairement relativistes.

Le phénomène de cascade avalancheuse (ou avalanche électronique) se décompose selon les étapes suivantes :

1. Amorçage par un électron primaire énergétique : Un électron issu du rayonnement cosmique possède une énergie cinétique très élevée (\mathcal{E}_c \simeq 1\text{ MeV} \gg \mathcal{E}_i \simeq 16\text{ eV}). Lors de collisions successives avec les molécules de l'atmosphère (\text{N}_2), il a largement assez d'énergie pour les ioniser :

   e^- + \text{N}_2 \longrightarrow \text{N}_2^+ + 2\,e^-
2. Multiplication des porteurs de charge : L'électron incident et les électrons secondaires créés sont accélérés par le champ électrique ambiant \vec{E}. Les électrons ayant acquis ou conservé une énergie cinétique supérieure au seuil d'ionisation \mathcal{E}_i provoquent à leur tour de nouvelles ionisations par impact lors de leurs collisions ultérieures.
3. Effet d'avalanche : À chaque génération de collisions ionisantes, le nombre d'électrons mobiles est multiplié. Cette réaction en chaîne conduit à une croissance exponentielle de la population d'électrons libres et des ions positifs associés.

Cette avalanche crée ainsi un courant électrique intense et macroscopique dans la mésosphère. L'excitation collisionnelle consécutive des molécules de diazote et leur désexcitation radiative sont à l'origine de l'émission lumineuse observée lors d'un sylphe.

À chaque étape de l'avalanche, un électron accéléré ionise une molécule lors d'un choc, libérant un électron supplémentaire. Le nombre d'électrons est donc multiplié par 2 à chaque étape, soit :

Ces électrons sont répartis dans un volume de dimension caractéristique L \sim \mathscr{N} \ell_{\text{pm}}. En considérant que ce volume correspond à une région d'extension spatiale totale 2\mathscr{N}\ell_{\text{pm}} (par exemple une sphère de rayon \mathscr{N}\ell_{\text{pm}} ou un cube de côté 2\mathscr{N}\ell_{\text{pm}}), le volume s'écrit :

La densité volumique moyenne d'électrons s'exprime donc sous la forme :

On cherche le nombre d'étapes \mathscr{N} tel que n = 10^{11}\text{ m}^{-3}, avec \ell_{\text{pm}} \simeq 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m}, d'où \ell_{\text{pm}}^3 = 10^{-6}\text{ m}^3 :

On reconnaît l'égalité entre les deux fonctions tracées sur la figure 7 :

Sur la figure 7, l'axe des abscisses comporte 4 subdivisions entre 24 et 32, chaque subdivision élémentaire vaut donc \Delta \mathscr{N} = 2. L'intersection des deux courbes se situe exactement à mi-chemin entre \mathscr{N} = 34 et \mathscr{N} = 36, à l'ordonnée f \simeq 4,3.

En effet, pour \mathscr{N} = 35 :

On en déduit la valeur numérique :

(soit \mathscr{N} \simeq 4 \times 10^1 avec un seul chiffre significatif).