Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2024 (page 3/3 : Partie III)

Considérons deux noyaux d'isotopes de l'hydrogène (deutérium et tritium), chacun de charge électrique q = +e.

Hypothèses de modélisation :

• À des distances supérieures à la taille du noyau d = 10^{-15}\text{ m}, l'interaction nucléaire forte est négligeable et les noyaux ne sont soumis qu'à la répulsion électrostatique coulombienne.
• Pour initier la réaction de fusion en mécanique classique, les noyaux doivent entrer en contact, ce qui impose d'atteindre une distance minimale de l'ordre de leur taille, soit r \le d.

• L'énergie cinétique relative minimale requise doit vaincre la barrière coulombienne :

  E_{p,\max} = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 d}

• D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie, l'énergie cinétique moyenne d'un noyau à la température T dans le plasma est reliée à la température par :

  \langle E_c \rangle = \frac{3}{2} k_B T

Pour que les chocs soient suffisamment énergétiques pour franchir la barrière coulombienne, l'ordre de grandeur de l'énergie cinétique thermique doit être au moins égal à l'énergie de la barrière de potentiel :

Application numérique : Avec les données du sujet :

• e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C}
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• k_B = 1{,}4 \cdot 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}
• d = 10^{-15}\text{ m}

On retient donc un ordre de grandeur de :

(ou quelques dizaines de milliards de kelvins, qu'on utilise k_B T ou \frac{3}{2}k_B T).

Le phénomène quantique responsable de cet écart est l'effet tunnel.

En mécanique classique, deux noyaux ne peuvent franchir la barrière de répulsion coulombienne que si l'énergie mécanique disponible dans le référentiel du centre de masse est supérieure au sommet de la barrière de potentiel (E \ge E_{p,\max}), ce qui imposait d'après la question précédente une température de l'ordre de 10^{10}\text{ K}.

En mécanique quantique, en vertu de la nature ondulatoire de la matière (longueur d'onde de de Broglie associée aux noyaux), la fonction d'onde décrivant l'état relatif des deux noyaux ne s'annule pas brutalement dans la région classiquement interdite sous la barrière de potentiel, mais y décroît de manière exponentielle. Il existe ainsi une probabilité de transmission non nulle par effet tunnel à travers la barrière coulombienne pour des énergies E < E_{p,\max}.

Les réactions de fusion peuvent par conséquent se produire à une énergie cinétique moyenne nettement inférieure à la hauteur de la barrière coulombienne, abaissant la température requise à environ 1{,}5 \cdot 10^8\text{ K} (soit environ 10\text{ à }15\text{ keV}).

Soit \mathcal{S}_2 une surface plane circulaire de rayon a_2 délimitée par la boucle de courant représentant le plasma. D'après la règle de la main droite appliquée au sens de circulation de i_2 (figure 7), la normale unitaire à \mathcal{S}_2 est orientée par \vec{e}_z.

Le flux du champ magnétique \vec{B}_1 à travers cette boucle s'écrit :

Comme \vec{B}_1 = \beta i_1(t) \vec{e}_z pour r < a_1 et \vec{B}_1 = \vec{0} pour r > a_1, le champ magnétique est nul sur la zone annulaire a_1 < r < a_2. L'intégrale se réduit donc au disque de rayon a_1 sur lequel le champ est uniforme :

Par définition de l'inductance mutuelle, \Phi_{1\to 2} = M i_1(t), d'où :

Au centre du solénoïde, la relation entre le champ magnétique et le courant s'écrit B_1 = \beta i_1. On en déduit :

D'où l'expression numérique de M :

Application numérique :

Le flux magnétique total \Phi_2 traversant la boucle de courant représentant le plasma (circuit 2), orientée en cohérence avec le sens de parcours choisi pour i_2, s'écrit comme la somme du flux propre et du flux créé par le solénoïde central (circuit 1) :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la boucle 2 vaut :

La loi des mailles appliquée au circuit secondaire fermé sur sa résistance R_2 donne :

Pour t \in [0, t_1], l'expression du courant inducteur est i_1(t) = I_0 \left(1 - \frac{t}{t_1}\right), dont la dérivée temporelle est :

L'équation différentielle devient ainsi :

En divisant par l'inductance propre L_2, on obtient :

Cette équation est bien de la forme :

avec les constantes de temps :

L'équation différentielle établie à la question Q33 s'écrit, pour t \in [0, t_1] :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants et second membre constant est la somme de la solution de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où K est une constante d'intégration.

Le circuit secondaire possédant une inductance propre L_2, le courant i_2(t) est continu à t=0. Comme i_2(t < 0) = 0, on a la condition initiale :

D'où l'expression de i_2(t) pour t \in [0, t_1] :

En remplaçant \tau_1 = \frac{L_2}{M} t_1 et \tau_2 = \frac{L_2}{R_2}, cette expression s'écrit également :

Pour t \ll \tau_2, le développement limité au premier ordre de l'exponentielle donne :

On en déduit au premier ordre :

Le courant i_2(t) se simplifie alors sous la forme :

Soit, en explicitant \tau_1 :

La puissance instantanée reçue par la résistance R_2 s'écrit :

L'énergie \mathcal{E}_{R_2} reçue par R_2 entre t = 0 et t = t_1 est donc :

D'après la question Q34, sous l'hypothèse t_1 \ll \tau_2, on a pour tout t \in [0, t_1] :

On en déduit par intégration directe :

Effet sur le plasma : Cette énergie électrique reçue par R_2 est dissipée par effet Joule au sein du plasma. Elle est convertie en énergie thermique (agitation microscopique des ions et électrons), ce qui provoque l'élévation de la température T du plasma. Il s'agit du principe du chauffage ohmique (ou résistif) par induction.

La loi de Spitzer indique que la résistivité du plasma varie selon :

Cette dépendance permet de formuler deux critiques majeures à l'encontre de la modélisation proposée :

1. Non-constance de la résistance R_2 : Dans le circuit équivalent étudié aux questions précédentes, la résistance R_2 du plasma a été supposée constante. Or, au fur et à mesure que le plasma s'échauffe par effet Joule (question Q35), sa température T augmente, ce qui entraîne une chute rapide de sa résistivité \rho et donc de sa résistance R_2. Le système est en réalité fortement non linéaire et couple l'équation électrique à un bilan thermique.
2. Perte d'efficacité du chauffage ohmique à haute température : Puisque R_2 décroît en T^{-3/2}, le plasma devient un excellent conducteur à haute température. La puissance dissipée par effet Joule, donnée par \mathcal{P}_J = R_2\, i_2^2, diminue drastiquement lorsque la température s'élève.

Le chauffage ohmique par induction ne peut donc pas, à lui seul, permettre au plasma d'atteindre les températures extrêmes requises pour l'ignition thermonucléaire (environ 150\text{ millions de degrés}, évoqués en Q31), ce qui justifie le recours à des méthodes de chauffage complémentaires (comme les ondes électromagnétiques abordées dans la sous-partie III.3).

Dans un milieu constitué de charges libres (plasma dilué) décrit par la densité volumique de charge \rho et le vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath}, les quatre équations de Maxwell locales s'écrivent :

L'onde électromagnétique étudiée est plane et se propage selon l'axe (Oz) : les grandeurs scalaires associées aux champs ne dépendent spatialement que de la variable z, ce qui implique :

Par ailleurs, le caractère transversal de l'onde électrique signifie que le champ électrique est orthogonal à la direction de propagation \vec{u}_z, soit :

La divergence du champ électrique s'écrit alors en coordonnées cartésiennes :

En utilisant l'équation de Maxwell-Gauss issue de la question Q37 :

on en déduit immédiatement :

Le plasma reste ainsi localement neutre au passage de l'onde électromagnétique transversale.

Partons de l'équation de Maxwell-Faraday (Q37) :

En prenant le rotationnel de cette relation et en permutant les dérivées spatiale et temporelle :

D'une part, la formule du double rotationnel donnée dans le formulaire fournit :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss et le résultat de la question Q38 (\rho = 0), on a \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où :

D'autre part, en substituant l'équation de Maxwell-Ampère (Q37) pour exprimer \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{B} :

En regroupant les termes portant sur \vec{E} dans le membre de gauche, il vient :

On identifie la célérité de la lumière dans le vide :

On obtient ainsi l'équation de d'Alembert avec terme source recherchée :

La densité volumique de courant \vec{\jmath} dans le plasma s'écrit comme la somme des contributions des espèces chargées (ions de charge +e et électrons de charge -e) :

Compte tenu de la quasi-neutralité du plasma (n_i \approx n_e = n_0), le rapport des densités de courant s'évalue à partir de celui des vitesses moyennes :

Sous l'action du champ électrique \vec{E} oscillant à haute fréquence \omega de l'onde électromagnétique, l'application du principe fondamental de la dynamique à une particule de masse m et de charge q = \pm e conduit, en négligeant dans un premier temps le terme magnétique devant l'accélération, à :

L'amplitude de la vitesse acquise par une particule sous l'effet du champ électrique oscillant est donc inversement proportionnelle à sa masse.

Or, la masse d'un ion (m_i \ge m_p \approx 1{,}67 \cdot 10^{-27}\text{ kg} pour le proton, voire m \approx 6{,}6 \cdot 10^{-27}\text{ kg} pour l'hélium) est considérablement plus grande que celle d'un électron (m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\text{ kg}) :

En raison de cette très grande inertie (m_i \gg m_e), les ions répondent beaucoup plus faiblement à l'excitation haute fréquence du champ électrique que les électrons :

On étudie un électron de masse m_e et de charge q = -e, situé dans le plan z = 0, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. En régime sinusoïdal permanent de pulsation \omega, sa vitesse s'écrit en représentation complexe :

D'après l'énoncé, en négligeant le poids et la composante magnétique de l'onde, l'électron n'est soumis qu'à :

• la force électrique : \underline{\vec{F}}_e = -e \underline{\vec{E}}(0,t) = -e E_0 \mathrm{e}^{i\omega t} \left( \vec{u}_x - i \vec{u}_y \right) ;

• la force magnétique due au champ statique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z :

  \underline{\vec{F}}_m = -e \left( \underline{\vec{v}} \wedge \vec{B}_0 \right) = -e B_0 \left( \underline{v}_x \vec{u}_x + \underline{v}_y \vec{u}_y \right) \wedge \vec{u}_z \, \mathrm{e}^{i\omega t} = -e B_0 \left( -\underline{v}_x \vec{u}_y + \underline{v}_y \vec{u}_x \right) \mathrm{e}^{i\omega t}.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron en régime permanent s'écrit en complexes :

En simplifiant par le facteur commun \mathrm{e}^{i\omega t}, on projette sur la base (\vec{u}_x, \vec{u}_y) :

En introduisant la pulsation cyclotron \omega_c = \dfrac{e B_0}{m_e}, on divise chaque équation par i m_e \omega :

On retrouve bien le système proposé :

avec :

D'après la relation fournie par l'énoncé :

l'amplitude de la vitesse de l'électron tend formellement vers l'infini lorsque la pulsation de l'onde \omega s'approche de la pulsation cyclotronique \omega_c.

Mécanisme d'échauffement du plasma :

• L'onde incidente présente une polarisation circulaire gauche : son champ électrique \vec{E}(z,t) tourne dans le plan transverse à la pulsation \omega, dans le même sens que la giration naturelle des électrons autour des lignes de champ magnétique statique \vec{B}_0 à la pulsation \omega_c.
• Pour \omega = \omega_c, le champ électrique tourne à la même vitesse angulaire que l'électron. La force électrique \vec{F}_e = -e\vec{E} reste ainsi constamment orientée de manière à accélérer l'électron le long de sa trajectoire. La puissance fournie par l'onde à l'électron, \mathcal{P} = \vec{F}_e \cdot \vec{v}, est alors continûment positive et maximale, ce qui accroît considérablement l'énergie cinétique de celui-ci.
• En pratique, cette énergie cinétique acquise par les électrons est ensuite redistribuée par collisions inélastiques et élastiques à l'ensemble des espèces du plasma (ions et neutres), ce qui se traduit macroscopiquement par une élévation de température : le plasma est échauffé.

Justification du terme de « résonance » : L'électron en giration cyclotronique se comporte comme un oscillateur à deux dimensions de pulsation propre \omega_0 = \omega_c, soumis à une force d'excitation extérieure périodique de pulsation \omega (l'onde électromagnétique).

Lorsque la fréquence de l'excitation coïncide avec la fréquence propre du système (\omega = \omega_c), il y a transfert optimal et continu d'énergie de l'onde vers les particules, et la réponse en vitesse présente un pic infini en l'absence d'amortissement : il s'agit par définition d'un phénomène de résonance.

D'après la question Q40, la contribution des ions au courant est négligeable devant celle des électrons. La densité volumique de courant s'écrit donc :

En utilisant la relation donnée entre la vitesse de l'électron et le champ électrique, \underline{\vec{v}} = i\,\frac{e}{m_e(\omega - \omega_c)}\,\underline{\vec{E}}, on obtient :

L'onde plane se propageant selon \vec{u}_z, le champ électrique dépend uniquement de z et de t via le facteur \exp(i(\omega t - \underline{k}z)). Les opérateurs différentiels appliqués aux grandeurs complexes s'écrivent :

En injectant ces expressions dans l'équation d'onde établie à la question Q39 :

on obtient, après factorisation par \underline{\vec{E}} \neq \vec{0} :

En introduisant la pulsation plasma \omega_p = \sqrt{\dfrac{n_0 e^2}{m_e \varepsilon_0}} et la relation \varepsilon_0 \mu_0 = \dfrac{1}{c^2} (Q39) :

Il vient alors immédiatement :

D'après l'expression rappelée à la question Q43, la pulsation plasma électronique s'écrit :

Avec les données numériques fournies :

• n_0 = 1 \cdot 10^{20}\text{ m}^{-3} ;
• e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ C} ;
• m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\text{ kg} ;
• \varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}.

Le calcul numérique donne :

Une onde électromagnétique se propage sans amortissement spatial si le module d'onde complexe \underline{k} est réel non nul. Si \underline{k}^2 < 0, alors \underline{k} = \pm i \alpha (avec \alpha \in \mathbb{R}^{+*}), ce qui correspond à une onde évanescente (atténuation exponentielle sans propagation). La condition de propagation s'écrit donc :

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q43 :

Le trinôme du second degré au numérateur, P(\omega) = \omega^2 - \omega_c \omega - \omega_p^2, admet pour discriminant \Delta = \omega_c^2 + 4\omega_p^2 > 0 et pour unique racine positive :

Étudions le signe de \underline{k}^2 pour \omega > 0 :

• Pour \omega \in ]0, \, \omega_c[ : \omega - \omega_c < 0 et P(\omega) < 0. Le rapport est strictement positif, donc \underline{k}^2 > 0 : l'onde se propage.
• Pour \omega \in ]\omega_c, \, \omega_g[ : \omega - \omega_c > 0 et P(\omega) < 0. Le rapport est strictement négatif, donc \underline{k}^2 < 0 : l'onde est évanescente (bande interdite).
• Pour \omega \in ]\omega_g, \, +\infty[ : \omega - \omega_c > 0 et P(\omega) > 0. Le rapport est strictement positif, donc \underline{k}^2 > 0 : l'onde se propage.

Ce résultat est en parfait accord avec la figure 10, où \frac{\omega^2}{\underline{k}^2} n'est tracé que sur les domaines où il est réel et strictement positif. L'onde peut donc se propager sur les deux intervalles :

Par définition, la vitesse de phase de l'onde s'écrit :

D'après la relation de dispersion obtenue à la question Q43, pour \omega \in ]0, \omega_c[ :

Lorsque \omega \to \omega_c^- (par valeurs inférieures dans le domaine de propagation) :

Le dénominateur tend vers l'infini, de sorte que :

On en déduit la vitesse de phase pour \omega = \omega_c :

Interprétation physique :

• La condition k \to +\infty caractérise une résonance du milieu (par opposition à une coupure où k = 0). La longueur d'onde \lambda = \frac{2\pi}{k} tend vers zéro : les fronts d'onde s'accumulent au voisinage de la zone où règne cette pulsation.
• L'onde ralentit jusqu'à s'immobiliser en phase (v_\varphi = 0) : elle ne peut pas se propager au-delà de cette surface de résonance.
• Au voisinage de cette zone résonante, le champ électrique de l'onde tourne à la même fréquence que les électrons sur leur orbite cyclotronique, ce qui maximise le couplage onde-particule : l'énergie de l'onde est intégralement absorbée par les électrons, assurant un chauffage localisé et très efficace du plasma (chauffage ECRH).