Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2024 (page 2/3 : Partie II)

Considérons le système fixe délimité par une tranche de plasma comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite d'aire S orthogonale à l'axe (Ox), pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t.

Le nombre d'électrons contenus dans cette tranche à l'instant t s'écrit :

La variation de ce nombre pendant la durée \mathrm{d}t est :

Par ailleurs, les recombinaisons et créations d'espèces étant négligées au sein du plasma, la variation de N_e n'est due qu'au flux de particules à travers les surfaces frontières :

• nombre d'électrons entrant à l'abscisse x pendant \mathrm{d}t : \delta N_e^{\text{entrant}} = j_e(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;
• nombre d'électrons sortant à l'abscisse x+\mathrm{d}x pendant \mathrm{d}t : \delta N_e^{\text{sortant}} = j_e(x+\mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

Le bilan de matière s'écrit donc :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient l'équation locale de conservation des électrons :

De façon tout à fait analogue, en l'absence de terme source ou puits pour les ions, le bilan sur les ions de charge +e conduit à :

Considérons une surface S de la paroi conductrice en x = L, dont la normale orientée vers l'extérieur du plasma est \vec{u}_x.

Pendant un intervalle de temps dt, les nombres de particules atteignant cette surface sont :

• pour les ions (de charge +e) : dN_i = j_i(L, t)\, S\, dt,
• pour les électrons (de charge -e) : dN_e = j_e(L, t)\, S\, dt.

La charge électrique totale nette apportée à cette portion de paroi pendant dt s'écrit donc :

Les parois étant conductrices et la recombinaison entre ions et électrons étant quasi-instantanée, il ne peut y avoir d'accumulation de charge électrique nette sur la paroi. La densité surfacique de charge reste nulle (\sigma = 0), d'où :

Comme e \neq 0 et S \neq 0, on obtient directement :

D'après l'hypothèse de quasi-neutralité du plasma, les densités volumiques d'ions et d'électrons sont égales en tout point et à tout instant :

Par dérivation temporelle, il vient :

En utilisant les équations locales de conservation établies à la question Q14 :

On en déduit que la dérivée spatiale de la différence des densités de flux est nulle :

La quantité j_i(x,t) - j_e(x,t) ne dépend donc pas de x, il existe une fonction C(t) telle que :

Or, d'après la condition aux limites obtenue à la question Q15 sur la paroi en x = L :

Cette égalité étant vérifiée pour tout t, on en déduit finalement que pour tout x \in [0,L] et tout instant t :

• Le terme -D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,n correspond à la loi de Fick (ou première loi de Fick), qui décrit le phénomène de diffusion moléculaire tendant à homogénéiser les concentrations sous l'effet de l'agitation thermique, des zones les plus concentrées vers les zones les moins concentrées.

• Le terme \pm n\,\mu \vec{E} traduit le phénomène d'entraînement ou de dérive (migration) des particules chargées sous l'action de la force électrostatique \vec{F} = q\vec{E} créée par le champ électrique :

  • en régime permanent, l'équilibre entre la force électrique et la force de frottement fluide issue des collisions avec le milieu confère aux porteurs une vitesse moyenne de dérive \vec{v}_{\mathrm{d}} = \pm \mu \vec{E} (dans le sens de \vec{E} pour les ions de charge +e, en sens opposé pour les électrons de charge -e, avec des mobilités \mu_i > 0 et \mu_e > 0) ;
  • la densité de flux de particules correspondante est alors donnée par \vec{\jmath}_{\mathrm{d\acute{e}rive}} = n\,\vec{v}_{\mathrm{d}} = \pm n\,\mu \vec{E}.

D'après l'énoncé, la projection des vecteurs densité de flux d'ions et d'électrons sur le vecteur unitaire \vec{u}_x s'écrit :

D'après la question Q16, la quasi-neutralité impose l'égalité des flux : j_i(x,t) = j_e(x,t). On en déduit :

Ce qui donne l'expression du champ électrique interne :

En réinjectant cette expression de E(x,t) dans celle du flux d'ions j = j_i :

On obtient bien la loi de Fick globale j = -D_a \frac{\partial n}{\partial x} avec le coefficient de diffusion ambipolaire :

D'après l'équation locale de conservation des particules établie à la question Q14 et compte tenu de la condition de quasi-neutralité n_i = n_e = n associée à l'égalité des flux j_i = j_e = j (question Q16), la densité n(x,t) vérifie :

En substituant l'expression de la densité de flux ambipolaire obtenue à la question Q18, j(x,t) = -D_a \frac{\partial n}{\partial x}, et sachant que les coefficients de transport (\mu_i, \mu_e, D_i, D_e) sont supposés constants et uniformes dans le plasma, le coefficient de diffusion ambipolaire D_a est indépendant de x :

On en déduit l'équation de diffusion ambipolaire :

D'après la question Q19, la densité n(x,t) vérifie l'équation de diffusion ambipolaire :

En introduisant la forme à variables séparées n(x,t) = F(t)G(x), les dérivées partielles s'écrivent :

En reportant dans l'équation de diffusion et en divisant membre à membre par le produit non nul F(t)G(x) :

Le membre de gauche est une fonction dépendant uniquement du temps t, tandis que le membre de droite dépend uniquement de la variable d'espace x. Par conséquent, ces deux expressions sont nécessairement égales à une même constante indépendante de x et de t.

En notant cette constante de séparation sous la forme -\dfrac{1}{\tau}, on obtient :

Comme \dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t} et \dfrac{F}{\tau} ont même dimension, [\tau] = [t] : \tau est bien une constante homogène à un temps.

On aboutit ainsi au système différentiel :

D'après le système d'équations différentielles obtenu à la question Q20 :

1. Résolution de l'équation temporelle :

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale s'écrit :

   F(t) = C_0 \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)

   où C_0 est une constante réelle.

2. Résolution de l'équation spatiale :

   Comme D_a > 0 et \tau > 0, le terme \frac{1}{D_a \tau} est strictement positif. L'équation différentielle du second ordre :

   \frac{\mathrm{d}^2G}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{D_a \tau} G = 0

   est celle d'un oscillateur harmonique spatial de pulsation spatiale k = \frac{1}{\sqrt{D_a \tau}}. Sa solution générale s'écrit sous la forme :

   G(x) = A' \cos\left(\frac{x}{\sqrt{D_a \tau}}\right) + B' \sin\left(\frac{x}{\sqrt{D_a \tau}}\right)

   où A' et B' sont deux constantes réelles.

3. Expression de n(x,t) :

   Par définition, n(x,t) = F(t)G(x). En absorbant la constante multiplicative C_0 dans les constantes spatiales (A = C_0 A' et B = C_0 B'), la solution générale fait intervenir exactement deux constantes d'intégration indépendantes A et B :

D'après la question Q21, la solution séparable s'écrit sous la forme :

Les conditions aux limites imposent que la densité s'annule sur les deux parois en x = 0 et en x = L, et ce à tout instant t :

• En x = 0 :

  n(0, t) = A \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) = 0 \quad \forall t \implies A = 0

• En x = L :

  n(L, t) = B \sin\left(\frac{L}{\sqrt{D_a \tau}}\right) \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) = 0 \quad \forall t

Pour obtenir une solution non identiquement nulle (B \neq 0), l'argument du sinus doit être un multiple entier non nul de \pi :

(le choix de p < 0 ne conduirait qu'à un changement de signe de la constante d'intégration B, et p = 0 correspondrait à la solution identiquement nulle).

En élevant au carré, le temps caractéristique associé à l'entier p est quantifié et s'écrit :

À chaque entier p \in \mathbb{N}^* est ainsi associé un mode de diffusion :

1. Prépondérance du mode fondamental p=1
D'après la question Q22, le temps caractéristique d'amortissement du mode p s'écrit :

Pour tout p \ge 2, on a \tau_p \le \frac{\tau_1}{4} \ll \tau_1. L'exponentielle temporelle \exp(-t/\tau_p) = \exp(-p^2 t / \tau_1) décroît beaucoup plus rapidement que celle du mode p=1.

Dès que t \gtrsim \tau_2 = \frac{\tau_1}{4}, les modes d'ordres supérieurs p \ge 2 sont fortement atténués : seul subsiste de façon significative le mode fondamental p = 1.

2. Expression de n_1(x,t)
En introduisant une constante multiplicative N_1, l'expression du mode fondamental s'écrit :

3. Tracé des profils de densité à t_1 et t_2 > t_1
À chaque instant, la fonction x \mapsto n_1(x,t) présente une demi-arche sinusoïdale s'annulant en x = 0 et x = L, avec un maximum en x = L/2. Comme t_2 > t_1, le facteur d'amortissement vérifie \exp(-t_2/\tau_1) < \exp(-t_1/\tau_1), d'où une amplitude décroissante :

4. Diminution de la densité au cours du temps
Le gradient de densité dirige un flux net de diffusion de particules chargées (ions et électrons) du centre du plasma vers les bords x=0 et x=L. Arrivées au contact des parois conductrices, ces particules s'y recombinent quasi-instantanément pour former des espèces neutres (condition absorbante n=0).

Les parois jouent ainsi le rôle d'un puits de charges : le plasma perd continûment ses porteurs par diffusion et recombinaison surfacique, ce qui entraîne la décroissance globale de sa densité au cours du temps.

D'après l'équation de diffusion \dfrac{\partial n}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 n}{\partial x^2} (ou la loi de Fick j = -D \dfrac{\partial n}{\partial x}), la dimension de D vérifie :

Les grandeurs v^* et \tau^* ont pour dimensions respectives :

En cherchant D sous la forme D = (v^*)^\alpha (\tau^*)^\beta, l'égalité aux dimensions impose :

Par identification :

Avec un facteur sans dimension pris égal à 1, on en déduit l'expression de D :

Explication physique : La grandeur \ell^* = v^* \tau^* représente le libre parcours moyen d'une entité entre deux collisions successives. Plus la durée \tau^* entre collisions est grande, plus ce libre parcours moyen est important : l'entité effectue de plus grands pas rectilignes dans l'espace avant de voir sa trajectoire déviée aléatoirement. Les collisions constituent un frein au transport macroscopique ; moins elles sont fréquentes (c'est-à-dire plus \tau^* est grand), plus l'entité s'éloigne rapidement de sa position d'origine par marche au hasard, ce qui se traduit par une diffusion spatiale plus rapide et donc une valeur accrue de D.

Le coefficient de diffusion transverse des ions en présence d'un champ magnétique stationnaire et uniforme s'écrit :

• Plasma non magnétisé : par définition, l'effet du champ magnétique sur la diffusion transverse est négligeable, c'est-à-dire que D_i' \simeq D_i. Cela impose que le terme correctif au dénominateur soit négligeable devant 1 :

  (\omega_c \tau^*)^2 \ll 1 \iff \boxed{\omega_c \tau^* \ll 1}

• Plasma magnétisé : le champ magnétique réduit notablement le coefficient de diffusion transverse (D_i' \ll D_i). Le terme correctif domine alors largement 1 au dénominateur :

  (\omega_c \tau^*)^2 \gg 1 \iff \boxed{\omega_c \tau^* \gg 1}

D'après le résultat de la question Q24, le coefficient de diffusion des ions en l'absence de champ magnétique s'écrit :

où v_i^* est la vitesse quadratique moyenne des ions. L'expression du coefficient de diffusion transverse est :

Cas d'un plasma non magnétisé (\omega_c \tau^* \ll 1) : Le dénominateur se réduit au premier ordre à 1 + (\omega_c \tau^*)^2 \approx 1. Il vient immédiatement :

Le coefficient de diffusion transverse D_i' est donc bien proportionnel à \tau^*.

Cas d'un plasma magnétisé (\omega_c \tau^* \gg 1) : Le terme dominant au dénominateur est (\omega_c \tau^*)^2. Par conséquent :

soit :

Le coefficient de diffusion transverse D_i' est donc bien proportionnel à l'inverse de \tau^*.

Influence du champ magnétique : La pulsation cyclotron des ions est donnée d'après la question Q4 par \omega_c = \dfrac{e B_0}{m}. Le paramètre de magnétisation s'exprime ainsi :

Ce produit est strictement proportionnel à la norme B_0 du champ magnétique. Plus le champ magnétique appliqué est intense :

• plus la condition \omega_c \tau^* \gg 1 est largement satisfaite ;

• plus la diffusion transverse est entravée, le coefficient variant selon :

  D_i' \approx \left(\frac{m v_i^*}{e}\right)^2 \frac{1}{B_0^2 \tau^*} \propto \frac{1}{B_0^2}

Le plasma est donc bien d'autant plus magnétisé que le champ magnétique est intense.

D'après la question Q25, un plasma est dit magnétisé lorsque :

où T_c = \frac{2\pi}{\omega_c} est la période cyclotron de la particule chargée. Cette condition signifie que la particule effectue un grand nombre de gyrations cyclotroniques autour d'une ligne de champ magnétique entre deux collisions successives avec des espèces neutres.

• Sur la figure (a), la particule chargée (boule blanche) décrit plusieurs spires d'hélice complètes autour des lignes de champ magnétique \vec{B} entre deux chocs avec les diffuseurs (boules noires). La durée moyenne entre deux collisions \tau^* est donc nettement supérieure à la période cyclotron T_c, ce qui correspond bien à \omega_c \tau^* \gg 1.
• Sur la figure (b), la trajectoire est interrompue par des collisions avant même que la particule n'ait le temps d'effectuer une révolution cyclotronique complète (\omega_c \tau^* \lesssim 1), ce qui caractérise un plasma non magnétisé.

Dans un plasma magnétisé (figure 6(a), où \omega_c \tau^* \gg 1) :

• Entre deux collisions, le cation effectue de nombreuses rotations cyclotroniques autour d'une même ligne de champ : son déplacement perpendiculairement à \vec{B} est borné et confiné dans un tube de rayon de l'ordre du rayon de Larmor r_L. Sans collision, il n'y aurait aucune diffusion transverse.

• Une collision avec une espèce neutre modifie brutalement la direction de la vitesse du cation, ce qui déplace le « centre de guidage » de sa trajectoire d'une distance élémentaire transversale :

  \Delta r_\perp \sim r_L
• La diffusion transverse s'interprète donc comme une marche au hasard du centre de guidage, dont la longueur de pas \Delta r_\perp \sim r_L est fixée par le champ magnétique et indépendante de \tau^*, et dont la durée entre deux pas est \tau^*.

Le coefficient de diffusion transverse s'écrit donc en ordre de grandeur :

Ainsi, plus la durée moyenne \tau^* entre deux collisions est élevée (collisions plus rares), moins les sauts du centre de guidage sont fréquents : le cation reste piégé plus longtemps autour de la même ligne de champ, ce qui diminue le coefficient de diffusion transverse D_i'.

Dans la géométrie toroïdale d'un tokamak, les lignes de champ magnétique sont refermées sur elles-mêmes : les particules chargées s'enroulent autour de ces lignes de champ et ne peuvent s'échapper vers les parois matérielles que par transport perpendiculaire (diffusion transverse).

Or, pour un plasma magnétisé (\omega_c \tau^* \gg 1), le coefficient de diffusion transverse établi en Q26 vérifie :

Un champ magnétique B_0 très intense présente ainsi un double intérêt :

• Réduire drastiquement la diffusion transverse vers les parois (D' \propto B_0^{-2}), ce qui limite considérablement les pertes de matière et assure un temps de confinement suffisant des réactifs ;
• Protéger les parois du tokamak en évitant le contact direct avec le plasma porté à des dizaines de millions de degrés.