Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2022 (page 2/3 : Partie II (questions 12 à 30))

On étudie le satellite, assimilé à un point matériel M de masse m_{\mathrm{S}}, dans le référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} supposé galiléen.

La seule force agissant sur le satellite est la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre (supposée à symétrie sphérique) :

où r = R_{\mathrm{T}} + h désigne la distance constante séparant le centre O de la Terre du satellite.

La trajectoire étant circulaire de rayon r = \mathrm{cste}, les dérivées temporelles du rayon sont nulles (\dot{r} = 0 et \ddot{r} = 0). Dans la base polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta), le vecteur position s'écrit \vec{r} = r \vec{u}_r, le vecteur vitesse est orthoradial :

et le vecteur accélération s'écrit :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au satellite :

En projetant cette relation vectorielle selon le vecteur orthoradial \vec{u}_\theta, on obtient :

Comme m_{\mathrm{S}} \neq 0 et r > 0, il vient :

La vitesse scalaire orbitale vérifie ainsi :

Le système étudié est le satellite, assimilé à un point matériel M de masse m_{\mathrm{S}}, dans le référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} supposé galiléen.

Sur son orbite circulaire de rayon r = R_{\mathrm{T}} + h, le satellite n'est soumis qu'à l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre, modélisée par une répartition de masse à symétrie sphérique :

La trajectoire étant un cercle de rayon r parcouru à la vitesse scalaire constante v_0 = r\dot{\theta} (d'après la question Q12), le vecteur accélération s'écrit :

En appliquant la deuxième loi de Newton au satellite :

La projection selon le vecteur unitaire radial \vec{u}_r donne :

En remplaçant le rayon de l'orbite par r = R_{\mathrm{T}} + h, on obtient :

D'après la question Q13, la vitesse orbitale du satellite est donnée par :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2} ;
• M_{\mathrm{T}} = 5{,}97 \times 10^{24}\text{ kg} ;
• R_{\mathrm{T}} = 6{,}40 \times 10^6\text{ m} ;
• h = 650\text{ km} = 0{,}65 \times 10^6\text{ m}, d'où r = R_{\mathrm{T}} + h = 7{,}05 \times 10^6\text{ m}.

L'application numérique donne :

Le mouvement étant circulaire uniforme de rayon r = R_{\mathrm{T}} + h (d'après Q12), la période de révolution T_0 correspond à la durée nécessaire pour parcourir le périmètre 2\pi r à la vitesse v_0 :

Numériquement :

Considérons une station d'émission-réception S située à la surface de la Terre de rayon R_{\mathrm{T}}. Pour qu'une onde radio en propagation rectiligne directe puisse être reçue sans être masquée par la rotondité de la Terre, le satellite M doit être au-dessus du plan tangent à la Terre en S (l'horizon local).

La durée maximale de visibilité correspond à un passage du satellite directement à la verticale de la station (au zénith). À l'apparition et à la disparition du satellite à l'horizon, le segment (SM) est tangent à la sphère terrestre en S. Dans le triangle rectangle OSM en S, l'angle au centre \theta_{\max} vérifie :

L'angle orbital total parcouru par le satellite pendant cette phase de visibilité est 2\theta_{\max}. Comme le mouvement orbital est circulaire uniforme de pulsation \omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}, la durée maximale de communication directe est :

Application numérique :

• Pour l'ISS (h = 400\text{ km}, v_0 \approx 7{,}6\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, T_0 \approx 92{,}6\text{ min}) :

  \begin{aligned} \cos\theta_{\max} &= \frac{6\,400}{6\,800} \simeq 0{,}9412 \implies \theta_{\max} \simeq 0{,}345\text{ rad} \simeq 19{,}8^\circ \\ \Delta t_{\max} &= \frac{2 \times 19{,}8^\circ}{360^\circ} \times 92{,}6\text{ min} \simeq 10{,}2\text{ min} \simeq 610\text{ s} \end{aligned}

• Pour les satellites du sujet (h = 650\text{ km}, v_0 \simeq 7{,}52\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}, T_0 \simeq 98{,}2\text{ min}) :

  \begin{aligned} \cos\theta_{\max} &= \frac{6\,400}{7\,050} \simeq 0{,}9078 \implies \theta_{\max} \simeq 0{,}433\text{ rad} \simeq 24{,}8^\circ \\ \Delta t_{\max} &= \frac{2 \times 24{,}8^\circ}{360^\circ} \times 98{,}2\text{ min} \simeq 13{,}5\text{ min} \simeq 810\text{ s} \end{aligned}

Même en introduisant un angle de site minimal au-dessus de l'horizon de l'ordre de 5^\circ à 10^\circ pour limiter le bruit thermique et les masques du relief urbain ou naturel, la durée de contact reste de l'ordre de 6 à 8\text{ minutes}.

L'affirmation journalistique selon laquelle la communication directe est « impossible à établir plus d'une minute » est donc quantitativement erronée : elle sous-estime la durée maximale d'environ un ordre de grandeur (un facteur 10).

Néanmoins, sur le plan opérationnel, l'argument de fond reste valable : une fenêtre de transmission d'une dizaine de minutes toutes les 90 minutes (et beaucoup moins fréquemment en tenant compte de la rotation de la Terre qui décale la trace au sol) est beaucoup trop discontinue pour assurer un échange de flux de données continu. L'utilisation de satellites relais géostationnaires est donc indispensable.

Dans le vide, en l'absence de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations locales de Maxwell régissant les champs électrique \vec{E} et magnétique \vec{B} s'écrivent :

Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

En permutant les opérateurs différentiels d'espace et de temps (théorème de Schwarz) et en utilisant l'identité vectorielle de l'énoncé \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{a}) = \vec{\operatorname{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{a}) - \Delta \vec{a} :

En tenant compte de l'absence de charges (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0 d'après MG) et en remplaçant \vec{\operatorname{rot}}\,\vec{B} par son expression issue de MA :

En introduisant la célérité de la lumière dans le vide c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}, on obtient l'équation de d'Alembert :

D'après l'énoncé, le champ électrique complexe de l'onde s'écrit :

Calculons les dérivées spatiales et temporelles intervenant dans l'équation de propagation établie à la question Q16 :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde dans le vide \Delta \underline{\vec{E}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}}{\partial t^2} = \vec{0}, il vient :

Cette relation étant vérifiée en tout point M et à tout instant t pour une amplitude E_0 \neq 0, on en déduit la relation de dispersion :

La vitesse de phase associée à cette onde s'écrit :

La vitesse de phase est une constante indépendante de la pulsation \omega (et la vitesse de groupe vaut également v_{\mathrm{g}} = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c = v_{\varphi}).

Le vide n'est donc pas un milieu dispersif.

L'équation de Maxwell-Faraday dans le vide s'écrit :

En notation complexe, avec une dépendance temporelle en \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, l'opérateur de dérivation temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \to \mathrm{i}\omega, soit :

Le champ électrique s'écrit \underline{\vec{E}}(M, t) = \underline{E}_y(x, t)\,\vec{u}_y = E_0 \exp(\mathrm{i}(\omega t - kx))\vec{u}_y. Son rotationnel en coordonnées cartésiennes se réduit à :

On en déduit immédiatement le champ magnétique complexe :

D'après la relation de dispersion dans le vide établie à la question Q17, \frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}, d'où :

Une particule chargée de charge q (électron de charge -e ou cation de charge +e), animée d'une vitesse \vec{v} dans le plasma, est soumise à la force de Lorentz :

La norme de la force électrique s'écrit :

La norme de la force magnétique vérifie l'inégalité :

où v = \|\vec{v}\| est la norme de la vitesse de la particule.

D'après le résultat de la question Q18, dans le vide, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par :

En admettant, selon l'énoncé, que ce rapport reste valable dans le plasma pour les ordres de grandeur des champs, on a :

On en déduit la majoration du rapport des deux composantes de la force de Lorentz :

L'énoncé précisant que les particules du plasma possèdent des vitesses très petites devant la célérité de la lumière dans le vide (v \ll c), il vient immédiatement :

Les effets de la partie magnétique de la force de Lorentz sont donc rigoureusement négligeables devant ceux de la partie électrique.

D'après la question Q19, la composante magnétique de la force de Lorentz est négligeable devant sa composante électrique. De plus, les autres interactions étant négligées, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron libre de charge -e et de masse m_{\mathrm{e}} s'écrit :

En adoptant la notation complexe avec la dépendance temporelle en \exp(\mathrm{i}\omega t), l'opérateur \frac{\partial}{\partial t} s'identifie au facteur multiplicatif \mathrm{i}\omega. On a ainsi :

D'où l'expression de la vitesse complexe de l'électron :

Pour un cation de charge +e et de masse m_{\mathrm{c}}, la même équation conduit à :

Soit :

En comparant les normes des vecteurs vitesse complexes, on obtient :

Le cation le plus léger étant l'ion hydrogène \mathrm{H}^+ (proton) de masse m_{\mathrm{p}} \simeq 1\,836 \, m_{\mathrm{e}} (les ions de l'ionosphère tels que \mathrm{O}^+ ou \mathrm{NO}^+ étant encore plus massifs), on a m_{\mathrm{c}} \gg m_{\mathrm{e}}. Il s'ensuit que :

Sous l'action du champ électrique de l'onde, les porteurs de charge du plasma (électrons libres de charge q_{\mathrm{e}} = -e et cations de charge q_{\mathrm{c}} = +e) sont mis en mouvement avec des vitesses respectives \vec{v}_{\mathrm{e}} et \vec{v}_{\mathrm{c}}. Ce déplacement macroscopique de charges engendre un courant électrique volumique modélisé par le vecteur densité de courant :

En notation complexe, compte tenu de la neutralité locale (n_{\mathrm{c}} = n_{\mathrm{e}}), cette grandeur s'écrit :

D'après la question Q20, l'inertie des ions est très supérieure à celle des électrons (m_{\mathrm{c}} \gg m_{\mathrm{e}}), de sorte que \|\underline{\vec{v}}_{\mathrm{c}}\| \ll \|\underline{\vec{v}}_{\mathrm{e}}\|. La contribution des cations au courant est donc tout à fait négligeable, ce qui conduit à :

En remplaçant le vecteur vitesse complexe de l'électron obtenu à la question Q20, \underline{\vec{v}}_{\mathrm{e}} = \mathrm{i}\frac{e}{m_{\mathrm{e}}\omega}\underline{\vec{E}}(M, t), il vient :

Par identification avec la loi d'Ohm locale en régime harmonique \underline{\vec{\jmath}}(M, t) = \underline{\gamma}\,\underline{\vec{E}}(M, t), on obtient bien :

La puissance volumique instantanée fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres est donnée par la densité volumique de puissance de Lorentz :

puisque la force magnétique ne travaille pas (\vec{v}_{\mathrm{e}} \cdot (\vec{v}_{\mathrm{e}} \times \vec{B}) = 0).

D'après le formulaire de l'énoncé, la moyenne temporelle de ce produit scalaire entre grandeurs harmoniques de même pulsation s'exprime en notation complexe selon :

En utilisant la loi d'Ohm locale établie à la question Q21, \underline{\vec{\jmath}}(M,t) = \underline{\gamma} \, \underline{\vec{E}}(M,t), il vient :

Or, d'après le résultat de la question Q21, la conductivité complexe du plasma est un imaginaire pur :

On en déduit :

Commentaire :

• Le courant \vec{\jmath}(t) et le champ électrique \vec{E}(t) sont en quadrature de phase (\Delta \varphi = -\pi/2), de sorte que la moyenne temporelle du produit instantané est strictement nulle (\langle \cos(\omega t) \sin(\omega t) \rangle = 0).
• Il n'y a donc aucune dissipation d'énergie par effet Joule au sein du plasma ionosphérique : le milieu est conservatif (non dispersif en énergie ou non dissipatif).
• L'échange d'énergie entre le champ électromagnétique et les électrons libres est purement réactif : l'énergie oscille continûment entre l'énergie du champ et l'énergie cinétique macroscopique des électrons sans perte nette sur une période. Cela résulte directement du modèle sans collisions (plasma très dilué).

Dans le plasma, de permittivité \varepsilon_0 et de perméabilité \mu_0, les équations de Maxwell s'écrivent :

où c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}.

Le champ électrique est polarisé rectilignement selon \vec{u}_y et ne dépend spatialement que de la coordonnée x :

Ainsi, la densité volumique de charge associée à l'onde est nulle (\underline{\rho} = 0) : la neutralité locale est préservée.

En utilisant l'identité vectorielle fournie :

D'autre part, en prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en intervertissant les dérivées spatiales et temporelles :

En égalant les deux expressions, on obtient :

D'après les questions Q20 et Q21, le courant est porté par les seuls électrons :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron donne m_{\mathrm{e}}\frac{\partial \underline{\vec{v}}_{\mathrm{e}}}{\partial t} = -e\underline{\vec{E}}, d'où :

(on retrouve le même résultat en régime harmonique via \frac{\partial \underline{\vec{\jmath}}}{\partial t} = \mathrm{i}\omega \underline{\vec{\jmath}} = \mathrm{i}\omega \underline{\gamma} \underline{\vec{E}}).

On en déduit l'équation de propagation du champ électrique dans le plasma :

Compte tenu de la géométrie unidimensionnelle selon (Ox), cette équation s'écrit également :

Le champ électrique s'écrit sous forme d'une onde plane se propageant selon l'axe (Ox) :

Ses dérivées partielles temporelles et spatiales sont données par :

En injectant ces expressions dans l'équation de propagation établie à la question Q23 :

on obtient, le champ électrique \underline{\vec{E}} étant non identiquement nul :

En utilisant la relation liant la célérité de la lumière dans le vide aux constantes diélectrique et magnétique, \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, soit \mu_0 = 1/(\varepsilon_0 c^2), le terme constant se réécrit :

On introduit la pulsation caractéristique du plasma, notée \omega_{\mathrm{p}}, définie par :

L'expression de \underline{k}^2 dans le plasma s'écrit alors :

D'après le résultat de la question Q24, la relation de dispersion s'écrit :

Pour \omega < \omega_{\mathrm{p}}, le terme \omega_{\mathrm{p}}^2 - \omega^2 est strictement positif, de sorte que \underline{k}^2 < 0. Ainsi, \underline{k} est un imaginaire pur :

L'énoncé précise que \underline{k} = k' + \mathrm{i}k'' avec k' \geqslant 0 et k'' \leqslant 0. On en déduit :

En introduisant l'épaisseur caractéristique (ou profondeur de pénétration) :

le vecteur d'onde complexe s'écrit simplement :

\delta_{\mathrm{p}} représente la distance caractéristique sur laquelle l'amplitude des champs décroît d'un facteur \mathrm{e}.

Le champ électrique complexe devient :

En prenant la partie réelle, on obtient le champ électrique réel :

Le champ magnétique associé s'obtient via l'équation de Maxwell-Faraday sous forme complexe :

Le calcul du rotationnel donne :

d'où :

Sachant que \operatorname{Re}(-\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}) = \operatorname{Re}(-\mathrm{i}\cos(\omega t) + \sin(\omega t)) = \sin(\omega t), le champ magnétique réel s'écrit :

D'après les résultats de la question Q25, les composantes scalaires non nulles des champs s'écrivent :

1. Profils spatiaux à un instant fixé À tout instant t fixé, la dépendance spatiale le long de l'axe (Ox) est une décroissance exponentielle pure sans oscillation spatiale. L'amplitude des champs est amortie d'un facteur \mathrm{e} \simeq 2{,}72 sur une épaisseur caractéristique égale à la profondeur de pénétration \delta_{\mathrm{p}}.

2. Description de l'évolution temporelle

• Oscillations harmoniques : en tout point M(x) du plasma, les champs \vec{E} et \vec{B} oscillent de façon purement sinusoïdale à la pulsation \omega de l'onde incidente, avec la période T = \frac{2\pi}{\omega}.
• Quadrature de phase temporelle : \vec{E} varie en \cos(\omega t) alors que \vec{B} varie en \sin(\omega t) = \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right). Les deux champs oscillent en quadrature temporelle : le champ magnétique est en retard d'un quart de période (T/4) sur le champ électrique. Lorsque l'un des deux champs est maximal en amplitude, l'autre s'annule identiquement sur tout l'espace x \geqslant 0.
• Absence de propagation : la phase des champs ne dépend pas de x (tous les points oscillent en phase). Il s'agit d'une onde stationnaire amortie (ou onde évanescente).

Le vecteur de Poynting instantané associé au champ électromagnétique est défini par :

D'après les résultats de la question Q25, pour \omega < \omega_{\mathrm{p}}, les champs réels s'écrivent :

Puisque \vec{u}_y \times \vec{u}_z = \vec{u}_x, le vecteur de Poynting instantané s'exprime sous la forme :

La valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} d'une fonction sinusoïdale de pulsation 2\omega est nulle (\langle \sin(2\omega t) \rangle = 0). On en déduit immédiatement :

Remarque (formalisme complexe) : En utilisant la relation du formulaire \langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left(\underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{B}}^*\right) avec \underline{\vec{B}} = -\mathrm{i} \frac{E_0}{\omega \delta_{\mathrm{p}}} \mathrm{e}^{-x/\delta_{\mathrm{p}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \vec{u}_z, le produit vectoriel \underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{B}}^* = \mathrm{i}\frac{E_0^2}{\omega\delta_{\mathrm{p}}}\mathrm{e}^{-2x/\delta_{\mathrm{p}}}\vec{u}_x est imaginaire pur, de partie réelle nulle.

Caractérisation de l'onde :

• C'est une onde évanescente : son amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur de pénétration x sans déphasage spatial supplémentaire le long de (Ox).
• C'est une onde stationnaire : les variables spatiale x et temporelle t sont séparées dans l'expression des champs (il n'y a pas de terme de la forme \omega t \pm k' x).
• Il s'agit d'une onde purement réactive : en moyenne temporelle, il n'y a aucun transport net d'énergie à travers l'ionosphère (\langle \vec{\Pi} \rangle = \vec{0}). L'énergie oscille localement deux fois par période entre le champ électromagnétique et l'énergie cinétique des électrons.

D'après la question Q24, la relation de dispersion dans le plasma s'écrit :

Pour \omega > \omega_{\mathrm{p}}, \underline{k}^2 est strictement positif. En écrivant \underline{k} = k' + \mathrm{i}k'' avec la contrainte imposée par l'énoncé k' \geqslant 0 et k'' \leqslant 0, on en déduit que \underline{k} est un réel pur (k'' = 0) :

Le champ électrique complexe s'écrit alors :

En prenant la partie réelle (puisque E_0 \in \mathbb{R}), on obtient le champ électrique réel :

L'équation de Maxwell-Faraday appliquée aux champs complexes harmoniques donne :

Le nombre d'onde k étant réel positif, le passage à la partie réelle conduit directement au champ magnétique réel :

Le vecteur de Poynting instantané s'exprime par :

Puisque la moyenne temporelle de \cos^2(\omega t - kx) vaut \frac{1}{2} (ou via la formule \langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{1}{2\mu_0}\operatorname{Re}(\underline{\vec{E}} \times \underline{\vec{B}}^*)), on trouve :

D'après la question Q28, pour \omega > \omega_{\mathrm{p}}, le nombre d'onde s'écrit :

1. Vitesse de phase

Par définition, la vitesse de phase est v_{\varphi} = \dfrac{\omega}{k} :

2. Vitesse de groupe

Par définition, la vitesse de groupe est v_{\mathrm{g}} = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}. En différenciant la relation de dispersion \omega^2 = \omega_{\mathrm{p}}^2 + c^2 k^2 :

Il vient ainsi :

On remarque la relation remarquable propre aux ondes de type Klein-Gordon :

3. Tracé des vitesses en fonction de \omega

Pour \omega \in {]\omega_{\mathrm{p}}, +\infty[} :

• lorsque \omega \to \omega_{\mathrm{p}}^+, v_{\varphi} \to +\infty et v_{\mathrm{g}} \to 0 ;
• lorsque \omega \to +\infty, v_{\varphi} \to c^+ et v_{\mathrm{g}} \to c^-.

4. Caractère dispersif du milieu

La vitesse de phase v_{\varphi} dépend explicitement de la pulsation \omega (et v_{\varphi} \neq v_{\mathrm{g}}) : le plasma est donc un milieu dispersif.

5. Comparaison à c et commentaires physiques

• Vitesse de phase : on a v_{\varphi} > c. La vitesse de phase correspond à la vitesse de déplacement des surfaces d'onde d'une onde monochromatique idéale (infinie dans le temps et dans l'espace). Elle ne transporte ni énergie ni information, et peut donc excéder c sans enfreindre la relativité restreinte.
• Vitesse de groupe : on a v_{\mathrm{g}} < c. Dans un milieu transparent non absorbant, la vitesse de groupe est la vitesse de déplacement de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, c'est-à-dire la vitesse de propagation de l'énergie et des signaux porteurs d'information. Le fait que v_{\mathrm{g}} < c garantit le respect du principe de causalité et des postulats de la relativité restreinte.

Pour qu'une onde électromagnétique émise depuis la Terre puisse traverser l'ionosphère et atteindre un satellite sans subir de réflexion totale (caractérisée par un comportement évanescent pour \omega < \omega_{\mathrm{p}}), sa pulsation doit être supérieure à la pulsation plasma en tout point du trajet :

La fréquence f = \dfrac{\omega}{2\pi} doit donc satisfaire :

D'après la figure 6, la densité électronique atteint sa valeur maximale de jour, vers 300\text{ km} d'altitude. On lit :

En utilisant les valeurs numériques des données :

• e = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C}
• m_{\mathrm{e}} = 9{,}109 \times 10^{-31}\text{ kg}
• \varepsilon_0 = 8{,}854 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}

il vient :

Cette fréquence appartient au domaine des ondes radio (plus précisément les ondes courtes ou hautes fréquences, bande HF).