Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2020 (page 2/3 : Partie 1 (questions 14 à 25))

La longueur d'onde \lambda_{\mathrm{exp}} représente la période spatiale de l'onde. Elle se mesure à un instant fixé t, c'est-à-dire le long d'une ligne horizontale sur la chronophotographie spatio-temporelle (x,t) de la figure (3).

Pour déterminer l'échelle spatiale, on prend pour référence la largeur de la frange sombre verticale centrale associée au cylindre, qui vaut :

Sur une horizontale donnée (par exemple dans la partie supérieure ou médiane du diagramme où le signal est bien visible), la distance séparant deux lignes d'égale phase consécutives (deux maxima consécutifs de clarté) est environ 4,5 à 5 fois plus grande que la largeur de la bande centrale :

On en déduit :

Compte tenu de l'incertitude de lecture sur le cliché, on retient :

Pour une onde progressive se propageant le long de l'axe (Ox), la célérité de phase c_{\mathrm{exp}} est reliée à la longueur d'onde \lambda_{\mathrm{exp}} et à la fréquence temporelle f'_{\mathrm{exp}} par :

En utilisant les valeurs déterminées aux questions Q13 et Q14 :

• f'_{\mathrm{exp}} \approx 2{,}0\text{ Hz} (soit T'_{\mathrm{exp}} \approx 0{,}50\text{ s}),
• \lambda_{\mathrm{exp}} \approx 0{,}70\text{ m},

on obtient :

De façon équivalente, une mesure directe de l'inverse de la pente des lignes de crête sur le diagramme spatio-temporel (x,t) donne :

Compte tenu des incertitudes de lecture graphique, on retient l'intervalle d'estimation :

La relation de dispersion liant la pulsation \omega au nombre d'onde k s'écrit, pour \omega \ge 0 et k > 0 :

1. Comportement limite en k \to 0 (kH \ll 1, régime des ondes en eau peu profonde) :

Au voisinage de 0, le développement limité de la tangente hyperbolique est \tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + \mathcal{O}(x^5). On en déduit :

La fonction admet donc au voisinage de l'origine un comportement linéaire :

La courbe part de l'origine avec une demi-tangente de pente finie égale à \sqrt{gH}.

2. Comportement asymptotique en k \to +\infty (kH \gg 1, régime des ondes en eau profonde) :

Lorsque k \to +\infty, \tanh(kH) \to 1. Ainsi :

La courbe présente une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des abscisses, avec une dérivée tendant vers zéro :

3. Allure graphique :

La fonction \omega(k) est strictement croissante et concave sur \mathbb{R}^+.

Un milieu de propagation est qualifié de non dispersif si la vitesse de phase v_{\varphi} = \dfrac{\omega}{k} est indépendante de la pulsation \omega (ou du nombre d'onde k), ce qui implique que la vitesse de groupe v_{\mathrm{g}} = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} est égale à la vitesse de phase :

Cela correspond à une relation de dispersion linéaire de la forme \omega(k) = c\,k, où c est une constante.

D'après l'étude menée à la question précédente (Q16), la relation de dispersion (1) n'est linéaire que dans la limite des faibles profondeurs (ou ondes longues) :

Dans ce régime, on a \tanh(kH) \sim kH, soit \omega(k) \approx \sqrt{gH}\,k, d'où v_{\varphi} = v_{\mathrm{g}} \approx \sqrt{gH}.

Le milieu peut donc être considéré comme non dispersif sous la condition :

Sur la chronophotographie (figure 3), les lignes obliques représentent les trajectoires spatio-temporelles d'états d'intensité lumineuse donnés, c'est-à-dire les lignes de phase constante (crêtes ou creux de l'onde de surface).

La vitesse associée c_{\text{exp}}, déterminée soit par le suivi d'une crête au cours du temps (\Delta x / \Delta t), soit par la relation c_{\text{exp}} = \lambda_{\text{exp}} f'_{\text{exp}} = \omega/k, mesure la vitesse de déplacement des surfaces d'égale phase.

Par conséquent, c_{\text{exp}} s'associe à la vitesse de phase :

La relation de dispersion s'écrit :

Dans la limite des faibles profondeurs (kH \ll 1), un développement limité au premier ordre donne :

Il vient ainsi pour la pulsation :

Comme le milieu est non dispersif dans cette limite (d'après la question Q17), la célérité de phase et la vitesse de groupe coïncident et valent :

Application numérique : avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et H = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m},

Comparaison avec l'expérience : À la question Q15, la pente mesurée sur la chronophotographie conduisait à c_{\mathrm{exp}} \approx 1{,}4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'accord entre la valeur théorique en régime d'eau peu profonde et la valeur expérimentale est donc excellent, ce qui valide la modélisation adopted pour la propagation des vagues dans le canal.

Considérons une tranche élémentaire de fluide située entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, s'étendant sur toute la largeur de la cuve L selon (\mathrm{O}z). Dans la situation d'onde, la surface libre se situe à la hauteur y = h(x,t), tandis qu'elle est en y = 0 à l'état de référence.

L'énergie potentielle de pesanteur d'un élément de volume \mathrm{d}\tau = L\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}\tau situé à l'altitude y s'écrit :

Par rapport à l'état de référence (interface plane y = 0), l'énergie potentielle de pesanteur de la colonne verticale s'obtient en intégrant entre y = 0 et y = h(x,t) :

Cette expression est strictement positive que la surface soit au-dessus de sa position d'équilibre (h > 0, masse supplémentaire à une altitude y > 0) ou en dessous (h < 0, masse manquante à une altitude y < 0).

L'énergie potentielle emmagasinée sur une longueur d'onde spatiale, par exemple pour x \in [0, \lambda], s'écrit alors :

En introduisant l'expression de l'onde h(x,t) = A \sin(\Omega_0 t \pm kx) avec k = \frac{2\pi}{\lambda} :

Comme l'intervalle d'intégration est de longueur \lambda et que 2k\lambda = 4\pi, l'intégrale de la partie oscillante en cosinus sur deux périodes spatiales est nulle :

Il reste ainsi :

On en déduit l'expression demandée :

L'onde progressive harmonique se propageant à la célérité c, la tranche de fluide de longueur spatiale \lambda traverse une section verticale fixe d'abscisse donnée pendant une durée égale à la période temporelle :

Par définition du flux moyen d'énergie (puissance moyenne transportée par l'onde à travers la section), l'énergie potentielle de pesanteur traversant cette section par unité de temps s'écrit :

En utilisant l'expression de E_{\mathrm{p}} établie à la question Q20, E_{\mathrm{p}} = \dfrac{1}{4} \rho g L \lambda A^2, on obtient directement :

Considérons le profil spatial d'une onde progressive se propageant vers les x>0, donné à un instant fixé par h(x) = A\sin(kx) avec k = \frac{2\pi}{\lambda}. Une bosse s'étend sur une demi-longueur d'onde, par exemple pour x \in [0, \lambda/2] où h(x) \ge 0.

Le volume d'une bosse s'étendant sur la largeur L du canal s'écrit :

Des ondes étant générées symétriquement vers la droite (x>0) et vers la gauche (x<0), il se forme deux bosses pendant une demi-période temporelle. Le volume total des bosses vaut donc :

Par ailleurs, au cours d'une demi-période d'oscillation T/2, l'ordonnée du flotteur varie entre ses deux extrema, soit une excursion verticale totale (course de crête à creux) :

D'après le résultat de la question 3, la variation correspondante de volume immergé (volume balayé par la section horizontale efficace D \times L à la ligne de flottaison) est :

En égalant le volume total des bosses au volume balayé sur une demi-période, conformément à l'énoncé :

On en déduit immédiatement :

L'équation du mouvement du flotteur en régime non amorti (question 4) s'écrit \ddot{u} + \omega_0^2 u = 0, avec une raideur équivalente k_{\mathrm{eff}} = m\omega_0^2. Avec m = \rho_{\mathrm{c}} \pi R^2 L = \frac{1}{8}\pi \rho D^2 L et \omega_0^2 = \frac{8g}{\pi D}, on a :

Pour des oscillations quasi-sinusoïdales d'amplitude lentement variable B(t), l'énergie mécanique moyenne du flotteur sur une période d'oscillation vaut :

Sa dérivée temporelle s'exprime donc par :

Le flotteur rayonne des ondes de gravité de surface vers les deux côtés du canal (x > 0 et x < 0). En prenant en compte le flux d'énergie potentielle \Phi_{\mathrm{p}} évacué de chaque côté, la puissance moyenne cédée sous forme d'ondes vaut \mathcal{P}_{\mathrm{perdue}} = 2\Phi_{\mathrm{p}} :

D'après la question 21, \Phi_{\mathrm{p}} = \frac{1}{4}\rho g L c A^2, et la relation établie à la question 22 donne A = \frac{\pi D}{\lambda} B. Il vient :

Le bilan d'énergie s'écrit donc :

En simplifiant par \rho g D L B (puisque B \neq 0), on obtient :

Cette équation est bien de la forme \dot{B} + \dfrac{B}{\tau} = 0, avec :

La constante de temps vérifie bien la dépendance dimensionnelle :

Pour un oscillateur harmonique faiblement amorti régi par l'équation canonique :

l'amplitude B(t) des oscillations décroît selon une loi exponentielle en e^{-\frac{\omega_0}{2Q}t} = e^{-t/\tau}. Par identification avec l'équation différentielle établie à la question précédente \dot{B} + \frac{B}{\tau} = 0, on a :

D'autre part, les ondes de surface sont générées à la période temporelle T des oscillations du flotteur et se propagent à la célérité c. La longueur d'onde s'écrit donc :

En injectant cette relation dans l'expression de la constante de temps d'amortissement \tau = \frac{2\lambda^2}{\pi^2 c D} (établie à la question Q23) :

On en déduit immédiatement l'expression du facteur de qualité :

D'après le résultat de la question 24, le facteur de qualité du système s'écrit :

en utilisant \lambda = c T.

Application numérique : Avec les valeurs obtenues précédemment :

• c \simeq 1{,}4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question 19),
• T \simeq T_0 \simeq 0{,}50\text{ s} (questions 5 et 6), soit une longueur d'onde \lambda = c T \simeq 0{,}70\text{ m} (en accord avec la question 14),
• D = 0{,}15\text{ m},

on obtient :

Analyse du résultat :

• Accord avec l'expérience : La valeur théorique calculée (Q \approx 3) est en très bon accord avec l'estimation expérimentale directe déduite de la figure 2 à la question 6 (Q_{\text{exp}} \approx 2). L'écart modéré s'explique naturellement par les hypothèses simplificatrices du modèle (onde purement gravitaire bidimensionnelle non dispersive, géométrie simplifiée du transfert de volume, dissipation visqueuse résiduelle).
• Origine de l'amortissement : Une telle valeur (Q \sim 2\text{ à } 3) correspond à un régime oscillant très fortement amorti, le flotteur perdant l'essentiel de son énergie en seulement deux ou trois périodes, ce qui est parfaitement conforme à l'enregistrement temporel.
• Conclusion physique : Cette concordance démontre que le mécanisme prépondérant d'amortissement des oscillations du flotteur est la perte d'énergie par rayonnement d'ondes de surface emportées vers l'infini, et non le frottement fluide ou la traînée hydrodynamique (qui avait été montrée négligeable aux questions 10 et 11).